電路學

1

電路學

第七章 磁耦合電路

7.1 互感



自感︰由線圈本身電流產生磁通鏈變化

回頭影響線圈產生感應電壓所謂線圈的自 感現象《此一自感是電感器工作的起源》



互感︰某些應用或元件裡常常存在多個線 圈，若其中之一個線圈的電流產生變動時，

它所產生的通鏈變化交鏈至另一個線圈，而 使該線圈感應出電壓，此種現象稱為互感。



發生互感之電路，稱為磁耦合電路

3

互感



設一線圈系統如下圖，則線圈(1)裡的總磁 通量為： 

＝N

(



)＝



[Wb]

其中N₁表示為線圈(1)的匝數

₁₁表示因電流i₁所產生而存在於線圈(1)的通量

₁₂表示因電流i₂所產生而存在於線圈(1)的通量

4

互感



由法拉第定律可知線圈(1)的感應電壓為：

 在上兩式裡符號採用或端視線圈的極性來 定。

] V dt )[

d dt

( d

v

  

 

5

互感

由此可知在線圈(1)裡存在有兩個電感量，其中之一是由它本 身的電流所產生，也就是自感，可表示為：

另一個是由線圈(2)的電流i₂所產生的互感，可表示為：

因此線圈(1)所感應的電壓可寫為：

在上式裡採用的符號是假設兩線圈的極性關係如圖7-2所示。

] H i [ N L i

1 11 1

1 11 11

 



] H i [ N M i

2 12 1

1 12 12

 



] V dt [ M di dt L di

v₁ ₁₁ ¹  ₁₂ ²

電路符號表示

在磁耦合電路中採用點符號 來表示線圈的極性

若兩個線圈的電流均由具有 點號的端點流入或流出，則電 流將沿互感路徑產生同方向之 磁通，其M前取正值。

或者相對於右圖，只要電流 方向或點號位置改一個，則M

前取負值。 圖7-2 線圈間的極性關係

7

點號與互感電壓正負關係

圖7-3 互感電壓的關係

在圖上兩線圈間的M值表示兩線圈間存在有互感 M。

8

互感M與自感L值

 當採用圖7-2所示的點號時，兩線圈的電壓可以表示 為：

對線性介質而言M₁₂＝M₂₁，當電線圈的自感分別為L₁＝ L₁₁及L₂＝L₂₂時，存在於它們之間的互感可以表示為：

其中k稱為線圈間的耦合係數，0＜k＜1。當其中之一線 圈的磁通量完全耦合至另一線圈時k＝1，若其中之一線 圈的磁通量完全沒有通過另一線圈時k＝0。

] V dt[ M di dt L di

v₁ ₁₁ ¹  ₁₂ ²

] V dt[ L di dt M di

v₂ ₂₁ ¹  ₂₂ ²

] H [ L L k M _{1 2}

9

補充: 互感電壓極性的判斷



實際線圈如何判斷(如何決定黑點位置)?

以v₁當電源, 設黑點在上,電流為從上端流入, 則 對左邊線圈感應出的互感電壓v₂的極性??

(解)安培右手定律:i₁在線圈1產生磁場朝上

此磁場經導磁材料往下進入線圈2

由楞次定律,線圈2要產生逆向磁場, 故感應電 流i₂方向?

故右邊黑點位置??

?

例7-1

 有兩線圈它們的自感分別為L₁＝100mH及L₂＝1mH，兩者 間的耦合係數為k＝0.5。若i₁＝10cos(4000t)及i₂＝0時，

v₁(t)及v₂(t)為多少？

 [解]：因L₁＝100mH，L₂＝1mH，及k＝0.5，故互感為：

由此可知

] mH [ 5 1 100 5 . 0

M 

] V )[

t 4000 sin(

6 . 12 )]

t 4000 cos(

01 . 0 dt[ 100 d . 0 ) t (

v₁     

] V )[

t 4000 sin(

628 . 0 )]

t 4000 cos(

01 . 0 dt[ 005 d . 0 ) t (

v₂     

11

耦合線圈的串聯

 一般變壓器的兩個線圈分離，其中一個作為輸入，另一個是 輸出

 某些應用裡，變壓器的兩個線圈可能是串聯或並聯

 圖示為串聯的兩個耦合線圈，因為是串聯，所以 v(t)＝v₁(t)＋v₂(t) [V] 及 i(t)＝i₁(t)＝i₂(t) [A]

