數學附錄

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附錄一 放款利率函數

I. 放款利率函數ρ

已知信用市場均衡式如下所示：

) 1 ( ) , , ( ) , , ,

(ρ i y v₁ =λ ρ i v₂ D −τ

L （1.1）

上述均衡條件式（1.1）全微分後，經移項可得：

} )

1 ( ]

) 1 ( [

]{ ) 1 ( [

1

2

1 ₂

1dv D dv

L

dy L di D

D L d L

v v

y i

i

λ τ λ

λ τ ρ τ

ρ ρ

− +

−

−

−

−

− −

= −

（1.2）

接著由式（1.2）可推得放款利率函數為：

) , , ,

(i y v₁ v₂ φ

ρ = （1.3）

其中φ_i >0，φ_y >0， _v >0

φ1 ， 0

2 <

φv 。 II. 放款利率函數ρ^~

已知貨幣市場均衡式為：

R i m v y i

D( , , ₃)= ( ) （1.4）

將式（1.4）代入信用市場均衡式（1.1）後，可得：

) 1 ( ) ( ) , , ( ) , , ,

(ρ i y v₁ =λ ρ i v₂ m i R −τ

L （1.5）

對式（1.5）全微分，移項後可得：

} )

1 ( )

1 (

] )

1 ( ) 1 ( ]{[

) 1 ( [

1

2

1 ₂

1dv mR dv

L mdR dy

L

di L R m mR mR

d L

v v

y

i i i

λ τ τ

λ

τ λ λ λ τ

ρ τ

ρ ρ

− +

−

− +

−

−

− +

− −

= −

（1.6）

由式（1.6）可推得放款利率函數為：

) , , , ,

~ (

2 1 v v R y φ i

ρ = （1.7）

其中φ_i >0，φ_y >0，φ_R <0， _v >0

φ1 ， 0

2 <

φv 。

附錄二 實質所得函數與 CC 線斜率

已知商品市場均衡條件式為：

) , , (i v₄ Y

y = ρ （2.1）

將信用市場與貨幣市場均衡下之放款利率函數代入上式可得：

) ), , , , , ( ,

(i i y R v₁ v₂ v₄ Y

y= φ （2.2）

對式（2.2）全微分後移項，可得式（2.3）：

} )

1 {(

1

4 2

1 _{2 4}

1dv Y dv Y dv

Y dR Y di Y Y Y

dy _{i i R v v v}

y

+ +

+ +

− +

= φ φ φ φ

φ ^{ρ ρ ρ ρ}

ρ

（2.3）

故由式（2.3）可推得包含信用市場與商品市場均衡的實質所得函數為：

) , , , ,

~(

v v v R i Y

y= _{1 2 4} （2.4）

其中Y~ <_i 0，Y~ >_R 0，~ 0

1 <

Yv ，~ 0

2 >

Yv ，~ 0

4 >

Yv 。

此外由式（2.3）亦可進一步推得 CC 線的斜率為：

1 0 + <

= −

i i

y

CC Y Y

Y dy

di

φ φ

ρ

ρ （2.5）

附錄三 CC 線退化為 IS 線的情況

放款需求函數與放款供給函數如下所示：

) , , , ( i y v₁ L

L^d = ρ （3.1）

) 1 ( ) , ,

(ρ ₂ τ

λ −

= i v D

L^s （3.2）

將式（3.1）與式（3.2）進行全微分後，可得式（3.3）、式（3.4）。

dv1

L dy L di L d L

dL= + _i + _y + _v ρ 1

ρ （3.3）

) )(

1 (

) 1 ( ) (

3 2

3 2

dv D dy D di D

D dv di

d dL

v y

i v i

+ +

− +

− +

+

=

τ λ

τ λ

λ ρ λ_ρ

（3.4）

令式（3.3）、式（3.4）相等，則可得信用市場均衡的全微分式如下所示：

dy D L

di D D

L d D

L (1 ) ] [ _i (1 ) _i (1 ) _i] [ _y (1 ) _y] [ _ρ − −τ λ_ρ ρ+ − −τ λ −λ −τ + −λ −τ

1 3

2 _{3 1}

2 (1 )

