兩平面 2x − y − 2z + 1 = 0，4x − 2y − 4z = 5 的距離為(A) 6 (B) 6 7 (C) 3 (D) 2 (E) 2 1 【解答】(B) 【解 1

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：97.11.13 班級

範 圍

2-3、4 空間向量、

平面 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. 兩平面 2x − y − 2z + 1 = 0，4x − 2y − 4z = 5 的距離為(A) 6 (B) 6

7 (C) 3 (D) 2 (E) 2 1

【解答】(B)

【解 1】

∵ 兩平行平面 ax + by + cz + d = 0，ax + by + cz + e = 0 距離為

2 2 2

|

|

c b a

e d

+ +

−

∴2x − y − 2z + 1 = 0，4x − 2y − 4z = 5 的距離,，即 2x − y − 2z + 1 = 0，2x − y − 2z − 2

5= 0 距離

∴ 6

7 4 1 4

2 1 5

+ = +

+

為所求

2. 已知空間二點 A(2，0，1)，B(− 1，1，2)，線段AB之垂直平分面方程式為 ax + by + cz + 1 = 0，

則 a + b + c 之值為(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

【解答】(A)

【詳解】

平面 E 之法向量nK=^____BA^\ = (3，− 1，− 1)，且過 A，B 之中點 M(

2 1，

2 1，

2 3) 則 E：3(x −

2

1) − (y − 2

1) − (z − 2

3) = 0 ⇒ 3x − y − z + 2 1 = 0

⇒ 6x − 2y − 2z + 1 = 0 ∴ a + b + c = 6 + (− 2) + (− 2) = 2 3. 兩平面E1：x − y + z = 8，E2：x + y + 6z= 5 的銳夾角θ為(A)

6 π (B)

4 π (C)

3 π (D)

12 5π

(E) 9 4π

【解答】(C)

【詳解】

取平面E₁的法線向量^___n₁^\ = (1，− 1，1)，E2的法線向量為^___n₂^\ = (1，1， 6 )

∵ E₁，E₂的銳夾角為θ ⇒ ± ， 的銳夾角為θ ⇒ cosθ =

___\

n1 ___\

n2

2 1 8 3

| 6

|

|

|

|

| _{___\}

2 ___\

1 ___\

2 ___\

1 = =

． ．

． n n

n

n ⇒ θ = 60° =

3 π

二、填充題( 每題 10 分)

1. 空間中，設A(3，1，− 2)，B(2，7，0)，C(− 4，− 1，1)，

(1)△ABC之重心坐標為 。 (2)內積

____\

AB．^____AC^\ = 。 (3)外積

____\

AB×^____AC^\ = 。 (4)△ABC的面積為 。 (5)線段AB的垂直平分面方程式為 。

(6)通過A，B，C三點的平面方程式為 。

【解答】(1) ) 3 1 3 7 3

(1， ，− (2) 1 (3) (22，− 11，44) (4) 21 2

11 (5) 2x − 12y − 4z + 39 = 0 (6) 2x − y + 4z + 3 = 0

【詳解】

(1) △ABC 之重心坐標 3 2 4 1 7 1 2 0 1

( , , )

3 3 3

+ − + − − + + = )

3 1 3 7 3

1， ，−

(

(2)

____\

AB= ( − 1，6，2)， = (− 7，− 2，3)， = (− 6，− 8，1)

____\

AC

____\

BC

____\

AB． = (3)

____\

AC ( 1) ( 7)− × − + × − + × =6 ( 2) 2 3 1

6 2 − 1 6

− 2 3 − 7 − 2 22 − 11 44 ⇒ = (22，− 11，44) (4)△ABC =

____\ ____\

AC AB×

\ 2

\ ____

____

\ 2 ____

\ 2 ____

) (

|

|

| 2 |

1 AB ．AC −　AB．AC =

2 21 1 11

62 2 41

1 ． − =

(5)線段AB的垂直平分面π之法向量為^____AB^\= ( − 1，6，2), AB之中點 M(

2

5，4，− 1)在平面π 上

⇒ : ( ⁵) 6( 4) ( 1) 0

x 2 y z

π − − + − − + = ⇒π：2x − 12y − 4z + 39 = 0 (6)通過A，B，C 三點的平面δ 之法向量為 × = (22，− 11，44) ∴ A 點在平面

