第五章 导数和微分

第五章 导数和微分

§1 导数的概念

一、导数的定义

【背景 1】（瞬时速度） 设一质点作直线运动，其运动规律为s s(t)．若 为某一确 定的时刻，t为邻近于 的时刻，则

t0

t0

0 0

( ) ( ) s t s t

v t t

 



是质点在时间段[t ,₀ t](或[t,t₀])上的平均速度．若tt₀时平均速度v 的极限存在，则称 极限

0

0 0

( ) ( ) lim

t t

s t s t

v ^ t t

 

 （１）

为质点在时刻t₀的瞬时速度．

【 背 景 2 】（ 切 线 的 斜 率 ） 如 图 所 示 ， 曲 线

在其上一点 处的切线

) (x f

y  P(x₀,y₀) PT 是割线

当动点Q沿此曲线无限接近于点

PQ P时的极限位

置．由于割线PQ的斜率为

0

( 0

) (

x x

x f x k f



  )

，

因此当x x₀时如果k的极限存在，则极限

 k

0 0) ( ) lim (

0 x x

x f x f

x

x 



 （2）

即为切线PT 的斜率．

定义 1 设函数y  f(x)在点x₀的某邻域内有定义，若极限

0

) ( )

lim ( ⁰

0 x x

x f x f

x

x 



 （3）

存在，则称函数 f 在点x₀处可导，并称该极限为函数 f 在点x₀处的导数，记作f (x₀)． 令xx₀ x,y f(x₀ x) f(x₀),则(3)式可改写为

).

) ( ( ) lim (

lim ^{0 0} ₀

0

0 f x

x x f x x f x

y

x

x  







 











 （4）

之比 x y



所以，导数是函数增量y与^{自变量增量}x  的极限．这个增量比称为函数关于自变

量的平均变化率(又称差商)，而导数 f(x₀)则为 f 在x₀处关于x的变化率．

若(3)(或(4))式极限不存在，则称f 在点x₀不可导．

例 1（自由落体运动） 1 ²

( ) 2

y f t  gt 。求 时刻的瞬时速度。 t

解

2 2

0 0

1 1

( )

( ) ( ) 2 2

( ) ( ) lim lim

t t

g t t gt

f t t f t v t f t

t t

   

  

  

   

 

2 2

0

1 1

( )

2 2

lim

t

g t t gt

  t

  

  ^{0 0}

1 (2 )

2 1

lim lim (2 )

2

t t

g t t t

g t t gt

  t  

  

   

 

例 2 （教材例 1）求抛物线y f x( )x²在点(1,1)处的切线方程与法线方程.

解 与上例类似

( ) 2 f x  x

在点(1,1)处的切线斜率为

, 2 ) 1 ( 

 f k

所以切线方程为：y12(x1)，法线方程为： 1

1 (

y  2 x 1) 。 例 3 （教材例 2） 证明函数f x( ) x ^在点x₀ 0不可导.

证 因为

0 0 0 0

( ) (0) ( ) (0)

lim lim 1, lim lim 1

0 0

x x x x

f x f x f x f x

x x x x

   

   

     

 

 

极限

0

( ) (0)

lim^x 0

f x f

 x



 ^{不存在，所以} f ^在点x0不可导．

定义 2 设函数y  f(x)在点x₀的某右邻域[x₀,x₀ )上有定义，若右极限

) 0

)( ( ) lim (

lim ^{0 0}

0

0  







 







  



 x

x x f x x f x

y

x x

存在，则称该极限值为 f 在x₀的右导数，记作 f_(x₀)． 类似地，我们可定义左导数

x x f x x x f

f

x 





 

 _



 

) ( ) lim (

)

( ^{0 0}

0 0 .

右导数和左导数统称为单侧导数．

例如：在例 3 中， f_(0)1,f_(0) 1。 显然

) (x₀

f  存在 f_(x₀)与 f_(x₀)都存在，且 f_(x₀)= f_(x₀). 设 f(x)在点x₀可导，那么

( 0) (1)( 0)

y f x o x

x

     



由o(1)   x ( x)，得

).

