96 年數學科學科能力測驗試卷

(1)

96 年數學科學科能力測驗試卷

科班學號姓名

總分

第 ﹕選一部分擇題

一、單選題

說 ﹕第

1 至5 題﹐每

﹐每

5 分﹐答

﹒ 明題選出最適當的一個選項題答對得錯不倒扣

( )1.

設

^{f x}  ^^ax⁶^^bx⁴^³^x^ ²

^﹐其

a﹐b 為

﹐則

^f  ⁵ ^ ^f  ^⁵

之 ^中非零實數值為

(1)

^

30 (2)0 (3)

_{2 2}

(4)30 (5) 無 ( 與 a ﹐b 有 ).

﹝第一冊

法確定關

CH2﹞

( )2.

試

n 使 ^{A n}^ ^,0

與

^B ^{0, 2}

的問共有多少個正整數得坐標平面上通過點點直線亦

通

^P^7,^k

﹐其

k 為

過點中某一正整數？

(1)2 個 (2) 4個 (3) 6個 (4) 8個 (5) 無 .

﹝第一冊

窮多個

CH1﹞

( )3.

設

^{f t}  ^{  }^t² ¹⁰^t^¹¹

某沙漠地區某一時間的溫度函數為

﹐其

¹^{ }^t ¹⁰

﹐則中

這 (1)9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5)36.

段時間內該地區的最大溫差為

﹝第 CH2﹞ 一冊

( )4.

坐標平面上方程式

2 2

9 4 1

x



y

 的



¹

² ²

₁ 圖形與

16 9

x



y

  的 ﹖ 圖形共有幾個交點

(1)1 個 (2) 2個 (3)3 個 (4) 4個 (5)0 個.

﹝ 第四冊

CH1﹞

( )5.

關

_y__sin_x

的 10 於坐標平面上函數圖形和

y x

  的 ﹐下 ﹖ 圖形之交點個數列哪一個選項是正確的

(1) 交點的個數是無窮多

(2) 交 20 點的個數是奇數且大於

(3) 交 20 點的個數是奇數且小於

(4) 交 20 點的個數是偶數且大於或等於

(5) 交 20.

﹝ 第二冊

點的個數是偶數且小於

CH3﹞

二、多選題

說 ﹕第

6 至 11 題 5

明 ﹐ 每題至少有一個選項是正確的 ﹐ 選出正確選項 ﹒ 每題答對得

分

2.5分

﹐ 答錯不倒扣 ﹐ 未答者不給分 ﹒ 只錯一個可獲 ﹐ 錯兩個或兩個以上不給分 ﹒

(2)

( )6.

若

^{ }



^{z z}

^為

^z^{ }^{1 1}

^﹐則

^{ }



^{w w iz z}^ ^, ^

^上﹖ ^複 ^數 ^且 ^下 ^列 ^哪 ^些 ^點 ^會 ^落 ^在 ^圖 ^形

(1)

2i

(2)

2i

(3)

1 i

(4)

1 i

(5)

 1 i

.

﹝ 第 CH1﹞ 一冊

( )7.

坐

P 、Q

﹐其

P 點  ^{s t}^,

. 已

PQ

的

L 的

標平面上有相異兩點中坐標為知線段中垂線方程式為

3x4y0

﹐試 ﹖ 問下列哪些選項是正確的

(1) 向

PQ

量

與

^{3, 4}^ 

平向量行

(2) 線

PQ

的 6 8 段長度等於

5

s



t

(3) Q 點

 ^{t s}^,

坐標為

(4) 過Q 點

L 平 ^{ }^{s t}^, 

與直線行之直線必過點

(5) 以O 表 ﹐則

OP OQ 

示原點向量

與

PQ

向量

的 0.

﹝ 第三冊

內積必為

CH1﹞

( )8.

下列哪些選項中的矩陣經過一系列的列運算後可以化成

1 2 3 7 0 1 1 2 0 0 1 1

 

 

 

﹖

(1)

1 2 3 7 0 1 1 2 0 2 3 5

 

 

 

(2)

1 3 1 0 1 1 1 0 3 1 7 0

 

 

 

  

 

  

 

(3)

1 1 2 5 1 1 1 2 1 1 2 5

 

  

 

 

(4)

2 1 3 6 1 1 1 0 2 2 2 1

 

  

 

  

 

(5)

1 3 2 7 0 1 1 2 0 1 0 1

 

 

 

.

﹝ 第三冊

CH3﹞

( )9.