____\

AB ^\

____

AC =11(2, 1, 4)− δ 上⇒2(x− −3) (y− +1) 4(z+2)= ⇒0 ，δ ：2x − y + 4z + 3 = 0

2. 設A (− 1，2，3)，B(2，6，3)，C(− 2，4，5)為空間中的相異三點，E為△ABC所在的平面，則 (1) ^____AC^\ 在 上的正射影為

____\

AB 。

(2)若∠BAC之內角平分線交 BC 於D點，設E在 AD 上，且^____AE^\ = 4^____AB^\ + β ，則β =

____\

AC 。

【解答】(1) ( 5 3，

5

4，0) (2) 3 20

【詳解】

(1) = (3，4，0)， = (− 1，2，2) ⇒ ． = − 3 + 8 + 0 = 5 在 上的正射影 = (

____\

AB

____\

AC

____\

AB

____\

AC

____\

AC

____\

AB

\ 2 ____

____\ ____\

|

| AB AC

AB． )^____AB^\ = ( 25

5 )(3，4，0) = ( 5 3，

5 4，

(2) . 0)

ABEC中，AE為∠BAC 之角平分線⇒4 |^____AB^\ |=β| ，

____\

AC| ∴4× 3²+4²+0² = ( 1)− ²+2²+2² ⇒β =²⁰

3

3. 空間中含A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0， ， 之平面方程式為0 1) 。

【解答】x + y + z = 1

【詳解】用截距式得

1 1 1

z y

x + + = 1，即 x + y + z = 1

對稱點為Q(13，35，− 3)，則E之方程式為

4. 點P(1，−1，1)對於平面E之 。

x + 9y − z − 175 = 0

【詳解

【解答】3

】

PQ之中點 M( 7，17，− 1) ∈ E，^____PQ^\ = (12， 6，− 4) ⊥ E，取平面 E 之3 法向量 = (3，9，− 1) (1，6，2)，B(3，5，1)，C(4，5，0)，D(k，4，2)共平面，則實數 k =_______。

【

的 y 截距為 − 2，又過點 A(1，0，1)，B( − 3，4，1)，則π 的 z 截距為 nK

∴ E：3(x − 7) + 9(y − 17) − (z + 1) = 0 ⇒ E：3x + 9y − z − 175 = 0 5. 設四點A

【解答】3 詳解】

參閱 1.(6)，平面 ABC 的方程式為 x + y + z = 9

∵ A，B，C，D 共平面 ∴D(k，4，2)在平面 ABC 上，代入，∴k + 4 + 2 = 9 ⇒ k = 3

6. 平面π 。

【解答】3

詳解】平面π 的 y 截距為 − 2，即π 過點 C(0，− 2，0)，π 又過A(1，0，1)，B( − 3，4，

2

【 1)

+ =

參閱 1.(6)三點求平面⇒π：x + y − 3z 2 = 0，令 x = 0，y 0，∴z =

3，∴π 的 z 截距為 2

3 同時垂直於E

2 7. 1：x − y + 2z + 3 = 0，E2：2x + y + 3z + 5 = 0，且過點A(2，3，2)之平面方程式

為 。

【解答】5

】

n1 = (1，− 1，2)，n₂^\ = (2，1，3) ⇒ ^___n₁^\ ×n₂^\ = ( − 5，1 x − y − 3z − 1 = 0

【詳解

，3) 1 = 0 8.

___\ ___ ___

E：5(x − 2) − (y − 3) − 3(z − 2) = 0 ⇒ 5x − y − 3z − A(1，3，2)在平面E上之投影點為B(2，1，0)，則

(1) 平面E方程式 。(2) C(3，5，1)到平面E的距離為 。 ) x − 2y − 2z = 0 (2) 3

【詳解】

【解答】(1

(1)

____\

AB= (1，− 2，− 2)， 取AB NK

\ =

____ ⇒ E：(x − 2) − 2(y − 1) − 2z = 0 ⇒ x − 2y − 2z = 0 (2) d(C，E) =

4 4

1+10+2|= 3 3

| − −

2 y − z = 5 與 3x + 2y − z = 8 的夾角為

9. 兩平面 x − 3 。

【解答】 3 π 或²π

3

【詳解】cosθ = ±

2 2 2 2 2 2

2 ( 1) ( 3) 3 2 ( 1) 2 3 ( 1) 2 ( 3) ( 1)× + − × + − × − =±

+ − + − ． + + − 2

1 ⇒cosθ = ± 2

1 ∴θ =

3 2π π 或

3 2 y + 3 z

10. 設平面E：x + = 1，求平面E與xy平面之銳角的夾角為 。 4

【解答】π

【

平面 E：x + 詳解】

2 y + 3 z = 1，法向量^___n₁^\ = (1， 2 ， 3 )，xy 平面之法向量^___n₂^\ = (0，0，1)