 而兩個耦合線圈的電壓v₁(t)及v₂(t)可分別表示為：

] V dt [

) t ( )di M L dt (

) t ( Mdi dt

) t ( L di ) t (

v₁  ₁ ¹  ²  ₁

] V dt [

) t ( )di M L dt (

) t ( L di dt

) t ( Mdi ) t (

v 2

2 2 1

2    

課本正負 有誤!!

12

耦合線圈的串聯之一

 將上兩式相加，可得

由此可知對圖7-4的電路而言，其等效電感為：

L_eq＝L₁＋L₂－2M [H]

] V dt [

) t ( )di M 2 L L ( ) t (

v  ₁ ₂ 

圖7-4 兩個耦合線圈的串聯

13

耦合線圈的串聯之二

 下圖為兩個耦合線圈另一種串聯方法，耦合線圈的電壓 可分別表示為：

 將上兩式相加，可得。

] V dt [

) t ( )di M L dt (

) t ( Mdi dt

) t ( L di ) t (

v₁  ₁ ¹  ²  ₁

] V dt [

) t ( )di M L dt (

) t ( L di dt

) t ( Mdi ) t (

v₂  ¹  ₂ ²  ₂

] V dt [

) t ( )di M 2 L L ( ) t (

v  ₁  ₂ 

圖7-5 兩個耦合線圈的另一種串聯方法

耦合線圈的串聯之二

由此可知對上述電路而言，其等效電感為：

L_eq＝L₁＋L₂＋2M [H]

因耦合線圈與電感器均為被動元件，所以耦合 線圈串聯連接的等效電感必大於或等於零，因 此

 就是說耦合線圈對的互感值不可能大於兩個自 感的算術平均值。

2 M

L

L





15

耦合線圈的並聯

 下圖示為兩個耦合線圈的並聯，故

v(t)＝v₁(t)＝v₂(t) [V] 及 i(t)＝i₁(t)＋i₂(t) [A]

由圖上可知跨於L₁及L₂的電壓v₁(t)及v₂(t)可分別表示為：

聯解上兩式可得 ]

V dt [

) t ( Mdi dt

) t ( L di ) t ( v ) t (

v₁   ₁ ¹  ² ] V dt [

) t ( L di dt

) t ( Mdi ) t ( v ) t (

v₂   ¹  ₂ ²

) t ( M v L L

M L dt

) t ( di

2 2 1

2 1



 

) t ( M v L L

M L dt

) t ( di

2 2 1

1 2



 

圖7-6 兩個耦合線圈的並聯

16

耦合線圈的並聯

因i(t)＝i₁(t)＋i₂(t)，故

由此可知其等效電感為：

) t ( M v L L

M 2 L L dt

) t ( di dt

) t ( di dt

) t ( di

2 2 1

2 1 2

1





 





] V dt ][

) t ( [di M 2 L L

M L ) L t ( v

2 1

2 2 1





 

] H M[ 2 L L

M L L L

2 1

2 2 1

eq  

 

17

耦合線圈的另一並聯

若將並聯組合其中一線圈倒反使其點號改變方向，

此時跨於L₁及L₂的電壓v₁(t)及v₂(t)可分別表示為：

] V dt [

) t ( Mdi dt

) t ( L di ) t ( v ) t (

v₁   ₁ ¹  ² ] V dt [

) t ( L di dt

) t ( Mdi ) t ( v ) t (

v₂   ¹  ₂ ²

圖7-7 兩個耦合線圈的 另一種並聯

耦合線圈的另一並聯

聯解上兩式可得

因i(t)＝i₁(t)＋i₂(t)，故

) t ( M v L L

M L dt

) t ( di

2 2 1

2 1



  v(t)

M L L

M L dt

) t ( di

2 2 1

1 2



 

) t ( M v L L

M 2 L L dt

) t ( di dt

) t ( di dt

) t ( di

2 2 1

2 1 2

1





 





