解：(1)log572＝ 5 log 72 log ＝ 2) log(10 ) 3 2 log( 3× 2 ＝ 1 log2 3 log 2 2 log 3

第3 單元 指數與對數

1.若 x＝

56 . 2

3 .

3 88

，則下列那一個敘述是正確的？(可用查表法) (83 推甄)

(1)2.8＜x＜2.9 (2)2.7＜x＜2.8 (3) 2.6＜x＜2.7

(4)2.5＜x＜2.6 (5) 2.4＜x＜2.5 (log8.83=0.9460，log2.56=0.4082) 解：取log x＝log

56 . 2

3 .

3 88

＝3

1log 88.3－

2

1log 2.56＝

3

1(1＋0.9460)－

2

1(0.4082)＝0.4446 查表得log 2.7＝0.4314，log 2.8＝0.4472，∴2.7＜x＜2.8

答：(2)

2.函數 y＝4 與 y＝^x 2^3x+2的圖形之交點坐標為_______。(83 推甄) 解：∵4^x＝2^3x+2，⇒2^2x ＝2^3x+2，∴2x＝3x＋2，得知 x＝－2，y＝

16

1 ，故交點坐標為(－2，

16 1 )

答：(－2，

16 1 )

3.設log_a

x

＝log_b

y

＝－

2

1 log_c2，式中 a，b，c 均為不等於 1 的正數，且 x＞0，y＞0，c＝ ab ，則 xy＝____。(83 社)

解：(1)設log_a

x

＝log_b

y

＝－

2

1 log_c2＝k，⇒ x＝

a

^k，y＝

b

^k， 2 1 ＝

c

^k

(2)∵c＝

ab

，∴

c

^2k＝

a

^k

b

^k，⇒ xy＝(

2 1 )²＝

2 1

答：2 1

4.令 a＝log 2，b＝log 3，試以 a，b 表(1)log₅72與(2)

log

₆

[ 5 ⋅ ( 14 − 4 6 + 5 + 2 6 )]

。 解：(1)log₅72＝

5 log

72 log ＝

2) log(10

) 3 2 log( ³× ²

＝ 1 log2 3 log 2 2 log 3

−

+ ＝

a b a

− + 1

2 3

(2)∵ 5+2 6＝ 3＋

2

， 14−4 6＝ 14−2 24＝

12

－

2

＝2 3－

2

∴ 14−4 6 + 5+2 6 ＝(2 3－

2

)＋( 3＋

2

)＝3 3

⇒

log

₆

[ 5 ⋅ ( 14 − 4 6 + 5 + 2 6 )]

＝

log

₆

[ 5 ⋅ ( 3 3 )]

＝

6 log

15 3 log

＝

log 2 log 3 ) 15 log 3 2 (log 3 1 log

+ + +

＝

a b a b a

+

− + + ( 1 )

2 1

＝

a b a b

2 2

1 3

+ +

−

答：1.

a b a

− + 1

2 3 2.

b a

a b

2 2

1 3

+ +

− (83 自)

5.如右圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖。假設其關係為指數函數，試問下列敘述何者為真？(87 推甄) (1)此指數函數的底數為 2

(2)在第 5 個月時，布袋蓮的面積就會超過30m ² (3)布袋蓮從 4

m ，蔓延到 12

²

m ，只需 1.5 個月

²

(4)設布袋蓮蔓延到 2

m 、3

²

m 、6

²

m 所需的時間分別為

²

t

₁、

t

₂、

t

₃ 則

t

₁＋

t

₂＝

t

₃

(5)布袋蓮在第 1 到第 3 個月之間的蔓延平均速度等於在第 2 到第 4 個月 之間的蔓延平均速度

0 1 2 3 4

時間(月) 12

4 8 16 面積(m²)

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－2 指數與對數

解：(1)設此函數為 y＝

a

^x，y 表示面積，x 表示時間，∵通過(1，2)代入，∴2＝

a

¹，得底數

a

＝2 或以底數為2，檢查各點

點(1，2)⇒ 2＝2¹ 點(2，4)⇒ 4＝2² 點(3，8)⇒ 8＝2³

點(4，16)⇒ 16＝2⁴，得知皆正確 (2)當 x＝5 時，代入 y＝2^x＝32＞30

(3)∵4＝2^x，∴x＝2，則經過 1.5 個月後，面積 y＝2^2+1.5＝8

2

＜12 (4)∵2＝2^t1...○¹ ，3＝2^t2...○² ，6＝2^t3...○³

∴○¹ ×○² ＝6＝2×3＝2^t1+t2＝2^t3＝○³ ，∴

t

₁＋

t

₂＝

t

₃ (5)第 1 到第 3 個月之間的蔓延平均速度＝

1 3

2 2^{3 1}

−

− ＝3

第2 到第 4 個月之間的蔓延平均速度＝

2 4

2 2^{4 2}

−

− ＝6，∴其蔓延平均速度不相等 答：(1)(2)(4)

