关键词：
数学期望
方差、变异系数 协方差、相关系数 其它数字特征 第四章 随机变量的数字特征
问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征
例：
在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；
在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；
考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度。
, ,
甲乙两个射手他们的某次射击成绩分别为
试问哪个射手技术较好 ? 例 : 谁的技术比较好 ?
乙射手 击中环数
次数
10 9
8
20
65
15甲射手 击中环数
次数
10 9
8
10 80 10
解：计算甲的平均成绩：
计算乙的平均成绩：
所以甲的成绩好于乙的成绩。
8 10 9 80 10 10 8 10 9 80 10 10 9
100 100 100 100
8 20 9 65 10 15 8 20 9 65 10 15 8.95
100 100 100 100
定义：
1 1
1
( ) 1, 2,
,
k
k k k
k k k
k
k
k
k
X P X x p k
x p X
E x p
E X x p
X
绝绝绝绝
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
绝绝绝绝绝
绝绝绝绝绝绝绝绝绝 绝绝绝绝绝 绝绝绝绝
绝
§1 数学期望
定义：
,( )
( ) ( )
( ) ( )
xf x dx
E X xf
X f x
xf x dx X
x X
d E
x
设连续型随机变量的概率概率为 若积分
则称积分 的值为随机变量的
，
绝对收敛
数学 记为
期望 即
例：
, .
X
k X
k+1 k
k
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
3 2
P(X=(- 1) )= k=1, 2, 3
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
| x pk | k ,
k k
+
+ k k
+k=1 k=1 k=1
3 2 2
绝 绝 绝 绝 绝
3
X
即该无穷级数是发散的。
因此由定义知，不存在数学期望。
例：
一种常见的赌博游戏 , 其规则为 : 投掷一颗均
匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数 , 凡猜中者
以 1 比 5 得到奖金 , 否则其押金归庄家所有 ,
问此规则对庄家还是赌客更有利 ?
解：显然猜中点数的概率为 1/6. 不妨设一赌徒押
了 10 元 , 那么根据规则 , 他收回 50 元的可能性 为 1/6, 有 5/6 的可能性是血本无归 . 因此经过 一次赌博 , 他能 " 期望 " 得到的金额为 :
1 5 50
50 0 8.33( ).
6 6 6
元
例： 设 X ( ),求E X( )。
( ) 0,1, 0
!
ke
X P X k k
k
绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝
X的数学期望为：
0
( ) !
k k
E X k e
k
11 ( 1)!
k k
e k
e e
( )E X 即
例：
0 0 0
1 1
| | .
x x x
xe
e dx
e
( ) E X
xf x dx ( )
0x e dx
x
0
( )
0 0 0, ( )
x
X
e x
f x x
E X
。
设 服从指数分布，密度函数为
， 求
解 :
例：某厂生产的电子产品 , 其寿命 ( 单位 : 年 ) 服从 指数分布 , 概率密度函数为
若每件产品的生产成本为 350 元 , 出售价格为 500 元 , 并向顾客承诺 , 如果售出一年之内发生故 障 , 则免费调换一件 ; 如果在一到三年间发生故障 , 则予以免费维修 , 维修成本为 50 元 . 在这样的价格 体系下 , 请问 : 该厂每售出一件产品 , 其平均净收入 为多少 ?
1
/ 30
( ) 3
0 0 e
xx
f x
x
1 / 3 1/ 3 0
3 / 3 1/ 3 1
1
/ 3 1
{ 200} {0 1} 1 1 ,
3
{ 100} {1 3} 1 ,
3
{ 150} { 3} 1 .
x
x
x
P Y P X e dx e
P Y P X e dx e e
P Y P X e dx e
解：记某件产品寿命为 X( 年 ), 售出一件产品的 净收入为 Y( 元 ) ，则
500 350 2, 0 1, 500 350 50, 1 3,
X X
若
Y= 若
500- 350, 若X 3.
由于 X 服从指数分布，那么
1/ 3 1/ 3 1 1
1/ 3 1
( ) 200 (1 ) 100 ( ) 150 33.35( ).