( )

(x₀ x x f

y    

  (5) 我们称(5)式为 f(x)在点x₀的有限增量公式．注意，此公式对x0仍旧成立．

类似地有单侧有限增量公式：

( )0 ( ) ( 0 )

y f x_ x  x x ^

      

( )0 ( ) ( 0 )

y f x_^ x  x x ^

      

定理 1 [习题 5.1:10] 若函数 f 在点x₀存在左、右导数，则 f 在点x₀连续．

证 由单侧有限增量公式，

0 0 0

lim lim 0 lim 0

x x x

y y y

   

          。 例如： f x( ) x, f_(0) 1, f_(0)1，所以 f x( )在点x0处连续。

推论 若函数f 在点x₀可导，则 f 在点x₀连续．

【注】 可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件．

例如： f x( ) x在点x0连续，但不可导．

2, 3

( ) , 3

x x

f x ax b x

 

    ^， 试确定a b, 的值，使 f 在x3处可导。

解 要使 f ^在x3^{处可导，首先}f ^在x3^{处要连续。由}f(3 0)  f(3 0) 得 93a b

其次还要在x3处左、右导数相等

(3) 2 3 6 f_  xx_ 

3 3 3

( ) (3) 9 3

(3) lim lim lim

3 3

x x x

f x f ax b ax a

f 3 a

x x x

  

   

   

   

   

由 f_(3) f_(3)得a6,b 9。

例 5 (教材例 4) 证明函数 f(x) x²D(x)仅在点x₀ 0可导，其中 为狄利克雷 函数.

) (x D

证 当x₀ 0时，由归结原理可得 f(x)在点x₀不连续，所以 f(x)在点xx₀不可导．

当x₀ 0时，由于D(x)为有界函数，因此得到

. 0 ) ( 0 lim

) 0 ( ) lim ( ) 0

( 0  0 



 

   xD x

x f x f f

x x

例 6 求下面函数在点x0的左右导数。

（1）

1

( ) 3, (0) (0) f x x f_  f_  

（2） f x( ) ³ x², f_(0) ,f_(0) 

（3）

sin1, 0 ( )

0, 0

x x

f x x

x

 

 

 



， 1

y sin

x x

 

  ,f_(0),f_(0)_{都不存在，}

（4）

sin1, 0 ( )

, 0

x x

f x x

x x

 

 

 



， f_(0) 1, f_(0)不存在。

例 7

2 1

sin , 0 ( )

0, 0

x x

f x x

x

 

 

 



，求f (0)。

解

0 0

( ) (0) 1

(0) lim lim sin 0.

0

x x

f x f

f x

x x

 

   

 

二、导函数

若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称 f 为I上

的可导函数．此时对每一个xI，都有 f 的一个导数 f (x)(或单侧导数)与之对应．这样 就定义了一个在I上的函数，称为 f 在I上的导函数，也简称为导数．记作 f , y 或d

d y x^，

即

. ),

( ) lim (

)

( 0 x I

x x f x x x f

f x 







 

  

例 8

1° f x( )c f x, ( )0,xR

2° f x( )xⁿ,f x( )nx^n1,nN_,xR

1 1 2 2 1

0 0 0

( )

lim lim lim ( )

n n

n n n

n n n

x x x

y x x x _n

y C x C x x C x

x x

  

     

   

         

  

1 1 1

n n .

C xn ^ nx ^

 

3° f x( )sin ,x f x( )cos ,x xR

 ),

cos( 2 2

sin 2

x x x

x





 x

x x

x x

x



x

x 

 

 





 )

cos( 2 sin 2

sin 2 ) sin(

2 ) cos(

lim 2

sin 2 lim ) (sin

0 0

x x x

x x

x x



 











 cosx

4° f x( )cos ,x f x( ) sin ,x xR

5° 1

( ) log_a , ( ) log_a ( 0, 1)

f x x f x e a a

 x

    ，,x0。特别地，

x 1x ) (ln  .

) 1 ( 1 log log

) (

log

x x x

x

x x

x

a a

a 

 







 ^x_x

a x

x x

 



 1log (1 )

，

x e x

x

x x ^x _a

x x a

a 1log

) 1 ( 1log lim ) (log

0  

 ^



 .

