高雄市明誠中學 高二數學複習測驗 日期：100.12.20 範

高雄市明誠中學 高二數學複習測驗 日期：100.12.20 範

圍 3-1 向量(C) 班級 普二 班 姓 座號 名

一、填充題 ( 每題 10 分 )

1.設正六邊形 ABCDEF ﹐其中 (2A , −1)﹐ (4 3)D , ﹐則

|AB

    

+AC +AD+AE+AF|=____________﹒

解答 6 5

解析 設中心O﹐則OA

      

+OB+OC+OD+OE+OF= 0 _﹐

6 6 3

AB+AC+AD+AE +AF = − OA= AO= AD

       

_﹐

|AB

    

+AC+AD+AE+AF|=3 | (2 4) |_, =6 5_﹒

2.AB



= −( 2_, −4)_﹐BC



_{=(3 2), ﹐ BAC∠} 的內分角線交 BC 於 D ﹐則|AD



|=____________﹒

解答 8 3

解析 AC

  

=AB BC+ =(1_, −2)_{﹐又BD CD: =|AB}

 

_{|:|AC|=2 :1﹐}

1 2 1 2 2 2 8

(0 )

3 3 3 3( ) 3 ( 2, 4) 3(3, 2) 3

AD

       

= AB+ AC = AB+ AB BC+ = AB+ BC= − − + = _, − _﹐

| | 8 AD



=3_﹒

3.設



a =(1, −1)﹐



b = −( 2 3), 且 2(

        

x +3 b − a )+3( x +2 a − b )=4(3 b +2 a )−5 x ﹐則 x



=____

解答 7 23

( )

−5 10,

解析 2(

        

x +3 b − a )+3( x +2 a − b )=4(3 b +2 a )−5 x

⇒ 2

        

x +6 b −2 a +3 x +6 a −3 b =12 b +8 a −5 x

⇒ 10

  

x =9 b +4 a = −9( 2 3), +4(1, − = −1) ( 14 23), ⇒ 7 23

( )

x = −5 10



, ﹒

4.平面上相異四點 (0 0)O , ﹐ A ﹐ B ﹐ C ﹐且 (x−2y−3)OA



+(3x− +y 1)OB



+ − +( 4x 3y−13)OC

 

= 0 _﹐ x ﹐ y ∈ ﹐則：(1)若 O 為△ABC 之重心﹐則 (x y, )=____________﹒

(2)若 OABC 為平行四邊形﹐則 (x y, )=____________﹒

解答 (1) ( 2, 0)− ;(2) (8, 10)

解析 (1)∵ O 為△ABC 的重心﹐∴OA

   

+OB+OC= 0

⇒x−2y− =3 3x− + = − +y 1 4x 3y− ⇒13 2 0 x y

= −

=

 



^{﹐∴ (x y, )= −( 2 0), ﹒} (2)∵ OABC 為平行四邊形﹐∴ OA OC

  

+ =OB_﹐

又 (x−2y−3)OA



+ − +( 4x 3y−13)OC



= −(3x− +y 1)OB



_﹐

∴x−2y− = − +3 4x 3y−13= −(3x− + ⇒y 1) 8 10 x y

=

=

 



^{﹐∴ (x y, )=(8 10), ﹒} 5.四邊形 ABCD 中﹐AC

  

=3AB+2AD﹐ BD 與 AC 交於 E ﹐則AE EC: = ____________﹒

解答 1：4

解析 令AB

 

′ =3AB_﹐AD

 

_{′ =2AD﹐∵AC}

 

_{//AE且 D E B− − 三點共線﹐}

∴ AE

  

=x AB+y AD_⇒ ^{: 3 : 2} 1 x y x y

= + =

 



3 2 1

5 5 5

AE= AB+ AD= AC

⇒

   

_﹐

∴AE EC: =1: 4﹒

6.設 G 為△ABC之重心﹐P 為 AG 之中點﹐若 AP

  

=x AC+y BG﹐x y^, ∈﹐則數對 (x y, )=___________﹒

解答 1 1

( )

4,−4

解析 ∵ G 為△ABC之重心﹐AG BG CG

   

+ + = 0 ⇒ AG BG

    

+ +(AG AC− )= 0 ⇒ 2 AG AC BG

  

