高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：102.03.11 範

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：102.03.11 範

圍 1-1.2 數與級數(A) 班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.有一個 7 行 10 列的表﹐從第 1 列第 1 行的空格開始﹐由左向右按照順序填入正整數 1﹐2﹐3﹐…﹐

如圖的方式﹐一直填到第10 列第 7 行的空格 70 為止﹐則﹕

(1)第 4 列第 3 行的數字為____________﹒

(2)數字 39 填在第幾列第幾行____________﹒

(3)從第 2 列開始﹐每一列的數字會比前一列總和共多____________﹒

第

1行

第

2行

第

7行

第1 列 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

…… …… …… …… …… …… ……

第10 列 64 65 66 67 68 69 70 解答 (1)24;(2)第 6 列第 4 行;(3)49

解析 (1)每一列有 7 個數﹐前 3 列共出現 21 個數﹐∴第 4 列為 22﹐23﹐24﹐第 3 行為 24﹒

(2)前 5 列共出現 35 個數﹐ ∴第 6 列開始為 36﹐37﹐38﹐39﹐ ∴39 為第 6 列第 4 行﹒

(3)每一列的每一個數字均比前一列多 7﹐ ∴總和共多 7  7  49﹒

2.若 a﹐ 54﹐b﹐c﹐2 五數成等比數列﹐且 a﹐b  x﹐c 三數成等差數列﹐則 x²之值為____________﹒

解答 3600

解析  54﹐b﹐c﹐2 成等比﹐設公比為 r﹐

則2  (  54)r³r³  1

27 1

r

  3

∴a  162﹐b  18﹐c   6﹐2(18  x)  162  (  6)x  60﹐故 x²  3600﹒

3.一等差數列 a1﹐a2﹐a3﹐……﹐an﹐已知 a1  a3  a5  15﹐a1  a3  a5  45﹐若公差 d 為負數﹐則第 88 項 a88  ____________﹒

解答  165

解析 設公差為 d﹐則 a₁  a₃  a₅  (a₃  2d)  a₃  (a₃  2d)  15﹐3a₃  15a₃  5﹐

a

1  a3  a5  (5  2d)  5  (5  2d)  45﹐25  4d²  9d²  4d   2（取負）﹐

a1  5  (  4)  9﹐故 a88  9  (88  1)(  2)   165﹒

4.設

1 1

n k k

a n



n

 



^{﹐則 a7}  ____________﹒

解答 1 56

解析 ₇ ^{7 6}

1 1

7 6 1 8 7 56

k k

k k

a a a

 









   ^﹒

5.求 11³  12³  …  20³之值為____________﹒

解答 41075

解析 11³  12³  …  20³  (1³  2³  …  20³)  (1³  2³  …  10³) 20 21² 10 11 ²

( ) ( ) 44100 3025 41075

2 2

 

     ﹒

6.求 1²  2²  3²  4²  …  19²  20²  ____________﹒

解答  210

解析 原式  (1²  2²  3²  4²  …  20²)  2(2²  4²  …  20²) 20 21 41 2 10 11 21

2 2 ( ) 210

6 6

   

     ﹒

7.求(2²  1)  (3²  2)  (4²  3)  …  (20²  19)  ____________﹒

解答 2679

解析 原式 ^{20 2 19 20 2 2 19}

2 1 1 1

20 21 41 19 20

( 1 ) 1 2679

6 2

k k k k

k k k k

   

  







 

  



    ^﹒

8.求 1  3  2  5  3  7  4  9  …  30  61  ____________﹒

解答 19375

解析 原式 ^{30 30 2 30 2 30}

1 1 1 1

(2 1) (2 ) 2

k k k k

k k k k k k

   





 



 







30 31 61 30(30 1)

2 10 31 61 15 31 19375

6 2

  

         ﹒

9.求 1  2  3  4  5  6  …  99  100  ____________﹒

解答 169150

解析 原式 ^{50 50 2 50}

1 1 1

50 51 101 50 51

(2 1) 2 4 2 4 2 171700 2550 169150

6 2

k k k

k k k k

  

