閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子

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8 閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子

題目：有甲﹑乙兩粒均勻的正四面體骰子，在甲骰子的四面分別寫上 1,2,2,3 四個數字；

在乙骰子的四面分別寫上 1,3,3,5 四個數字。將甲﹑乙兩粒骰子同時投擲時，其點數和的機率分佈為何？（考慮壓在桌面上那一面的數字和）

丟一枚公正的銅板，不是正面就是反面朝上，而且其機率都一樣是1

2；投擲一粒均勻的骰子（正立方體），也只會出現六種情況，點數 1,2,3,4,5,6 朝上的機率都一樣是1

6。

這兩個結果可以從多次的實驗得到驗證，不需要求神問卜，請問上帝。日常生活中，類似這樣的機率活動有許多，如何得到各種情況發生的機率分佈是人們很感興趣的一件事。

與其求見上帝，問他這機率分佈是多少，不如善用手邊的數學知識，親手研究這機率分佈來得實際。

頭腦是一切不真實的集合，它總是思考著讓所有的事情都完美。但人生幾時完美呢？是故，每當頭腦被大量使用，想做完美的事時，它總是站在選擇錯誤的那一面，因為它選擇了完美的冒牌貨或替代品…世故或是沒稜沒角，像球或圓一樣的圓滑。只有你相信生命只能美麗，沒辦法完美，那頭腦的選擇才會是正確的選擇。當你達到

“不用選擇是唯一且最好的選擇”時，你就進入人生這粒骰子的最高境界了。

十賭九輸，十墓九空，雖然是兩句成語，但它們反映了人們貪婪的天性。所以很多遊戲，它們發生的機率並不如想像中那樣簡單。如何巧妙地發現它們，又科學地計算它們，確實是對人類的一大挑戰。

(2)

8.1 利用多項式的乘法運算擲骰子…均勻骰子

將甲﹑乙兩粒骰子同時投擲，那麼甲﹑乙兩粒骰子的點數和分佈次數可以由底下的多項式乘法看出

  

1 2 2 3 1 3 3 5

1 2 3 1 3 5

2 3 4 5 6 7 8

2 2

2 3 4 3 2 . x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x

     

    

      

同時投擲甲、乙兩粒骰子的樣本空間有 4 4 16  種，而點數和的分佈次數可由上述多項式的係數決定。例如點數和為 4 的情況有 3 種，即 ( , ) (1,3),(1,3),(3,1)甲乙  三種，它們分別對應到上述多項式的乘積展開式

1 3 1 3 3 1 4

3 . x x  x x x  x x 所以同時投擲甲﹑乙兩粒骰子的點數和機率表為

練習 1 如果甲﹑乙兩粒均勻的正四面體骰子的四個面都是寫上 1,2,3,4 四個數字，那麼 將甲﹑乙兩粒骰子同時投擲時，其點數和的機率分佈為何？當你完成此問題時，

請將答案與本章題目的答案比較一下，你的發現是什麼呢？對於你的發現，你可以用多項式的性質，講得更深入嗎？

練習 2 有甲﹑乙兩粒均勻的正六面體骰子，在甲骰子的六面分別寫上 1, 3, 4, 5, 6, 8 六 個數字；在乙骰子的六面分別寫上 1, 2, 2, 3, 3, 4 六個數字。將甲﹑乙兩粒骰子同時投擲時，其點數和的機率分佈為何？

8.2 利用二項式定理擲骰子…楊輝三角 二項式定理是說 (x y)ⁿ的展開式可以寫成

(3)

0 1 1 2 2 1 1 0

0 1 2 1

(x y)ⁿ Cⁿx yⁿ Cⁿxⁿ^ y Cⁿxⁿ^ y  Cⁿ_n_ x yⁿ^ Cⁿ_nx yⁿ 的形式。這個恆等式的係數 !