三、极值

定义 3 若函数 f 在点x₀的某邻域U(x₀)内对一切xU(x₀)有

) ( ) (x₀ f x

f  (f(x₀) f(x)),

则称函数 在点 取得极大(小)值，称点 为极大(小)值点．极大值、极小值统称为极值，

极大值点、极小值点统称为极值点．

f x₀ x₀

还可定义严格极大（小）值.

【注】根据定义，对于区间端点不定义极值。

思考 “点x₀不是 f 极值点”怎样叙述？

定理 2 (费马(Fermat)定理) 设函数 在点 的某邻域内有定义，且在点 可导．若

点 为 的极值点，则必有

f

.

x0 x₀

x0 f f x( ₀)0

证法 1 设 f x( )₀ 0.不妨f x( )₀ 0.则

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0

f x_  f x_  f x 

由

0

0 0

0

( ) ( )

( ) lim 0

x x

f x f x f x^{  } x x

   

 ^{及保号性可知，}

1 0



  ， x ( ,x x_{0 0}₁)， ( ) ( ) 0,

0

0 



 x x

x f x f

( ) ( 0) f x  f x

同理，由 f x_( ₀)0,可得

2 0



  ， x (x₀₂,x₀)， ( ) ( ) 0,

0

0 



 x x

x f x f

( ) ( 0) f x  f x

所以， f ^在点x₀不取极值，与假设矛盾。

证法 2 设 f 在点x₀取极大值。即f x( ) f x( ₀),x U x ( ₀)。因此

当xx₀^{时， 0}

0

( ) ( ) f x f x 0

x x

 

 ^{，由保不等式性}

0

0 0

0

( ) ( )

( ) lim 0

x x

f x f x f x^{  } x x

   



同理又可得， f x_( ₀)0。由f x_( ₀) f x_( ₀) f x( 0)得

( 0) 0 f x 

我们称满足方程 f x( )0的点为稳定点或驻点．

【注 1】当 f 在点x₀可导时， f x( ₀)0只是 f 在点x₀取极值的必要条件。例如

，点 是稳定点，但却不是极值点．

) 3

(x x

f  x0

【注 2】不可导的点也可能是极值点。如y x ^在点x0。

§2 求导法则

一、导数的四则运算

定理 1（导数的四则运算法则）

 

1^ f x( )g x( ) f x( )g x(

 

2^ f x( )g x( )  f x( )g x( )

   

3^ f x g x( ) ( )  f x g x( ) ( ) f x g x( ) ( ), cf x( ) cf x( )

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 ,

( ) [ ( )]

f x f x g x f x g x

g x g x g x

  

  

( ) 0

 

 

 



[证明自学]

例 1 设 f(x) x³ 5x² 9x，求 f (x)．

解 f(x)(x³)5(x²)9(x)()3x² 10x9.

一般地：多项式函数f(x)a₀xⁿ a₁x^n1a_n1 a_n

1 2

1 1

0 ( 1)

)

(  ^   ^   _

 x na xⁿ n a xⁿ a_n

f 

例 2 证明

 

 



 





 _n

n n n

n nx

x nx

x x .

例 3

1°

     

2

sin cos sin cos tan sin

cos cos

x x x x

x x

x x

 

 

   

2 2

2

2 2

cos sin 1

cos cos sec

x x

x x x

   

2°





3°

   

x x x

x x

x

x x sec tan

cos sin cos

cos cos

sec 1 _{2 2}

' '

'    



 





4°





二、反函数的导数

定理 2 设^y ^f

 

 

 

且 ，则 在点

y0

 

^  ^f

 

 

 

 

f x 1

 y

 

 y f x( )

证 ⁰

0

0

0

( ) ( ) ( ) lim

x x

f x f x

f x ^ x x

  



0

0 0 0

( )

0

lim ( ) ( )

y f x

x x y y y y

y y

y y

 



   





0

0

0 0

1 1

lim ( ) ( ) ( )

y y y y y

y y

  

  

 



几何意义见图。

【注】这里是用了变量替换法，见复合函数极限定理 1，请读者验证其中的 3 个条件。

例 4

1° (a^x) a^xlna (a0,a )1 ，(e^x )e^x．

2° 2

(arcsin ) 1 , ( 1,1).

