=y z 1 a b c (e)平行平面：E ax by1

(d)截距式：x+ + =y z 1 a b c

(e)平行平面：E ax by₁: + + + =cz d 0

平行 E₁且過點P x₀( ₀,y₀,z ₀)

0 0 0

( − )+ ( − )+ ( − )=0 a x x b y y c z z (f)過E a x b y₁: ₁ + ₁ +c z₁ + =d₁ 0

2: 2 + 2 + 2 + 2 =0

E a x b y c z d 交線之平面

1 1 1 1 2 2 2 2

(a x b y+ +c z+d )+k a x b y( + +c z+d )=0 7. 兩平面的夾角：

(a)兩平面夾角即為其法向量之夾角

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

: 0 : ( , , )

: 0 : ( , , )

cosθ

+ + + = + + + =

+ +

= + + + +

uv

E a x b y c z d nuuv a b c E a x b y c z d n a b c

a a b b c c

a b c a b c

(b)E₁ ⊥E₂ ⇔a a_{1 2}+b b_{1 2} +c c_{1 2} =0 (c) _{1 2} ^{1 1 1 1}

2 2 2 2

// ⇔ a = b = c = d E E

a b c d (重合)

1

2

≠ d

d (不重合)

8. (a)點到平面的距離：P: (x₁,y₁,z₁)E ax by: + + + =cz d 0 若 O 點(x₀,y₀ ,z₀)為平面上一點，

1 0 1 0 1 0

: ( − , − , − ) : ( , , )

uuuv v

OP x x y y z z ，n a b c

$ ^{1 0 1 0 1 0 1 1 1}

2 2 2 2 2 2

| ( ) ( ) ( ) | | |

| | − + − + − + + +

⇒ = ⋅ = =

+ + + +

uuuv a x x b y y c z z ax by cz d d OP n

a b c a b c

(b)兩平行平面：E ax by₁: + + + =cz d₁ 0，E₂:ax by+ + +cz d₂ =0 若P x( ₀ ,y₀,z₀)為E 上一點則₁ ax₀+by₀+cz₀+ =d₁ 0

P 到 E₂的距離 ^{0 0 0 2 2 1}

2 2 2 2 2 2

| | | |

: + + + = −

+ + + +

ax by cz d d d

d

a b c a b c

(c)角平分面：E a x b y₁: ₁ + ₁ +c z₁ + =d₁ 0，E₂:a x b y₂ + ₂ +c z₂ +d₂ =0

角平分面 ^{1 1 1 1 2 2 2 2}

2 2 2 2 2 2

+ + + = ± + + +

+ + + +

a x b y c z d a x b y c z d

習題：過點 (1 , 2 , 2)A − 與 (6 , 0 , 1)B − 且與平面 : 2E x+2y− − =z 1 0垂直之平 面。

習題：已知平面E₁:x+2y− + =3z 2 0，E₂: 3x−2y+ − =z 5 0 若平面 E 過E₁、E 的交線，且 ₂

(1)過點 (1 , 1 , 2)− ，則平面 E 之方程式為？

(2)與平面E₃: 2x+ − − =y z 1 0垂直，則 E？

習題：已知空間兩點 ( 3 , 1 , 1)A − − ，B(2 ,−2 , 3)及平面 : 2 +2 − − =6 0

E x y z ，則線段 AB 在平面 E 上的投影長度？

9. 空間直線方程式：

(a)參數式：過P x( ₁,y₁,z 與₁) Q x( ₂,y₂,z₂)之直線方程式

1 2 1

1 2 1

1 2 1

( )

( )

( )

= + −

 = + −

 = + −



x x t x x y y t y y z z t z z

，其方向向量(x₂−x₁,y₂−y₁,z₂−z ₁)