) 1

( dv D dv L dv

D − _v + − _v − _v

= τ λ λ τ （3.5）

為簡化運算，將式（3.5）中的函數用簡單的符號代換：

0 )

1 (

0 ) 1 ( ) 1 (

0 ) 1 (

3 2 1

>

−

−

=

∆

>

−

−

−

−

=

∆

<

−

−

=

∆

y y

i i

i

D L

D D

L D L

τ λ

τ λ λ τ

λ τ _ρ

ρ

因此式（3.5）可簡化表示成：

1 3

2 3

2

1d di dy D(1 ) _v dv (1 )D_vdv L_vdv

1 3

2 + − −

−

=

∆ +

∆ +

∆ ρ τ λ λ τ （3.5）

將式（3.5）移項後，可得：

} )

1 ( )

1 ( 1 {

3 2

1 3

2 1

1 3

2dv D dv L dv di dy

D

d − _v + − _v − _v −∆ −∆

= ∆ τ λ λ τ

ρ （3.6）

由上式可推得放款利率函數為：

) , , , ,

ˆ φ(i y v₁ v₂ v₃

ρ = （3.7）

其中φ_i >0，φ_y >0， _v >0

φ1 ， 0

2 <

φv ， 0

3 <

φv 。 而貨幣市場的需求與供給函數分別為：

) , , (i y v₃ D

M^d = （3.8）

R i m

M^s = ( ) （3.9）

接著，對式（3.8）、式（3.9）進行全微分，結果如下：

dv3

D dy D di D

dM = _i + _y + _v

3 （3.10）

mdR Rdi

m

dM = _i + （3.11）

令式（3.10）與式（3.11）相等，可得貨幣市場均衡的全微分式：

) 3

(D_i m_iR di D_ydy mdR D_v dv

− 3

= +

− （3.12）

令∆₄ =D_i −m_iR<0，則式（3.12）可表示成：

3 4di+D_ydy =mdR−D_v3dv

∆ （3.12）

接著看商品市場均衡式為：

) , , (i v₄ Y

y = ρ （3.13）

將式（3.13）全微分後，結果如下所示：

dv4

Y dy di Y d

Y _i =− _v

− 4

ρ +

ρ （3.14）

式（3.6）代入式（3.14）中，可得 CC 線的函數如下所示：

4 1 3

2 1

3 1 2

1

4 3

2 1

) 1 (

) 1 ( )

( ) (

dv Y dv D Y

dv Y D

dv L Y dy Y di

Y Y

v v

v v

i

∆

−

−

−

−

−

=

∆ +

∆

−

∆

−

∆

ρ

ρ ρ

ρ ρ

τ λ

λ τ

（3.15）

利用式（3.15），可計算出 CC 線斜率如式（3.16）所示：

ρ ρ

Y Y

Y dy

di

CC 1 i 2

3 1

∆

−

∆

∆ +

= ∆

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

τ λ λ τ λ

τ

τ λ λ

τ

Y D D

L Y D

L

Y D L

D L

i i

i i

y y

] ) 1 ( ) 1 ( [

] ) 1 ( [

] ) 1 ( [

] ) 1 ( [

−

−

−

−

−

−

−

−

− +

−

= − （3.16）

求得 CC 線的斜率後，我們接著看 CC 線退化為 IS 線的情況：

I. 若借款者視放款與債券為完全替代，則對式（3.16）取極限可得：

1 0

lim = <

−∞

→ CC i

L dy Y

di

ρ

（3.17）

II. 若放款者視放款與債券為完全替代，則對式（3.16）取極限可得：

1 0 lim = <

∞

→ dyCC Yi

di

λρ （3.18）

III. 若商品需求對放款利率的敏感度很低時，則對式（3.16）取極限可得：

1 0 lim

0 = <

→ CC i

Y dy Y

di

ρ

（3.19）

附錄四 封閉經濟下，銀行準備（R）變動的影響

將式（3.5）、式（3.12）與式（3.14）用矩陣表示如下：

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

∆

∆

∆

∆

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3

3 2

1

0 0

0 0

0 0

0

0 ) 1 ( )