E Y e e e e
e e
200+300 50元
即 Y 的分布律为
Y -200 100 150 P
1 e
1/ 3e
1/ 3 e
1e
1因此售出一件产品的平均净收入为
例：设一台机器一天内发生故障的概率为 0.2 ，机器发生故障时全天停工。若一 周 5 个工作日里无故障，可获利 10 万 元；发生一次故障获利 5 万元；发生 2 次故障获利 0 元，发生 3 次或以上故障 亏损 2 万元，求一周内期望利润是多少？
( ) 5.216 E Y
于是 （万元）
解：设 X 表示一周 5 天内机器发生故障天数
，
则 X ~ (5, 0.2) B
设 Y 表示一周内所获利润，则
( 10) ( 0) (1 0.2)5 0.328,
P Y P X
Y
其余同理可得，于是的分布律为：
Y -2 0 5 10 P 0.057 0.205 0.410 0.328
( )
X F x
定理：随机变量的分布函数为,则
X X
特别地，当为非负随机变量（即P( 0)=1）时，有
( ) 0 1 ( )) . E X
（ F x dx当为取非负整数值的随机变量时，有
X( )X (1 F x dx( )) 0 F x dx( ) .
0+
E =
1
( ) ( ).
k
E X P X k
2 1 2 ( ) 1 ( )) (1 ( y )) . E Y
（ F y dy
dy 解：由 Y 的定义知其分布函数为
0, 0,
( ) {max( ,0) } 1 , 0 2,
Y
3 3
y
F y P X y y y
y
若 若 1, 若2.
可见 Y 既不是离散型的随机变量 , 也不是连续型的随机变 量 .
X U( 1, 2), Y max{X 0}, E(Y). 设服从令，求
例：
( 0) 1
P Y
由于，故有
( ) ,
Y X
Y g X g
定理：设是随机变量的函数：
是连续函数
1
1
( )
( ) [ ( )] ( )
k k
k
k k
k
g x p
E Y E g X g x p
若绝对收敛，则有
( )
E Y Y
X
定理的重 在于我们求 时，不必算出 的分布律或
概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就 要意义
可以了。
(
k)
k, 1, 2, X
P X x p k 绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
随机变量函数的数学期望：
( ) ,
Y X
Y
g X g
定理（续）：设是随机变量的函数：
是连续函数
( )
X
是连续型随机变量，它的概率密度为f x
( ) ( ) g x f x dx
若 绝对收敛
( ) ( ( )) ( ) ( ) E Y E g X g x f x dx
则有
上述定理也可以推广到两个或两个以上 随机变量的函数的情况。
,
( i, j ) ij, , 1, 2, X Y
P X x Y y p i j 绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
, ( , ) ,
Z X Y Z h X Y h
定理：设是随机变量的函数：是连续函数
1 1
( ) [ ( , )] ( , )i j ij
i j
E Z E h X Y h x y p
则有
这里设上式右边的级数绝对收敛，
, ( , ) ,
Z X Y Z h X Y h
定理(续)：设是随机变量的函数：是连续函数
( ) ( ( , )) ( , ) ( , )
E Z E h X Y h x y f x y dxdy
则有
这里设上式右边的积分绝对收敛
X Y,
f x y( , ),若二维连续型随机变量的概率密度为
( ) ( , ) ( ) ( , )
E X xf x y dxdy E Y yf x y dxdy
特别地，
例： 设二维随机变量的联合分布律为 X Y,
0 1 2
0 0.1 0.25 0.15
1 0.15 0.2 0.15
X Y
( )
sin 2 Z X Y 求随机变量的数学期望。
( )
( ) [sin ]
2
(0 0) (1 0)
sin 0.1 sin 0.15
2 2
(0 1) (1 1)
sin 0.25 sin 0.2
2 2
(0 2) (1 2)
sin 0.15 sin 0.15
2 2
0.25
E Z E
X Y
解：
例：设随机变量 (X,Y) 的概率密度为：
2 33 2 1 , 1
( , )
0
, 1
y x x x y x