1

x x

x

   



3°

2

(arccos ) 1 , ( 1,1).

1

x x

x

    



4° 1 ₂

(arctan ) ( , ).

x 1 x

  x   

 ,

5° 1 ₂

(arccot ) ( , ).

x 1 x

   x   

 ,

证 1°由于ya^x,xR为对数函数xlog_a y，y(0， )的反函数，故

x( )y

x0

y0

 O

 ⁹⁰₁

tan tan

 



 







( ) 1 ln (log ) log

x x

a a

a y a

y e

   

 a．

2° 由于yarcsinx,x(1,1)是 ) ,2 ( 2 ,

sin  





 y y

x 的反函数，故

2 2

1 1 1 1

(arcsin ) , ( 1,1).

(sin ) cos 1 sin 1

x x

y y y x

      

  

4°由于yarctanx,xR是 )

,2 ( 2 ,

tan  





 y y

x 的函数，因此

2 2 2

1 1 1 1

(arctan ) , ( , ).

(tan ) sec 1 tan 1

x x

y y y x

      

   

三、复合函数的导数

引理 在点 可导的充要条件是：在 的某邻域 上，存在一个在点 连

续的函数 ，使得

) (x f

( ) H x

x0 x₀ U x( )₀ x₀

) )(

( ) ( )

(x f x₀ H x x x₀

f   

从而 f(x₀)H(x₀)．

证 设 f(x)在点x₀可导，令

0 0

0 0

0 0

( ) ( )

, (

( )

( ), f x f x

) x U x x x

H x

f x x

  

 

   x

则 0 ，所以 在点 连续，且

0

lim ( ) ( 0) ( )

x x H x f x H x

    H x( ) x₀

).

( ), )(

( ) ( )

(x f x₀ H x x x₀ x U x₀

f    

反之，设存在H x( )，xU(x₀)，它在点x₀连续，且

) ( ), )(

( ) ( )

(x f x₀ H x x x₀ x U x₀

f     ．

因存在极限

) ( ) ( ) lim

( )

lim ( ₀

0 0

0 0

x H x x H

x x f x f

x x x

x  









所以 f(x)点x₀可导，且 f(x₀)H(x₀)．

【注】 引理说明了点x₀是函数 ⁰

0

( ) ( ) ( ) f x f x

g x x x

 

 可去间断点的充要条件是 在点 可导．

) (x f

x0

定理 3 （链式法则） 设u(x)^在点x₀^可导，y  f(u)^在点u₀ (x₀)^{可导，则复}

合函数 f 点在x₀可导，且

0 0 0 0

(f ) ( ) x  f u( ) ( ) x  f[ ( )] ( ) x  x₀

证 由 在点 可导，由引理必要性部分，存在一个在点 连续的函数 ，使

得 且

) (u f

(u₀

F

u0 u₀ F u( )

) )

(u₀ f 

) ( ), )(

( ) ( )

(u f u₀ F u u u₀ u U u₀

f     .

又由u(x)^在点x₀可导，同理存在一个在点x₀连续的函数( )x ，使得( )x₀ ( )x₀ ^，

且

0 0

( )x ( )x ( )(x x x ),x U x( ).₀

    

于是就有

0 0

[ ( )] [ ( )] [ ( )][ ( ) ( )]

f  x  f  x F  x  x  x F[ ( )] ( )( x  x xx₀).

因为 , 在点x₀连续,F在点u₀ (x₀)连续,因此H x( )F[ ( )] ( ) x  x 在点 连续．由 引理充分性部分证得

x0





f 在点x₀可导，且

( f ) ( ) x₀ H x( )₀ F[ ( )] ( ) x₀  x₀  f u( ) ( )₀  x₀ . 例 5 （教材例 7）设ysin x²，求y.

解 将sin x²看作ysinu与u x²的复合函数，故 (sinx²)cosu2x2xcosx².

