高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.09.23 範

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：99.09.23 範

圍 1-2 向量的基本應用 班級 二年____班 姓 座號 名

一、選擇題 ( 每題分 )

（ ）1.(多選)如圖示﹐A′ 與 B′ 分別為射線 OA



及 OB



上的點﹐OA′ =3OA﹐ 2

OB′ = OB﹐今作平行四邊形 OA CB′ ′﹒已知 P 為線段 AB 上的一 點﹐而 Q 為斜線區域內的一點﹐設 OP

  

=x OA y OB+ _﹐

OQ

  

=r OA s OB+ ﹐則下列敘述何者為真？

(1) < 0x ﹐ < 0y (2)x+ = (3) 0y 1 ≤ ≤ (4)1r 3 ≤ ≤ (5)s 2 r+ ≤ ﹒ s 1 解答 23

解析 OP

  

=x OA y OB+ _{⇒ x}+ = ﹐_{y 1} x≥ ﹐0 y≥ ﹐ 0

OQ

  

=r OA s OB+ _{﹐則斜線區域為r+ ≥ 且 0s 1 ≤ ≤ 且 0r 3 ≤ ≤ ﹐ s 2}

當

³

r= ﹐2 s= ﹐即0 3

OQ

 

=2OA落在斜線區域內﹐但s= ﹐∴(4)(5)不正確 0

二、填充題 ( 每題 10 分 )

1.

在

△ABC

之三邊上分別取

D

﹑

E

﹑

F

三點﹐使

AF



¹

2FB

=

 ﹐

¹

AE=3AC

  ﹐ 且

D

為

BC

之中點﹐若

G

為

△DEF

之重心且

AG

  

=x AB y AC+

_﹐則數對

( , )x y =

_______﹒又 △ DEF 與 △ ABC 面積比值為___________。

解答 ( 5 18

,

⁵

18

)；

解析

∵ G 為△DEF之重心﹐

∴ 1 1 1

3 3 3

AG

   

= AD+ AE+ AF ^{1 1 1 1 1 1 1} 3 2 AB 2AC 3 3AC 3 3AB

=  + + ⋅ + ⋅



   

 ^{5 5} 18AB 18AC

=

 

+ ﹐

∴ 5

x=18﹐ 5 y=18﹒

2. 平行四邊形

ABCD

中﹐E為AB中點﹐F點在AD上﹐且 : 2 : 3

AF FD= ﹐若BF與

CE

交於P﹐如圖

(1)若

AP  = − (1 t AE t AC )   +

_{﹐求實數t﹒}

(2)求CP PE: ﹒

解答 (1) 1

t= 6;(2)5 :1 解析

(1) 1

(1 ) (1 )( ) ( )

AP



= −t AE t AC

 

+ = −t 2AB

  

+t AB AD+

1 1 5

2 2 2

t t t

AB t AB t AD AB AF

− +

=

    

+ + = + _{﹐ 可知：}^{1 5} ₁

2 2

t t

+ + = ﹐即 1

t=6﹐

所以 5 1

6 6

AP

  

= AE+ AC_﹒ (2)由(1)CP PE: =5 :1﹒

3. △ ABC 中﹐AB= ﹐3 BC= ﹐4 AC= ﹐則(1) AB AC3

 

⋅ =__________﹔(2) 3AB

 

−2AC =___________﹒

解答 (1)

1

; (2) 105

解析 (1)

2 2 2 2 2 2

3 3 4

2 2 1

AB AC BC

AB AC⋅ = + − = + − =

 

_﹒

(2)

2 2 2

3AB

     

−2AC = 9 AB −12AB AC⋅ +4 AB = 9 9 12 1 4 9⋅ − ⋅ + ⋅ = 105﹒

4. △ABC中﹐ D 為 BC 上一點且CD=3BD﹐ G 為 AC 中點﹐若 GD r AB s AC

  

= + ﹐ r ﹑ s 為實數﹐

則數對

( )

^{r s,} = ____________﹒

解答 3 1 4, 4

 − 

 

 

解析

GD

  

=AD AG− ^{3 1 1} 4AB 4AC 2AC

 

=

  

+ − ^{3 1} 4AB 4AC

=

 

−

_{﹐故 ( )}

_, ³_, ¹ 4 4 r s = − 

 

﹒

5. 如圖﹐ D ﹑ E ﹑ F 依次分別為 BC ﹑CA ﹑ AB 上的點﹐ AF ： FB=BD： DC CE= ：EA= ：1﹐2 而 AD 與 EF 交於 P ﹐設 AP

