59, (2)91216, (3)

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：100.06.02 範

圍 3-2 機率班級二年____班姓座號名

一、填充題(每題 10 分)

1、擲三粒公正的骰子，求：

(1)三個點數均相異的機率為______.

(2)三個點數的積是 5 的倍數之機率為______.

(3)三個點數成等差的機率為______.

答案：(1)⁵

9, (2) ⁹¹

216, (3) ⁷ 36 解析：(1)6 個點數選 3 個：

6 3 3

3! 5 6 9. C ×

= (2)3 個 5 有 1 種,

2 個 5 有 3 5 15× = 種, 1 個 5 有3 5× ² =75種，

∴共有 91 種，所求機率為 ⁹¹ . 216

(3)公差為 0：(1.1.1)(2.2.2)(3.3.3)(4.4.4)(5.5.5)(6.6.6)共 6 種，

公差為 1：(1.2.3)(2.3.4)(3.4.5)(4.5.6)共有 4 3! 24× = 種，

公差為 2：(1.3.5)(2.4.6)共有 2 3! 12× = 種，

共有 42 種，所求機率為 ⁴² ⁷ . 216=36

2、將 A, B, C, D, E 等 5 人的名片各一張，任意發給此 5 人，每人一張，則 (1)5 人皆得自己名片的機率為______.

(2)恰有 4 人得自己名片的機率為______.

(6)沒有任何 1 人得自己名片的機率為______.

答案：(1) ¹

120, (2)0, (3) ¹ 12, (4)¹

6, (5)³

8, (6)¹¹ 30 解析：(1)^{1 1 1 1 1} ¹

5! 120

× × × × = .

(2)∵4 人得自己名片，則第 5 人必得自己的名片, ∴所求機率為 0.

(3)選 3 人得自己名片，另 2 人錯排：

5 2 2 2

3 ( 0 2! 1! 0!)1 2 1

5! 12

C × C × −C × +C ×

= .

5 3 3 3 3

2( 0 3! 2! 1! 0!)1 2 3 1

5! 6

C C × −C × +C × −C × = .

5 4 4 4 4 4

1( 0 4! 3! 2! 1! 0!)1 2 3 4 3 C C × −C × +C × −C × +C × = .

(2)

(6) 5 人錯排：

5 5 5 5 5 5

0 5! 4! 3! 2! 1! 0!1 2 3 4 5 11

5! 30

C × −C × +C × −C × +C × −C ×

= . 3、有 8 位旅客，搭乘一列掛有 4 節車廂的火車，則

(1)第一節車廂恰有其中 2 位旅客的機率為______.

(2)每節車廂皆有其中 2 位旅客的機率為______.

答案：(1)

6 14

7 3 2

⋅ , (2)

2 13

3 5 7 2

⋅ ⋅

解析：(1)第一節車廂先選 2 乘客，其餘 6 人任意乘坐機率為

8 6

2 8

3 . 4 C ×

(2)先將 8 人平分為 4 組，再排列至節車廂機率為

8 6 4 2

2 2 2 2

8

4! 4!. 4

C C C C ×

4、十二張分別標以 1, 2, 3,…,12 的卡片，任意分成兩疊，每疊各六張，則 (1)1, 2, 3 三張在同一疊的機率為______.

(2)1, 2, 3, 4 四張中，每疊各兩張的機率為______.

答案：(1) ²

11, (2) ⁵ 11

解析：(1)1.2.3 以外的 9 張卡片分為 3 張、6 張的 2 組 1, 2, 3 三張與 3 張一組：

9 6 3 6 12 6

6 6

2 11 2!

C C

C C = . (2) 1.2.3.4 平分為 2 組，另外的 8 張亦平分為 2 組分，再將 1.2.3.4 平分為 2 組排入

4 張、4 張的 2 組：

4 2 8 4

2 2 4 4

12 6

6 6

2! 5 2! 2!

11 2!

C C C C C C

× ×

= .

5、 A, B 兩事件，若 ( ) ¹, ( ) ¹

4 3

P AB = P A = ,則(1)P A( −B)=______. (2)P A( B)=______.