【注】(sinx²)cosx²．

例 6 （教材例 8）设 为实数，求幂函数y x^(x0)的导数．

解 因为yx^ e^lnx可看作ye^u与ulnx的复合函数，故

( ^)( ^ln ) ^ln   ^1. x x

e e

x ^{x x}

例 7 （教材例 9）设 f(x) x² 1，求f (0)， f (1) 。 解 由于

,

1 )

1 ( 1 2

) 1 1 (

)

( 2

2 2

2

 

 

 

 

 

x x x

x x

x f

因此 .

2 ) 1 1 ( , 0 ) 0

(   

 f

f

例 8 （教材例 10）求下列函数的导函数；

(1) f(x)ln(x 1x²); (2) ² 1 ( ) tan .

f x  x

解(1) ( 1 )

1 ) 1

) 1

(ln ²

2

2   



 

 

 x x

x x

x x

2 2

1 1

(1 )

1 1 1

x

x x x 2

  

    x

(2) ²1 1 1 1 ² 1 1 2₂ 1

(tan ) 2 tan (tan ) 2 tan sec ( ) tan sec² 1.

x  x x  x x x  x x

x

例 9（教材例 11）（对数求导法） 设

2 1 5

3 1 2

) 4 ( ) 2 (

) 4 ( ) 5 (







 

x x

x

y x (x4),求y.

解 先对函数式两边取对数，得

2 1 5

3 1 2

) 4 ( ) 2 (

) 4 ( ) 5 ln( ln







 

x x

x

y x ln( 4)

2 ) 1 2 ln(

5 ) 4 3ln(

) 1 5 ln(

2       

 x x x x

再对上式两边分别求导数，得

2 1 5 1

5 3( 4) 2 2( 4)

y

y x x x x

    

   

整理后得到

1

2 3

1

5 2

( 5) ( 4) 2 1 5 1

5 3( 4) 5 2( 4)

( 2) ( 4)

x x

y x x x x

x x

 

 

            

例 10 （教材例 12） 设yu(x)^v(x)，其中u(x)0，且u(x)和v(x)均可导，试求此

幂指函数的导数．

解法 1 y( ( )u x ^{v x( )})(e^{v x( ) ln ( )u x} )e^{v x( ) ln ( )u x} ( ( ) ln ( ))v x u x 

( ) ( )

( ) ( ) ln ( ) ( ) ( )

v x u x

u x v x u x v x u x

   

   

 

( ) ( ) 1

( )^{v x} ( ) ln ( ) ( )^{v x} ( ) ( ) u x v x u x u x ^u x v x

 

解法 2 lnyv x( ) ln ( )u x ^， ( ) ( ) ln ( ) ( )

( )

y u x

v x u x v x

y u x

 

  

例 11 y xsinx 1e^x ，求y.

解 1 1

ln ln ln sin ln(1 )

2 2

y  x x ex 

例 12 yln(x x), 0，求y.

解 1 1

y x x

   

 ^{, 因此}





  x 

§3 参变量函数的导数

平面曲线 C 一般的表达形式是参变量方程

   

x x t y y t

 

  ^，   t 

 

表示．设t t₀对应曲线C^上的点P^{．如果在点}P^有切

线，那么切线的斜率可由割线的斜率取极限而得，为此 设x t y t( ), ( )在点t₀可导，且x t

 

上的点Q (如图)，割线 的斜率

C PQ

x y





   

 





y t t y t x t t



 

x t

 

 

于是曲线C在点P的切线斜率是

   

   

0 0

0

0 0 0

0

lim tan lim

lim

t t

t

y t t y t

y t

x t t x t x

t







 

  









 

 

 

   

y t x t

 

 ^.

其中 ^为切线与x轴正向的夹角．若x t

 

 

0

cot lim

t

x

 y

 



 

 

 

x t y t

 

 ^.

定义 若x t y t( ), ( )在







 



为光滑曲线．其特点是在曲线C上不仅每一点都有切线，且切线与

C x轴正向的夹角

 

的连续函数.

