高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：99.05.11 範

(1)

高雄市明誠中學高一數學平時測驗日期：99.05.11 範

圍

2-3

簡易測量與查表

班級姓

座號名一、填充題 ( 每題 10 分 )

1. 已知 A 商業大樓與 B 立體停車場相距 50 公尺﹐今在商業大樓的樓頂處﹐分別測得停車場頂端和一 樓底的俯角各為 45° 和 60° ﹐則此立體停車場的高度是____________公尺﹒

解答 ⁵⁰

(

^{3 1}⁻

)

解析

設停車場高度為 h 公尺，由圖 50 3

50 1 +h

⇒ =

，

50 h 50 3

∴ + = ，^{∴ =}^h ⁵⁰

(

^{3 1}^{− （公尺）﹒}

)

2. 平面上有一個正三角形 ABC ﹐其內心為 P ﹐邊長為100 公尺﹒今在 P 點直立一個旗桿﹐其頂點為T ﹐ 已知由 A 點測得桿頂的仰角是 30° ﹐則:

(1)AP= ____________公尺﹒(2)旗桿高= ____________公尺﹒(3) AT = ____________公尺﹒

若在AP 上找一點 Q ﹐測得桿頂 T 的仰角為 60° ﹐則:

(4) QT= ____________公尺﹒(5)AQ QP: = ____________﹒

解答 (1)100 3

3 ;(2)100

3 ;(3)200

3 ;(4)200 3

9 ;(5) 2 :1 解析

(1) 3

100 50 3

AH= 2 ⋅ = 2 2 100 3

3 3 50 3 3 AP AH

∴ = = ⋅ =

(2)

tan 30

PT

° =

AP

⇒

旗桿高 100

tan 30 PT =AP⋅ ° = 3

(3) 200

csc30 csc30

3 AT AT PT

PT

° = ⇒ = ⋅ ° =

(4)

csc 60

QT

° =

PT

⇒

csc 60 ¹⁰⁰ ² ^{200 3}

3 3 9

QT=PT⋅ ° = ⋅ =

(5) 1 100 3

2 9

QP= QT =

100 3 100 3 100 3

: : 2 :1

3 9 9

AQ QP  

∴ = −  = ﹒

3. 海中有一小島﹐某日中午﹐有一颱風（暴風半徑 350 公里）

的中心位置在小島的東南方 1000 公里處﹐以每小時 25 公里的速度沿著北 28 40'° 西方向前進﹐若速度方向不變﹐利用下表函數值計算﹐則經過______小時後﹐小島開始進入暴風圈﹒

解答 30

角度 sin cos 16 20 '° 0.28 0.96 28 40 '° 0.48 0.88 45° 0.71 0.71

(2)

解析由圖，OA=1000﹐∠OAD= °16 20 '

cos16 20 ' 1000 cos16 20 ' 1000 0.96 960 1000

AD AD

° = ⇒ = ° = × =

sin16 20' 1000sin16 20 ' 1000 0.28 280 1000

OD OD

° = ⇒ = ° = × =

由△ OBD ，∴BD= 350²−280² =210

960 210 750 AB AD BD

∴ = − = − =

，

∴所求 750

25 30

= = （小時）﹒

4. 阿龍家的對面新建一棟大樓﹐為了估計它的高度﹐我們從他家的樓底測得對面大樓樓頂的仰角 45° ﹐ 又從他家的樓頂測得對面大樓樓頂的仰角 30° ﹐若阿龍家樓高12 公尺﹐對面大樓的高度為a+b 3公 尺（ a ﹐ b 皆為整數）﹐則(1) a= ____________﹐(2) b = ____________﹒

解答 (1)18;(2)6

解析由圖⇒ 令OB= ⇒h OA= 3h=A B' '

( )

3h h 12 3 1 h 12

^∴山高 ¹

CD= 3AC ⁼ ¹₃^×¹⁵

(

^{3 1}^{+ =}

) (

^{5 3}⁺ ³

)