] V ) ][

t ( [ di M L ) L

t ( v

2 2 1





 

19

耦合線圈的另一並聯

由此可知其等效電感為：

耦合線圈為被動元件，所以L_eq必大於或等於 零，因此

令M為正，則

也就是說線圈耦合對的互感值不可能大於兩個 自感的幾何平均值!!。

] H M[ 2 L L

M L L L

2 1

2 2 1

eq  

 

0 M L

L





20

例7-2

 若i_S(t)=cost，試求圖7-8電路的輸出電壓v₂(t)。

圖7-8 例7-2的電路

21

例7-2 (續)

 [解]：在求解此一電路前，先要求出耦合線圈對的電流-電 壓關係，此一關係可以表示為：

其中V₁、V₂、I₁及I₂分別表示v₁(t)、v₂(t)、i₁(t)及i₂(t)的頻域 相量。聯解上述兩式可得：























] V [ I j I j V

] V [ I j I 3 j V

2 1 2

2 1 1











 

 

 

 

] A [ 2 V j V 3 2 j I 1

] A [ 2 V j V 1 2 j I 1

2 1

2

2 1

1

例7-2 (續)

對圖7-8電路寫出其頻域節點方程式為：

將I₁及I₂代入節點方程式可得：

































2 2 1

1 S 2 1

I V ) 2 2 j (1 V 2 j

I I V 2 j V ) 2 j 1 (











 



















 







0 V 2 ) j 2 3 2 j (1 V ) 2 2 j j ( 1

I V ) 2 2 j j ( 1 V 2 ) j 2 1 j 1 (

2 1

S 2 1

23

例7-2 (續)

因i_S(t)=cost，故I_S＝1及＝1，所以

解之得

因此輸出電壓為：

v₂(t)＝0.408cos(t＋78.2^o)[V]





















0 V 2) j1 2 (1 2V j5

1 2V j5 V 2) j3 1 (

2 1

2 1

] V [ 2 . 78 408 . 5 0 j 24

10

V2 j   ^o

 

24

耦合線圈的儲能

單純電感器所儲存的能量為：

但在耦合線圈對裡除了兩個電感器以外還有互感 存在，所以對耦合線圈對而言，所儲存的能量可 以表示為：

] J )[

t ( 2Li ) 1 t (

w_L  ²

] J )[

t ( i ) t ( Mi ) t ( i 2 L ) 1 t ( i 2 L ) 1 t (

w







25

7.2 理想變壓器

顧名思義可知變壓器是一種可以改變電壓的元件，

但實際上變壓器除了可以改變電壓以外，還可以改 變電流，並在電路裡作阻抗匹配之用。

變壓器的基本結構是將兩組線圈共同環繞於同一個 由磁性材料所構成的磁芯上，與電源或輸入端連接 的線圈稱為一次圈，接至輸出端或負載的線圈稱為 二次圈

變壓器

 若一次圈之圈數較二次圈為多者，稱為降壓變壓器，也就 是指其輸入電壓較輸出電壓為高。若二次圈之圈數較一次 圈為多者，稱為升壓變壓器，其輸出電壓較輸入電壓為 高。

27

理想變壓器

理想變壓器的條件：

1.線圈所用之導體為理想導體，不存在有電阻，不 消耗功率。

2.忽略磁芯所用的磁性材料之磁滯及渦流損失。

此造成自感值L∞, 且初值電流i₁(0)= i₂(0)= 0

3.兩線圈之磁通量完全交鏈，無漏磁的現象存在

與2合看,將造成互感值M∞

4.磁通量與加入於一次圈的電流成正比，加入於一 次圈的電流通常稱為激磁電流。

28

理想變壓器之I-V

 一次圈的電壓V_p與二次圈輸出電壓V_s具有如右關係

 其中N_p及N_s分別表示一次圈及二次圈的圈數。

 一次圈的電流I_p與二次圈電流I_s的關係為 N_pI_p＝N_sI_s

 由此可知，對一理想變壓器而言，圈數較多的線圈具有 較大的電壓及較小的電流，而圈數較少的線圈則具有較 小的電壓及較大的電流。

 即功率恆定!!