【注】x t( )₀  y t( )₀ 0，则曲线在tt₀可能有尖点。如

2

2

0, 0 , 0

( ) , ( ) , (0) (0) 0

, 0 0, 0

t t t

x t y t x y

t t t



    

     

O t0 0

t

思考 由函数y f x x( ), [ , ]a b 表示曲线应如何定义光滑曲线？

若^{xx t}

 

 

 





y y  x

这 时 只 要 函 数 x t y t( ), ( ) ^{可 导 ， x t}

 

)，就可由复合函数和反函数的求导法则得到

0

t

0

y

   

dy dy dt dy dx y t dt dt

dx dt dx x t

    



 

例 1 求椭圆

2 2

2 2 1

x y

a b  ^在点 ,

2 2

a b

 

 ^{的切线方程。}

解 参数方程









. cos

, cos

t b y

t a x

t 4

 ^时， ,

2 2

a b

x y

 

 

sin cot .

cos b t

dy dy dx b

dt dt t

dx a t a

    



4

.

t

dy b

dx _^  a

切线方程为： ( )

2 2

b b a

y x

  a 

若曲线C由极坐标 

 

 



























 sin cos y

x

 

 sin cos

这时在相应的条件下可得

   

   

sin cos dy

dx

  

  



  (3)

(3)式表示在曲线 

 





Ox

过点 M 的射线OH^与切线MT的夹角的正切则是

 







 



 1 tan tan

tan tan tan

tan 

 



 (4) 将(3)式代人(4)式则得向径与切线夹角的正切

   

tan  

 ^   (5)

【例 2】 证明：对数螺线  e^2 (如图) 点的切线与向径的夹角为常量．

证 由(5)式得，对每一值都有

 

 

2

2

tan 2

1 2 e

e





  

   

 

即 在 对 数 螺 线 上 任 一 点 的 切 线 与 向 径 的 夹 角 等 于 2.

arctan

附：常见的几种曲线

【1】摆线 ( sin ) (1 cos )

x a t t

y a t

 

  

 ^(图中改为 ) t

【2】笛卡尔叶形线

3

3 3

2 3

3

1 ( tan , 1) 3 0

3 1 x at

t t t x y axy

y at t



        

 

 





【3】阿基米德螺线 a(a0)

【4】心形线a(1 cos )(  a0)

【5】星形线（内摆线）

2 3

3 3 3

3

cos sin

x a t

x y a

y a t

    

 



【6】双纽线^{2 a2cos 2 }





【7】三叶玫瑰线 asin 3

§4 高阶导数

定义 1 若函数 f 的导函数 f 在点x₀可导，则称 f 在点 的导数为 在点 的二阶

导数，记作

x0 f x₀





f x ，即

     

0

0 0

0

limx x

f x f x

f x

x x



  

 



同时称 f 在点x₀为二阶可导．

一般地，可由 f 的n1阶导函数定义 f 的 阶导函数(或简称 阶导数)，函数n n f 在点

x0处的n阶导数记作

 

 

0

0 ,

n n

x x

f x y

 或

0

d d

n n

x x

y x _

例 1 求幂函数y xⁿ (n为正整数)的各阶导数

解 y nx^n1，^{y n n}





例 2 求ysinx和y cosx的各阶导数．

解 对于ysinx，由三角函数的求导公式得

  x y

x y

x y

x

ycos , sin , cos , ⁴ sin ． 可将上述导数改写为

cos sin , sin sin 2 ,

2 2

y_ x _x  _ y_ x _x 

          





 ⁴

cos sin 3 , sin sin 4 .