1 (

1 0

dv dv dv dv dR

Y D

m

D D

L R

dy di d

Y Y

D

v v

v v

v

i y

τ λ λ ρ τ

ρ

（4.1）

利用 Cramer’s rule 運算，令分母為∆，則∆為：

0 ] [−∆₁∆₄ +∆₂ −∆₃∆₄ −∆₁ ^>_<

=

∆ D_yY_ρ Y_ρ D_yY_i （4.2）

I. 放款利率、利率與所得的變動

令dv₁ =dv₂ =dv₃ =dv₄ =0，由式（4.1）可得：

0 } ] ) 1 ( [

{∆₂ + − − ^>_<

= m∆ L_y D_y Y_i

dR

dρ λ τ

（4.3）

0 } {∆₁+∆₃ ^>_<

∆

= −m Y_ρ

dR

di （4.4）

0 } {∆₂ −∆₁ ^>_<

= m∆ Y Y_i dR

dy

ρ （4.5）

II. CC 線與 LM 線的水平移幅（di=0）

由式（3.12）與式（3.15）可得 CC 線與 LM 線的水平移幅分別為：

] 0 [

) 1 (

1

+ >

∆

= −

ρ

τ ρ

Y L

mY dR

dy

y CC

（4.6）

>0

=

y

LM D

m dR

dy （4.7）

接著利用式（4.6）與式（4.7），可求出 CC 線與 LM 線移幅大小為：

0 ]}

) 1 ( [

]{

[ ₁ ∆¹+ − − >

+

= ∆

− _{y y}

y y

CC LM

D Y L

L D

m dR

dy dR

dy λ τ

ρ

（4.8）

III. 信用市場放款供需的水平移幅（dρ =0）與均衡信用數量

欲求放款需求線與供給線水平移幅，須令dρ =0。dρ =0時，由式（3.6）

得利率、銀行準備與所得的關係式（4.16）。

} )

1 ( 1 {

2

dy L mdR

di − − _y

= ∆ λ τ （4.9）

將式（4.9）與dρ =0代入式（3.3）、式（3.4）後，可求得放款需求線與放款 供給線的水平移幅分別為：

0 } ]

) 1 ( )

1 ( [ ) 1 ( 1 {

2

>

− +

−

−

∆ −

= dR

L dy D D

dR mL dL

y i i

i L^d

τ λ λ τ τ

λ （4.10）

1 0 ]}

) 1 ( )

1 ( [ )

1 ( {

] ) 1 ( ) 1 ( ) [ 1 (

2

3 >

− ∆ +

−

∆

−

− +

− +

∆ −

= −

dR D dy

D L

D

D m D

dR dL

i i

i y

i i

L^s

τ λ λ τ τ

λ

τ λ λ τ τ

λ

（4.11）

接著將式（4.3）、式（4.4）與式（4.5）代入式（3.3），可得銀行準備增 加對均衡的信用數量影響為：

0 } )

1 (

) (

) 1 ( ] ) 1 ( )

