臺北市立中正高級中學102學年度第1 次專任教師甄選 數學科初選試卷

臺北市立中正高級中學102學年度第1 次專任教師甄選 數學科初選試卷

第一頁/共二頁

一、 填充題：

1. 求方程式6x⁶5x⁵6x⁴6x³11x²  x 6 0之 所有有理根之和為

6

5。

2. 擲一公正骰子n次，出現的最大點數為M，最小點數為m，滿足M–m<5的機率為Pn，求

1 n n

P





3. 恰有3個數字相同的四位數共有324個。

4. 矩陣

3 3

a b

A a

  

   ， ^{1 0}

I 0 1

  

 ，P A I且P²  P， (1) 求a、b的關係式a²3a3b20。

(2) A^1sPtI，s、tR，則數對(s,t)= ,1) 2 (1 。

5. 等差數列an

，前n項和為S

11 93000

 。

6. 設一球面的半徑為2，球心在直線L： 1 2

x y  z 上，此球面與xy平面、yz平面、zx平面所交成的圓 面積和為S，求S的最大值為 

6

67 ，此時球面的球心坐標為 ) 6 , 5 3 ,1 6

(1  。

7. 設有A、B、C三個硬幣，出現正面的機率依次為50%、30%、60%。今任選一枚硬幣投擲，若出現 正面，則用原硬幣再投擲第二次；若第一次投擲反面，則由其餘兩枚中再任選一枚投擲第二次 (1) 求兩次均為正面的機率

30 7 。

(2) 若已知兩次均投擲同一枚的條件下，求這枚為C硬幣的機率為

7 3。

8. 已知有5個正整數，其算術平均數為12，全距為18，中位數與眾數均為8，試問第二大的數之可能值 有6個。

9. 首先觀察有限小數37.108在小數點前後共寫了5個阿拉伯數字，現在若把

100 50

3

2 寫成小數型式，則整個 數值在小數點前後共需寫出83個阿拉伯數字。

臺北市立中正高級中學102學年度第1 次專任教師甄選 數學科初選試卷

第二頁/共二頁

二、 計算證明題：自行標號且須有過程，否則不予計分。

1. 已知x y z, , 均為實數且x  y z 1，求證 ^{2 2 2 1}

x  y z  3

耀昇提出下列解法：

設 ¹ , ¹ 2 , ¹ 3

3 3 3

x t y  t z  t，則 ^{2 2 2 1} 14 ^{2 1}

3 3

x y z   t  得證 但此種解法是錯誤，請指出錯誤之處並寫出您的證法。

2. 若 f x( ) x² x b，且 f(log₂a)b，log₂ f a( )2(a0,a1)。 (1) f(log₂x)的最小值及相應的x值。

(2) 若 f(log₂x) f(1)且log₂ f x( ) f(1)，求x的範圍。

3. 設a  b c 3，a²b²c²45

(1) 求

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ?

a b c

a b a c  b a b c  c a c b 

     

(2) 求

4 4 4

( )( ) ( )( ) ( )( ) ?

a b c

a b a c  b a b c  c a c b 

     

4. (1) 設a a₁, ₂, ,a_n；b b₁, ₂, ,b_n均為正數，

求證：ⁿ(a₁b₁)(a₂b₂) (a_nb_n) ⁿa a_{1 2} a_n ⁿb b_{1 2} b_n

(2) 設0

2

 

  ，求 ¹₃ ³²₃

cos  ^sin  之最小值