∴ 所夾銳角 θ =

1 6

) 1 0 0 ( ) 3 2 1 (

___\ 2 ___\

，

，

．

，

，

n．n =

2 1 cos 3

|

|

|

| ^\

___

2 ___\

1 1

． ．

= n

n 6 = ， ∴ θ =

4 π

11.兩平面ax + 3y + 5z = 3 與 2ax − y + az = 1 互相垂直，則a = 。

【解答】2

1或 − 3

詳解】.兩平面ax + 3y + 5z = 3 與 2ax − y az 兩

【 + = 1 互相垂直

平面法向量(a，3，5)，(2a，−1，a)互相垂直⇒a(2a) + 3(− 1) + 5．a = 0 ⇒2a² + 5a − 3 = 0

∴ (a + 3)(2a − 1) = 0 ⇒ a = − 3 或 2 1

12.設A(5，3，− 4)，B(3，4，− 2)，平面E：2x + y − 2z = 3，

(1)AB在平面E上的正射影長為 。

AB與平面E交於P點，則PA ：PB=

(2)若直線 。

【解答】(1) 3

2

4 (2) 18：11 詳解

A(5 ， 4)，B(3，4 − 2)，

【 】

，3 − ， 平面 E：2x + y − 2z = 3 (1)^____AB^\ = ( − 2，1，2)，平面 E 的法向量nK= (2，1，− 2)

⇒ ^\

_ __

AB 與nK

夾角θ cosθ =

_

9 7 9 9

| 4 1 4

|

|

|

|

|

|

|

____\ ____\

− = +

= −

． ．

． n AB

n AB

K K

⇒ sinθ =

9 2 ) 4

9 (7 1− ² =

× sinθ =

∴ 正射影長 =AB

3 9

2 4 2 9×4 =

(2)PA ：PB= d(A，E)：d(B，E) =

2 2

2 2

2

2 2 1 ( 2)

| 3 4 4 6

|

| 3 8 3 10

|

) 2 ( 1

2 + + −

− + +

− + +

− +

+ ： = 18：11

13.過A(1，2，3)，B(4，1，2)兩點，且與平面E：3x − 2y + z = 4 垂直之平面方程式為 。

【解答

【詳解】

】x + 2y + z = 8

____\

AB= (3，− 1，− 1)，E 的法向量nK= (3，− 2，1)

A 點 2) 3( − ⇒ + 2y + z = 8 14.求過點A(1，1，−1)，且與兩平面 2x + y − 3z + 97 = 0，x − 4y + 2z + 2008 = 0 皆垂直的平面方程

____\

AB

nK　× = (3，6，3) ∴ 平面 F 過 3(x − 1) + 6(y − + z 3)= 0 x

式為 。

【解答】1 7y + 9z − 0

【詳解】兩平面之法向量分別為 1，− 4，2)

0x + 8 =

n1 = (2，1，− 3)，n₂ = (

___

n1 ×^___n₂ = (

___\ ___\

\ \

2 4

3 1

−

− ，

1 2

2

−3

， 1 4 1 2

− ) = (− 10，− 7，− 9) 所求平面法向量取nK= (10，7，9)，又過 A(1，1，− 1)

9 z

則所求為 10(x − 1) + 7(y − 1) + (z + 1) = 0，得 10x + 7y + 9 − 8 = 0

(1， ，0，

3

1)的平面E與平面F：x + z = 2

15.設過點A 0，0)，B(0 1的銳夾角為 45°，則E的方程式

為 。 解答】x± 6y

【 + 3z =

【詳解】∵ 平面E過點A(1，0，0)，B(0，0，

1

3

1) ∴ E的x截距為 1，z截距為 3 1

設E：x y z 1

+ + = ∴ E的 線向量為

___

n1

1 1

3

b 法 ^\ = (1，

b 1，3)

x z = 而F： +

2

1的法線向量為^___n₂^\ = (1，0，1)

cos45° =

|

|

|

|

|

|

___

2

1 n

n ． ⇒

\ 2 ___\

___\ ___\

．n

n1 ₁₀ ¹ ₂

1 = 4 ⇒b

2

2．

+b

2 = 6

1 ⇒b = 6

± 1 ，∴E：x± 6y + 3z = 1

16.若平面E：2x + y 2 + z + 13 = 0 與平面F：x + y − 7 = 0 之夾角為θ，則sinθ = 。

【解答】 2

詳解】∵ 平面 E：2 + y 2z + 13 = 0

，0)