1 ( [ {

2 3

<>

∆ +

∆ +

−

−

+

− +

− +

−

∆ −

=

+ +

=

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

τ λ

λ τ λ

τ τ

λ ρ

Y L Y

L Y

L D

Y L L D

D D m L

dR L dy dR L di dR L d dR dL

y i

i y

i y i i

i y i

（4.12）

式（4.12）由於假設(L_i +L_yY_i)<0，故可得 >0 dR dL

IV. 貨幣市場供需的水平移幅（di=0）與均衡貨幣數量

由式（3.10）、式（3.11）可求貨幣需求線與供給線的水平移幅分別為：

>0

= dR D dy dR

dM

y M^d

（4.13）

>0 dR = m

dM

Ms

（4.14）

利用式（4.13）與式（4.14），可比較M 線與^d M 線移幅大小如下： ^s 0

]}

) 1 ( [

{∆₁∆₄ +∆₄ − − >

= ∆

− _{y y}

M M

D L

m Y dR

dM dR

dM

d s

τ

ρ λ （4.15）

將式（4.4）、式（4.5）代入式（3.10）可得對貨幣數量影響為：

0 ]}

[ ] [

{ ∆₁ +∆₃ + ∆₂ −∆₁ >

= m∆ D_i Y D_y Y Y_i

dR dM

ρ

ρ （4.16）

附錄五 封閉經濟下，放款需求（ ）變動的影響

I. 放款利率、利率與所得的變動

令dR=dv₂ =dv₃ =dv₄ =0，由式（4.1）可得：

) 0 ( ₄

1

1 >

∆ +

= L^v ∆ D^yYⁱ dv

dρ

（5.1）

0

1

1

∆ <

= −D^yY L^v dv

di ρ

（5.2）

0

4 1

1

∆ <

= ∆ L Y^ρ dv

dy v

（5.3）

II. CC 線與 LM 線水平移幅（di =0）

接著由式（3.12）與式（3.15），可得 CC 線與 LM 線的水平移幅分別為：

0

3 1 1

1 <

∆ +

−∆

=

ρ ρ

Y L Y dv

dy v

CC

（5.4）

0

1

= dv LM

dy （5.5）

III. 信用市場供需的水平移幅（dρ =0）與均衡信用數量

在dρ =0時，可由（3.6）得利率、放款需求與所得的關係式如下所示：

dy L dv

di ^v

2 3 1 2

1

∆

− ∆

−∆

= （5.6）

式（5.6）與dρ =0代入式（3.3）與式（3.4）後，可得放款需求線與放 款供給線的水平移動幅度分別為：

0 } ) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 (

) 1 ( )

1 ( ) {

1 (

] [

2 2

2

2 2

2 2

2

2

1 1

3 2 1

1

1 1

>

−

− +

− +

−

− +

− +

−

−

− +

− +

−

− +

− +

−

−

− +

−

∆∆ −

= −

+ +

−

∆

∆ −

=

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

λ τ λ

λ λ τ λ

λ τ λ

λ τ λ

λ λ

τ λ

λ τ λ

λ τ

λ λ λ

τ λ λ

λ τ λ λ

λ λ τ τ λ

D Y D D L Y D D D

Y D D

Y D

D L Y D D Y

D D

L Y D D R m Y L D R m D Y

D R m D

D

R m L D R m D Y

D R m D

R m L D

D D

L D D

D L L DD

dv L L dy dv L

L dy dv

dL

i y i y

i i y

i

i y

i i

y i y

i

i y i i

i y i

y i

i i

i i i

y i

i i

i i

i i

i i i

i v

v y

v i

L^d

（5.7）

0 } )

1 (

) 1 ( ) { 1 (

) 1 ( ] ][

) 1 ( )

1 ( 1[

2

1 4 1

1 2

4 1 2

1 1

3 2

1

1

1

>

+

−

−

∆

−

∆

∆

−

−

−

∆

−

∆ +

∆

∆

∆∆ −

−

= −

− + +

∆

− +

∆ −

= −

R m Y L D R m D Y

D

Y D D D

R m D Y

D

Y D D Y

D D L D

dv D dy dv L

D dy dv D

dL

i i y i

y i

i y i i

i y i

i y i y

i i

v

y v

i i

L^s

ρ ρ

ρ

ρ

λ τ

λ

λ λ

τ λ λ

λ λ

τ λ

τ λ τ

λ λ τ

（5.8）

接著將式（5.1）、式（5.2）與式（5.3）代入式（3.3）後，可得對均衡信 用數量的影響：

0 } )

1 (

) 1 ( )

1 ( )