坐 ﹐在

^xy

平 1 的 ﹐設

A B C, ,

. 標空間中面上置有三個半徑為球兩兩相切其球心分別為

今 1 的 ﹐且 ﹐並 . 將第四個半徑為球置於這三個球的上方與這三個球都相切保持穩定

設

P﹐ 試

﹖ 第四個球的球心為問下列哪些選項是正確的

(1) 點

^{A B C}^{, ,}

所

^xy

平在的平面和面平行

(2) 三

ABC

是角形一個正三角形

(3) 三

PAB

有

₂

角形一邊長為

(4) 點 P 到

AB 的 ₃

直線距離為

(5) 點 P 到

^xy

平的

₁_ ₃ ﹒ ﹝ 第三冊

面距離為

CH2﹞

( )10.

設

a 為

1 的 ﹐考

^{f x}  ^^a^x

^與

g x  ^logax

﹐試 ﹖ 大於實數慮函數問下列哪些選項是正確的

(1) 若

^f  ³ ^⁶

^﹐則

^g ³⁶ ^⁶

(2)

 

   

 

238 38 219 19

f f

f



f

(3)

^g²³⁸^^g²¹⁹ ^^g ³⁸ ^^g ¹⁹

(4) 若

P Q,

為

^{y g x}^  

的 ﹐則

PQ

之圖形上兩相異點直線斜率必為正數

(5) 若

y5x

與

^y^ ^{f x} 

^的 ^﹐則 ¹ 直線 ^圖 ^形 ^有 ^兩 ^個 ^交 ^點 ^直 ^線

y

 5

x

與

^{y g x}^  

的 .

﹝ 第二冊

圖形也有兩個交點

CH1﹞

( )11.

設

^{f x} 

為 1 ﹐ 已

^f  ¹ ^^1,^f  ² ^^2, ^f  ⁵ ^⁵

﹐則一實係數三次多項式且其最高次項係數為知

  ⁰

f x 

在 ﹖ 下列哪些區間必定有實根

(1)

^^,0

⁽²⁾

 ^0,1

⁽³⁾

 ^{1, 2}

⁽⁴⁾

 ^2,5

⁽⁵⁾

^5,^

.

﹝ 第一冊

CH3﹞

第 ﹕選二部分填題

說 ﹕第A至 I 題每

5 分﹐答

﹐未 ﹒ 明 ﹐ 題完全答對給錯不倒扣完全答對不給分

A.

設

x 滿 0 x 1

﹐且

log 4 log_x  ₂x1

﹐則

^x^^_____

.( 化 )

﹝第二冊

實數足成最簡分數

CH1﹞

B.

在

ABC

中﹐

P 為_BC

邊 ﹐

Q 為_AC

邊

AQ2QC

. 已

^PA^^ ^4,3

^﹐ 坐標平面上的之中點上且知

 ^1,5

PQ



﹐則

BC_______, _______

.

﹝第 CH1﹞ 三冊

C.

在 ﹐為 ﹐主 ﹕先 15 某項才藝競賽中了避免評審個人主觀影響參賽者成績太大辦單位規定將

位 ﹐再 15 評審給同一位參賽者的成績求得算術平均數將與平均數相差超過

分 . 現 15 的評審成績剔除後重新計算平均值做為此參賽者的比賽成績在有一位參賽者所獲

位 76 分﹐其 92 ﹑45﹑55 應 ﹐ 評審的平均成績為中有三位評審給的成績剔除

則 ________ 分.

﹝ 第四冊

這個參賽者的比賽成績為

CH4﹞

D.

某

E 區

25 排 ﹐此 2 個 . 小巨蛋球場共有座位區每一排都比其前一排多座位明坐在正中間那一排

( 即 13 排 )﹐ 發 64 個 ﹐則

E 區

________ 個 . 第現此排共有座位此球場共有座位

﹝第 CH2﹞

一冊

E. 設P A B, , 為

﹐其

P 點  ^1,0

^﹐

A 點 坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點

中坐標為坐標為

12 5 , 13 13

  

 

  ﹐且

APB

為 ﹐則

B 點 _______, _______

.( 化 )

﹝ 第 CH4﹞ 三冊

直角坐標為成最簡分數

F.

某 ﹐各公司生產多種款式的「阿民」公仔種款式只是球

帽衣不同帽 ﹑球或球鞋顏色 . 其共有黑﹑灰中球

﹑紅﹑藍

四顏色衣白三顏色球有三顏色種種種 ﹐球有 ﹑綠﹑藍 ﹐而鞋黑﹑白﹑灰 .

公決司

定帽子不鞋子的球衣的紅色的搭配灰色的 ﹐而則必須搭配藍色帽子 ﹐ 白色

至於其

他顏

色限制配色的求之下間的搭配就沒有 . 在要 ﹐最 ________ 這些多可有

(4)

種 .