2

【 x + 之法向量 = (2，1，2)

平面F：x + y − 7 = 0 之法向量 = (1，1

∴E、F 夾角θ 即是 與 夾角θ 、

___\

n1 ___\

n2 ___\

n1 ^\ ___

n2 π − θ

⇒ cosθ =

2 3

3 0

1 1 4 1 4

0 1 2

|

|

|

| n₁ ． n₂^\

\ ___

___

___\ 2

\

1 =±

+ + +

+

+

= +

± ．

．n = ±

___

n ±

2

1 ， ∴sinθ

1 cos2

= − θ

2 1 = 2

= 2

17.設A(1，2，3)，B(1，4，2)，C( ，0，3)，O為原點， 4

(1)若ABCD為平行四邊形，則D點坐標為 。(2)四面體OABC的體積為 。

【解答】(1) (4，− 2，4) (2) 3 13

A(1， ，B 2)， (4 0，

(1) 為平行四邊形 D(x，y，z) ⇒ ∴ (x，y，z) =

(2) = (0， ，

△ABC 面積 =

【詳解】 2，3) (1，4， C ， 3)

ABCD ，設 ( x + 1，y + 4，z + 2 ) = ( 1+ 4，2+0，3+ 3 ) (4，− 2，4)

2，− 1) = (3，− 2，0)

____\

AB ^\

____

AC

\ 2

\ ____

\ 2 2 ____

) (

|

|

|

2 | AB^\ ．^____AC −　^____AB．AC = 1

2 49 7 2 ) 1 4 ( ) 2 3 )(

1 2 2 (

1 _{2 2 2 2 2}

=

−

− + +

平面ABC 法向量nK⇒

=

____\ ____\

AC n AB nK⊥ K⊥

， ，∴

____\ ____\

(2,3, 6) AB AC× =

∴ 平面 ABC 方程式為 2(x − 1) + 3(y − 2) + 6(z − 3) = 0，即 2x + 3y + 6z − 26 = 0 四面體 OABC 體積 =

2 2 2

1 1 7 | 0 0

ABC d 0 26 | 1

3 2 2 3 6 3

3 3

+ + −

× Δ × = × × =

+ +

1 13

6 2 13 3

= × × =

y，z)是平面 3x − 2y + 4z + 18 = 0 上任一點，則(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 1)²的最小值 18.若R(x，

是 ，此時R點的坐標是 。

【 0

【

解答】29，(− 2， ，− 3) 詳解】

利用柯西不等式知(3x − 2y + − 11)4z ²≤ [(x ^{2 2 2 2 2 2}

⇒ (− 18 − 11) [(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 1) ] × 29

最小 為 29，此時設

− 1) + (y + 2) + (z − 1) ][3 + (− 2) + 4 ]

2 2

⇒ 29 ≤ (x − 1)

≤

2 + (y + 2)² + (z − 1)²

故 值

3

−1 x =

−2 +2

y = ⁻¹ 4

z = t，則x = 1 + 3t，y = − 2 − 2t，z = 1 + 4t

19.

代入 3x − 2y + 4z + 18 = 0，得t = − 1 ∴R(− 2，0，− 3)

阿草上工藝課時，用鐵條焊接了一個三隻腳都互相垂直的三腳架，若將 此腳架放在水平地面上，使每一隻腳的底端都在地面上，如圖所示。已 30 公分，40 公分，30 公分，則頂端O點到地面的

知三隻腳的長分別為

距離為 公分。

【解答】 41

41 120

∴ 令

【詳解】

∵ 三隻腳兩兩互相垂直，建立空間坐標系

OA ， OB ， OC 分別為x軸，y軸，軸之 向 正 則平面E_ABC：

40^x + 30^y +

30^z = 1 ⇒ EABC：3x + 4y + 4z − 120 = 0 所求 = d(O；E_ABC) =

41 41 16

16 9

| 120 0 0 0

| + + − =¹²⁰ +

+

20.空間中A(1，0，0)，B(1，3，4)，C在z軸正向上，如果過A，B，C三點的平面與yz平面所夾的 45°，則C點坐標為

銳角為 。

【解答】(0，0，

3 5)

