2-2 線性規劃

(1)

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch2 直線與圓

2-2 線性規劃

(2)

甲、二元一次不等式

課本頁次： 98

1 x y 

O x

y

1 x y 

(

上半平面、右半平面

)

(3)

甲、二元一次不等式

課本頁次： 99

1 x y 

O x

y

1 x y 

1 x y 

(

下半平面、左半平面

)

(4)

甲、二元一次不等式

課本頁次： 99

1 x y 

O x

y

1 x y 

( 若圖解包含直線﹐則直線以實線表示 .)

(5)

甲、二元一次不等式

課本頁次： 99

1 x y 

O x

y

1 x y 

1 x y 

( 若圖解包含直線﹐則直線以實線表示 .)

(6)

例 1 _{圖示二元一次不等式}

解：

課本頁次： 100

3

x

 2

y

 的解﹒ 6

O x

y 3

x y

0 2

0

3

x

 2

y

 6

3

x

 2

y

 6

(2,0) (0,3)

(0,0)

將代入 3

x

 2

y

得 3 0 2 0 0    



6

為 (0,0) 所在的半平面不等式的解

3

x

 2

y

 6

(7)

隨 1 圖示二元一次不等式 (1) 解：

課本頁次： 100

2 4

x



y

 的解﹒

O 2

x y

0 4

0

: 2 4

L x



y



2 4

x



y



(4,0) (0,2)

(0,0)

將代入

x

 2

y

得 0 2 0 0   



4

為不含 (0,0) 所在的半平面與直線 L 不等式的解

x y

: 2 4

L x



y



(8)

隨 1 圖示二元一次不等式 (2) 解：

課本頁次： 100

2

x

 的解 ﹒

O 0

x y

2 2

2

: 2

L x



2

x



(2,0) (2,2) (0,0)

將代入

x

 0

y

得 0 0 0 0   



2

為不含 (0,0) 所在的半平面與直線 L 不等式的解

x y

: 2

L x



(9)

隨 1 圖示二元一次不等式 (3) 解：

課本頁次： 100

1

y

  的解 ﹒

1 O

 x

y

2 4

1

: 1

L y

 

1

y

 

(2, 1)  (4, 1)  (0,0)

將代入 0x y  得 0 0 0 0   



 1

為不含 (0,0) 所在的半平面不等式的解

x

: 1

y

L y

 

(10)

例 2 圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 101

5 2 2

x y

x y

  

  



5 x

y

0 5

0

5

x y

  5

x y

 

(5,0) (0,5)

(0,0)

將代入 x 

y

得 0 0 0  



5

為 (0,0) 所在的半平面與直線 x + y = 5

不等式的解 O x



x y

  5

y

(11)

例 2 圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 101

5 2 2

x y

x y

  

  



1 x

y

0 2

0

2 2

x



y



2 2

x



y

 (2,0)

(0, 1)  (0,0)

將代入

x

 2

y

得 0 2 0 0   



2

為不含 (0,0) 所在的半平面與直線

不等式的解 O x



x

 2

y

 2

y

(5,0) (0,5)

2 2 x  y 

(12)

例 2 圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 101

5 2 2

x y

x y

  

  



(2,0) (0, 1) 

O x

y

(5,0) (0,5)

聯立不等式的解﹐ 如右圖所示﹒

(13)

隨 2 圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 102

2 4

2 2

x y x y

 

   



2 x

y

0 4

0

2 4

x



y

 2 4

x



y



(4,0) (0,2)

(0,0)

將代入

x

 2

y

得 0 2 0 0   



4

為 (0,0) 所在的半平面與直線

不等式的解 O x



x

 2

y

 4

y

2 4 x  y 

(14)

隨 2 圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 102

2 4

2 2

x y x y

 

   



(0,2)

O x

y 2

x y

0 1

0

2

x y

  2 (0,0)

將代入 2x 

y

得 2 0 0 0   



2

為不含 (0,0) 所在的半平面與直線 2x+ y = 2 不等式的解

 2

x y

  2

(1,0)

2

x y

  2

(4,0)

(15)

隨 2 圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 102

2 4

2 2

x y x y

 

   



(0,2)

O x

y

(1,0) (4,0)

聯立不等式的解﹐

如右圖所示﹒

(16)

例 3

圖解二元一次聯立不等式解：

課本頁次： 102

2 4

y x y x y

  

  

    





y

  2



x y

  4

4

x y

 

y

  2 2

y

 

O x

y

(6, 2)

(4,0)

4

x y

 

2 x

y

6 4

0

(17)

例 3

圖解二元一次聯立不等式解：

2 4

y x y x y

  

  

    





y

  2



x y

  4

4

x y

 

y

  2

 2

x y

   4

O x

y

( 3, 2) 