1 (

{ ₄

1 1

1 1

1

1

>

− +

−

−

−

−

∆

∆ −

=

+ +

+

=

i y

y i

y i v

v y

i

Y D D

Y D R

m Y D D

L D

dv L L dy dv L di dv L d dv

dL

ρ

ρ ρ

ρ ρ

λ τ

τ λ λ

τ λ

τ ρ

（5.9）

IV. 貨幣市場供需的水平移幅（di=0）與均衡貨幣數量

由式（3.10）、式（3.11）可得貨幣需求線與供給線的水平移幅分別為：

0

1 1

<

= dv D dy dv

dM

y M^d

（5.10）

0

1

=

Ms

dv

dM （5.11）

接著利用式（3.11）可求得對均衡貨幣數量影響為：

0

1

1 1

∆ <

= −

= _{i i} D^yY L^v dv Rm

Rm di dv

dM ρ

（5.12）

附錄六 封閉經濟下，放款供給（ ）變動的影響

I. 放款利率、利率與所得的變動

令dR=dv₁ =dv₃ =dv₄ =0，由式（4.1）可得：

) 0 (

) 1

( ₄

2

2 <

∆

−

∆

−

= D − ^v D^yYⁱ dv

dρ τ λ

（6.1）

) 0 1

( 2

2

∆ >

= D −τ λ D Y^ρ dv

di v y

（6.2）

) 0 1

( ₄

2

2 >

∆

∆

−

= −D τ λ Y^ρ dv

dy v

（6.3）

II. CC 線與 LM 線水平移幅（di =0）

利用式（3.12）與式（3.15），可得 CC 線與 LM 線的水平移幅分別為：

) 0 1 (

3 1 2

2 >

∆ +

∆

= −

ρ ρλ τ

Y Y D

dv

dy v

CC

（6.4）

0

2

= dv LM

dy （6.5）

III. 信用市場供需的水平移幅（dρ =0）與均衡信用數量

令dρ =0，由式（3.6）可得利率、放款供給與所得的關係式如下所示：

dy D dv

di ^v

2 3 2 2

) 2

1 (

∆

− ∆

∆

= −τ λ

（6.6）

將上式與dρ =0代入式（3.3）與式（3.4）後，可得放款需求線與放款供 給線的水平移動幅度分別為：

0 ] ) [

1 ) (

1 (

2 2 2

2

2 − − + >

∆ + −

∆

= − ^{v i} _{i y i y y i}

L

L D L D L dv D

L dy D

dv dL

d

λ λ

τ λ λ

τ （6.7）

0 ] ) [

1 ) (

1 (

2 2 2

2

2 − − + >

∆ + −

∆

= − ^{v i} _{i y i y y i}

L

L D L D L dv D

L dy D

dv dL

s

λ λ

τ λ λ

τ （6.8）

式（6.1）、式（6.2）與式（6.3）代入式（3.3），可得對均衡信用數量影響為：

0

2 2

2 2

>

+ +

= dv

L dy dv L di dv L d dv

dL

y i

ρ

ρ （6.9）

IV. 貨幣市場供需的水平移幅（di=0）與均衡貨幣數量

由式（3.10）、式（3.11）可推得貨幣需求線與供給線的水平移幅分別為：

0

2 2

>

= dv D dy dv

dM

y M^d

（6.10）

0

2

=

Ms

dv

dM （6.11）

由（3.11）可得對均衡貨幣數量影響為：

) 0 1

( 2

2 2

∆ >

= −

= D τ λ D Y^ρ dv Rm

Rm di dv

dM v y

i

i （6.12）

附錄七 封閉經濟下，貨幣需求（ ）變動的影響

I. 放款利率、利率與所得的變動

令dR=dv₁ =dv₂ =dv₄ =0，由式（4.1）可得：

0 } )

1 (

{ _{4 2}

3

3 >

∆ <

−

−

∆

−

∆ −

= D^v L_yY_i dv

dρ λ τ

（7.1）

0 } { ₁

3

3 ∆ + >

= D∆ L Y_ρ dv

di

y

v （7.2）

0 } ) 1 (

) 1 ( )

1 ( {

3

3

<

−

− +

− +

− +

∆ −

=

i i

i i

i v

Y D

Y L

RY m Y

D Y D L

dv dy

ρ ρ

ρ ρ

ρ

λ τ

τ λ λ τ

（7.3）

II. CC 線與 LM 線水平移幅（di =0）

由式（3.12）與式（3.15），可得 CC 線與 LM 線的水平移幅為：

) 0 1 (

3 1 3

3 >

∆ +

∆

= −

ρ

τ ρ

λ

Y D Y dv

dy v

CC

（7.4）

0

3

3

<

−

=

y v

LM D

D dv

dy （7.5）

從式（7.4）與式（7.5）中，可推得 CC 線與 LM 線移幅大小為：

0 ] )[

( _{1 3} ¹

3 3

3 ∆ + <

∆ +

∆

= −

+ _ρ

ρ

Y Y L

D D dv

dy dv

dy

y y

v

LM CC

（7.6）

III. 信用市場供需的垂直移幅（dL=0）與均衡信用數量的影響 由式（3.6）可得貨幣需求突發性增加對放款利率的影響：

0 )