  

=x AB y AC+ ﹐則數對

(

x y,

)

= ____________﹒

解答 2 4 15 15,

 

 

 

解析 1 2

3 3

AD

  

= AB+ AC_﹐

設 ^{1 2 1 3 2 3 1}

( )

²

3 3 3 2 3 2

AP=t AD= t AB+ t AC= t AF+ t AE= t AF + t AE

       

_﹐

∵ 2 2 1 2 2 4

5 5 3 3 15 15

AP= AD=  AB+ AC= AB+ AC

     

_﹐∴

₍

_,

₎

² _, ⁴

15 15

x y  

=  ﹒

6. △ ABC 中﹐ D 為 BC 中點﹐ E 在 AC 上﹐且 AE ：EC= ：3﹐ AD 交 BE 於點 P ﹐ CP 之延長線1 與 AB 交於 Q 點﹐則

(1)若 CP

  

=x CA y CB+ ﹐則數對

(

x y,

)

= ____________；

(2) CP ： PQ = ____________﹒

解答 (1) 3 1 5 5,

 

 

 ; (2)4：1 解析

(1)

CP

  

=x CA y CB+

﹐

2 4 3

CP x CA y CD

CP x CE y CB

 = +  

  



 

 =  +

  



  

   ^﹐

∵

A

﹑

P

﹑

D

共線且

B

﹑

P

﹑

E

共線﹐ ∴

2 1

4 1

3 x y

x y + =



 + =

 ⇒

(

^,

)

^{3 1,}

x y 5 5

=  

﹒

(2)設 3

5 5

t t

CQ

   

=t CP= CA+ CB ∵ A ﹑ Q ﹑ B 共線﹐∴3

5 5 1

t+ =t ⇒ 5

t= ﹐ 即4 5

CQ

 

=4CP_{﹐故 CP ：PQ}= ：1﹒ ₄

7. 設 G 為△ ABC 之重心﹐求

(1)若 AG

  

=x AB y BC+ ﹐則數對

(

x y,

)

= ____________﹔

(2)若 AG

  

=x BC+y CA﹐則數對

(

x y,

)

= ____________﹒

解答 (1) 2 1 3 3,

 

 

 ;(2) 1 2 3, 3

− − 

 

 

解析

(1) G 為△ ABC 之重心﹐ 1 1

3 3

AG

  

= AB+ AC

1 1

3 3

AG

  

= AB+ AC ^{1 1}

3AB 3AB BC

=

  

+  +  ^{2 1} 3AB 3BC

=

 

+ _﹐∴

₍

_,

₎

^{2 1}_, x y 3 3

=  ﹒

(2)由(1)﹐ 2 1

3 3

AG

  

= AB+ BC ^{2 1} 3AC CB 3BC

= 

  

+ + ^{2 2 1} 3CA 3BC 3BC

= −

  

− +

1 2

3BC 3CA

= −

 

− _{﹐ ∴}

₍

_,

₎

¹_, ² 3 3 x y = − − ﹒

8. 直線上三點 A ﹑ B ﹑ C ﹐ A B C− − ﹐若 3AB=2BC﹐ O 為任一點﹐求 (1)若 OA

  

=x OB y OC+ ﹐則數對

( )

x y = ____________﹔ ,

(2)若 OB

  

=h OA k OC+ ﹐則數對

( )

h k, = ___________﹒

解答 (1) 5 2 3, 3

 − 

 

 ;(2) 3 2 5 5,

 

 

  解析

∵ 2

3 2

3 AB BC AB

BC

= ⇒ = ﹐

由分點公式

^{3 2}

5 5

OB

  

= OA+ OC

﹐

3 2

5OA

  

=OB−5OC ^{5 2}

3 3

OA OB OC

⇒

  

= −

﹐

∴(1) ( )

^{, 5, 2}

3 3 x y = − 

 

﹒ (2) ( )

^{, 3 2,}

h k 5 5

=  

 

﹒

9. A ﹑B ﹑C 三點不共線﹐x ﹑y 為實數﹐若

(

^x+1

)

^AB



⁺

(

^3y−6

)

^AC



⁺

(

^{2x−y BC}

)  

^{= 0} _﹐則數對

_{( )}

_{x y, =}

_____﹒

解答

( )

^2,1

解析

(

^x+1

)