( 2,0)  (4,0) 2

x y

   4 2

x y

   4

2 x

y

3 2 0

(6, 2)

課本頁次： 102

(18)

例 3

圖解二元一次聯立不等式解：

2 4

y x y x y

  

  

    





y

  2



x y

  4

4

x y

 

y

  2

 2

x y

   4

O x

y

( 2,0)  (4,0) 2

x y

   4

聯立不等式的解﹐

如右圖所示﹒

2

x y

   4

( 3, 2)  (6, 2)

課本頁次： 102

(19)

例 3

圖解二元一次聯立不等式解：

2 4

y x y x y

  

  

     4 

2 4

x y x y

  

   



4

x y

 

y

  2

O x

y

(0,4)

2

x y

   4 3

x

0  

( 3, 2)  (6, 2)

0 4

x

y

 

   

課本頁次： 102

(20)

隨 3

圖解二元一次聯立不等式解：

1 2 3 2

x

x y x y

  

  

   





x

  1



x y

  2

2

x y

  1

x

 

1

x

 

O x

y

( 1,3)

(2,0) 2

x y

 

3

x y

1 2 0

課本頁次： 103

(21)

隨 3

圖解二元一次聯立不等式解：

1 2 3 2

x

x y x y

  

  

   





x

  1



x y

  2

2

x y

  1

x

 



x

 3

y

 2

1 x

y

1 2 0

( 1, 1)  O x y

(2,0)

3 2

x



y



( 1,3)

課本頁次： 103

3 2

x



y



(22)

隨 3

圖解二元一次聯立不等式解：

1 2 3 2

x

x y x y

  

  

   





x

  1



x y

  2

2

x y

  1

x

 



x

 3

y

 2

( 1, 1)  (2,0)

3 2

x



y



( 1,3)

O x

y

聯立不等式的解﹐ 如右圖所示﹒

課本頁次： 103

3 2

x



y



(23)

甲、二元一次不等式

在坐標平面上﹐ 點 (x,y) 的 x 坐標與 y 坐標都是

整數。

例如：點

(1,2)

為一個格子點。

格子點

課本頁次： 103

(24)

例 4

圖解二元一次聯立不等式

解：

2 6

2 0

0

x y x y x

y

  

  

  

   2

x y

  6 

2

x y

  6

O x

y

(0,6)

(3,0)

2

x y

  6

6 x

y

0 3

0

，並求在此解區域內有多少個格子點 ﹒

課本頁次： 103

(25)

例 4

圖解二元一次聯立不等式

解：

2 6

2 0

0

x y x y x

y

  

  

  

   2 

x y

 

2

x y

  6 2

x y

 

2

x y

 

O x

y

(0,6)

(3,0)

2

x y

  6

2 x

y

0 2

0

，並求在此解區域內有多少個格子點 ﹒

(0,2)

(2,0)

課本頁次： 103

(26)

例 4

圖解二元一次聯立不等式

解：

2 6

2 0

0

x y x y x

y

  

  

  

  



O x

y

(0,6)

(3,0)

，並求在此解區域內有多少個格子點 ﹒

(0,2)

(2,0)

∴共有 13 個格子點



x

  0 有 5 點



x

 1  有 4 點



x

  2 有 3 點



x

 3  有 1 點

1

4 1

3

5     3

課本頁次： 103

(27)

隨 4

圖解二元一次聯立不等式

解：

3 2 6 4 5 20

0 0

x y

x y x

y

 

   

  

   3

x

 2

y

 6 

3

x

 2

y

 6

(0,3)

(2,0)

3

x

 2

y

 6

3

x y

0 2

0

，並求此解區域內有多少個格子點 ﹒

O x

y

課本頁次： 104

(28)

隨 4

圖解二元一次聯立不等式

解：

3 2 6 4 5 20

0 0

x y

x y x

y

 

   

  

   4

x

 5

y

 20 

3

x

 2

y

 6

(0,3)

(2,0)

3

x

 2

y

 6

4

x y

0 5

0

，並求此解區域內有多少個格子點 ﹒

O x

y

4

x

 5

y

 20

(0,4)

(5,0)

4

x

 5

y

 20

課本頁次： 104

(29)

隨 4

圖解二元一次聯立不等式

解：

3 2 6 4 5 20

0 0

x y

x y x

y

 

   

  

  



(0,3)

(2,0)

，並求此解區域內有多少個格子點 ﹒

O x

y (0,4)

(5,0)



x

  有 2 點 1



x

 2  有 2 點



x

  3 有 1 點

∴共有 5 個格子點

2 2 1   

5

課本頁次： 104

(30)

乙、最佳值

2 6

2 6 0

0

x y x y x

y

  

  

  

  



6

x y

 

4 x y 

x y k 

( ,0)k

0

x y

 

∴ x + y 最小值 = 4

 畫出聯立不等式的解區域 .