= − _⇒ ^{1 1}

2 2

AG

  

= AC− BG﹐

又 P 為 AG



之中點﹐∴ 1 1 1 1 1 1

( )

2 2 2 2 4 4

AP= AG= AC− BG = AC− BG

     

﹐故 1 1

( ) ( )

4 4 x y, = , − ﹒ 7.△ ABC 中﹐AB= ﹐4 BC= ﹐5 CA= ﹐若 I 為其內心﹐且 AI6

  

=α AB+βAC_﹐α﹐β_{∈ ﹐則數對(}α β, )=

____________﹒

解答 2 4

( )

5 15^,

解析 6 4

5 6 4 5 6 4

b c

AI AB AC AB AC

a b c a b c

= + = +

+ + + + + + + +

    

^{2 4}

5AB 15AC

=

 

+ ﹐

∴ 2 4

( ) ( )

α β, = 5 15, ﹒

8.過△ABC之重心 G 的一直線與邊 AB ﹐ BC 分別交於 P ﹐ Q ﹐且AP PB: =1: 5﹐則 :

BQ QC= ________﹒

解答 5 : 4

解析 令 BC

 

=t BQ﹐∵ BP PA: =5 :1﹐∴ 6 BA=5BP

 

﹐

G 為△ABC之重心﹐ 1 1 1 6 1 2

( ) ( )

3 3 3 5 3 5 3

BG

      

= BA+ BC= BP + t BQ = BP+t BQ﹐

∵ G ﹐ P ﹐ Q 三點共線﹐∴ 2 5 3 1

+ = t ⇒ 9

t= ﹐∴ 5 BQ QC: =5 : 4﹒

9.設 A(4﹐− 3)﹐B( − 2﹐9)﹐若 P AB∈



﹐且 AP 上恰有 5 個格子點（整數點）﹐則 P 點坐標為____________﹒

（以參數式表示）

解答 4 3 2

x t

y t

 = +

 = − −

 ﹐ 0≤ ≤ t 4

解析 AB

 = (6, 12) − = 6(1, − 2)

，又 AP 上恰有 5 個格子點 AB



_： ⁴

3 2

x t

y t

 = +

 = − −

 ﹐（t = 0﹐1﹐2﹐3﹐4）⇒ P( 4 + t﹐− 3 − 2t )﹒

10.設 ABCD 為一平行四邊形﹐BE EC: =1: 2﹐如圖所示﹐ AF

  

=x AB y AD+ ﹐ x ﹐ y ∈ ﹐則數對 (x y, )=____________﹒

解答 3 1 ( )

4^, 4

解析 ∵ BE EC: =1: 2﹐∴ 2 1 2 1

( )

3 3 3 3

AE= AB+ AC= AB+ AB AD+

     

¹

AB 3AD

=

 

+ ﹐ 又AF AE

 

// ﹐∴ 設

3

AF

   

=t AE=t AB+t AD_﹐

∵ F ﹐B ﹐D 三點共線﹐∴ 1 3

t+ =t ⇒ 3

t= ﹐ 故4 3 1

4 4

AF

  

= AB+ AD_{﹐即( ) (}^{3 1}₎ 4 4 x y, = , ﹒ 11.△ABC之三邊AB= ﹐4 BC= ﹐3 AC= ﹐ I 為2 △ABC之內心﹐ O 為任意點﹐則

OI=



_______ OA



+________ AB



+________ BC



﹒ 解答 (1)1;(2)2

3;(3)4 9

解析 △ABC中﹐a= ﹐3 b= ﹐2 c= ﹐ I 為4 △ABC之內心﹐ O 為任意點

⇒ 1 2 4

3 9 9

OI

   

= OA+ OB+ OC ^{1 2}( ) ⁴( ) 3OA 9 OA AB 9 OA AB BC

=

     

+ + + + + ^{2 4}

3 9

OA AB BC

=

  

+ + ﹒ 12.△ ABC 內有一點 P ﹐滿足 3PA

   

+5PB+4PC= 0 ﹐且 AP



交 BC 於 D ﹐若 AD a AB b AC

  

= + ﹐a ﹐b∈  ﹐

則數對 (a b, )=____________﹒

解答 5 4 ( )

9^, 9

解析 ∵ 3PA

   