6.若 a＞0 且 a≠1，則下列圖形中，何者可能是指數函數 y＝a^x的部分圖形？(87 社)

(1) (2) (3) (4) (5)

解：(1) y＝a^x且 a＞1，圖形如下 (2)

y＝a

^x且0＜a＜1，圖形如下

答：(1)(3)

7.若實數 x 滿足 1＋log 4 (x－1)＝log 2 (x－9)，試求 x 的值。(87 社) 解：(1)條件：真數＞0，⇒ x－1＞0 且 x－9＞0，∴x＞9

(2)原式：log 2 2＋

2

1log 2 (x－1)＝log 2 (x－9) ⇒ 2

x

−1＝x－9 平方：x²－22x＋85＝0，⇒ (x－5)(x－17)＝0，∴x＝5 或 x＝17 由(1) (2)得知 x＝17

答：17

8.下列五個數中，何者為最小？(1) ³

1

2 (2) ) ² 8

(1 ⁻ (3) ⁴

1

2⁻ (4) ²

1

2)

(1 (5) ³

1

8

⁻ (88 推甄) 解：(2) ) ²

8

(1 ⁻ ＝(2⁻³)⁻²＝2⁶

(4) ²

1

2)

(1 ＝ ²

1 1) 2

( ⁻ ＝ ²

1

2⁻

(5) ³

1

8

⁻ ＝ ³

1 3) 2

( ⁻ ＝2⁻¹ 答：(5)

•

• •

• •

E C D A B

y＝2

^x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x y

x

y

9.本金 100 元，年利率 6%，每半年複利一次，五年期滿，共得本利和為 元。(元以下四捨五入) (88 推甄) 解：設本利和為 x，∴x＝100(1＋6%)⁵＝100×1.06⁵

取log x＝log 100×1.06⁵＝2＋5log1.06＝2＋5×0.0253＝2.1265＝log 100＋log 1.338＝log 133.8

∴x＝133.8≒134 答：134

10.某甲向銀行貸款 100 萬元，約定從次月開始每月還給銀行 1 萬元，依月利率 0.6%複利計算，則甲需要_____年就可 還清。(答案以四捨五入計算成整數，而log₁₀2＝0.3010，log₁₀1.006＝0.0026) (88 自)

解：設 n 個月之後可還清，則 100(1.006)ⁿ＝1×[1＋(1.006)¹＋(1.006)²＋...＋(1.006)ⁿ⁻¹]＝0.006×100×(1.006)ⁿ

n≈153 月≈13 年

答：13 年

11.下圖為函數 y＝a＋log b x 之部分圖形，其中 a，b 皆為常數，則下列何者為真？(88 社) (1) a＜0，b＞1 (2)

a＞0，b＞1 (3) a＝0，b＞1

(4) a＞0，0＜b＜1 (5)

a＜0，0＜b＜1

解：如右圖，

(1) y＝a＋log b x 的圖形是 y＝log b x 的圖形鉛直向下 a 單位得到

∵y＝a＋log _b x 的圖形在 y＝log b x 的圖形下方，∴a＜0 (2) y＝log b x 的圖形是遞減函數，∴0＜b＜1

答：(5)

12.在 1999 年 6 月 l 日數學家利用超級電腦驗證出2^6792593－1 是一個質數。若想要列印出此質數至少需要多少張 A4 紙？

假定每張A4 紙，可列印出 3000 個數字。在下列選項中，選出最接近的張數。[ log 2＝0.3010 ] (89 推甄) (1) 50 (2) 100 (3) 200 (4) 500 (5) 700

解：設 k＝2^6792593，∴log k＝log2^6792593＝6792593(log 2)＝2098750.493

⇒ log k的首數為2098750，∴ k 為2098751 位數，⇒ 2^6792593－1 也是 2098751 位數 需A4紙張數＝

3000 2098751

＝699.58(張) 答：(5)

13.下列選項何者為真？(89 社)

(1) 2 2 2¹⁰+ ²⁰

＞ 2¹⁰⋅2²⁰ (2)

2 2) (1 2)

(1 ¹⁰+ ²⁰

＞ ¹⁰

)

²⁰

2 ( 1 2 )

( 1 ．

(3) 10 ＋ 20 ＞ 30

(4) log10＋log 20＞log 30 (5) 2

20 10²+ ²

＞( 2 20 10+

)² 解：(1)根據算幾不等式，得知(1)(2)為真

(2)∵( 10＋ 20)²－30＝2 200＞0，∴ 10＋ 20＞ 30，(3)為真 (3)∵log 10＋log 20＝log 200＞log 30，∴(4)為真