 將直線平行移動到與解區域相交 ﹐ 平行線法

的最小值或最大值 ﹒

ax by

ax by k 

即可找出

(2,2)

O x

y

(6,0) (0,6)

課本頁次： 104

(31)

例 5

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

4 3 6

0 0

x y

x y x

y

  

  

  

   4 

x y

 

4

x y

 

O x

y

(0,4)

4

x y

 

4

x y

0 4

0

，求 2x + y 的最小值 ﹒

(4,0)

課本頁次： 105

(32)

例 5

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

4 3 6

0 0

x y

x y x

y

  

  

  

   3

x y

  6 

4

x y

 

O x

y

(0,4)

(4,0)

4

x y

 

6

x y

0 2

0

，求 2x + y 的最小值 ﹒

3

x y

  6

(0,6)

(2,0)

3

x y

  6

課本頁次： 105

(33)

例 5

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

4 3 6

0 0

x y

x y x

y

  

  

  

  



4

x y

 

O x

y

，求 2x + y 的最小值 ﹒

3

x y

  6

(0,6)

(2,0) (0,4)

(4,0)

4 3 6

x y x y

  

  



2

x

2   1

3

x

y

 

   

(1,3)

課本頁次： 105

(34)

例 5

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

4 3 6

0 0

x y

x y x

y

  

  

  

  



O x

y

，求 2x + y 的最小值 ﹒

(0,6)

(4,0) (1,3)

2

x y

  0

2x  

y k

2x  

y k

將代入



(1,3)

1 5

2

3 k

   

∴ 2x + y 的最小值 = 5

課本頁次： 105

(35)

隨 5 已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

4 3 6

x y

x y

  

  



4

x y

 

4

x y

 

O x

y

(0,4)

4

x y

 

4

x y

0 4

0

，求 x + 2y 的最大值 ﹒

(4,0)

課本頁次： 105

(36)

隨 5 已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

4 3 6

x y

x y

  

  



4

x y

  4

x y

 

，求 x + 2y 的最大值 ﹒

3 6

x



y



2 x

y

0 6

0

3 6

x



y

 3 6

x



y



O x

y

(0,4)

(4,0) (0,2)

(6,0)

課本頁次： 105

(37)

隨 5 已知 x﹐y 滿足聯立不等式 4 3 6

x y

x y

  

  



4

x y

 

，求 x + 2y 的最大值 ﹒

3 6

x



y



O x

y

(0,4)

(4,0) (0,2)

(6,0)

解： 4

3 6

x y

x y

  

  



2

y

2   1 3

y

x

 

   

(3,1)

課本頁次： 105

(38)

隨 5 已知 x﹐y 滿足聯立不等式 4 3 6

x y

x y

  

  

 ，

求 x + 2y 的最大值 ﹒

O x

y

(4,0) (0,2)

解：

(3,1)

2 0

x



y



2

x



y



k

2

x



y



k

將

代入



(3,1)

2

5

3 1

k

   

∴ x + 2y 的最大值 = 5

課本頁次： 105

(39)

例 6

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

解：

2 2

3 2 18 0

0

x y x y x

y

  

   

  

   2

x y

   2 

2

x y

   2

O x y

(0,2)

2

x y

   2

2

x y

0 1 0

，求 x + 2y 的最大值與最小值 ﹒

( 1,0)

課本頁次： 106

(40)

例 6

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

2 2

3 2 18 0

0

x y x y x

y

  

   

  

  



2

x y

   2

O x y

(0,2)

2

x y

   2

，求 x + 2y 的最大值與最小值 ﹒

( 1,0)

解： 3 2 18

2 2

x y x y

 

    



2 6

x

y

 

   

(2,6)

課本頁次： 106

(41)

例 6

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

2 2

3 2 18 0

0

x y x y x

y

  

   

  

  



2

x y

   2

O x y

(0,2)

，求 x + 2y 的最大值與最小值 ﹒

( 1,0)

解： 3 2 18

0

x y

y

 

  



6 0

x

y

 

   

(2,6)

(6,0)

3

x

 2

y

 18 2

x y

   2

3

x

 2

y

 18

課本頁次： 106

(42)

例 6

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

2 2

3 2 18 0

0

x y x y x

y

  

   

  

  



O x

(0,2)

，求 x + 2y 的最大值與最小值 ﹒

解：

(2,6)

(6,0)

2 0

x



y



2

x



y



k

2

x



y



k

代入

(2,6)

1

2

6 4

k

   

∴ x + 2y 的最大值 = 14

將

y

課本頁次： 106

(43)

例 6

已知 x﹐y 滿足聯立不等式

2 2

3 2 18 0

0

x y x y x

y

  