設C(0，0 0 AB ， = (−

【詳解】

，c)，c > ， = (0 3，4)， 1，0，c)

= × = (3c，− 4，3)為EABC之法向量，而E_yz之法向量為 = (1，0，0) cos45° =

____\ ____\

AC

___\

n1 ____\

AB

____\

AC

___\

n2

|

|

|

|

___\ 2 ___\

1 n

n ．

|

|

___\ 2 ___\

1 n

n ． ⇒

1 =2 | c3 | 1 25 9c² + ×

⇒ 9c² + 25 = 18c² c =

， 3

5及 − 3 5

3

（不合，c > 0） ∴ C (0，0， ) 5

21.在空間中，已知平面E通過(1，0，0)，(0，− 1，0)及正z軸上一點(0，0，a)，如果平面E與xy 角成 45 度，則a =

平面的夾 。

【解答】

2 1

【詳解】

⎪⎩

⎪⎨E：1

⎧

=

=

− + +

0 1 1 z E

a z y x

xy：

之法向量分別為

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

) 1 0 0 (

1) 1 1 (

___\ 2 ___\ 1

，

，

，

， n

n a

=

1 1 2

|

|a 1

2 × +a

⇒ 1₂ cos45° =

|

|

|

|

|

|

\ ___

___

1 n

n ．

___\ 2 ___\

1

\ 2

n n ．

⇒ 2

1 ．

|

| 2 1

+ a = 2 a

兩邊平方，2 + ₂ a¹ = ²₂

a ⇒ ¹₂

a = 2，得 a = 2 1 ，−

2

1 （不合 ∵ a > 0）

22.垂直於xy平面，且過點A(2，− 1，0) B(3 0，5)的平面為與 ， 。

【解答】

【詳解】

x − y − 3 = 0

xy 平面：z = 0，法向量(0，0，1) =^___n ，₁^{\ \}

____

AB= (1，1，5) 所求平面之法向量為^___n₁^\ × AB = (^____\

5 1 1 ， 0

1 5 0 ， 1

1

1 ) = (−1，1，0)

∴ 所求方程式：− 1．

0 0

(x − 2) + 1．(y + 1) + 0．(z − 0) = 0 ⇒ x − y − 3 = 0

2x + − 4 = 0 及y + 2z = 0 之交線，且垂直平面 3x + 2y − 3z − 6 = 0，則E之方 23.平面E包含兩平面 y

程式為 。 解答】2x + 3y + 4z − 4 = 0 詳解】平面族

設 E：(2x + y − 4) k(y 2z) = 0……(*)

⇒

【

【

+ +

E：2x + (k + 1)y + 2kz − 4 = 0，法向量nK= (2，k + 1，2k) 而 E′：3x + 2y − 3z − 6 = 0 之法向量^___n′^\ = (3，2，− 3)

∵ E ⊥ E′ ∴ nK

． = 6 + k + k = 0 ⇒ k = 2 代入(*) ⇒ E：2x + 3y + 4z − 4 = 0 24.設O- xyz空間中，A(1，1，1)，B(2，− 1，1)，C(1，3，− 1)，則△ABC之垂心的坐標為

___\

n′ 2 2 − 6

。

【解答】(− 1，

【詳解】設△ABC 之垂心坐標為 H(a，b，c)，則

=

− + +

=

−

− +

−

0 4 2

0 ) 2 2 0 ( ) 1 1 2

c b a

c

b ， ． ，，

， ⇒ ⎨

=

= 4 2 c

b ，∴垂心 H(− 1，2，4)

+ 3y + 6z = 12，交x，y，z軸於點A，B，C，則△ABC在平面 2x − 2y + z = 1 上正射影的 2，4)

⎪⎩ H∈E^ABC

⎪

⎪⎪

⎨ BH AC BC AH

⊥

⊥

____\

\ ⇒

⎪

⎪⎨

⎧ − − − − − =

(

0 ) 2 4 1 ( ) 1 1 1 (

a

c b

a ， ， ． ，，

⎪⎧a= 1−

⎧

____

____\ ____\

⎩ ⎪⎩

25.平面 2x

面積 = 。

】

【解答 3

8

+ y

【詳解】

平面 2x 3 + 6z = 12 與 x，y，z 軸交點分別為 A(6，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，2)