1 1 (

3

1 3

<

∆ −

= D_v

dv

dρ λ τ

（7.7）

將 代入式（3.3）與式（3.4）後，可得放款需求線與放款供給線的 垂直移幅為：

=0 dL

0 } )

1 ( )

1 (

] [

) 1 ( ] [

3 {

3

<

− +

− +

+

−

−

∆ +

= −

ρ ρ

ρ ρ

ρ

τ λ λ

τ

λ ρ τ

Y RL m Y

L D

L Y L D

L Y L L L

D dv

d

y i y

i

i i y i

i y v

L^d （7.8）

0 } ) 1 (

) 1 (

{ ²

3

3

>

−

− +

+ +

−

∆ −

= −

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

λ τ λ

λ

λ λ

λ τ λ λ λ

ρ

RD m R m L

R m Y L Y L D D

L D D

D dv

d

i i

i y y

i i

i v

L^s （7.9）

式（7.1）、式（7.2）與式（7.3）代入式（3.3），可得對均衡的信用數量 影響為：

0 )]

( )

)(

) [(

1

( 3

3 3

3 3

<

+

− +

∆ +

= −

+ +

=

i y i i

i y i i v

y i

Y L L D L Y L R m D D

dv L dy dv L di dv L d dv

dL

ρ ρ

λ λ

τ λ ρ

（7.10）

IV. 貨幣市場供需的水平移幅（di=0）與均衡貨幣數量

由式（3.10）、式（3.11）可求得貨幣需求線與供給線的水平移幅分別為：

0 )}

( ) 1 ( { _{1 4 3 4}

3

3 −∆ ∆ −∆ ∆ + − − >

= ∆^v _{y i i}

M

D R m Y D D Y

dv dM

d

ρ

ρ λ τ （7.11）

0

3

=

Ms

dv

dM （7.12）

接著利用（3.11）可得對均衡貨幣數量的影響為：

0 } { ₁

3 3

3 ∆ + >

= ∆

= D L Y_ρ

dv Rm Rm di dv

dM

y v

i

i （7.13）

附錄八 封閉經濟下，商品需求（ ）變動的影響

I. 放款利率、利率與所得的變動

令dR=dv₁ =dv₂ =dv₃ =0，由式（4.1）可得：

0

4

4 3 4

2

4

∆ >

∆

∆ +

∆

= − D^yY^v Y^v dv

dρ

（8.1）

0

1 4

4

∆ >

= ∆ D^yY^v dv

di （8.2）

0

4 4

1

4

∆ >

∆

∆

= − Y^v dv

dy （8.3）

II. CC 線與 LM 線水平移幅（di =0）

由式（3.12）與式（3.15），可得 CC 線與 LM 線的水平移幅為：

0

3 1

1

4

4 >

∆ +

∆

= ∆

Yρ

Y dv

dy v

CC

（8.4）

0

4

= dv LM

dy （8.5）

III. 信用市場供需的垂直移幅（dL=0）與均衡信用數量的影響

由式（3.3）與式（4.4），可得放款需求線與放款供給線的垂直移幅為：

0 } 1{

4 4

4

>

− +

= dv

L dy dv L di L dv

d

y i

L^d ρ

ρ （8.6）

0 ]}

) 1 ( ][

{[

4

4

>

−

−

∆ −

= − _{ρ ρ}

ρ

λ τ λ

λ λ

ρ D mR L D

D Y D dv

d

i i v

y

L^s

（8.7）

由式（8.6）與式（8.7）可比較放款需求線與放款供給線垂直移幅大小：

0 ]}

[

] [

{

1 4

4 4

><

+

−

−

∆ −

∆

= ∆

−

y i i

y y

i

y y

i v

L L

L D L

D L D D

L D L D R L m D

Y dv

d dv

d

d s

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

λ λ λ

λ ρ λ

ρ

（8.8）

因假設[λ_iD_yL_ρ −D_yL_iλ_ρ +λ_ρD_iL_y]<0與m_i很小，則可得 0

4 4

<

−

d

s L

L dv

d dv

dρ ρ

。

式（8.1）、式（8.2）與式（8.3）代入式（3.3），可得對均衡信用數量的

影響為：

0 ]}

[

] [

) { 1 ( 4

4 4

4 4

>

− +

+

∆ −

= −

+ +