 右圖7-10所示為一理想變 壓器的電路符號。

*不用標示電感值!!

s s

p p

N V NV 

29

例7-3

 若對一個理想變壓器輸入120V的電壓時，它的輸出為18V 及650mA。假若一次圈之圈數為1000，試求二次圈的圈 數，同時一次圈的電流為多少？

 [解]：

同時

N_pI_p＝N_sI_s1000 I_p＝150×650I_p＝97.5[mA]

150 N N

18 1000

120 N

V N V

s s s

s

p

p     

功率恆定

將電壓關係式與電流關係式相乘可得

V_pI_p＝V_sI_sP_in＝P_out

也就是理想變壓器可以改變電壓及電流的大小，

但並不改變功率，當輸入於理想變壓器多少功 率，則在輸出可得到相同的功率，也就是指對一 理想變壓器而言，它並不消耗功率，同時也不儲 存功率。

s s s s p p p

p

N I

N I V N N

V   

31

輸入等值電阻

若將電壓關係式與電流關係式來相除可得

或

其中V_p/I_p可視為由輸入端看入變壓器的等值電阻，

亦即

s s 2 p s

p 2

p I

V N

1 I V N

1 

s 2 s

s p

p p

I ) V N (N V I

] I [ R V

p p

eq  

32

理想變壓器之負載電阻



若變壓器的輸出端連接有一負載電阻R

，如 下圖所示，則



因此

圖7-11 連接有負載 電阻R_L的變壓器

] [ I R

V

L s

s  

] [ R N ) (N

R ² _L

s p

eq 

33

理想變壓器做為阻抗匹配

上式所代表的意義是指當某一負載電阻連接於變壓 器的輸出端時，由變壓器看入所得到的結果等於原 來電阻值與變壓器圈比，(N_p/N_s)平方之乘積。

所以加入變壓器之後，可以使負載變大(N_p＞N_s)，

也可以使負載變小(N_p＜N_s)。因此當在兩電路之間 連接一具有適當圈比的變壓器時，就可以使這兩電 路得到阻抗匹配的結果。

負載是L或C也有相同效果(注意是從阻抗來看!!)

So what is L_eq, and C_eq?

] [ R N ) (N

R ² _L

s p

eq  

例7-4

 試求圖7-12(a)電路的負載電流I_L。

圖7-12 例7-4的電路

[解]：當電路裡存在有變壓器時，可將二次圈側的負載轉變 到一次圈側。對圖7-12(a)的電路而言，其圈比為2(2：1)，

35

例7-4 (續)

因此

由此可知負載電流為：

] A [ 5 . 35 872 . ) 0 10 j 2 ( 2 20 j 20

0

30 o

2 o

p  







  I

] A [ 5 . 35 74 . 1

] A [ 5 . 35 872 . 0 2 N 2

N

o

o p

p s p L















 I I

I

36

例7-5

 試求圖7-13電路電源Vs所供應的電流及跨於負載R_L的輸出電壓V_o。

圖7-13 例7-5的電路

 [解]：設V₁和V₂分別表示變壓器一次圈及二次圈的電壓，及I₁和I₂分 別表示變壓器一次圈及二次圈的電流，由此可知變壓器的電壓-電流 關係為：

其中a如圖7-13所示為變壓器的圈比。

1

2 V

a

V 1 I2aI1

37

例7-5 (續)

寫出電路的網目方程式為：

(R₁＋R₂)I₁－R₂I₂＝V_s－V₁

－R₂I₂＋(R₂＋R_L)＝V₂ 將變壓器的電壓-電流關係代入，可得：

[R₁＋(1－a)R₂]I₁＋V₁＝V_s [(a－1)R₂＋aR_L]I₁－(1/a)V₁＝0 解I₁即得電源V_S所供應的電流為：

而跨於負載R_L的輸出電壓V_o為：

] A R [ a R ) a 1 ( R I V

L 2 2 2 1

S

1   

] V R [ a R ) a 1 ( R

V R aR

aI R I V

L 2 2 2 1

S L L

1 L 2

o     