   

  

  



O x

y

(0,2)

，求 x + 2y 的最大值與最小值 ﹒

解：

(2,6)

(6,0)

2 0

x



y



∴ x + 2y 的最小值 = 0

課本頁次： 106

將 (0,0) 代入 x + 2y = k

得 k = 0

(44)

頂點法

當解區域為一個封閉的多邊形 ( 含邊界 ) 時﹐

將解區域的所有頂點坐標代入

ax by

求出其值 ﹐ 就可以找到

ax by

的最大值或最小值。

課本頁次： 106

(45)

頂點法

O x

y

(0,2)

例 6

(2,6)

(6,0)

解區域的頂點坐標分別

( , )

x y

2

x



y

(0,0),(6,0),(2,6),(0,2) 所對應的函數值

如下表：

2

x



y

(0,0) (6,0) (2,6) (0,2)

0 6 14 4

x + 2y 最大值 14

最小值 0

課本頁次： 106

(46)

例 7

已知聯立不等式

0 0

4 12 0 3 18 0

x y

ax y x by

 

  

   

    



的圖形如下 ﹐

O x

y

(0,3)

(4,6)

(6,0)

(1) 求 a,b 的值 .

解：

4 12 0

x y

a

  

(4,6)

代入

4 12

4 6

0     

a



 a = 3 將

課本頁次： 107

(47)

例 7

已知聯立不等式

0 0

4 12 0 3 18 0

x y

ax y x by

 

  

   

    



的圖形如下 ﹐

O x

y

(0,3)

(4,6)

(6,0)

(1) 求 a,b 的值 .

解：

3

x



by

 18 0 

(4,6)

代入

3

4 b 6

18 0

     

 b = 1 將

課本頁次： 107

(48)

例 7

O x

y

(0,3)

(4,6)

(6,0)

(2) 求 5x + 7y － 30 的最大值與最小值 ﹒

解：

解區域的頂點坐標分別

( , )

x y

5

x

 7

y

 30

(0,0),(6,0),(4,6),(0,3) 所對應的函數值

如下表：

5

x

 7

y

 30

(0,0) (6,0) (4,6) (0,3)

 30 0 32  9

5x + 7y-30 最大值 32

最小值 -30

課本頁次： 107

(49)

隨 7

O x

y (1,3)

(3,5)

(6,1)

求 y － 2x 的最大值與最小值 ﹒

解：

頂點坐標

( , )

x y

2

y



x

(1,3) (6,1) (

, ,

3,5)

所對應的函數值

如下表：

2

y



x

(1,3) (6,1) (3,5) 1  11  1

y-2x 的最大值 1

最小值 -11

為右圖三角形區域及其內部的點 ﹐ 已知 ( , )

x y

，

課本頁次： 107

(50)

丙、線性規劃

很多生活中的問題都和數學上二元一次聯立不等式及其解的極值有關 ﹒

例如在考慮資金﹐ 人力﹐ 運費等限制條件下 ﹐ 如何配置才能有最大收益或是最小開銷 ﹐

求此類問題的方法稱為線性規劃。

課本頁次： 107

(51)

例 8 某公司有 A, B 兩家裝配廠 生產大小兩型的汽車

若

A

廠每小時可完成 1 輛大型車與 2 輛小型車；

B 廠每小時可完成 3

輛大型車與

1

輛小型車 .

今公司接到訂單  欲訂購

40

輛大型車與

20

輛小型車  問這兩家裝配廠各工作幾小時 

才能使所費總工作時數最少？

解：



設

A

廠工作

x

小時 

B

廠工作

y

小時  總工作時數

P

 

x y

A B 需求大

小

車型工廠

1 2

3 1

40 20

課本頁次： 108

(52)

例 8

解：設 A 廠工作 x 小時

B 廠工作 y 小時

總工作時數

P

 

x y

A B 需求大

小

車型工廠

1 2

3 1

40 20 問兩家各工作幾小時 才能使總工作時數最少？

3 40 2 20

0 0

x y

x y x

y

 

   

  

  



O x

y

(40,0) (0,20)

3 40

x



y



2

x y

  20

課本頁次： 108

(53)

例 8

解：設 A 廠工作 x 小時

總工作時數

P

 

x y

A B 需求大

小

車型工廠

1 2

3 1

40 20 問兩家各工作幾小時 才能使總工作時數最少？

3 40 2 20

x y x y

 

   



O x

y

(40,0) (4,12)

(0,20)

4

12

x

y

 

   

課本頁次： 108

(54)

例 8

解：設 A 廠工作 x 小時

總工作時數

P

 

x y

A B 需求大

小

車型工廠

1 2

3 1

40 20 問兩家各工作幾小時 才能使總工作時數最少？

O x

y

(40,0) (4,12)