答案：(1) ⁵

12, (2)³ 4

解析：(1) ( ) ( ) ( ) ² ¹ ⁵ . 3 4 12 P A B− =P A −P AB = − = (2) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ³.

P AB = −P AB = −P AB =4

6、寫有 1, 2, 3, 4,…, 9 各數字之 9 張卡片中任取兩張，則 (1)二數字皆為奇數之機率為______.

(2)二數字之和為偶數之機率為______.

(3)二數字之積為偶數之機率為______.

(4)二數字之積為完全平方或完全立方之機率為______.

答案：(1) ⁵

18, (2)⁴

9, (3)¹³ 18, (4) ⁷

36

(3)

解析：(1)

5 2 9 2

5 18 C

C = .

(2) 二數字之和為偶數即 2 偶或 2 奇

4 5

2 2

9 9

2 2

4 9

C C

⇒ + =

兩個偶數兩個奇數

.

(3) 二數字之積為偶數即 2 數中至少一偶數：全－2 奇：

5 2 9 2

1 13

18 C

− C =

兩個奇數

. (4)(1, 4, 9)任取 2 個C₂³=3──為完全平方，

(1,8), (2, 4), (3, 9), (2,8)

完全立方完全平方

,所求 ⁷

=36.

7、甲、乙兩人分別從 0 至 99 的 100 個數中，各自選出 3 個不同的數，則兩人所選的數完全相同的機率為______,至少有一數相同的機率為______.(以最簡分數表示之)

答案： ¹

161700, ⁷¹³ 8085 解析：(1)

100 3

3 3

100 100

3 3

1 . 161700 C C

C C = (2)

100 97

3 3

100 100

3 3

1 713 .

8085 C C

C C

− =

數字全不相同

8、四對夫婦，若

(1)圍坐一圓桌，求男女間隔而坐之機率為______.

(2)抽籤選定舞伴，求每一位先生皆不以其妻為舞伴之機率為______.

答案：(1) ¹

35, (2)³ 8

解析：(1) 4! 4!

4 1

8! 35 8

× = . (2)4 個人錯排：4! 4 3! 6 2! 4 1! 0! 3

4! 8.

− × + × − × +

=

9、投擲一粒公正骰子五次，出現點數依次以x y z u v, , , , 表之，則 (1)x y z u v, , , , 不全相異的機率為______.

(2)(x−y y)( −z z)( −u u)( − =v) 0之機率為______.

答案：(1)⁴⁹

54, (2) ²⁷¹ 1296

解析：(1)x y z u v, , , , 完全相異視為完全相異物之直線排列有P₅⁶種情形，

不完全相異之機率為

6 5

5

1 49

6 54

−P = .

(2)(x−y y)( −z z)( −u u)( − ≠v) 0視為著色問題，相鄰得異色，

如圖所示，有 6 5 5 5 5 3750× × × × = (種),

故所求機率為1 ³⁷⁵⁰₅ ⁶⁷¹ 6 1296

− = .

10、擲一公正骰子四次，則

(4)

(1)點數越擲越大之機率為______；

(2)恰有兩次為同點數之機率為______；

(3)最大點數為 3 之機率為______.

答案：(1) ⁵

432, (2)⁵

9, (3) ⁶⁵ 1296 解析：(1)四數全異：

6 4

4 4

15 5 6 6 432 P=C = = .

(2)四次用了 3 個點數：

6 3

4

3! 4!

10 12 5 2! 2!

6 216 9

C P

⋅ × ×

= = = .

(3)點數 1.2.3 投擲四次中，至少一次 3 點：

4 4

4

3 2 65 6 1296 P −

= = .

11、有n 個人玩擲一個骰子的遊戲，請問至少要有______人參加，才會有「至少一人擲出一 點的機率高於 90%」.(log 20.3010, log 30.4771)

答案：13

解析：『至少一人擲出一點』即『全－(沒 1 點)』

1 5 0.9

6

n

P= −    >

5 0.1 6

 n

⇒   <

log 5 log 0.1 6

 n

⇒   <

 

log5 1 n 6

⇒ < − (log 5 log 6) 1

⇒n − < −

[(log10 log 2) (log 2 log 3)] 1

⇒n − − + < −

[1 2 0.3010 0.4771] 1

⇒n − × − < −

( 0.0791) 1

⇒ −n < − 1

0.0791 12.6

⇒ >n  , ∴n= . 13

12、一盒中有 12 個球，球上分別印有號碼 1 到 12,今由盒中任取 5 球，則 5 球之號碼中，第二大數目是 9 之機率為______.