+5PB+4PC= 0 ﹐P 為內心 ⇒ a：b：c = 3：4：5﹐

AD平分

∠

A ⇒ BD DC: =AB AC: =4 : 5﹐

∴ 5 4 5 4

4 5 4 5 9 9

AD= AB+ AC= AB+ AC

+ +

    

﹐故 5 4 ( ) ( )

9 9 a b, = , ﹒

13.設△ABC中﹐AB= ﹐6 BC= ﹐7 AC= ﹐I 為8 △ABC之內心﹐直線 CI 交 AB 於 D ﹐ 則 CI

 

=k CD時﹐ k= ___________﹒

解答 5 7

解析 CD 為角平分線﹐AD BD: =CA CB: =8 : 7﹐∴ 8 8 16 15 15 6 5 AD= AB= × = ﹐

AI 為角平分線﹐ 16

: : 8 : 5 : 2

CI DI=AC AD= 5 = ﹐故 5 CI=7CD

 

﹐得 5 k = ﹒ 7

14.△ABC及內部一點 P ﹐若PA

   

+4PB+5PC=AB﹐且△ABC之面積為 12﹐則△PBC之面積= ______﹒

解答 12 5

解析 PA

     

+4PB+5PC=AB=PB PA− ⇒ 2PA

   

+3PB+5PC= 0

⇒ △PAB:△PBC:△PCA=5 : 2 : 3 ⇒ 2 2 12

5 2 3 10 12 5

PBC= ⋅ ABC= × =

△ + + △ ﹒

15.△ABC的面積 5= ﹐則點集合{ |P AP

  

=α AB+β AC﹐ 1− ≤ ≤ ﹐ 2α 3 − ≤ ≤β 2}所表示區域的面積為 ____________﹒

解答 160

解析 點集合{ |P AP

  

=α AB+β AC﹐ 1− ≤ ≤ ﹐ 2α 3 − ≤ ≤ }的區域為β 2 一個平行四邊形如圖﹐其面積為

[3 ( 1)][2 ( 2)](2− − − − △ABC)=32(△ABC) =32 5× =160﹒

16.設△ABC中﹐ D ﹐ E ﹐ F 三點分別在 AB ﹐ BC ﹐ CA 上﹐ AD DB= ﹐BC=4BE﹐CF=2AF且 G 是△DEF的重心﹐若 AG

  

=x AB y AC+ ﹐則 (x y, )=____________﹒

解答 5 7

( )

12 36^,

解析 ∵ G 為△DEF的重心﹐

1 1 1 3 1 1

( ) [ ( ) ]

3 3 2 4 4 3

AG

       

= AD AE AF+ + = AB+ AB+ AC + AC

1 5 7 5 7

( )

3 4AB 12AC 12AB 36AC

=

   

+ = + ﹐

∴ 5 7

( ) ( )

12 36 x y, = , ﹒

17.△ABC中﹐ D 在 AB 上﹐且AD DB: =2 : 3﹐ E 在 CA 上﹐且CE EA: =5 : 4﹐若 BE 交 CD 於 P 點﹐

則：(1)CP PD: = ____________﹒(2)設 AP x AB y AC

  

= + ﹐則有序數對 (x y, )=____________﹒

解答 (1) 25 :12 ;(2) 10 12

( )

37^, 37

解析 5

( )

AP

    

=x AB y AC+ =x 2AD +y AC﹐

∵ D ﹐ P ﹐ C 三點共線﹐∴ 5

2x+ = ﹐ y 1 (9 )

AP=x AB y AC+ =x AB y+ 4AE

    

﹐

∵ B ﹐ P ﹐ E 三點共線﹐∴ 9 4 1

x+ y=  ﹐

解﹐得數對 10 12

( ) ( )

37 37

x y, = , 代入

⇒ 25 12

37 37 AP= AD+ AC

  

⇒ CP PD: =25 :12﹒

18.一直線過△OAB的重心 G 且分別交 OA ﹐ OB 於 P ﹐ Q ﹐設 OP a OA

 

= ﹐ OQ b OB

 