(b)對稱比例式：過P x( ₀,y₀ ,z₀)且方向為 ( , , )a b c 之直線

0 0 0

− = − = − x x y y z z

a b c

(c)二面式：相交兩平面E a x b y₁: ₁ + ₁ +c z₁ + =d₁ 0

2: 2 + 2 + 2 + 2 =0

E a x b y c z d

直線方向：(n₁,n₂,n ，則₃) ^{1 1 1 2 1 3}

2 1 2 2 2 3

0 0

+ + =

 + + =



a n b n c n a n b n c n

1 1 1 1 1 1

1 2 3

2 2 2 2 2 2

( , , ) b c : c a : a b n n n

b c c a a b

⇒ ∝

10. (a)直線與平面的關係：相交於一點，落在平面上，平行 (b)空間中兩直線之關係：交於一點，平行(重合)，歪斜 11. 空間中直線的距離公式：

(a)P: (x₁,y₁,z ₁)

0 0 0

:x−x = y−y = z−z

L a b c

2 2 2

1 0 1 0 1 0

( ) ( ) ( )

PQ= x −x + y −y + z −z

1 0 1 0 1 0

2 2 2

| ( ) ( ) ( ) |

cos a x x b y y c z z PQ

a b c

θ = − + − + −

+ +

2 2

sin ( ) ( cos ) d =PQ θ = PQ − PQ θ

或求 [at+(x₀−x₁)]²+[bt+(y₀−y₁)]²+[ct+(z₀−z₁) ]^{2 2} 之極值 (b)兩平行線間之距離： ₁: x−x¹ = y−y¹ = z−z¹

L a b c

2 2 2

2:x−x = y−y = z−z

L a b c

習題：過點 (1 , 2 , 3)A 且與直線 0

2 2 1 0

+ + =

 + − − =



x y z

x y z 相垂直之平面

習題：包含兩平行線 ₁ 1 3 1

: 3 2 1

− = − = +

−

x y z

L 與 ₂ 1 3

:3 2 1

+ −

= =

−

x y z

L 之平面方程

習題：兩歪斜線 ₁ 1 1

: 2 1 3

− = + =

−

x y z

L ， ₂ 1 2 3

: 3 1 4

− = − = −

x y z

L 求(1)包含L 且與₂ L 平行之平面 ₁

(2)L 與₁ L 公垂線之長度(距離) ₂

12. 空間向量的外積：uv uv uv= × C A B

(a)uv

C 是一個向量，uv uv uv uv⊥ ⊥

C A C， B (右手定則)

(b)|uv|

C 是由uv uv

，

A B 向量所構成的平行四邊形面積

由條件(a) ^{1 1 2 2 3 3}

1 1 2 2 3 3

0 0

+ + =

 + + =



A C A C A C B C B C B C

2 3 3 1 1 2

1 2 3

2 3 3 1 1 2

: : : :

⇒ = A A A A A A

C C C

B B B B B B

由條件(b)知

2 2 2

2 3 3 1 1 2

2 2 2

1 2 3

2 3 3 1 1 2

+ + = A A + A A + A A

C C C

B B B B B B

2 3 3 1 1 2

( A A A A A A )

⇒ =Cuv

， ， (右手定則)

＊ $ $x y× =$z y z，$× =$ $x z x，$× =$ $y

$ $ $ $

$ $ $ $

$ $

$ $

1 2 3 1 2 3

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

1 2 3

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ + × + +

= − + − + + −

= − + − + −

=

$ $

$ $

$

$

A x A y A z B x B y B z

A B z A B y A B z A B x A B y A B x A B A B x A B A B y A B A B z x y z

A A A

B B B

(c)線性 ^{1 1 2 2 1 1 2 2}

1 1 2 2 1 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

β β β β

α α α α

 × + = × + ×



+ × = × + ×



uv uuv uuv uv uuv uv uuv uuv uuv uv uuv uv uuv uv

A B B A B A B

A A B A B A B

反對稱性uv uv× = − ×uv uv A B B A

(d)Levi-Civita 符號∈_ijk，， ，i j k =1 2 3， ，

123 231 312

321 132 213

1 1

∈ =∈ =∈ =

∈ =∈ =∈ = −



其他都為零，

3

=1

= × ⇔ =

∑

，

i ijk j k

j k

C A B C A B

13. 向量三重積：uv uv uv

， ，

A B C 構成的平行六面體的體積

1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1

(uv uv uv× ⋅ =) ( − )+ ( − )+ ( − ) A B C C A B A B C A B A B C A B A B

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )

