勾股定理證明-A015
【作輔助圖】
1. 從C 點作 AB 的垂線，交 AB 於D點。
2. 取 BC 的中點E。
3. 從E點作 CD 的垂線，交 CD 於F點。
A B
C
D
E F
【求證過程】
在直角三角形 ABC 內作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中所有的三角 形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。
1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 ACD 、三角形 CEF 、三角形 CBD 皆相似：
因為CFE CDB 90 且 CEF CBD，可推得CEF ~CBD(AA 相似)，同 理，可推得ABC~ACD~CBD，所以
~ ~ ~ .
ABC ACD CEF CBD
2. 利用第 1 點推出的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 CEF 與三角形 CBD 相似可知：CE BC: EF BD: ，又因為 1
CE 2BC，所 以
1 . EF 2BD
3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形 CEF 相似可知：BC EF: AB CE: ，又 1 CE 2BC,
1
EF 2BD，整理得
2
1 1
2 2
. BC CE AB EF BC BC AB BD
BC AB BD
4. 再利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形 ACD 相似可知：AC AD: AB AC: ，整理得 AC2 AB AD .
5. 將第 3 點及第 4 點的等式相加整理，推出勾股定理的關係式：
2 2
2,
BC AC AB BD AB AD AB BD AD AB AB
AB
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：
根據魯米斯在《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是他在 1926 年想出來。
2. 心得：
此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定 理，此證明與 A001 比較算是較沒必要的，因為推出的等式在 A001 的輔助圖 中就可以找到。
3. 評量：
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