C ( )! !

n k

n n k k

  。若將這些係數依 n 值的大小，由上而下；依 k 值的大小，從左至右排列，則可以排列成如下的楊輝三角：

由二項式定理知道：(x y)ⁿ^¹展開式中x⁽ⁿ^{ }¹⁾ ^ry^r項的係數為Cⁿ_r^¹；而把(x y)ⁿ^¹寫成 (xy) (ⁿ x y)的乘積，將 (x y)ⁿ展開並計算其與 (x y)的乘積，得

 

1 1

1 1 1

C C ( )

C C .

n n r r n n r r

r r

n n n r r

r r

x y x y x y

x y

   



 



   

   

因此，二項式定理的係數滿足

1

Cⁿ_r^ Cⁿ_r Cⁿ_r_1,

也就是說，楊輝三角上的任一個數等於其上方左﹑右兩數的和。

二項式定理（代數形式）與楊輝三角（幾何模型）被廣泛使用來解釋許多數學問題，接下來舉兩個例子作說明：

① （彈珠台）如果彈珠台是一個三角形，當彈珠從頂點下降一格時，有一半的機率向右走﹑另一半的機率會向左走，那麼該如何描述彈珠的落點分佈呢？楊輝三角就是一個很好的模型：將三角形的彈珠台想成楊輝三角，當你投下 1 粒彈珠時，楊輝三角的第 1 列的數字 1 就是它的分佈；當你投下 2 粒彈珠時，楊輝三角的第 2 列的數字 1, 1 告訴你，它的分佈是左﹑右各 1 粒；當你投下 4 粒彈珠時，楊輝三角的第 3 列的數字 1, 2, 1 告訴你，它的分佈是左﹑右各 1 粒，中間有 2 粒，也就是說，彈珠

(4)

跑到左﹑右兩側的機率分別是1

4，而落在正中央的機率是1

2；依此類推，當你投下 16 粒彈珠時，楊輝三角的第 5 列的數字 1, 4, 6, 4, 1 告訴你，應該有 6 粒彈珠會落在正中央。從這過程發現，楊輝三角是解釋彈珠台遊戲的最佳幾何模型。

② （分割線段）將一條一公尺長的線段，依1: 3的比例分割成兩條小線段，再將這兩條小線段，分別依1: 3的比例各分割成兩條小線段，依此類推，在五次分割之後，會製造出 32 條小線段。你如何知道這 32 條小線段的長度及同一長度的線段各幾條呢？

拜二項式定理所賜，可以利用

5 1 2 3 4 5

5 5 5 5 5 5

0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5

1 3 1 3 3 3 3 3

C C C C C C

4 4 4 4 4 4 4 4

        

 

 

展開式中的每一項與該項係數來解釋這問題。將展開式中係數算出，得

5 1 2 3 4 5

5 5 5 5 5 5

1 3 1 3 3 3 3 3

1 5 10 10 5 1 .

4 4 4 4 4 4 4 4

              

 

 

這個式子告訴我們：線段長度有

1 2 3 4 5

5 5 5 5 5 5

1 3 3 3 3 3 , , , , , 4 4 4 4 4 4 等六種，每種長度有

1, 5, 10, 10, 5, 1 條，一共

32 1 5 10 10 5 1     

條線段。由此發現，分割線段可透過二項式定理的代數形式闡釋。

8.3 利用對數性質擲骰子…班佛法則

機率分佈的一個重要性質就是所有事件的機率總和是 1，例如丟一枚公正的銅板，出現正面事件的機率是1

2，而出現反面事件的機率也是1

2，這兩個數字的和1 1

2 2就是 1。投擲一粒均勻骰子也有同樣的性質，也就是說出現點數 1,2,3,4,5 與 6 的機率都是1

6，而它

(5)

們的和1 1 1 1 1 1

6    6 6 6 6 6也是 1。

如果你會利用對數性質log₁₀alog₁₀blog₁₀ab與log 10 1₁₀  的話，你將發現底下九個介於 0 與 1 之間的數字和也是等於 1：

10 10

10

1 2

log 1 log ;

1 1

1 3

log 1 log ;

2 2

1 4

log 1 log ;

3 3

1 5

log 1 log ;

4 4

1 6

log 1 log ;

5 5

1 7

log 1 log ;

6 6

1 8

log 1 log ;

7 7

1 9

log 1 log ;

8 8

log 1 1

   

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

 

   

 

 

  

 

 

  

 

 

   

 

 

 ₁₀10 log .