﹝ 第四冊

不同款式的「阿民」公仔

CH2﹞

G.

摸有若干編號為 1 ﹐2 … ﹐ ﹐10 的彩箱裝

彩號的彩可能不同球﹐其編球數目 . 中各種

今

從隨機摸一球取中 ﹐

依所據

取予干報酬兩得球的號數為報酬同為球的號數若 . 現甲﹑乙案﹕甲為當摸彩

k 時﹐其

給在案所獲

k

﹐

乙為當摸案

得球的號數為報酬為彩

k 時﹐其 11k k( 1, 2,...,10)

. 所獲

已依甲知案

每期望值為摸取一球的

67 14 ﹐ 則依乙案

每期望值為摸取一球的 ________.(化 )

﹝ 第 CH3﹞ 四冊

成最簡分數

H.坐

^V ^0,3

為標平面上有一以點

頂焦點﹑

^F ^0,6

為點的拋物線 . 設

^{P a b} ^, 

為拋物線上一點 ﹐ 此

 ^,0

Q a

為

P

在 x 軸

上投的影﹐滿

FPQ60^

﹐則

b________

. 足

﹝ 第四冊

CH1﹞

I.

在

^^ABC

中﹐M為

^BC

邊 ﹐若

^AB^^3,^AC^⁵

﹐且

^BAC ¹²⁰

之中點

  

﹐則

^tan^^BAM ^^{________ .}

（

化成最）

﹝第二冊

簡根式

CH2﹞

(5)

答案

第 ﹕選一部分擇題

一、單選題

1. (4) 2.(2) 3.(4) 4.(1) 5.(3)

二、多選題

6.(1)(3)(5) 7. (1)(2)(4)(5) 8. (1)(5) 9. (1)(2)(4) 10. (1)(2)(4)(5) 11. (2)(4)

第 ﹕選二部分填題

A.

1

4

^B.^^1,12 C. 79 D.1600 E.

12 5 13 13 ,

  

 

 

F. 25 G.

87

14

H. 12 I. 5 3

解析

第 ﹕選一部分擇題

一、單選題

1. ^{f x}  ^^ax⁶^^bx⁴^³^x^ ²

^f  ⁵       ^a ⁵⁶ ^b ⁵⁴ ^{3 5} ²

^f         ⁵ ^a ⁵⁶ ^b ⁵⁴ ^{3 5} ²

^f  ⁵ ^ ^f  ^{ }⁵ ^30.

2. m_AB m_BP

^{2 0}

 

²



²



¹⁴

0 7 0

k n k

n

 

   

  

1, 2,7,14 n



16,9, 4,3 k

3. ^{f t}  ^{  }^t² ¹⁰^t^¹¹^{  }^t ⁵²^³⁶

 當

t5

﹐最

36

大值

 當

t10

﹐最

11

小值

故

該地區最大溫差為

36 11 25 

.

4.

如

圖有故一交點 ﹐恰 ﹐ 選 (1).

5.

第 ﹐三一

象各有加限 9 個 ﹐再原點 ﹐共 19 個 . 交點有交點

n 1 2 7 14 k-2 14 7 2 1

(6)

二、多選題

6. z 1 1 表 1 0i

﹐半 1 之 

iz

以逆

圓心

徑為圓原點為中心

時方向旋轉針

₉₀^

而得

(1)(3)(5) 三 . 點在圖形上

7.

(1)○ ﹕

NL ^{3, 4 //}  PQ

.

(2)○﹕ ²



^,



² ³ ⁴ ⁶ ⁸

5 5

s t s t

PQ



d P L

   

(3)╳﹕ 若

^{Q t s} ^,

^﹐則

PQ

中 , 點

2 2

s t t s

 

 

 

  不

L 上

. 在

(4)○﹕O必

_PP^'

之為中點

∴過Q且與 L 平

^{ }^{s t}^, 

. 行之直線必過

(5)○﹕

OP OQ  2OM

垂

PQ

直

.

8.

原題之矩陣所表方程

組解之

^{x y z}^{, ,}  ^ ^2,1,1

.

(1)○﹕

1 2 3 7 0 1 1 2 0 2 3 5

 

 

 

^{ } ²

^{1 2 3 7} ^{0 1 1 2}

0 0 1 1

 

 

  

 

 

(2) ╳﹕ 有

^0,0,0

之

解 .

(3) ╳﹕ 一﹐三例 . 列成比

(4) ╳﹕ 二﹐三例 . 列成比

(5)○ ﹕ 恰

有解一

^2,1,1

.

9.