=

y y

i

y i i

y y

i v

y i

L D L D R m

L D L

D L D Y D

dv L dy dv L di dv L d dv

dL

ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

λ λ

λ λ τ λ

ρ

（8.9）

IV. 貨幣市場供需的水平移幅與均衡貨幣數量

由式（3.10）、式（3.11）可求得對貨幣需求線與供給線的水平移幅分別為：

0

4 4

>

= dv D dy dv

dM

y M^d

（8.10）

0

4

=

Ms

dv

dM （8.11）

接著利用式（3.11）可得對均衡的貨幣量影響為：

0

4 4

1

4 4

∆ >

∆

= ∆

= _{i i} Y^v

dv Rm Rm di dv

dM （8.12）

附錄九 外國債券報酬率

假設本國民眾預期下一期匯率為 ，則下一期外國債券以本國幣表示的 本利和為：

se

s s r ) ^e 1

( + ^*

（9.1）

由上式可得持有外國債券的報酬率為：

e e

e e

e e

e e e

s r

s s r s

s s s s

s r s

r

s s s s

s s r s

s s s s r s s

s r

&

+

= + −

≅

+ − + −

=

+ −

−

= +

+ −

− = +

*

*

*

*

*

*

*

) (

) ( 1

1 / ) 1 (

（9.2）

式（9.2）中，假定

s s r s

e )

*( −

很小，因此忽略不計。

附錄十 利率平價說

) (

) , ,

(y y^* s K i i^* s^e B

K B F

&

−

− +

= +

=

（10.1）

將式（10.1）做 Taylor 線型近似展開（Taylor’s linear approximation）可得：

)) (

(

)]

( ) (

) (

[ ) , , (

* 0 0

*

0

* 0

* 0

0

* 0

0 ^*

e e

k

y s y

s i i s i i K

s s B y y B y y B s

y y B F

&

& − − −

−

− +

− +

− +

− +

+

=

（10.2）

式（10.2）中，變數冠上下標“0”者，代表該變數的期初值。假設期初外匯 市場均衡，即

) , , ( ₀ ^*_{0 0}

0 B y y s

F = （10.3）

se

i

i₀ = ₀^*+ & （10.4）

將式（10.3）與式（10.4）代入式（10.2）中，可得：

) (

)]

( ) (

) (

[

*

0

* 0

* 0

0 ^*

e k

y s y

s i i K

s s B y y B y y B F F

&

−

− +

− +

− +

−

=

−

（10.5）

對式（10.5）左右兩邊同除無窮大的K_k，可得：

se

i

i = ^*+ & （10.6）

附錄十一 小型開放經濟下，銀行準備（R）變動的影響

已知小型開放經濟下，採靜態預期形式，令s&^e =0，則可得：

i*

i = （11.1）

將上式代入正文模型中，可得：

) 1 ( ) , , ( ) , , ,

(ρ i^* y v₁ =λ ρ i^* v₂ D −τ

L （11.2）

R i m v y i

D( ^*, , ₃)= ( ^*) （11.3）

) , , (i^* s Y

y = ρ （11.4）

分別對信用市場需求面與供給面全微分，結果如下所示：

1

*

1dv L dy L di L d L

dL= _ρ ρ+ _i + _y + _v （11.5）

) )(

1 (

) 1 ( ) (

3

* 2

*

3 2

dv D dy D di D

D dv di

d dL

v y

i v i

+ +

− +

− +

+

=

τ λ

τ λ

λ ρ λ_ρ

（11.6）

令式（11.5）與式（11.6）相等，可得信用市場均衡的全微分式：

1 3

* 2

1 3

2

) 1 (

] ) 1 ( ) 1 ( [

) 1 (

] ) 1 ( [

] ) 1 ( [

dv L dv D

di D D

L dv D

dy D L

d D

L

v v

i i

i v

y y

−

− +

−

−

−

−

−

−

=

−

− +

−

−

τ λ

τ λ λ τ λ

τ

τ λ ρ

λ τ _ρ

ρ

（11.7）

為簡化運算，將式（11.7）用簡單符號代換，令

0 )