答案： ⁷ 33

解析：比 9 小取 3 個、比 9 大取 1 個：

8 1 3

3 1 1

12 5

C C C

P C

⋅ ⋅

= ^{56 3}

12 11 10 9 8 1 2 3 4 5

= ×

× × × ×

56 3 12 11 6

= ×

× × 7

=33. 13、袋中有 3 白球,4 黑球,2 紅球，一次取兩球，取後不放回，則

(1)僅取一次，取到兩球同色之機率為______；

(2)先後取兩次，均取到同色球，取後袋中仍有白、黑、紅三色球之機率為______.

答案：(1) ⁵

18, (2) ¹ 21 解析：(1)2W、2B、2R：

3 4 2

2 2 2

9 2

3 6 1 5 36 18 C C C

P C

+ + + +

= = = .

(5)

(2)2W2B 或 2B2W,

4 3 3 4

2 2 2 2

9 7 9 7

2 2 2 2

C C C C

P=C ×C +C ×C 2 ^{6 3} 36 21

= × ×

×

1

=21.

14、袋中有 3 白球,4 紅球,5 黑球，若每球被取的機會均等，今每次由袋中取一個，取後不放回，連續取球，則紅球先取完之機率為______.

答案：² 3

解析：紅球先取完即最後為白或黑： ^{3 5} ⁸ ². 12 12 3 P= + = = 15、5 人同時玩猜拳(剪刀，石頭，布)遊戲一次，則

(1)恰有 1 人獲勝之機率為______.

(5)平手之機率為______.

答案：(1) ⁵

81, (2)¹⁰

81, (3)¹⁰ 81, (4) ⁵

81, (5)¹⁷ 27 解析：(1)5 人挑 1 人獲勝：

3 4

5 1

1 5

1 5 3 81 P C C ⋅

= × = .

(2) 5 人挑 2 人獲勝：

3 3

5 1

2 5

1 10 3 81 P=C ×C ⋅ = .

(3) 5 人挑 3 人獲勝：

3 2

5 1

3 5

1 10 3 81 P=C ×C ⋅ = .

(4) 5 人挑 4 人獲勝：

3

5 1

4 5

1 5 3 81 P=C ×C ⋅ = .

(5) 1 ^{5 10 10 5}

P= − + 81+ + 51 17 81 27

= = .

16、在下圖的棋盤方格中，隨機任意取出兩個格子.選出的兩個格子不在同行也不在同列之機率為______.

答案：³ 5

解析：『兩個格子不在同行也不在同列』即『全－(同行或同列)』

4 4 4 4

1 2 1 2

16 16

2 2

1 C C C C P= − C − C ³

=5. 17、阿純和阿美及其他 8 名同學共 10 名學生輪到本週擔任值日生.本週 5 個上課日每天從尚

未當過的同學中抽籤選出 2 位輪值.則阿純和阿美答案：

不同一天擔任值日生的機率為______.

8 9

解析：『阿純和阿美不同一天擔任值日生』即『全－(阿純和阿美

8 6 4 2

2 5 2 2 2 2

2 1

10 8 6 4 2

4! 4!

1

C C C C C C

P C C C C C

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ×

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ×

同一天擔任值日生)』

1 5

= −45 8

=9.

(6)

18、某一工廠生產燈泡,10 個裝成一盒，工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 4 個來檢查，如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的，則整盒淘汰.若某一盒有 4 個壞燈泡，則這一盒被淘汰的機率是______.

答案：²³ 42 解析：

4 4 6 4 6

4 3 1 2 2

10 4

C C C C C

P C

+ ⋅ + ⋅

= ^{1 24 90}

10 9 8 7 1 2 3 4

+ +

= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

115 21 10

= ×

23

=42.