  





  







       ^﹒

10.級數 1  2  3  4  5  6  7  8  9 …依此規則繼續下去至 100 項止﹐其總和為____________﹒

解答 1684

解析 原式  (1  2  3 …  100)  2(3  6  9  …  99)

 (1  2  3  …  100)  6(1  2  …  33) 100 101 33 34

6 1684

2 2

 

    ﹒

11.求等差級數 4 3

20 18 17

5 5

   至第 10 項的和為____________﹒

解答 146

解析 公差 4 1 18 20 1

5 5

d

    ﹐∴總和 ₁₀

10[2 20 (10 1)( 1 )]1 5 146

S

2

   

  ﹒

12.有一等差級數 1.5  1.8  2.1 …到第 n 項的和為 60﹐求 n 之值為____________﹒

解答 16

解析 a₁  1.5﹐d  1.8  1.5  0.3﹐Sn  60﹐ [2 ¹ ( 1) ] [3 ( 1) 0.3]

2 2 60

n

n a n d n n

S

       

n²  9n  400  0(n  25)(n  16)  0∵n   25（不合）﹐∴n  16﹒

13.有一等差數列共有 6 項﹐其和為  87﹐首項比末項小 25﹐求此數列的末項為____________﹒

解答  2

解析 設首項為 a₁﹐末項為 an﹐ ( ¹ ) 2

n n

n a a

S



 ﹐ ₆ 6( 25 )

2 87

n n

a a

S

 

   an   2﹒

14.有一等差數列的首項為  3﹐若其第 5 項與第 9 項的比為 1 ﹕3﹐求第 15 項為____________﹒

解答 18

解析 設公差為 d﹐(  3  4d)：(  3  8d)  1：3  3  8d   9  12d 3

d

 2

∴a15   3  14 3

2 18﹒

15.有一表演廣場共有 25 排座位﹐依次每一排比前一排多 2 個座位﹐已知最後一排有 80 個座位﹐求此 表演廣場共有____________個座位﹒

解答 1400

解析 n  25﹐d  2﹐a₂₅  a₁  (25  1)d  a₁  24  2  80a₁  32﹐∴ ₂₅ 25(32 80) 2 1400

S

   ﹒

16.設 a﹐b﹐c﹐d﹐e 成等比數列﹐且 abcde  243﹐求 c  ____________﹒

解答 3

解析 設 a﹐b﹐c﹐d﹐e 分別為

c

₂

r

﹐

c

r

﹐c﹐cr﹐cr²﹐則

2

2 243

c c

abcde c cr cr r



r

     c⁵  243c  3﹒

17.求等比級數 4  4  3  4  3² …至第 6 項之和為____________﹒

解答 1456

解析 a1  4﹐r  3﹐n  6﹐ ₆ 4(3⁶ 1) 4(729 1) 3 1 2 1456

S

    

 ﹒

18.等差數列 a_n ﹐其中 a_n  7n  55﹐ n  ﹐則 ^{258 369} 258 369

a



a

 之值為__________﹒

解答 7 解析 ^{258 369}

258 369

a



a

 7(258) 55 7(369) 55 258 369

  

 7(258 369) 258 369



  7﹒

19. a_n 為一數列﹐已知 S_n  a₁  a₂  a₃  …  a_n  n²  3﹐n   ﹐則 a_n __________﹒

解答 ¹ 4 1

2 1 2

n

a n

a n n

 

   

 ,

, 解析

∵ S

n

 a

1

 a

2

 a

3

 …  a

n – 1

+ a

n

 n

²

 3﹐n  1

 ) S

_{n  1}

 a

₁

 a

₂

 a

₃

 …  a

_{n  1}

 (n  1)