四球心

連圖所示成一邊長 2 之體﹐如 . 為正四面

(1)○.

(2)○.

(3) ╳﹕

^PAB為為為為為

. (4)○.

(5) ╳﹕ 正四面

體之高為 6 2 6

3  2= 3

∴ P到 xy 平 2 6 面之距離為

1+ 3 .

10. ^{f x}  ^與^{g x}  ^互

為函數反

(1)○﹕

^f  ³ ^⁶

﹐ 則

g ⁶  ³ ^{log 6 3}a 

g ³⁶ log 36 2 log 6 2 3 6_a  _a   

.

(2)○﹕

 

238 19

219

238 219

f a

f



a



a

 

38 19

19

38 19

f a

f



a



a

.

(7)

(3) ╳﹕



²³⁸

 

²¹⁹



log 238 log 219 log ²³⁸

a a a

219

g



g

  

 

³⁸

 

¹⁹ log 38 log 19 log ³⁸ log 2

a a a

19

a

g



g

    .

(4)○﹕ 如

圖 .

(5)○﹕

^y^⁵^x

對

稱於

^x^ ^y

之 1 直線為

y

 5

x

∴ 與

^{y g x}^   ^也

.

^有^兩^個^交^點

11. 令 ^{f x}  ^^x³^^bx²^^{cx d}^

^f  ¹ ^{    }¹ ^{b c d} ¹

…

^f  ² ^{ }^{8 4}^b^²^{c d}^{ }²

…

^f  ⁵ ^^{125 25}^ ^b^⁵^{c d}^{ }⁵

…

解 得

b 8,c18,d 10

 

∴

^{f x}  ^^x³^⁸^x²^¹⁸^x^¹⁰

三介根

於

     0,1 , 2,3 , 4,5

之間

故

選 (2) (4).

第 ﹕選二部分填題

A. 令tlog₂x

﹐則 2

log 4 2log 2

_x _x

 

t

原

2

² 式

1 2 0

t t t

      

t ^{ }^t ² ^t^{    }¹ ⁰ ^t ²^為^t^¹

即log₂x 2為 log₂ x1

故

¹ ²

 

x

 4 或

x

 不合 .

B.

2 1

PQ   3

PC

  3

PA



3PQ 2PC PA   ^^{2PC 3 1,5}^^    ^ ^4,3

x 0 1 2 3 4 5

 

f x -10 1 2 -1 -2 5

(8)

即^BC^^{ } ^1,12

^.

C.

76 15 92 45 55 21 79.

    

D. ( 解

一 )

a_n  a1 n1d

a13 a1 13 1 2 64   a140 和

2

1 

1



25 80 24 2

 

2 2 1600

n a n d

S

           .

^(解

二 )

和25為為為 25 64 1600 

.

E. APB ^為

﹐表

_AB

為

^直^角

示直徑

∴ 12 5 13 , 13

B 

      .

F. 依

球有下列三項帽討論

^衣^鞋

 黑

   2 2 3 12

灰

 紅

   1 2 2 4

 藍

   1 3 3 9

共 12+4+9 = 25 種 . 有

G. ( 解

一 )

令a_i表 i 號 球之個數

  ¹ ² ¹⁰

1 2 10

1 2 ... 10 ...

a a a

E a a a

     

   

甲 …

  ¹ ² ¹⁰

1 2 10

10 9 ... 1 ...

a a a

E a a a

     

   

乙 …

 + 

   

¹¹ ⁶⁷

 

¹¹

E

甲 

E

乙   14 

E

乙 

 

¹¹ ⁶⁷ ⁸⁷

14 14



E

乙    .

^(解

二 )

令p_k 為

抽機到 k 號率球之

則   1 2 10

1 2 ... 10 67

E

甲    

p p

  

p

 14

E  乙  11 1  p111 2  p2 ... 11 10 p10

 11  p1p2 ... p10    1 p1 2 p2  ... 10 p10

(9)

67 87 11 14 14

   .

H.

如

圖為線

x 軸

準

∴

^PF ^^{PQ b}^

^^PFH^中

﹐ ^PF=2PH ^{ }

^b

²

^b

^{  } ⁶

 ^b

¹²

.

I. ABC為 ,BC² 3²5²   2 3 5 cos120^ 49

∴

^BC^⁷

利中線用定

理

﹐

^AB²

^

^AC²

^ ² 

^AM²

^

^BM²



²

49 19

9 25 2

4 2

AM AM

 

       

 

2 2

2

19 7

3 2 2 1

,cos 19 2 19

2 3 2

ABM



   

     

   

 

 

 為

∴ 5 3 tan 5 3

  1  .

96 年 數學科 學科能力測驗試卷