19、設有甲、乙、丙、……等 10 人，分別乘坐 3 部車,1 號車坐 4 人,2 號車與 3 號車各坐 3 人，

今由抽籤決定各人所乘之車，則甲、乙兩人不同車之機率為______.

答案：¹¹ 15

甲乙坐 4 人車甲乙坐 3 人車

解析：(全－甲、乙兩人同車)：

8 6 3

8 7 3

2 3 3

1 4 3

10 6 3

4 3 3

1 2! ( ) 2!

1 2!

2! 1 2!

C C C

P C C C

⋅ ⋅

× × + ⋅ ⋅ ×

= − ⋅ ⋅ × ×

1 4

= −15 11

=15.

20、甲、乙、丙、……等 12 人，分住A、B、 C 三房間，每間 4 人，則甲、乙兩人住同一房 間之機率為______.

答案： ³ 11

解析：

10 8 4

2 4 4

12 8 4

4 4 4

2! 3!

3! 3!

C C C P C C C

⋅ ⋅ ×

= ⋅ ⋅ ×

3 45 45 11

= ×

×

3

=11.

21、將四對夫婦共 8 人平分成四組，則每組中恰有一男一女的機率為______.

答案： ⁸ 35

解析：4 位先生在 4 位太太前排列： ₈ ₆ ₄ ₂

2 2 2 2

4!

P= C C C C

⋅ ⋅ ⋅

24

=105 8

=35.

22、將 15 人分成三組，每組 5 人，則其中特定 3 人中至少有 2 人在同一組之機率為______.

答案：⁶⁶ 91

(特定 3 人在同一組) (特定 3 人中 2 人在同一組)

解析：

12 10 5 12 10 5

2 5 5 3 3 5 5

2

15 10 5

5 5 5

2! 2!

3!

C C C C C C

C

P C C C

 

⋅ ⋅ +  ⋅ ⋅ 

 

= ⋅ ⋅

33 3 110 7 11 13

2

= + ×

⋅ ⋅

33 2 91

= × 66

= 91.

23、一袋中藏有 1 白球 2 紅球，今自袋中每次取 1 球，取後即放回.假設每球被取到的機會均等，則連取 5 次，

(7)

(1)取到 3 次白球 2 次紅球的機率為______，

(2)取到紅白相間的機率為______.

答案：(1) ₃⁵( ) ( )¹ ³ ² ² ⁴⁰

3 3 243

C =

(2)[白紅白紅白]或[紅白紅白紅]：( ) ( )¹ ³ ² ² ( ) ( )¹ ² ² ³ ⁴ 3 3 + 3 3 =81

24、將 5 個不同的球丟入 3 個不同的箱子：

(1)每箱均有球之機率為______，

(2)恰有一個空箱之機率為______.

答案：(1)

3 5 3 5 3 5 3 5

0 1 2 3

5

3 2 1 0 50

3 81

C ⋅ −C ⋅ +C ⋅ −C ⋅ =

(2)

3 2 5 2 5 2 5

1 0 1 2

5

( 2 1 0 ) 10

3 27

C C ⋅ −C ⋅ +C ⋅

= 25、爸爸、媽媽與子女共 5 人

(1)作直線排列，爸媽不可排在首位與末位的機率為______，

(2)作環狀排列，幼子同時與爸媽相鄰的機率為______.(即坐在爸媽之間) 答案：(1) 爸媽先排中央的 3 個位子中的 2 個：^{3 2 3!} ³

5! 10

× × =

(2) 3! 2!

3 1

5! 6 5

× =

26、將“a、a、a，b、b，c，d ”七個字母排成一列 (1)b 與 b 相鄰而三個 a 均不相鄰之機率為______.

(2)相同字母不得相鄰之機率為______.

答案：(1) b、b，c，d 先排，4 個空隙挑 3 個給 a 插入：

4

3! 3 2 7! 35 3!2!

×C =

(2)「先排 b、b、c、d 再插入 3 個 a」，再扣除 bb 相連者

5 4

3 3

4! 3!

2! 8

7! 35 3!2!

C − C

=