^{（公尺）﹒}

7. 某人有一塊如圖所示的四邊形空地﹐求此空地的面積為_________平方公尺﹒

解答 900 3

解析連BD ﹐作 DH ⊥AB﹐ BK⊥CD

△ ADH 中 sin 60 DH

° = AD 3

sin 60 40 20 3 DH AD 2

⇒ = ⋅ ° = ⋅ =

(3)

△ BCK 中﹐ sin 60 BK

° =BC 3

sin 60 20 10 3 BK BC 2

⇒ = ⋅ ° = ⋅ =

面積公式：

ABCD 面積=△ ABD + △ BCD 1 1

60 20 3 60 10 3

2 2

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =900 3﹒

6. 有一塔高 100 公尺﹐已知有兩棵樹﹐樹 A 在塔的正東﹐樹 B 在塔的正南﹐今有一人由塔頂測得樹 A ﹑ B 根處之俯角分別為 30° ﹐ 45° ﹐則 A ﹑ B 兩棵樹的距離為____________公尺﹒

解答 200

解析由圖: OA=100 3 ， OB=100

( )

²

^{( )}

2 2

100 3 100

⇒AB = + ⁼^{100 3 1}²

(

^{+ =}

)

¹⁰⁰²^×⁴

200

∴AB= （公尺）﹒

8. 利用下表﹐求 cos16 20' cot 73 20'° + ° = ____________﹒(2) cos16 26'° = _________﹒

角度 sin cos tan cot

16 00 '° 10 ' 20 ' 30 ' 40 ' 50 '

.2756 .2784 .2812 .2840 .2868 .2896

.9613 .9605 .9596 .9588 .9580 .9572

.2867 .2899 .2931 .2962 .2994 .3026

3.487 3.450 3.412 3.376 3.340 3.305 解答 (1)1.2590 (2)0.95912

解析 (1)原式=0.9596+tan16 40 '° =0.9596+0.2994 =1.2590﹒ (2)

cos16 20 ° ′ = 0.9596

cos16 26

cos16 30 0.9588

′

y

° =

° ′ =

6 0.9596 6

0.9596 (0.9588 0.9596) 0.95912

10 0.9588 0.9596 10

y− y

= ⇒ = + − =

−

9. 某人在操場 A 點測得旗桿頂仰角 60° ﹐朝旗桿後退走 10 公尺﹐到 B 點再測得旗桿頂仰角為 45° ﹐若 要測得旗桿頂仰角為 30° ﹐問此時他還要再朝旗桿後退____________公尺﹒

解答 10 3

解析 SOL 一：如圖﹐令OA= ⇒x OD= 3x

(4)

10 x 3x

∴ + = ^⇒

(

^{3 1}⁻

)

^x⁼¹⁰^{∴ =}^x ¹⁰_{3 1}₋ ⁼⁵

(

^{3 1}⁺

)

由△ COD^⇒^OC⁼ ³

( )

³^x ⁼³^x

( ) ( )

3 10 2 10 2 5 3 5 10 10 3

BC x x x

∴ = − + = − = + − =

∴所求 10 3= 公尺﹒

SOL 二：

高度公式：

10 10(cot 30 cot 45 )

cot 30 cot 45 cot 45 cot 60 cot 45 cot 60 10 3

BC

= ⇒

BC

= ° − ° =

° − ° ° − ° ° − °

10.位於紐約市的帝國大廈（Empire State Building）是目前世界上高度較高的建築之一﹐每年慕名到樓上觀景的人數超過百萬﹐附近的哈得森河（Hudson River）河上風光旖旎﹐遊客絡繹不絕﹒一日﹐

小猴坐在哈得森河的船上﹐在離帝國大廈最近的地方﹐測得帝國大廈頂端的仰角為 8 40'° ﹐根據紐約觀光局的資料哈得森河離帝國大廈地面上最近的距離大約為 2500 公尺﹐則帝國大廈的高度大約為__________公尺﹒