^AB+

(

^3y−6

)

^AC+

(

^2x−y

)

^_^{AC AB− }_^{= 0}

 

    

﹐

(

^{x+ −1 2x+y AB}

) 

⁺

(

^{3y− +6 2x−y AC}

)  

^{= 0} _﹐

∴ 1

2 2 6 x y x y

− + = −

 ⇒

 + =



2 1 x y

=

= ﹐∴

( ) ( )

^{x y, = 2,1 ﹒}

10. 若△ABC中﹐AB= ﹐4 AC= ﹐5 BC= 且 A6 ∠ 的角平分線 AD 交 BC 於 D 點﹐則 AD =



________﹒

解答 10 3 解析

4 5 BD AB DC = AC =



﹐ ∴

^{5 4}

9 9

AD

  

= AB+ AC

﹐

2 2

5 4

9 9

AD

  

= AB+ AC ^{25 2 40 16 2} 81 AB 81AB AC 81 AC

=

   

+ ⋅ + = 25 40 16 25 36 16

16 4 5 25

81 81 2 4 5 81

+ −

 

⋅ +  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

900 100 81 9

= = ﹐∴ 10

AD



= 3 ﹒

11. I 為△ ABC 的內心﹐a= ﹐3 b= ﹐6 c= ﹐若 BI x BA y BC5

  

= + ﹐則數對

(

x y,

)

= ____________﹒

解答 3 5

 , 

 

解析

3 5

14 14

a c

BI BA BC BA BC

a b c a b c

= + = +

+ + + +

    

_﹐∴

₍

_,

₎

^{3 3}_,

x y 14 7

=  ﹒

12. 在△ ABC 中﹐AB= ﹐5 AC= ﹐4 BC= ﹐ H 是6 △ABC的垂心﹐且 AH



交 BC 於 D ﹐求﹕

(1) 若 AH

  

=x AB y AC+ ﹐ x ﹐ y ∈ R ﹐則數對 ( , ) ?x y = (2) 若 AD

  

=AB m AC+ ﹐ ﹐ m∈ R ﹐則數對 ( , ) ? m = 解答 (1) 3 1

( , )

35 7 ;(2) 3 5 ( , )

8 8 解析

(1)

2 2 2 2 2 2

5 4 6 5

cos 2 2 2

AB AC BC

AB AC AB AC A + − + −

⋅ = = = =

   

H 是△ABC的垂心

⇒

^{AH AB AB AC} AH AC AB AC

 ⋅ = ⋅



 ⋅ = ⋅



   

   

2

2

AH AB AB x AB AC y

AH AC AB AC x AC y

 ⋅ = ⋅ + ⋅



⇒  ⋅ = ⋅ +



    

    

^{⇒ 255} 16^{52 552}

2 2

x y

x y

 + =



 + =



⇒ 1

y= ﹐7 3

x=35 ∴ 3 1 ( , ) ( , )

x y = 35 7

(2) 設 3 1 3

( )

35 7 35 7

t t

AD

     

=t AH=t AB+ AC = AB+ AC ∵ D ﹐ B ﹐ C 三點共線 ∴ 3

35 7 1

t + = t ⇒ t = 35 8

∴ 3 5

8 8

AD

  

= AB+ AC_{， 即( , ) ( , )}^{3 5} m = 8 8



13. 設△ABC 中﹐G 為重心﹐且

GA = 1

﹐

GB = 2

﹐

GC = 2

﹐

(1)求GA GB GC

  

+ + _{﹒ (2)求}

_{GA GB}   _⋅

_﹒

解答 (1) 0;(2)1 2

解析 (1)G 為△ABC 的重心﹐得GA GB GC

   

+ + = 0 _{﹐ 得GA GB GC}

  

_{+ + =0﹒}

(2)由

2 2 2 2 2

2

GA GB         + = − GC ⇒ GA + GA GB ⋅ + GB = GC

1

1 2 2 4

GA GB GA GB 2

⇒ +

 

⋅ + = ⇒

 

⋅ = _﹒

14. 設 I 為△ABC之內心﹐若 3

   

IA+4IB+5IC= 0 且△ABC周長為 48﹐求△ABC之面積﹒

解答 96

解析 ∵ 3

   

IA+4IB+5IC= 0 ⇒ : :a b c=3 : 4 : 5

又周長為 48 ∴ a=12﹐b=16﹐c=20﹐故直角 1

12 16 96 ABC= × ×2 =

△