(0,20)

0

x y

 

x

 

y k x

 

y k

將代入



(4,12)

4 12 16 k

  

∴ x + y 的最小值 = 16

(A 廠 4 小時 B 廠 12 小時 )

課本頁次： 108

(55)

隨 8 某廠以 A B 兩種規格的紙板來生產甲乙兩產品

A

規格紙板每張可做甲產品 3 個和乙產品 5 個 

B

規格紙板每張可做甲產品

6

個和乙產品

3

個 . 今接獲訂單  需供應甲產品

45

個  乙產品

40

個 

求兩種紙板各用多少張 

才能達訂單需求且使紙板的總使用張數為最少？

解：



設

A

規格紙板

x

張 

B

規格紙板

y

張  總張數

P

 

x y

A B 需求甲

乙

產品規格

3 5

6 3

45 40

課本頁次： 109

(56)

隨 8

解：設

A

規格紙板

x

張 

B

規格紙板

y

張  總張數

P

 

x y

A B 需求甲

乙

產品規格

3 5

6 3

45 40 問兩種紙板各用多少張 才能使總張數最少？

3 6 45 5 3 40

0 0

x y x y x

y

 

   

  

  



O x

y

(15,0) (0, 40)

3

x

 6

y

 45

5

x

 3

y

 40

課本頁次： 109

(57)

隨 8

解：設

A

規格紙板

x

張 

B

規格紙板

y

張  總張數

P

 

x y

A B 需求甲

乙

產品規格

3 5

6 3

45 40 問兩種紙板各用多少張 才能使總張數最少？

3 6 45 5 3 40

x y x y

 

   



O x

y

(15,0) (0, 40)

3

5

x

y

 

   

(5,5)

課本頁次： 109

(58)

隨 8

解：設

A

規格紙板

x

張 

B

規格紙板

y

張  總張數

P

 

x y

A B 需求甲

乙

產品規格

3 5

6 3

45 40 問兩種紙板各用多少張 才能使總張數最少？

O x

y

(15,0) (0, 40)

3 (5,5)

0

x y

 

x

 

y k x

 

y k

將代入



(5,5)

5 0

5 1

k

  

∴ x + y 的最小值 = 10

(A 規格 5 張 B 規格 5 張 )

課本頁次： 109

(59)

丙、線性規劃

線性規劃問題通常有兩個變量 x 與 y

它們會受到數個二元一次不等式的限制 

這些聯立不等式所形成的圖形稱為可行解區域  問題的目標

在可行解區域內  找出點

(x y)

+

P ax by c 

是一個 x 與 y 的一次

使目標函數

P 的值最大或最小 這樣的點叫做最佳解



課本頁次： 109

函數叫做目標函數 

(60)

例 9 某工廠生產 A B 兩種產品

生產

A

產品 1 噸須用燃料 8 噸  電 2 千瓦  工人 1 名生產

B

產品 1 噸須用燃料

9

噸  電

1

千瓦  工人

3

名 

A 產品每噸可獲利 7 萬元 B 產品每噸可獲利 5 萬元

每天燃料供應量最多為

240

噸 

用電供應量最多為

50

千瓦  工人最多

60

人此廠每天應生產 A B 兩種產品各多少噸



才能獲利最高？最高利潤是多少？

課本頁次： 109

(61)

例 9

解：

每天生產 A B 產品各多少噸才能獲利最高？

設每天生產 A 產品 x 噸  B 產品 y 噸 . 欲求獲利

P

 7

x

 5

y

的最大值 

8 9 240, 2 50,

3 60, 0,

0.

x y x y x y x

y

 

   

  

  

 



需求產品

燃料用電工人獲利

A B

限制

8 9 240

2 1 7 萬

1 3 5 萬

50 60

課本頁次： 109

(62)

例 9

求

P

 7

x

 5

y

的最大值  8 9 240,

2 50, 3 60,

0, 0.

x y x y x y x

y

 

   

  

  

 



O x

y

(25,0)

2

x y

  50

0 x

y



25

且斜率

=  2

2

x y

  50

課本頁次： 109

(63)

例 9

求

P

 7

x

 5

y

的最大值  8 9 240,

2 50, 3 60,

0, 0.

x y x y x y x

y

 

   

  

  

 



O x

y

(25,0) (0,20)

3 60

x



y



20 x

y



0

且斜率

=

1  3

2

x y

  50 3 60

x



y



課本頁次： 109

(64)

例 9

求

P

 7

x

 5

y

的最大值  8 9 240,

2 50, 3 60,

0, 0.

x y x y x y x

y

 

   

  

  

 



O x

y

(25,0) (0,20)

(18,14)

2

x y

  50 3 60

x



y



2 50 3 60

x y

x y

  