f x y E Y E
XY
其他 求数学期望
。
X=1 y 1
x y x
( ) ( , )
E Y yf x y dydx
解：
1 3 1
3 2
x x
x y dydx
3 1 1
3 1 |
2
x x
lny dx x
1 3
3 lnx dx x
2 1 1 3
3 | 3 1 3
2 lnx 2 dx 4
x x
例：设随机变量 (X,Y) 的概率密度为：
( , ) 0 2 33 2 1 , 1
, 1
y x x x y x
f x y E Y E
XY
其他 求数学期望
。
X=1 y 1
x y x
3 2 1
3 2
3 0 1 2
( ), ( ) 3 1 ( ) ( )
2
y
Y Y y Y
dx y
x y
f y f y dx y E Y yf y dy
x y
考虑：先求得到；则 。
1 1
( ) ( , )
E f x y dydx
XY xy
4 3 1 1
3 2
x
x
dx dy
x y
4 2 1
1
3 [ 1 ] |
2 2
x x
x y dx
6 2
1
3 ( 1 1 )
4 dx
x x
34 ( 15 1) 53某商店经销某种商品，每周进货量X与需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从在区间[10,20]
上均匀分布。商店每售出一单位商品可获利1000元；
若需求量超过进货量，商店可从他处调剂供应，
这时每单位商品可获利500元；试计算此商店经销 该种商品每周所获得利润的
例：
数学期望。
1000 , ( , )
500( ),
Y Y X
Z g X Y
X Y Y X
若 若
解：设Z表示该种商品每周所得的利润，则
( , )
1 100, 10 20,10 20 ( , )
0,
X Y X Y
x y
f x y
和相互独立，因此的概率密度为
其他
20 20 20
10 10 10
( ) ( , ) ( , )
1000 1 100 500( ) 1 100 14166.7(
x
x
E Z g x y f x y dxdy
dx y dy dx x y dy
元）
设按季节出售的某种应时产品的销售量 X( 单位 : 吨 ) 是一个服从 [5,10] 上的均匀分布的随机变量 . 若销售出一吨产品可盈利 C1 = 2 万元 ;
但若在销售季节未能售完 , 造成积压 , 则每吨产品将 会
净亏损 C2=0.5 万元 .
若该厂家需要提前生产该种商品 , 为使厂家能获得 最大的期望利润 ,
问 : 应在该季生产多少吨产品最为合适 ? 极值问题的求解
例：
1
1 2
, ,
( ), ,
c a X a
X a c X c a X X a
若 Y=g( , )=
若
10 2 5
(Y) ( ( , )) ( , ) ( )
1 2 9 25
(2.5 0.5 ) .
5 5 4 2 4
X a
a
E E g X a g x a f x dx
a a a
x a dx dx
则
解：设应在该季生产 a 吨产品 ，所获 利润为 Y 万元，则 Y 依赖于销售量 X 及产量 a ，
(5 a 10)
2 2
( ) 0, ( ) 1 0,
2 9 ( )
d d
E Y a E Y
da da
a E Y
令得=9,又由于此时 所以时，达到最大值.
数学期望的特性：
( ) ( ) ( )
E aX bY c aE X bE Y c 将上面三项合起来就是：
( )
C E C
C
设 是常数，则有
1.
( ) ( )
X C E CX CE X
设 是一个随机变量， 是常数，则有 2.
, ( ) ( ) ( )
X Y E X Y E X E Y
设 是两个随机变量，则有
3.
数学期望的特性：
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况 这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况
, ( ) ( ) ( )
X Y E XY E X E Y
设 是相互独立的随机变量，则有 4.
0 0
1 1
( n i i ) n i ( )i
i i
E c c X c c E X
1 1
( n i) n ( ),i i
i i
E X E X X
其中相互独立.
例：
0 ~ 9
1, 2, . , ( ).
X
ii i n
n
Y E Y
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝.