9 9

  

 

 

班佛發現日常活動中，有許多以上述九個數字為機率分佈的機率模型。最有名，也最容易被誤解的一個模型就是“隨手寫下正整數”這個模型。如果請全班或全校的每位學生隨手寫下一個正整數，那麼這些正整數的首位數字（例如 2489 的首位數字就是 2）的分佈機率為何呢？很多人可能把這遊戲想成跟擲骰子一樣，認為首位數字是 1 的會佔1

9，首位數字是 2,3,4, ,9 的也都各佔1

9。事實並不是這樣的，班佛研究發現，學生所寫正整數的首位數字之分佈並不均勻，首位數字是 (1d  d 9)的比例約為 ₁₀ 1

log 1 d

  

 

 。另一個有趣的發現：當妳翻閱圖書館的藏書時，你會發現每本書的每一頁被翻閱的次數不相同，如何辨識呢？很簡單，只需看書本側邊黑白的程度，越黑的哪幾頁肯定被閱讀

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最多次。如果你去統計的話，你將發現頁碼的首位數字是 (1d  d 9)的被翻閱的比例是

10

log 1 1 d

  

 

 。

像這兩個例子，當你研究與正整數相關的首位數字分佈，如果首位數字 (1d  d 9)的分佈比例為 ₁₀ 1

log 1 d

  

 

 ，就稱它符合班佛法則。接下來列舉一些符合班佛法則的事件：

① （存摺存款的首位數字）郵政總局如果統計每位存款人的存款錢數的首位數字，他可能會驚訝的發現，這個首位數字的分佈並不均勻，反而符合班佛法則。也就是說，

一百多元，一千多元，一萬多元，十餘萬元，百餘萬元，千餘萬元，…等的存款戶約佔log 2₁₀ 0.3010左右。

② （河流流過的區域面積）統計全世界所有河流所流經的區域面積，這面積的首位數字也會符合班佛法則。

③ （財務報表的首位數字）你的公司想作假帳，逃漏稅嗎？那你得懂班佛法則才有辦法得逞。公司每日進進出出的貨物很多，產生的數據自然龐大，國稅局如何監控公司是否數據造假，逃漏稅呢？這都要歸功於班佛法則，根據統計，如果公司正常運作下，那麼所產生的數據的首位數會符合班佛法則。國稅局為了節省時間與人力，

只需查核該公司的數據的首位數字是否符合班佛法則，便可知道該公司的數據是否造假了。

④ （都市人口數字的首位數字）每個都市的人口數的第一位數字也會符合班佛法則。

⑤ （ 2ⁿ的首位數字）將數列 2 ⁿ 的前一千項列出，統計這一千個數字之首位數，你將發現它們的分佈完全符合班佛法則的比例。不止一千項，列出一萬項或更多項，也都會符合班佛法則。

⑥ （費氏數列的首位數字）費氏數列 f_n 定義為

1 2 1, _n 2 _n 1 _n( 1).

f  f  f _  f _  f n

(7)

數學家猜測費氏數列 f_n 的首位數字符合班佛法則。

⑦ （質數的首位數字）將質數依小到大排列 2,3,5,7,11, 。數學家猜測它們的首位數字會符合班佛法則，但尚未被證實。

班佛發現的首位數字分佈現象不僅與人類選取數字的心理相關，也與自然界的多種分佈一致。與班佛法則一樣出名的另一個法則是齊普夫法則，它是美國社會學家齊普夫發現的：齊普夫的學生很有耐心地去計算《哈姆雷特》這本書中所出現的字，並且依照它們的出現頻率做降冪排列。頻率最高的字是“ the ”，共出現 1087 次，緊跟在後面的則是“ and ”這個字。齊普夫發現，它們的分布狀況遵行了一個數學的金科玉律。當一 個人寫書時，將整本書所出現的字，依照它們出現頻率做降冪排列，出現頻率第 n 高的 字出現次數與出現頻率最高的字出現次數的比值，可以用數學公式