(4) 2 20 10² + ²

＝ 2

500＝250＞225＝15²＝(

2 20 10+

)²，∴(5)為真 答：(1)(2)(3)(4)(5)

14.某食品實驗室混合甲、乙兩種菌類製成一種新食品。調查發現乙菌個數是甲菌個數的千倍以上時，新食品才受歡迎。

又知道甲菌一日後增加一倍，乙菌增加三倍(成為原來的四倍)。現在取同數量的甲、乙兩種菌，讓它們同時繁殖，

試問至少第 天後混和甲、乙兩種菌類時，才能製成受歡迎的食品。(已知 log 2 = 0.3010) (89 社)

y

O

x

1 2

y

O

x

1 2

y＝log

b x

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－4 指數與對數

解：設現在取相同數量的甲、乙兩菌種各 a 單位讓它們同時繁殖 在第 n 日後混合，製成受歡迎的食品，依題意得知 _n

n

a a

2 4

⋅

⋅ ＞10³

⇒ 2ⁿ＞10³，取log，得 n log 2＞3，⇒ n＞

2 log

3 ＝

3010 . 0

3 ＝9.96…，取 n＝10 為所求 答：10

15.某甲在股票市場裡買進賣出頻繁。假設每星期結算都損失該星期初資金的 1％，而第 n 星期結束後資金總損失超過 原始資金的一半，則 n 最小為 。(已知 log102 = 0.3010，log103 = 0.4771，log1011 = 1.0414) (89 自)

解：設原始資金為 x，∴x(1－1％)ⁿ＞ 2

1

x，⇒

)ⁿ 100 (99 ＞

2 1

取log ，∴n(2log 3＋log 11－2)＜－log 2，∴n＞

11 log 3 log 2 2

2 log

−

− ＝

0414 . 1 4771 . 0 2 2

3010 . 0

−

×

− ＝

68 . _L

，取 n＝69 答：69

16.設 a＝ ²

1

2)

(1 ，b＝ ³

1

3)

(1 ，c＝ ⁴

1

4)

(1 。下列選項何者為真？(90 學測)

(A) a＞b＞c (B)

a＜b＜c (C) a＝c＞b (D) a＝c＜b (E) a＝b＝c

解：a＝ ²

1

2)

(1 ：取log a＝log ²

1

2)

(1 ＝1 2 log(

1 2 )＝

1

2 log 2^－1＝－0.1505

b＝

³

1

3)

(1 ：取log b＝log ³

1

3) (1 ＝1

3 log(

1 3 )＝－

1

3 log 3＝－0.1590

c＝

⁴

1

4)

(1 ：取log c＝log ⁴

1

4)

(1 ＝1 4 log(

1 4 )＝

1 4 log(

1

2 )²＝1

4 ×2×log 2^－1＝log a log a＝－0.1505＝log c＞－0.1590＝log b，∴a＝c＞b

答：(C)

17.根據內政統計，臺灣地區在西元 2000 年底有 2228 萬人，而最近九年的人口平均年增加率為 0.0087。假設此後一世 紀內，人口的年增加率皆為0.0087，則臺灣地區人口增加 50%而達到 3342 萬時，會最接近下面所列的那一年(西元)？

(1) 2040 (2) 2050 (3) 2060 (4) 2070 (5) 2080 (90 自) 常用對數表 y＝log10

x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

11 12 13 14 15

0000 0043 0086 0128 0170 0414 0453 0492 0531 0569 0792 0828 0864 0899 0934 1139 1173 1206 1239 1271 1461 1492 1523 1553 1584 1761 1790 1818 1847 1875

0212 0253 0294 0334 0374 0607 0645 0682 0719 0755 0969 1004 1038 1072 1106 1303 1335 1367 1399 1430 1614 1644 1673 1703 1732 1903 1931 1959 1987 2014

例：log

10

1.23 = 0.0899

解：設 n 年後，人口達到 3342 萬

∴2228(1＋0.0087)ⁿ＝3342，(1＋0.0087)ⁿ＝ 2228 3342 ＝1.5

取log (1＋0.0087)ⁿ＝log 1.5，⇒ n log 1.0087＝0.1761，∴n＝47.6，而 2000＋47.6＝2047.6(西元) 答：(2)

18.目前國際使用芮氏規模來表示地震強度。設 E(r)為地震芮氏規模 r 時，震央所釋放出來的能量，r 與 E(r)的關係如 下：log E(r)＝5.24 + 1.44r，

(1)某次地震其芮氏規模為 4，試問其震央所釋放的能量 E(4)為多少？

(2)試問芮氏規模 6 的地震，其震央所釋放的能量是芮氏規模 4 的地震震央所釋放能量之多少倍？(整數倍以下捨去，

已知10^1.44＝27.54) (90 數學乙)