²

 3﹐n  2 a

n

 2n  1﹐n  2

而 a₁ = S₁ = 4

﹒

20.數列< 1﹐2﹐2﹐3﹐3﹐3﹐4﹐4﹐4﹐4﹐5﹐5﹐5﹐5﹐5﹐… >﹐求：

(1)第 50 項為__________﹒(2)前 50 項和為__________﹒

解答 (1) 10;(2) 335

解析 (1)分群 1﹐(2﹐2)﹐(3﹐3﹐3)﹐(4﹐4﹐4﹐4)﹐(5﹐5﹐5﹐5﹐5)﹐…

設第 50 項落在第 n 群﹐則 1  2  3  …  (n  1)  50  1  2  3  …  n 得 n  10﹐表第 50 項落在第 10 群﹐故第 50 項為 10﹒

(2) S₅₀

 1

²  2²  3²  4²  5²  …  9²  (10  5) 1

6 9  10  19  50  335﹒

21.數列 a_n 定義為 a₁  1﹐n   時﹐a_{n  1}  a_n  2n  1﹐a₂₀之值為__________﹒

解答 400

解析 a2  a1  2  1  1 a3  a₂  2  2  1 a4  a₃  2  3  1 

) a20  a19  2  19  1

a

20  a₁  2(1  2  3  …  19)  1  19  1  2 1

2 19  20  19  20  380  400﹒

22.設 a_n  (1 3

1)  (1 5

4)  (1 7

9)  …  (1 2

n

₂ 1

n

 )﹐ n ﹐則 a₉₅ __________﹒

解答 9216 解析 ∵ a_n 4

1．9 4．16

9 ．…．

2 2

(

n

1)

n

  (n  1)² ∴ a95  96²  9216﹒

23.一數列 a_n ﹐已知 a₁  3﹐a_{n  1}  2a_n  1﹐n   ﹐則 a_n __________﹒

解答 2^{n  1}  1

解析 設 an  1 



2(an 



) ∴ an  1 2an 



而又 a_{n  1}  2a_n  1﹐n   ∴



  1﹒

a₁  3 a₂ 12(a₁  1)

a₃  12(a₂  1) 

) a

n  12(an-1  1)

即 a_n  1  (3 1)．2^{n  1}

 a

n  2^{n  1}  1﹒

24.一數列寫成 1﹐1 2﹐2

1﹐1 3﹐2

2﹐3 1﹐1

4﹐2 3﹐3

2﹐4 1﹐1

5﹐2 4﹐3

3﹐4 2﹐5

1﹐…﹐按此規則推算

下去﹐則 7

10應是第__________項﹒

解答 127

解析 此數列的分子.分母和為 2﹐3﹐4﹐…各有 1﹐2﹐3﹐…個﹐而 7

10的分子與分母和為17﹒

此數列的分子分母之和小於或等於16 者共有 1  2  3  …  15  120 項 第121 項起﹐依序為 1

﹐ 2

﹐ 3

﹐ 4

﹐ 5

﹐ 6

﹐ 7

﹐8

﹐9

﹐…∴ 7

為第127 項﹒

25.設數列 an 滿足下列條件 a1  1﹐an  1  an  (n  1)³﹐求此數列的一般項 an﹐n ﹐則 an  _______﹒

解答 1

4

n

²(n  1)² 解析 a1  1

a2  a₁  2³ a3  a₂  3³ 

)　a

_n

 a

_{n  1}

 n

³

an  1³  2³  3³  …  n³  [ ( 1) 2

n n



]² 1

4

n

²(n  1)²﹒ 26.求 1  1²  2  2²  3  3²  …  30  30²之和__________﹒

解答 9920

解析 原式 (1  2  …  30)  (1²  2²  …  30²)

1

2．30．31 1

6．30．31．61  465  9455  9920﹒

27.設 a₁  1﹐對任意正整數 n﹐a_{n  1} 1

2

a

n  3 恆成立﹐我們可將它化成 a_{n  1} 



1

2(a_n 



)的等比形 式﹐則(1)



__________﹒ (2)a_n __________﹒

解答 (1)6;(2)6  5(1 2)^{n  1} 解析 (1)∵ a_{n  1} 



1

2(a_n 



) ∴ a_{n  1} 1 2

a

n 1

2



而又 a_{n  1} 1

2

a

n  3﹐n   ∴ 1

2



 3 ∴



 6﹒

(2) a₁  1 a2  61

2(a₁  6) a3  61

2(a₂ 6) 