k

c n

來表示，這裡的常數 ,c k 與作者寫這本書時的心理素質相關。

齊普夫法則不僅寫書適用，也適用在許許多多的日常生活中，網頁瀏覽人數統計分佈就 是一個例子。如果將某特別類別的網頁每日瀏覽人數，依多到少做統計，那麼第 n 高的 網頁每日瀏覽人數與最高的網頁每日瀏覽人數的比值，也會符合齊普夫法則。

例題 1 一位作家出版一本書，書中出現頻率最高的字一共出現 1000 次，第 5 與第 10 高的字的出現次數分別為 40 與 10 次。若該書符合齊普夫法則，則求齊普夫常數 ,c k 的 值。

【解】由齊普夫法則得到

40 ; 5 1000

10 . 10 1000

k

c



將兩式相除得到

2^k   4 k 2.

(8)

將k 2代入第一式得

2

40 1.

5 1000

c   c

故齊普夫常數c1,k 2。

練習 3 某特別類別的網頁每日瀏覽人數統計表符合齊普夫法則。若將每日瀏覽人數第 n 高的瀏覽人數記為 ( )f n 人，把log n 當 x 座標，₁₀ log₁₀ f n 當 y 座標，則證明( ) 這些數對 ( , )x y 座落在一條直線上。

練習 4 帕累托有一個法則說：在一個國家裡，年收入超過 m 元（美金）的人數佔全體 人數的

k , c m

這裡的常數 ,k c 與這個國家有關。有一個國家年收入的中位數是 14400 元（美 金），而且知道該國家帕累托常數k 0.5。

① 求帕累托常數 c 的值。

② 在該國家，年收入超過多少時，可以擠進高所得的族群。（註：年收入在前 20% 的人士算高所得族群）

8.4 利用夢境擲骰子…夢的奧秘

在丹增嘉措活佛所著的書《探索夢的奧秘》中，提到愛迪生如何利用夢境的故事：「我們剛睡醒的時候，夢境的回憶猶歷歷在目，這時尚未完全醒過來，稱為半睡半醒狀態。

有人認為半睡半醒狀態是一種天才狀態，有很深刻的創造力，就像大發明家愛迪生發明電燈泡的創造力一樣。愛迪生很看重這種半睡半醒狀態，每次在潛心研究發明時，會運用自己的技巧，進入半睡半醒狀態。他會端坐在椅上，利用放鬆與冥想技巧進入寤寐之間的潛意識狀態。愛迪生手握兩個鐵球，手心向下，然後舒服坐在椅子上，手肘靠近扶手，雙手下方的地面上放有鐵盤。當愛迪生入睡時，手就放鬆而自然張開，鐵球就自然

(9)

掉落，碰擊鐵盤而發出聲響，吵醒自己，然後一再重複這個動作。」事實上，在夢學領域從事研究的學者指出：“夢境約有百分之七十的內容是象徵和隱喻組成，百分之十五是實際記憶，最後的百分之十五是變形和偽裝。”

例題 2 從過去盜墓者間的資料得知，每盜十個墓，約有九個是空墓，早就被盜走陪葬 品。試問：一位盜墓者至少應該盜幾個墓，才有過半的機會，能盜得陪葬品。

【解】令盜墓者盜 n 個墓時，會有過半的機會，盜得陪葬品。也就是說，盜 n 個墓時，

都是空墓的機率少於一半，即

0.9ⁿ 0.5.

將兩邊取對數得到

10 10

(log 9 1) log 2.

n   

利用log 9₁₀ 2log 3₁₀  2 0.4771 0.9542,log 2 ₁₀ 0.3010得到 0.0458n0.301 n 6.572.