= ﹐且已知 5

11 OPQ OAB =

△

△ ﹐則a²+b²= ____________﹒

解答 115 121 解析

1 1

sin ( )( )sin

2 2 5

1 sin 1 sin 11

2 2

OP OQ aOA bOB

OPQ ab

OAB OA OB OA OB

θ θ

θ θ

⋅ ⋅

= = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

△

△ ﹐

G 為重心﹐則 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3

OG OA OB OP OQ

a b

= + = ⋅ + ⋅

    

﹐

∵ P ﹐ G ﹐ Q 三點共線﹐∴ 1 1

3a+3b =  1

⇒ 同乘 3ab 得 5 15

3 3

11 11

a b+ = ab= × = ﹐∴ ^{2 2 2} 225 10 115 ( ) 2

121 11 121 a +b = a+b − ab= − = ﹒ 19.如圖所示﹐OA= ﹐3 AB= ﹐5 ∠AOC=45° ﹐∠BAO=75° ﹐則 B 點之坐標為____________﹒

解答 3 2 5 3 3 2 5

( )

2 2

− +

,

解析 3 2 3 2

(3cos 45 3sin 45 ) ( )

2 2

OA



= °, ° = , ﹐

5 3 5 (5cos150 5sin150 ) ( )

2 2

AB= ° ° = −



, , ﹐

3 2 5 3 3 2 5

( )

2 2

OB

  

=OA AB+ = − , + ﹐

∴ 3 2 5 3 3 2 5

( )

2 2

B − +

, ﹒

20.「若 x y^, ∈﹐則稱點 (x y, )為格子點」﹐設 ( 47 11)A − , ﹐ (261B , −61)﹐ 則 AB 上有____________個格子點﹒

解答 5

解析 AB

 = (308, − 72) = 4(77, 18) −

47 77

: 11 18

x t

AB y t

= − +

 = −

 ﹐t=0,1, 2,3, 4﹐ x y^, ∈﹐共有 5 個格子點﹒

21.設 L 為通過 (1 2)A , 與 (3 3)B , 兩點的直線﹐ (P x y, )為 L 上一點﹐則2x²−3y²的最小值為__________﹒

解答 54

− 5

解析 1 (3 1) : 2 (3 2)

x t

L y t

= + −

 = + −

 ﹐∵ P x y( , )∈L﹐∴ 設 1 2

: 2

x t

P y t

 = +

 = +

 ﹐

則 ^{2 2 2 2 2} 2 ² 54

2 3 2(1 2 ) 3(2 ) 5 4 10 5( )

5 5

x − y = + t − +t = t − −t = t− − ﹐

∴ 當 2

t= 時﹐有最小值為5 54

− 5 ﹒

22.颱風中心 P 在清晨 0 時位於 (3A , −1)﹐清晨 1 時已到 (2 1)B , ﹐若該颱風作等速直線行進﹐則：

(1)清晨 6 時的颱風中心 P 之坐標為____________﹒

(2)若暴風半徑為 2 單位﹐則甲地 ( 1 5)−, 在清晨 a 時 b 分進入暴風圈﹐則 (a b, )=____________﹒

(3)又於 c 時 d 分脫離暴風圈﹐則 (c d, )=____________﹒

解答 (1) ( 3 11)− , ;(2) (2 24), ;(3) (4 0),

解析 颱風作等速直線行進AB

 = − ( 1, 2) ⇒

³ 1 2

x t

y t

 = −

 = − +

 ﹐ t∈  ﹐（單位：t小時）

設 (3P − − +t, 1 2 )t ﹐t = 6 代入（∵清晨 6 時） ⇒ P(3 6− , − +1 12)=P( 3 11)− , ﹐ 又 (d 甲, P)<2 ⇒ (4−t)²+ − +( 6 2 )t ²< ⇒ 4 12

5 < < ﹐ t 4 12

t= 5 小時= 2.4 小時= 2 小時 24 分

⇒ 甲地在清晨 2 時 24 分進入暴風圈﹐又於清晨 4 時 0 分脫離

⇒ (a b, )=(2 24), ﹐ (c d, )=(4 0), ﹒

23.已知三直線L₁: 2x+ + = ﹐y 1 0 L₂:x+2y− = ﹐1 0 L₃: 2x− − = ﹐圍成△ ABC ﹐其內心坐標為y 7 0

____________﹒

解答 3 3

( )