) a

n  61

2(an-1  6) 即 a_n  6  ( 5)．(1

2)^{n  1}



∴ an  6  5(1

2)^{n  1}﹒ 28.數列< a_n >中﹐若

a

₁ ﹐1 ₁

1

n n

n

a a

 

a

 （

n

 ﹐ n ）﹐則1

a

_n ____________（以 n 表示）﹒

解答 1

n

解析 ₂ 1

a

 ﹐2 ₃ 1

a

 ﹐3 ₄ 1

a

 ﹐…﹐4 1

a

n

 ﹒

n

29.數列< a_n >滿足 ₁ 1

a

 ﹐7 ₁ 7

(1 )

n 2 n n

a

_ 

a



a

﹐ n ﹐求

a

₁₀₁

a

₂₀₂  ____________﹒

解答 9 7

解析 ₂ 7 1 6 3 2 7 7 7

a

    ﹐

3

7 3 4 6 2 7 7 7

a

    ﹐

4

7 6 1 3 2 7 7 7

a

    ﹐

5

7 3 4 6 2 7 7 7

a

    ﹐ 

∴當 n 為偶數時 3

n 7

a

 ；當 n 為奇數時 6

n 7

a

 ﹐ n > 1 ₁₀₁ 6

a

 ﹐7 ₂₀₂ 3

a

 ﹐ 7 所求 6 3 9

7 7 7

   ﹒

30.數列 1﹐3﹐7﹐15﹐31﹐63﹐…﹐依此規則推算﹐則第 n 項 a_n = ____________﹒

解答 2ⁿ1 解析

< an >：1﹐3﹐7﹐15﹐31﹐63﹐…﹐an1﹐a_n﹐ 2 4 8 16 32 … bn1

令 bn1 = a_n  a_n1< b_n >為等比數列且 b₁ = 2﹐r = 2﹐

∴a_n = 1+(2 + 4 + 8 + 16 + … + bn1) = 1+

2 (2 1 1) 2 1

 n 

 = 2ⁿ1﹒

31.數列{a_n} = {1 3﹐1

1﹐1 2﹐1

9﹐1 4﹐1

5﹐1 6﹐1

7﹐1 8﹐ 1

27﹐1 10﹐1

11﹐…﹐1 26﹐1

81﹐1

28﹐…﹐1

80﹐…}﹐

試問若依此規律﹐則 1

2013是第____________項﹒

解答 2014

解析 依規則可知當分母≠3ⁿ型式時﹐分母值比項數小1 1

2013為第2014 項﹒

32.若一數列定義如下：a₁ = 2﹐a_n+1 = 1 2

a

n

 ﹐ n  ﹐則此數列的一般項 an = ____________﹒（以 n 的形式表示）

解答

n

1

n



解析 a₂ =

1

1 1 3

2 2

2 2



a

   ﹐

a

3 =

2

1 1 2 4

2 2 2

3 3 3

2



a

     ﹐

a

4 =

3

1 1 3 5

2 2 2

4 4 4

3



a

     ﹐

 1

n

a n n

  ﹒

33.若數列

 a

_n



滿足 ₁ 1

a

 ﹐7 ₂ 3

a

 及7 ₁ 7

( 1 ) 1

n 2 n n

a

_ 

a



a

,

n

 , 則

a

₁₀₁

a

₁₀₀  ____________﹒

解答 3 7 解析 ₁ 1

a

 ；7 ₂ 3

a

 ；7 ₃ 7 _{2 2} 7 3 4 6 ( 1 )

2 2 7 7 7

a

  

a



a

   

4 3 3

7 7 6 1 3

( 1 )

2 2 7 7 7

a



a



a

    ； ₅ 7 _{4 4} 7 3 4 6 ( 1 )

2 2 7 7 7

a



a



a

   

∴當 n 為偶數時 3

n 7

a

 ；當 n 為奇數時 6

n 7

a

 ﹐n > 1 _{101 100} 6 3 3

a a

7 7 7

     ﹒