⇒ × ⋅ =uv uv uv A A A

A B C B B B

C C C

⋅ =$ uv uv

C n C 沿法線方向的長度。

(a) (uv uv uv× ⋅ =) 0

A B C ，三向量共平面

(b) (uv uv uv× ⋅ ≠) 0

A B C ，三向量不共平面(線性獨立)

(c) (uv uv uv× ⋅ =) (uv uv uv× )⋅ =(uv uv uv× ⋅) A B C B C A C A B

( ) ( ) ( )

= ⋅ ×uv uv uv = ⋅uv uv uv× = ⋅ ×uv uv uv A B C B C A C A B

14. (uv uv× ⋅ ×) (uv uv) A B C D

2 3 3 2 2 3 3 2 3 1 1 3 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 2 1

( )( ) ( )( ) ( )( )

= A B −A B C D −C D + A B −A B C D −C D + A B −A B C D −C D

1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 3 3 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3

2 2 1 1 3 3 3 3 1 1 2 2

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

A C B D B D A C B D B D A C B D B D B C A D A D B C A D A D B C A D A D

A C A C A C B D B D B D B C B C B C A D A D A D A C B D B C A D

= + + + + + − +

− + − +

= + + + + − + + + +

= uv uv uv uv⋅ ⋅ − uv uv uv uv⋅ ⋅ A C A D

B C B D

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ uv uv uv uv uv uv uv uv

15. (uv uv uv× × =) (uv uv uv⋅ ) − ⋅(uv uv uv) A B C A C B B C A

( ) ( ) ( )

× × = ⋅ − ⋅ uv uv uv uv uv uv uv uv uv A B C A C B A B C 習題：證明上式

提示：uv= × ×(uv uv uv uv) ⊥(uv uv× ) ⇒uv

，

D A B C D A B D 落在uv uv

，

A B 平面上

( ) α β

⇒ × × =uv uv uv uv+ uv A B C A B

習題：利用 (uv uv uv× × =) (uv uv uv⋅ ) − ⋅(uv uv uv) A B C A C B B C A 證明

3

1

δ δ δ δ

=

∈ ∈ = −

∑

i

11 22 33 1

δ =δ =δ = ，其他皆為零 Kronecker Delta 符號

一次方程組與矩陣

1. 一次方程組的解：

(a)二元聯立： ^{1 1 1}

2 2 2

+ =

 + =



a x b y c a x b y c

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

− = −

⇒  − = −

= ， =

a b b a x c b b c a b a b y c a a c

c b a c

c b a c

x y

a b a b

a b a b

(b)三元聯立：

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

+ + =

 + + =

 + + =



a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− + − = −

− + − = −

c a c a x c b c b y c d c d c a c a x c b c b y c d c d

證明：

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

= ， = ， =

d b c a d c a b d

d b c a d c a b d

d b c a d c a b d

x y z

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

(c)定義uv: ( , ) uuv₁: ( ₁, ₁) uuv₂: ( ₂ , ₂)

， ，

R x y A a b A a b

1 1

2 2

 ⋅ =



⋅ =



uv uuv uv uuv R A C R A C

，令uv=α₁uuv₁+α₂uuv₂

R B B 求α α₁， ₂

定義 ₁ ^{2 2} ₂ ^{1 1}

1 2 1 2 2 1 2 1

( , ) ( , )

( ) ( )

− −

= =

− −

uuv uuv

b a ， b a

B B

a b b a a b b a

1 1 2 2

1 2

2 1 2 2

1 0

0 1

 ⋅ = ⋅ =



⋅ = ⋅ =



uuv uuv uuv uuv

uuv uuv uuv uuv ，uuv uuv

， ， ，

B A B A

B B

B A B A

為uuv uuv_{1 2}

，

A A 的對偶基底

1 1 1

1 1 2 2

2 2 2

α α

 = ⋅ =

⇒ = +

= ⋅ =



uv uuv

uv uuv uuv uv uuv

R A C

R C B C B R A C