⇒ ABC =

\

AB= (− 6，4，0)，AC^\ = (− 6，0，2)

△ 的面積

____ ____

2

1 ____\ ____\ 2

\ 2 ____

\ 2 ____

) (

|

|

|

|AB AC − AB．AC = 2

1 784= 2 28= 14 x + 3y + 6z = 12 與 2x − 2y + z = 1 所夾銳角θ ⇒ cosθ

2 =

21 4 7 3

4 1 4 4 36 9 4

| ) 1 2 2 ( ) 6 3 2 (

| =

= × + + +

+

−

．

，

，

．

，

，

△ABC 在 2x − 2y + z = 1 上正射影的面積為(△ABC) cosθ = 14

3 8 21=

× 4

- EFGH（如下圖），已知

26.有一長方體ABCD AB= 4，AE= 2，AD= 4，

若此長方體的兩條對角線 EC 與 AG 的銳夾角為θ，則cosθ = ， 平面ACH與平面ABC的銳夾角為α，則cosα = 。

【解答】(1) 9 7 (2)

3 6

(1) ^\

____

EC= ( )， ；

cosθ =

【詳解】如圖，建立空間坐標系

− 4，4，− 2 = 6 (− 4，4，2)， = 6

| ^\

____

EC|

____\

AG= |

____\

AG|

|

|

|

| ^\

\ ____

____

____\ ____\

AG EC

AG EC

．

． =

6 6

4 16− = 16

× +

9 7

(2) E_ACH： ⇒ (

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

−

=

) 2 0 4 (

) 0 4 4 (

____\ ____\

，

，

，

， AH

AC

2 0

0

4 ，

4 2

4 0

−

− ，

0 4

4 4

−

− ) 取法向量

___

n = (1，1，2)

E

\ 1

0 (

____\ ____\

，

，

， AC

AB ⇒

ABC： ^4， (

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

=

=

) 0 4 4 (

) 0

0 4

0

4 ，

4 0

0 0

− ，

4 4

4 0

− ) 取法向量^___n₂^\ =16(0，0，1)

cosα =

|

|

|

|

___\ ___\

2 1．

=

2 1

___\ ___\

n n

n n

． 6 1

2 0 0

． +

+ =

6 2

3

= 6

27.求過A ，(1 0，0)，B(0，0，1)且與平面x + z = 0 夾 4

π 之平面方程式為 。

【解答】x± 2 +y z = 1

【詳解】

平面 E：x + z = 0 之法向量 = (1，0，1)， = (− 1，0，1) 設所求過 A，B 兩點且與 E 夾角

___\

n1

____\

AB 4

π 之平面為 F，其法向量^___n₂^\ = (a，b，c)

⇒ ⎪

⎪⎨

⎧ =

|

|

|

___\ ___\ ___\

\

\ 2

．

．

．

n n n

AB

n ⎧− a+ "" c

⎩ =

cos4

| 0

1 2 ___\

1 2

____

___

． π n

⇒ + = + +

=

2 2 2

)2

(

0

c b a c a

c

　　 ……d

⎩⎨ a

± 2 ⇒ (a，b，c) = (a，± 2a，a) = a (1，

c代入d得 b = ± 2，1)

∴ F：x± 2y + z = 1

E平行平面 2x + y + 2z − 1 = 0 且與三坐標平面所成四面體之體積為 9，則此平面E的 28.設一平面

方程式為 。 解答】2x + y + 2z = ± 6

∵ 平面E與平面 2x + y + 2z − 1 = 0 平行 令平 + 2z = 面E與三軸分別交於

【

【詳解】

面E的方程式為 2x + y k，

則平 ( , 0, 0); (0, , ); ( 0,

2 k 2

∴ E與三坐標平面所圍成的四面體體

0, )

k k

積 V =^{1 1} | | | | ¹|

3 2 2 6 2

k k

k k

× × × × = ．k． | |

24 | 1 2

k3

k =

∴ 24

1 | k |³ = 9 ⇒ | k |³ = 6³ ∴ | k | = 6 ⇒ k = ± 6 故平面E的方程式為 2x + y + 2z = ± 6