2 2

y   x x   y  x x 





一般地，可推得

  , .

sin 2  _



 



  

 x n n N

yⁿ 

类似地有

  , . cos 2

cos   _



 



  

 x n n N

n x 

例 3 求ye^x的各阶导数．

解 y^{ n} e n^x, N_. 例 4(莱布尼茨公式) 设yuv，则

 

, 2 ,

yu v uv y    u v uv    u v  u v uv





y u v  u v uv  u v  u v  u v uv

 

0 n

n k n k

n k

u v C u ^ v



 ^ 



其中u^{ 0} u,v^{ 0} v

例 5 设yx e^{2 x，求}y^{ n} ．

解 令u

 

 

      ²   2

0 0

( 2 ( 1

n

n k n k k x k k x

n n

k k

y C u ^ v e C v e x nx n n

 







例 6 设 f x( )在(,x₀]上二阶可导，试选择常数a b c, , 使得

0 2

0 0

( ) ( ),

( ) ( ) , ₀

f x x

F x a x x b x x c x x

x

      

是二阶可导的。

解 由连续性，c f x( ₀)，（以下在x₀的导数要用定义求）

由F x_( ₀)F x_( ₀)，b f x_( ₀)

0

0 0

0 0

( ),

( ) ( )

2 ( ) ( ) ₀

f x x

F x f x x x

a x x f x x x





 x



   

    

 由F x_( ₀)F x_( ₀)， 1 ₀

( ) a 2 f x_

例 7 [习题 5.4: 11]设

2

1

, 0

( )

0, 0 e x x f x

x

  

  

证明 f^{( )n} (0)0 (n1, 2,)。

证

2

2

1 1

0

(0) lim 0 lim 0

0

x t x

x t t

e t

f x e

 

 

   

 

2

1

2 3 ,

( )

0, 0

x e x x f x

x

 

 0

  

 



2

2

1 1

3 4

0

2 2

(0) lim lim 0

x t x

x t t

x e t

f x e

 



 

   

1 2

2 ( )1 , 0 ( )

0, 0

p e x x

f x x

x

  

  

 

  

 



，p是某多项式

2

2

1 1

0

( )1

(0) lim lim ( ) 0

x t

x

x t t

p e

x tp t

f x e

 

 

   

一般地， ^{( )} ( )₂

(0) lim 0

n t t

f P t

 e

  （P t( )为某多项式）。

设x t y t( ), ( )在





( ) x x t

y y t

 

 

所确定的函数的一阶导数 ( ) ( ) dy y t dx x t

 

 ^{,它的参量方程是.}

 

( ) ( ) x x t dy y t dx x t

  

 

 



因此

2 2

( ) ( ) ( ) y t d y d dy x t

dx dx dx x t

 

 

  

   

    

       

 

y t x t y t x t x t

    

  

 

例 8 试求由摆线参量方程

 

 













t a

y

t t a x

cos 1

, sin

所确定的函数y y

 

解

   

 





 



t t a

t a

dx dy

sin cos 1

cot2 cos 1

sin t

t t 

 ^.

 

   

4 1 cos

1 csc 2 2 1 sin

cot2

4 2

2

2 t

a t

a

t

t t a

t

dx y

d 



 

 





 





 .

§5 微分

一、微分的概念

先考察一个具体问题．设一边长为x的正方形，它的面积 是

x2

S  x^{的函数，若边长由}x₀^增加x，相应地正方形面积的增量

 

 

2 0

2 x 2x x x

x     

 x S  

 ．

S由两部分组成：第一部分 (即图 5—8 中的阴影部分)；第二

部分 是关于 的高阶无穷小量．由此可见，当给 一个微小 增量 时，由此引起的正方形面积增量

x x₀ 2

 

x

x x₀

S^{可以近似地用第一部分}

(x的线性部分2x₀x)来代替．由此产生的误差是一个关于x的高阶无穷小量，也就是 以x为边长的小正方形面积．

定义 1 设函数y f

 

 

x0 x

 

0 x U x

x  



  

f

y  

 ^.

如果存在常数A x( ₀)，使得y能表示成

 

( 0)

y A x x o x

     ， (1)

则称函数 f 在点x₀可微，并称

 

0 0

dy_{x x} A x( )x 或

 

0 0

d f ( )

x x x_ A x x. (2) 由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x^{的高阶无穷小量，由于 是 的}

线性函数，所以当 时，也说微分dy是增量

dy x

0

A y的线性主部．

定理 1（可导和可微等价）函数 在点 可微的充要条件是函数 在点 可导，而且

(1)式中的 等于 ．

f x₀ f x₀

( 0)

A x f 