1 (

0 ) 1 ( ) 1 (

0 ) 1 (

3 2 1

>

−

−

=

∆

>

−

−

−

−

=

∆

<

−

−

=

∆

y y

i i

i

D L

D D

L D L

τ λ

τ λ λ τ

λ τ _ρ

ρ

其中，我們假設∆₃ >0。則式（11.7）可表示成：

1 3

* 2 2 3

1d +∆ dy= D(1− ) _v2dv −∆ di + (1− )D_v3dv −L_v1dv

∆ ρ τ λ λ τ （11.7）

將式（11.7）移項整理後，可得放款利率函數：

} )

1 ( )

1 (

1 { *

2 3

3 1

2 1

3 1

2dv L dv D dv dy di

D

d − _v − _v + − _v −∆ −∆

= ∆ τ λ λ τ

ρ （11.8）

接著，對貨幣市場需求面與供給面全微分，結果如下：

3

*

3dv D dy D di D

dM = _i + _y + _v （11.9）

mdR Rdi

m

dM = _i ^*+ （11.10）

令式（11.9）與式（11.10）相等，可得貨幣市場均衡的全微分式：

*

3 ( )

3dv D m R di

D mdR dy

D_y = − _v − _i − _i （11.11）

為簡化運算，我們令∆₄ =(D_i −m_iR)<0，則式（11.11）可表示成：

* 4

3dv3 di

D mdR dy

D_y = − _v −∆ （11.12）

商品市場均衡的全微分式為：

*

4dv4 Ydi

Y ds Y dy d

Y_ρ ρ− + _s =− _v − _i （11.13）

將式（11.7）、式（11.12）與式（11.13）用矩陣表示如下：

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

∆

−

−

∆

−

−

−

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

∆

∆

* 4 3 2 1

4 3 2

1

4 3

3 2

1

0 0

0 0

0 0

0

0 ) 1 ( )

1 ( 0

1 0 0

0

di dv dv dv dv dR

Y Y D

m

D D

L

ds dy d

Y Y

D

i v v

v v

v

s y

τ λ λ ρ τ

ρ

（11.14）

利用 Cramer’s rule 求解，可得分母為：

1 <0

∆

=

∆ D_yY_s （11.15）

I. 放款利率、所得與匯率的變動

令dv₁ =dv₂ =dv₃ =dv₄ =di^* =0，由式（11.14）可得：

0 ] ) 1 ( [

1

>

−

∆ −

= − _{y y}

y

D D L

m dR

dρ λ τ

（11.16）

>0

= Dy

m dR

dy （11.17）

] 0 ) 1 (

[ >

∆

− + −

= ^{y y}

Y D

D L

mY Y

D m dR

ds _ρ λ τ

（11.18）

II. 均衡信用數量與貨幣數量的影響

由式（11.11）可求得銀行準備變動，對均衡的信用數量影響為：

0 } ) 1 ( )

1 ( {

1

>

−

−

∆ −

= _{y y}

y

L D

L D D

m dR dL

ρ

ρ τ λ

τ

λ （11.19）

接著由式（11.10）可得銀行準備變動，對均衡的貨幣數量影響為：

>0 dR = m

dM （11.20）

III. CC 線與 LM 線水平移幅大小

將式（11.8）代入商品市場式（11.13）中，可得 CC 線函數為：

4 1 3 2

1

* 2 1 1

3 1

4 3

2

1

) 1 ( )

1 (

) (

) (

dv Y dv

Y D dv

Y D

dv L Y di Y Y

ds Y dy Y

v v

v

v i

s

∆ +

− +

− +

−

∆

−

∆

=

∆

−

∆ +

∆

ρ ρ

ρ ρ

ρ

τ λ λ

τ ^（11.21）

接著由式（11.21）即可求得銀行準備增加時 CC 線的水平移幅如下所示：

) 0 1 (

1

+ >

∆

= −

ρ

τ ρ

λ

Y L

mY dR

dy

CC y

（11.22）

而 LM 線移幅為：

>0

=

y

LM D

m dR

dy （11.23）

由式（11.22）與式（11.23）可得 CC 線與 LM 線水平移幅大小為：

) 0 (

]}

) 1 ( [

] ) 1 ( {[

1

+ <

∆

−

− +

−

−

= −

−

ρ

ρ ρ

ρ τ λ

τ λ

Y L D

D L Y D L

m dR

dy dR

dy

y y

y y

LM CC

（11.24）