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
绝绝绝
1, 2, , ,
{ } 1/10, 0,1, ,9.
i
i
X i n
P X k k
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
绝绝绝绝绝
9
0
( ) 1 4.5.
i 10
k
E X k
故1 1
10 ,
n i
i i
Y X
又从而
1 1
1
( ) 10 ( )
10 1
4.5 10 .
n i
i i
n n
i
E Y E X
例：一民航送客车载有 20 位旅客自
机场出发，旅客有 10 个车站可以下车，
如到达一个车站没有旅客下车就不停车
，以 X 表示停车的次数，求
( 设每位旅客在各个车站下车是等可能 的，并设各旅客是否下车相互独立 )
( )
E X
。0 1, 2, ,10
i 1
X i i
i
绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝
1 2 10
X X X X 绝 绝 绝
1 2 10
20
( ) ( ) ( ) ( ) 10[1 ( 9 ) ] 8.784( )
10
E X E X E X E X
绝
( )i ( i 1) E X P X
( )
P i
第 站有人下车 1 (109 )20
本题是将 X 分解成数个随机变量之和，然 后利用随机变量和的数学期望等于随机 变量数学期望之和来求数学期望，这种
解：引入随机变量：
例：
( ) E X
i i i , 1, 2,3, 4.
解：
1 2 3 4
1 2
3 4
, , , ~ (0, 2 ),
( ).
X X X X U i
X X
Y X X
E Y
设随机变量相互独立，X求行列式 i
的数学期望
1 4 2 3
Y X X X X
1 4 2 3
1 4 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 3 2
E Y E X X E X X
E X E X E X E X
由条件，
§2 方差
设有一批灯泡寿命为：一半约 950 小时，另一半约 1050 小 时→平均寿命为 1000 小时；
另一批灯泡寿命为： 一半约 1300 小时，另一半约 700 小 时→平均寿命为 1000 小时；
问题：哪批灯泡的质量更好？
单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯 泡寿命 X 与均值 1000 小时的偏离程度。
方差─正是体现这种意义的数学特征。
定义：
( )
( ) , 标准差均
将记为称为的或，
它是与随机变量具有相同量纲的量
差
。
X 方
D X X
X
2
2
[ ( )]
(
( ) ( ) ) ( ) [ ( )]
D
X E
X Var X X E X X
D X Var X E X E X
设是一个随机变量，若存在，
则称其为的，记为或，即方差
( )
( ) ( )
D X X X
X D X
X D X
方差 刻画了 取值的分散程度，它是衡量 取值
分散程度的一个尺度。若 取值比较集中，则 较小，
反之，若 取值比较分散，则 较大。
对于离散型随机变量 X ，
(
i)
i, 1, 2, P X x p i 绝绝绝绝绝绝
2 1
( ) [
i( )]
ii
D X
x E X p
( ), 其概率密度为 f x
( ) [ ( )] ( )2
D X
x E X f x dx
对于连续型随机变量 X ，
2
( )D X E X E X[ ( )]
事实上，
2 2
( ) ( ) [ ( )]
D X E X E X
22 ( ) [ ( )]
2
E X XE X E X
2 2
( ) 2 ( ) ( ) [ ( )]
E X E X E X E X
2 2
( ) [ ( )]
E X E X
此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：
例：设随机变量 X 具有 0-1 分布，其分布律为
：
解：
( 0) 1 ( 1) ( ), ( )
P X p P X，，求 p E X D X 。
( )
E X 0 (1 p) 1 p p ( 2)
E X 0 (12 p) 1 2 p p
( )
所以 D X E X( 2) [ ( )] E X 2 p p2
p(1 p)
例：
解：
( ) 0,1, >0 的分布律为： ke!