2,−2 解析 2 1 0

: 2 1 0 x y A x y

+ + =

 + − =

 ﹐∴ A 點坐標為 ( 1 1)−, ﹐ 2 1 0

: 2 7 0

x y B x y

+ − =

 − − =

 ﹐∴ B 點坐標為 (3, −1)﹐

2 1 0

: 2 7 0

x y C x y

+ + =

 − − =

 ﹐∴ C 點坐標為 3

( 4) 2, − ﹐

9 3 5

4 9 2

a=BC= + = ﹐ 25 5 5

4 25 2

b=AC= + = ﹐c=AB= 16+ =4 2 5﹐

∴ a b c: : =3 : 5 : 4﹐設 I 為△ ABC 之內心﹐ O 為原點

⇒ 3 5 4

3 5 4 3 5 4 3 5 4

OI = OA+ OB+ OC

+ + + + + +

   

3 5 4 3

( 1 1) (3 1) ( 4)

12 12 12 2

3 ( 1) 5 3 4 3

3 1 5 ( 1) 4 ( 4) 3 3

( 2, ) ( )

12 12 2 2

= − + − + −

× − + × + × × + × − + × −

= = −

, , ,

,

∴ 3 3

( )

2 2 I , − ﹒

24.平面上﹐ O 為原點﹐ (2 3)P , ﹐ Q 在直線x+ − = 上﹐ y 1 0 (1)若 |OP

 

|=|OQ|﹐則 Q 之坐標為____________﹒（有兩解）

(2) PQ



之長度﹐最小= ____________﹒

(3)承上題﹐此時之 Q 點為____________﹒

解答 (1) (3, −2)或 ( 2 3)− , ;(2) 2 2 ;(3) (0 1),

解析 Q 點在直線x+ − = 上 y 1 0 ⇒ 可令 ( , 1 )Q t − ﹐ t ∈ ﹒ t

(1) |OP

 

|=|OQ| ⇒ 2²+3²= + −t² (1 t)² ⇒ 2t²− −2t 12= 0

⇒ t²− − = ⇒ t 6 0 t= 或 23 − ⇒ t= 時﹐ (33 Q ,−2)﹔t= − 時﹐ ( 2 3)2 Q −, ﹒ (2)(3)PQ



=(t,1− −t) (2 3), = −(t 2, − −t 2) ⇒ |PQ



|= (t−2)²+ − −( t 2)² = 2t²+8﹐ ∴ 當t= 時﹐|0 PQ



|有最小值= 8=2 2﹐此時 (0 1)Q , ﹒

25.設 1 (1 )

A , 2 ﹐ (3 2)B , ﹐且 (P a b, )為 AB 上之動點﹐則：

(1) 2a+ + 之最大值為____________﹒(2)b 1 a²+b²− 之最大值為____________﹒ 4 解答 (1)9;(2)9

解析

1 2

: 1 3

2 2

x t

AB y t

 = +



 = + ﹐ 0≤ ≤ ﹒ t 1

(1) 1 3 1 3 7 11

2(1 2 ) ( ) 1 2 4 1

2 2 2 2 2 2

t t t t t

+ + + + = + + + + = + ⇒ 7 7 11 7 11 2≤ +2 2t≤ +2 2 = ﹐ 9

∴ 2a+ + 之最大值為 9﹒ b 1

(2)《方法 1》

2 1 3 2 2 1 3 9 2

(1 2 ) ( ) 4 1 4 4 4

2 2 4 2 4

t t t t t t

+ + + − = + + + + + −

2 2 2 2

25 11 11 25 22 11 11 11

[ ( ) ( ) ]

4 t 2 t 4 4 t 25t 25 25 4

= + − = + + − − 25 11 ² 99

( )

4 t 25 25

= + − ﹐

∵ 0≤ ≤ ﹐∴ t 1 11 25 11 ² 99

( ) 9

4 4 t 25 25

− ≤ + − ≤ ﹐即a²+b²− 之最大值為 9﹒ 4 《方法 2》

2 2 ( ( 0)2 ( 0) )2 2

a +b = a− + −b ﹐即為點 (a b, )與原點 (0 0), 之距離 的平方﹐

如圖知﹐ OB 之距離為最大﹐而OB² =( 4 9)+ ²=13﹐ ∴ a²+b²− 之最大值為13 4 94 − = ﹒