  



18 14

x

y

 

   

課本頁次： 109

(65)

例 9

求

P

 7

x

 5

y

的最大值  8 9 240,

2 50, 3 60,

0, 0.

x y x y x y x

y

 

   

  

  

 



O x

y

(25,0) (0,20)

(18,14)

2

x y

  50 8   

18

9

14

 24 0

12 16

x

y

 

    8 9 240

3 60

x y

 

   



3 60

x



y



(12,16)

8x  9y  240

(0,0) (18,14)

 與

8

x

 9

y

 240

在之異側

課本頁次： 109

(66)

例 9

求

P

 7

x

 5

y

的最大值  8 9 240,

2 50, 3 60,

0, 0.

x y x y x y x

y

 

   

  

  

 



O x

y

(25,0) (0,20)

(18,14)

2

x y

  50 21

8

x

y

 

    8 9 240

2 50

x y

x y

 

   



3 60

x



y



(12,16)

(21,8) ⁸^x ^ ⁹^y ^ ²⁴⁰

課本頁次： 109

(67)

例 9

求

P

 7

x

 5

y

的最大值 

O x

y

(25,0) (0,20)

(12,16)

(21,8)

7

x

 5

y

 0

7

x

 5

y



k

7

x

 5

y



k

將代入



(21,8)

7

21

5

8 187 k

    

∴

7x + 5y 的最大值 = 187

故每年生產 A 產品 21 噸 B 產品 8 噸時

可得最大利潤 187 萬元﹒

課本頁次： 109

(68)

隨 9 ^{打桌球一小時收費} 30 元  可消耗熱量 300 卡路里

游泳一小時收費

50

元  可消耗熱量 450 卡路里

某人每週最多能抽出

8

小時運動  又希望總花費不超過

300

元 

該如何分配兩種運動時數才可消耗最多熱量？

解：



設桌球 x 小時 

游泳 y

小時 

消耗熱量

P

 300

x

 450

y

桌球

游泳限制

小時

收費熱量

x 30

y 50

8 300

300 450

課本頁次： 110

(69)

隨 9

_P

_ ₃₀₀

_x

_ ₄₅₀

_y

_桌球

_游泳 _限制

小時收費熱量

x 30

y 50

8 300

300 450

8 30 50 300 0

0

x y

x y

  

  

  

  



8

x y

 

8

x y

 

O x

y

(0,8)

8 x

y

0 8

0

(8,0)

課本頁次： 110

(70)

隨 9

_P

_ ₃₀₀

_x

_ ₄₅₀

_y

_桌球

_游泳 _限制

小時收費熱量

x 30

y 50

8 300

300 450

8 30 50 300 0

0

x y

x y

  

  

  

  



30

x

 50

y

 300

8

x y

 

O x

y

(0,8)

6 x

y

0 10 0

(8,0) (0,6)

(10,0)

30x  50y  300

課本頁次： 110

(71)

隨 9

_P

_ ₃₀₀

_x

_ ₄₅₀

_y

_桌球

_游泳 _限制

小時收費熱量

x 30

y 50

8 300

300 450

8 30 50 300 0

0

x y

x y

  

  

  

  



8

x y

 

O x

y

(0,8)

(8,0) (0,6)

(10,0)

30x  50y  300

8 30 50 300

x y

x y

  

  



5 3

x

y

 

   

(5,3)

課本頁次： 110

(72)

隨 9

_P

_ ₃₀₀

_x

_ ₄₅₀

_y

(8,0) (0,6) (5,3)

求的最大值 

300

x

 450

y

 0

300

x

 450

y



k

300

x

 450

y



k

將代入



(5,3)

300

5

450

3 28 05 k

    

300 x + 450 y 最大值 = 2850

故每週打桌球 5 小時﹐游泳 3 小時﹐

可消耗最多熱量 2850 卡﹒

O x

y

課本頁次： 110

(73)

例 10 ^{某公司所生產的產品} 

存放在甲、乙兩倉庫分別有 40 單位與 50 單位現在

A 市場的需求量是 30 單位 B 市場的需求量是 40 單位

下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本：

在滿足兩市場的需求下 

應如何分配才可最節省運輸成本？

A B 甲

乙

倉庫市場

100元 120元

140元 150元

課本頁次： 111

(74)

例 10

解：

應如何分配才可最節省運輸成本？

設由甲倉庫運送

x

單位到 A 市場

y

單位到 B 市場則由乙倉庫運送

(30 － x)

單位到 A 市場

(40

－ y)

單位到 B 市場

倉庫市場

甲乙需求

A B

庫存

x y 40

30 x

30

40 y

40

50

 

 



40 x y 

(30  x) (40  y) 50

0

x

 0

y



30  

x

0 40  

y

0

課本頁次： 111

(75)