角度 sin cos tan cot sec csc 8 00 '°

10' 20' 30' 40' 50'

0.1392 0.1421 0.1449 0.1478 0.1507 0.1536

0.9903 0.9899 0.9894 0.9890 0.9886 0.9881

0.1405 0.1435 0.1465 0.1495 0.1524 0.1554

7.1154 6.9682 6.8269 6.6912 6.5606 6.4348

1.0098 1.0102 1.0107 1.0111 1.0116 1.0120

7.1853 7.0396 6.8998 6.7655 6.6363 6.5121

82 00 '° 50' 40' 30' 20' 10' cos sin cot tan csc sec 角度解答 381

解析由圖﹐ tan 8 40 ' 2500

° = x

，

∴ =x 2500 tan 8 40 '× ° =2500 0.1524× =381（公尺）﹒

11.如下圖﹐一竹竿 AB 直立於地面上﹐早上八點在地面上的影子 BC 比十點的影子 BD 多 2 公尺﹐照射 角度分別為 30° ﹑ 45° ﹐問竹竿 AB 長是____________公尺﹒

解答 3 1+ 解析 SOL 一

設竹竿 AB 之長為 x

△ ABD 中﹐∠ADB=45° BD x∴ =

(5)

△ ABC 中﹐ 1 tan 30

2 3 x

° = x =

+

3x x 2

∴ = +

2 3 1

x 3 1

∴ = = +

− （公尺）﹒

SOL 二

高度公式：

2 2 2( 3 1)

cot 30 cot 45 3 1 3 1 3 1

AB

= = = + = +

° − ° − −

12.一漁船在 A 點處測得與遠處山頂之燈塔的仰角為17° ﹐朝燈塔行駛 10 浬至 B 點後﹐側得仰角為 20° ﹐ 求此時該漁船距離燈塔____________浬﹒

（四捨五入法取到小數第一位﹐ tan17° =0.306﹐ tan 20° =0.364）解答 52.8

解析設漁船距離燈塔 BD= 浬﹐並設 CD hx = 浬

△ ACD 中 tan17 0.306 10

h

° = x =

+ ⇒ =h 0.306

(

x+10

)

…(1)

△ BCD 中 tan 20 h 0.364

° = =x ⇒ =h 0.364x…(2)

(2)代入(1)得 0.364x=0.306x+3.06∴ ≒52.8（浬）故此時漁船距離燈塔 52.8 浬﹒ x

13.如圖﹐甲﹑乙兩大樓相距 30 公尺﹐甲大樓高 40 公尺﹐自甲大樓樓頂看乙大樓樓頂之仰角為 22° ﹐ 則乙大樓之高度為____________公尺﹒

（整數位以下四捨五入﹐ sin 22° =0.3746﹐ cos 22° =0.9272﹐ tan 22° =0.4040）解答 52

解析如圖﹐乙大樓之高度BD=BC+CD=BC+AE=BC+40

△ ABC 中 tan 22

30 BC BC

° = AC =

30 tan 22 30 0.4040 12.12

∴BC= × ° = × = 12.12 40

∴BD= + ≒52（公尺）﹒

14.某人放風箏﹐已知風箏的高度為 150 公尺﹐線與地面成 60° 角﹐則放出的線長為____________公尺﹒

解答 100 3

解析 150 150

sin 60 100 3

3 2 AC AC

° = ⇒ = = （公尺）﹒

15.如圖梯形 ABCD ﹐AB CD ﹐// AB= ﹐4 CD= ﹐8 AD= ﹐則梯形 ABCD 的面積為____________﹒6

（ cos 47° =0.6820﹐ sin 47° =0.7314）解答 24.6

解析如圖﹐作 AE⊥CD

,

則

(6)

sin 43 AE

° = AD ⇒AE=AD⋅sin 43° 6 cos 47= × °

梯形 ABCD 面積⁼¹₂

(

^AB⁺^CD

)