故盜墓者至少應該盜 7 個墓，才有過半的機會，能盜得陪葬品。

8.5 利用累積的經驗擲骰子…比賽制度的選擇

運動競賽或棋藝比賽常採取多場的比賽制度，如三戰兩勝，五戰三勝或者是七戰四勝等。

運動選手或下棋者應該參加或採用那個比賽制度，對自己最有利呢？讓我們計算看看！

例題 3 你和你的好朋友經常打桌球，根據過去的經驗得知：在每一局中，你獲勝的機 率為 p（1

2 p 1）。今天你的好朋友想跟你來一場比賽，至於是採三戰兩勝或者是五戰三勝的比賽制度，由你決定。問：你應採取那一種比賽制度才有較高的勝算。

【解】設在三戰兩勝及五戰三勝中，贏得比賽的機率分別為P 與₃ P 。經由計算得到 ₅

(10)

 

   

2 3 2

3 2

2 2

3 4 3 3 5 4 3 2

5 3 3 3 3

3 3 3 2

C 1 (1 ) 2 (1 );

C C (1 ) C C (1 ) 3 (1 ) 6 (1 ) .

P p p p

p p p

P p p p p p

p p p p p

   

  

      

    

因為1

2 p 1，所以 1 1 2   p0及



² ²

 

³ ³ ³ ²



3 5

2 2

2 (1 ) 3 (1 ) 6 (1 ) 3 (1 ) (1 2 ) 0.

P P p p p p p p p p

p p p

        

   

故選五戰三勝贏得比賽的機率較高。

(11)

閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子的練習題解答

練習 1

設有甲﹑乙兩粒均勻的正四面體骰子，在甲骰子的四面分別寫上 1,2,3,4 四個數字；在乙骰子的四面也分別寫上 1,2,3,4 四個數字。如果將甲﹑乙兩粒骰子同時投擲，會出現

4 4 16種情況，那麼甲﹑乙兩粒骰子的點數和分佈次數可以由底下的多項式乘法看出



¹ ² ³ ⁴



¹ ² ³ ⁴



2 3 4 5 6 7 8

2 3 4 3 2 . x x x x x x x x

x x x x x x x

     

      

因此，同時投擲甲﹑乙兩粒骰子的點數和機率表為

① 發現：這個練習題的機率分布表與本章題目的機率分布表是一樣的。

② 原因：多項式x²2x³3x⁴ 4x⁵3x⁶2x⁷x⁸可以分解成



^x¹^^x² ^^x³^^x⁴



^x¹^^x² ^^x³^^x⁴



與



^x¹^^x² ^^x² ^^x³



^x¹^^x³^^x³^^x⁵



的兩種不同乘積。

練習 2

甲、乙兩粒骰子的點數和分佈次數可以由底下的多項式乘法看出

(12)

  

1 3 4 5 6 8 1 2 2 3 3 4

1 3 4 5 6 8 1 2 3 4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 2

2 3 4 5 6 5 4 3 2 . x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

         

        

          

因此，同時投擲甲﹑乙兩粒骰子的點數和機率表為

練習 3 令最高的瀏覽人數為 a 人。由齊普夫法則知道

( ).

k

c f n n  a 兩邊取對數

10 10 10 10

log cklog nlog f n( ) log a, 整理得到直線方程式

10 10 10 10 10

log log ( ) log log log , k n f n  c a ac

其中xlog₁₀n y, log₁₀ f n( )。故數對 ( , )x y 座落在一條直線上。

練習 4

① 因為中位數是 14400 元美金，所以我們知道年收入超過 14400 元美金的人數佔全體人數的

1. 2 由帕累托法則得到

0.5

1 1

2 14400 2 60.

k

c c

m

c

  

 

(13)

② 設年收入超過 m 元時，是屬於高所得的族群。由題意知

0.5

60 20

90000.

100 m

m   

故年收入超過 90000 元時，可以擠進高所得的族群。

閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子

8 閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝 怎麼擲骰子

  

  

 

 

 

   



 



閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎 麼擲骰子的練習題解答



















  

  

8 閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子

閒聊機率與統計…與其請問上帝是否擲骰子，不如研究上帝怎麼擲骰子的練習題解答