例 10

解：

應如何分配才可最節省運輸成本？

設由甲倉庫運送

x

單位到 A 市場

y

單位到 B 市場則由乙倉庫運送

(30 － x)

單位到 A 市場

(40

－ y)

單位到 B 市場

 

 



40 x y 

(30  x) (40  y) 50

0

x

 0

y



30  

x

0 40  

y

0 20 40

0 30 0 40

x y x

y

  

 

   

  



課本頁次： 111

(76)

例 10

解：

應如何分配才可最節省運輸成本？

設由甲倉庫運送

x

單位到 A 市場

y

單位到 B 市場則由乙倉庫運送

(30 － x)

單位到 A 市場

(40

－ y)

單位到 B 市場

20 40

0 30 0 40

x y x

y

  

   

   



A B 甲

乙

倉庫市場

100元 120元

140元 150元

運輸成本

P

 100

x

 140

y

 120(30 

x

) 150(40  

y

) 20

x

10

y

9600

   

課本頁次： 111

(77)

例 10

解：

20 40

0 30 0 40

x y x

y

  

   

   



運輸成本

P

 100

x

 140

y

 120(30 

x

) 150(40  

y

) 20

x

10

y

9600

    的最小值 

O x

y

(0,40)

20

x y

 

(0,20)

40

x y

 

30

x



40

y



(20,0) (30,0)

(40,0)

40 30

x y x

  

  

30 10

x

y

 

   

課本頁次： 111

(30,10)

(78)

例 10

解：

運輸成本

P

  20

x

 10

y

 9600 的最小值 

O x

y

(0,40)

(0,20)

(20,0) (30,0) (30,10) 20x 10y

 0

20x 10y k 20x 10y k



將代入



(30,10)

20

30

10

10 700 k

    

∴ 20x + 10y 最大值 = 700

20 10

(

x y

) 9600

 



 9600

89

700 00 ( )

   

元

課本頁次： 111

(79)

例 10

解：

運輸成本

P

  20

x

 10

y

 9600 的最小值 

O x

y

(30,10)

20x 10y k 20 10

(

x y

) 9600

 



 9600

89

700 00 ( )

   

元

當 x =30 y =10 時

運輸成本為最小 

課本頁次： 111

(80)

例 10

解：

運輸成本

P

  20

x

 10

y

 9600 的最小值 

20 10

(

x y

) 9600

 



 9600

89

700 00 ( )

   

元

當 x =30 y =10 時

運輸成本為最小 

倉庫市場

甲乙需求

A B

庫存

x y 40

30 x

30

40 y

40

50

∴倉庫甲運送 30 單位到市場 A 10 單位到市場 B

倉庫乙運送 0 單位到市場 A 30 單位到市場 B

30 10 0 30

課本頁次： 111

(81)

隨 10 ^{某公司所生產的產品} 

存放在甲、乙兩倉庫各有 40 單位現在

A 鎮的需求量是 20 單位 B 鎮的需求量是 30 單位

下表是各倉庫運輸到兩鎮的每單位運輸成本：

在滿足兩鎮的需求下 

應如何分配才可最節省運輸成本？

A B 甲

乙

倉庫城鎮

35元 40元

20元 30元

課本頁次： 112

(82)

隨 10

解：

應如何分配才可最節省運輸成本？

設由甲倉庫運送

x

單位到 A 市場

y

單位到 B 市場則由乙倉庫運送

(20 － x)

單位到 A 市場

(30

－ y)

單位到 B 市場

倉庫市場

甲乙需求

A B

庫存

x y 40

20 x

20

30 y

30

40

 

 



40 x y 

(20  x) (30  y) 40

0

x

 0

y



20  

x

0 30  

y

0

課本頁次： 112

(83)

隨 10

解：

應如何分配才可最節省運輸成本？

設由甲倉庫運送

x

單位到 A 市場

y

單位到 B 市場則由乙倉庫運送

(20 － x)

單位到 A 市場

(30

－ y)

單位到 B 市場

 

 



40 x y 

(20  x) (30  y) 40

0

x

 0

y



20  

x

0 30  

y

0 10 40

0 20 0 30

x y x

y

  

 

   

  



課本頁次： 112

(84)

隨 10

解：

應如何分配才可最節省運輸成本？

設由甲倉庫運送

x

單位到 A 市場

y

單位到 B 市場則由乙倉庫運送

(20 － x)

單位到 A 市場

(30

－ y)

單位到 B 市場

10 40

0 20 0 30

x y x

y

  

   

   



A B 甲

乙

倉庫市場

35元 40元

20元 30元

運輸成本

P

 35

x

 20

y

 40(20 

x

) 30(30  

y

) 5

x

10

y

1700

   

課本頁次： 112

(85)