^×^AE⁼¹₂

⁽

^{4 8}^{+ × ×}

⁾

^{6 cos 47}° ≒ 24.6 ﹒

16.某人隔河測一山高﹐在 A 點觀測山時﹐山的方位為東偏北 60°﹐山頂的仰角為 45°﹐某人自 A 點向 東行 600 公尺到達 B 點﹐山的方位變成在西偏北 60°﹐則山有多高﹖答﹕____________公尺﹒

解答 600 解析

令 PQ h= ﹐則 AQ h=

△ABQ為正三角形﹐

AQ=QB=AB，∴h=600﹒

17.長為 5 公尺之竹竿﹐斜靠在垂直地面而高為 3 公尺的牆頭﹐有部分伸出牆外﹒假設竹竿與地面夾角為θ ﹐竹竿伸出牆外部分（牆的厚度不計）於日正當中時﹐在地面的影長為 cota θ+bcosθ ﹐其中 a ﹑ b 為常數﹐則 a= ____________﹐ b = ____________﹒

解答 a= − ﹐3 b= 5 解析所求=DC=FB

△ AEC 中， sin 5sin 5

AC AC

= ⇒ =

θ θ_{， AB}=AC−BC =5sinθ− 3

△ AFB 中﹐FB cot AB= θ cot

FB AB θ

∴ = =

(

5sinθ−3 cot

)

θ =5cosθ−3cotθ=DC，∴ = − ﹐a 3 b= ﹒ 5

18.在塔的正西 A 點﹐測得塔頂的仰角是 60° ﹐在 A 的正南 B 點﹐測得塔頂的仰角是 30° ﹐若塔高 200 公尺﹐則 A 與 B 的距離為____________﹒

解答 400 6 3

解析 △ AOC 中﹐ 200 AO= 3

△ BOC 中﹐BO=200 3

△ AOB 中﹐AB= OB²−OA² 8 400 6 200 3 3

= = （公尺）﹒

19.站在瞭望臺 O 點處發現正北方﹐仰角 60° 的 A 點處有一架飛機保持 500 3 公尺 高度﹐等速朝東飛行﹐ 5 秒後測得該飛機 B 點處的仰角為 30° ﹒試問該飛機的 速度為____________公尺／秒﹒

(7)

解答 200 2

解析 △ OCA 中﹐AC=500 3⇒OC=500

△ ODB 中﹐BD=500 3⇒OD=1500

∴在△ OCD 中，OD²=OC²+CD²

2 2 2

1500 500 CD

⇒ = + ⇒CD=1000 2

即 5 秒中的飛行距離AB=1000 2公尺，故速度 1000 2

200 2

= 5 = （公尺／秒）﹒

20.一船向南航行﹐在東 30° 南的方位發現一燈塔後﹐繼續向南前進 10 浬﹐此時燈塔的方向在北 30° 東﹐

則此船航線與燈塔的最短距離為____________浬﹒

解答 5 3 2 解析 SOL 一

如圖﹐OB=10﹐OA= ﹐ 5

最短距離= 至 OB 之高 A 5 3

sin 60 AH OA 2

= = ⋅ ° = （浬）﹒

SOL 二

高度公式：

10 10 10 3 5 3

cot 60 cot 30 3 1 3 1 2 3

AH

= = = =

° + ° + +

21.自一樓窗遠望一塔頂之仰角為 30° ﹐塔足的俯角為15° ﹐若窗與塔的水平距離為 200 公尺﹐則 (1)窗高為____________公尺﹐(2)塔高為____________公尺﹒

解答 (1)窗高^{200 2}

(

⁻ ³

)

^{; (2)塔高}^{400 3}

(

³

)

3

−

解析 SOL 一

設窗高 AB h=

1 1

200 200(cot 60 cot 75 ) 200[ ]

cot 60 cot 75 3 2 3

CE CE

= ⇒ = ° + ° = +

° + ° +

3 2 3 3 6 3 3

200[ ] 200[ ]

3 4 3 3

− + −

= + = =

−

( )

400 3 3 3

= −

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