X P X k k
( )k
E X 由上节例子中已算得
(E X 2) 而
2 2
( )D X E X( ) [ ( )]E X
所以
即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数 [ ( 1)] ( ) E X X E X
( 1)
E X X X
2 2
2 ( 2)!
k
k
e k
0
( 1)
!
k
k
k k e
k
2
2e e
( ) ( ) X D X 。
设 ，求
例：设，求X U a b~ ( , ) E X D X( ), ( ) 。
2 2
( ) ( )
E X x f x dx
2 2
( ) ( ) [ ( )]
D X E X E X
1 ( )
0
a x b f x b a
其它
1 2
( ) ,
2 2
b b
a a
x x a b
E X dx
b a b a
2 1
b
a x dx
b a
3(b3b aa3)2 2
a b3 ab
2 2 2 2 2
a b ab a b ab
(b a )2
解： X 的概率密度为：
例：设随机变量 X 服从指数分布，其概率密度为：
0
( ) 0 ( )
0 0 e x x
f x D X
x
，求.
( ) 1/ , E X 解：由前面的例子知
2 2
( ) ( ) E X x f x dx
0 x e dx2 x2 2
0 0
| 2 2 / ,
x x
x e xe dx
2 2
( ) ( ) [ ( )]
D X E X E X 于是
2 2 2
2 / 1/ 1/ .
方差的性质：
( ) 0
C D C
1. 设 是常数，则
( ) 2 ( )
X C D CX C D X
2. 设 是随机变量， 是常数，则有
,
( ) ( ) ( ) 2 [ ( )][ ( )]
, ( ) ( ) ( )
X Y
D X Y D X D Y E X E X Y E Y
X Y D X Y D X D Y
3. 设是两个随机变量，
则有
特别，若相互独立，则有
方差的性质：
2 2
, , ,
( ) ( ) ( )
X Y a b c
D aX bY c a D X b D Y
综合上述三项，设相互独立，是常数，
则
4. ( ) 0
D X
P X(
C) 1 且
C E X ( )
这一性质可以推广到任意有限个独立随机变量线性组合的情况
2 0
1 1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
D c c X c D X
例：
设，求 X ~ ( , ) B n p E X D X ( ), ( )
。1
1, 2,
k 0
A k
X k n
A k
绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝 绝
Xk pk
0 1
1-p p
1 2
易知：X X X Xn
n Xi解：随机变量是重伯努利试验中事件发生的次数，
设P(A)= . 引入随机变量：
X n A
p
1, 2, , n 0 1
X X X
绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝绝
1 2
1 n
n i
i
X X X X X
绝
1 1
( ) ( n i ) n ( )i
i i
E X E X E X np
故知：
( ) ( ) (1 )
E X np D X np p
即 ，
1 1
( ) ( n i) n ( )i (1 )
i i
D X D X D X np p
,
0 1 n p
n
p
即：以为参数的二项分布变量，
可分解为个相互独立且都服从
以为参数的分布的随机变量之和。
例：
解：
~ ( , 2 ) ( ), ( )
X N E X D X
。 设，求Z X
先求标准正态变量 的数学期望和方差
2
1 2
( ) 2
Z t e t
的概率密度为：
2
1 2
( ) 0
2
E Z te t dt
于是( ) (
2)
D Z E Z
1 2 222
t e t dt
2 2
2 2
1 | 1 1
2 2
t t
te e dt
2 2
( ) ( ) , ( ) ( ) ( )
X Z E X E Z
D X D Z D Z
因为，故
,
2即正态分布的两个参数
分别是该分布的数学期望和方差。
表 1 几种常见分布的均值与方差
数学期望 方差
分布率或 密度函数
分
0 － 1 分布 布
p p(1-p)
二项分布 b(n,p
) np np(1-p)
泊松分布
均匀分布 U(a,b )
指数分布
正态分布
( ) (1 )1
0,1
k k
P X k p p
k
( ) (1 )1
0,1,...,
k k k
P X k C pn p
k n
( )
( ) !0,1,..., P X k ke k
k
1 ( ), ( ) 0,
b a a x b
f x
其它
a+b 2
(b- a)2
12
( )
Exp ( ) , 0 0,
e x x f x
其它
1
1
2( , 2)
N f x( ) 1 e(x22)2