隨 10

解：

10 40

0 20 0 30

x y x

y

  

   

   



運輸成本

P

 35

x

 20

y

 40(20 

x

) 30(30  

y

) 5

x

10

y

1700

    的最小值 

O x

y (0,40)

10

x y

 

(0,10)

40

x y

 

20

x



30

y



(10,0)(20,0) (20,20)

40

20

x y x

  

  

20 20

x

y

 

   

(0,30)

課本頁次： 112

(40,0)

(86)

隨 10

解：

10 40

0 20 0 30

x y x

y

  

   

   



運輸成本

P

 35

x

 20

y

 40(20 

x

) 30(30  

y

) 5

x

10

y

1700

    的最小值 

O x

y

10

x y

 

(0,10)

40

x y

 

20

x



30

y



(10,0)(20,0) (20,20)

40

30

x y

y

  

  

10 30

x

y

 

   

(0,30)

(10,30)

課本頁次： 112

(87)

隨 10

解：

運輸成本

P

   5

x

10

y

 1700

5 10

(

x y

) 1700

 



的最小值 

O x

y

(0,10)

(10,0)(20,0) (20,20) (0,30)

(10,30) 5x 10y

 0

5x 10y k 5x 10y k



將代入



(10,30)

5

10

30 350 k

    

∴ 5x + 10y 最大值 = 350

1700

13

350 50 ( )

   

元

課本頁次： 112

(88)

隨 10

解：

運輸成本

P

   5

x

10

y

 1700

5 10

(

x y

) 1700

 



的最小值 

O x

y

(10,30)

5x 10y k

1700

13

350 50 ( )

   

元

當 x =10 y =30 時

運輸成本為最小 

課本頁次： 112

(89)

隨 10

解：

運輸成本

P

   5

x

10

y

 1700

5 10

(

x y

) 1700

 



的最小值  1700

13

350 50 ( )

   

元

當 x =10 y =30 時

運輸成本為最小 

倉庫市場

甲乙需求

A B

庫存

x y 40

20 x

20

30 y

30

40

∴甲倉庫運送 10 單位到 A 市場 30 單位到 B 市場 乙倉庫運送 10 單位到 A 市場 0 單位到 B 市場﹒

10 30 10 0

課本頁次： 112

(90)

例 11 美美想製作兩種手工香皂 ﹐

每個香皂的製作成本分別如下：

A 香皂與 B 香皂每個皆可獲利 200

元﹐

在材料費不超過 175 元﹐

工資不超過 420 元的原則下﹐

應製作兩種香皂各多少個才會有最大利潤？

材料費工資

A B

50元 25元

70元 120元

課本頁次： 113

(91)

例 11 解：設 A 香皂

x

個

B 香皂 y

 個  利潤

P



200x



200y

材料費工資個數

A

B

限制

課本頁次： 113

50元 25元

70元 120元

x 175元

y 420元

70 120 42

0,

50 25 1

0

75 0

, ,

x y

x

x y

y

y x

 

  

 









是整數

2-2 線性規劃

Ch2 直線與圓

2-2 線性規劃

甲、二元一次不等式

(

)

甲、二元一次不等式

(

)

甲、二元一次不等式

( 若圖解包含直線﹐則直線以實線表示 .)

甲、二元一次不等式

( 若圖解包含直線﹐則直線以實線表示 .)

例 1 圖示二元一次不等式

解：

3

 2

 的解﹒ 6

3

 2

 6

3

 2

 6

(2,0) (0,3)

(0,0)

將 代入 3

 2

得 3 0 2 0 0    

6

3

 2

 6

隨 1 圖示二元一次不等式 (1) 解：

2 4



 的解﹒

: 2 4





2 4





(4,0) (0,2)

(0,0)

將 代入

 2

得 0 2 0 0   

4

: 2 4





隨 1 圖示二元一次不等式 (2) 解：

2

 的解 ﹒

: 2



2



(2,0) (2,2) (0,0)

將 代入

 0

得 0 0 0 0   

2

: 2



隨 1 圖示二元一次不等式 (3) 解：

1

  的解 ﹒

: 1

 

1

 

(2, 1)  (4, 1)  (0,0)

將 代入 0x y  得 0 0 0 0   

 1

: 1

 

例 2 圖解二元一次聯立不等式 解：

5 2 2

例 1 _{圖示二元一次不等式}

將代入 3

將代入

將代入

將代入 0x y  得 0 0 0 0   

例 2 圖解二元一次聯立不等式解：

將代入 x 

例 2 圖解二元一次聯立不等式解：

將代入

例 2 圖解二元一次聯立不等式解：

隨 2 圖解二元一次聯立不等式解：

將代入

隨 2 圖解二元一次聯立不等式解：

將代入 2x 