解：(1) log E(4)＝5.24 + 1.44×4＝11，∴E(4)＝10¹¹

(2) log E(6)＝5.24 + 1.44×6＝13.88，∴E(6)＝10^13.88，⇒

) 4 (

) 6 (

E

E

＝ ₁₁

88 . 13

10

10 ＝10^2.88＝(10^1.44)²＝27.54²＝758.45 ≈ 758 答：(1)10¹¹；(2)758 倍

19.觀察相關的函數圖形，判斷下列選項何者為真？(91 學測)

(1) 10^x＝x 有實數解 (2)10^x＝x²有實數解 (3) x 為實數時，10^x＞x 恆成立 (4) x＞0 時，10^x＞x²恆成立 (5)10^x＝－x 有實數解

解：(1)如下圖 1，∵ y＝10^x與 y＝x 的圖形不相交，∴沒有實數解 (2)如下圖 2，∵ y＝10^x與 y＝x²的圖形交於 1 點，∴有 1 實數解

(3)如下圖 1，∵ y＝10^x的圖形恆在 y＝x 圖形的上方，∴10^x＞x 恆成立

(4)如下圖 2，∵當 x＞0 時，y＝10^x的圖形(第一象限內)恆在 y＝x²圖形的上方，∴10^x＞x²恆成立 (5)如下圖 3，∵ y＝10^x與 y＝－x 的圖形相交於 1 點，∴有 1 實數解

答：(2)(3)(4)(5)

20.某甲自 89 年 7 月起，每月 1 日均存入銀行 1000 元，言明以月利率 0.5%按月複利計息，到 90 年 7 月 1 日提出。某 乙則於89 年 7 月起，每單月(一月、三月、五月…)1 日均存入銀行 2000 元，亦以月利率 0.5%按月複利計息，到 90 年7 月 1 日提出。一整年中，兩人都存入本金 12000 元。提出時，甲得本利和 A 元，乙得本利和 B 元。問下列選 項何者為真？(91 學測)

(1) B＞A (2) A＝1000 ¹²

1

(1005) 1000

k k

 

 



∑



＝

(3) B＝2000 ^{6 2}

1

(1005) 1000

k k

 

 



∑



＝

(4) A＜12000 1005 ¹² ( )

1000 (5) B＜12000 1005 ¹² ( )

1000

解：A＝1000(1＋0.5%)¹²＋1000(1＋0.5%)¹¹＋…＋1000(1＋0.5%)¹＝1000 ¹²

1

(1005) 1000

k k

 

 



∑



＝

＜12000(1＋0.5%)¹²＋12000(1＋0.5%)¹²＋…＋12000(1＋0.5%)¹²＝12000 1005 ¹² ( )

1000 B＝2000(1＋0.5%)¹²＋2000(1＋0.5%)¹⁰＋…＋2000(1＋0.5%)²＝2000 ^{6 2}

1

(1005) 1000

k k

 

 



∑



＝

＝1000(1＋0.5%)¹²＋1000(1＋0.5%)¹²＋…＋1000(1＋0.5%)²＋1000(1＋0.5%)²＞A B＝2000(1＋0.5%)¹²＋2000(1＋0.5%)¹⁰＋…＋2000(1＋0.5%)²

＜12000(1＋0.5%)¹²＋12000(1＋0.5%)¹²＋…＋12000(1＋0.5%)¹²＝12000 1005 ¹² ( )

1000 答：(1)(2)(3)(4)(5)

21.前行政院長提出知識經濟，喊出 10 年內要讓臺灣 double(加倍)，一般小市民希望第 11 年開始的薪水加倍。如果每 年調薪 a%，其中 a 為整數，欲達成小市民的希望，那麼 a 的最小值為_____。(參考數值﹕log2≒0.3010)(91 數乙)

x＝

1 2 3 4 5 6 7 8 9

log(1＋0.01x) 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334 0.0374 解：設原有薪水 x 元，第 11 年開始薪水加倍 ∴x⋅(1＋a%)¹⁰≥ 2x，⇒(1＋a%)¹⁰ ≥ 2

兩邊取log，∴ 10 log(1＋0.01a) ≥ log2，⇒ log(1＋0.01a) ≥ 0.03010，查附表得 a 之最小整數值為 8。

答：8

x y

y＝x y＝10

^x

圖1

x y

y＝－x

y＝10

^x

圖3

x

y＝x

²

y＝10

^x

圖2

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－6 指數與對數

22.根據統計資料，在 A 小鎮當某件訊息發布後，t 小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的 100(1－2^－kt )%，其中 k 是某個大於0 的常數。今有某訊息﹐假設在發布後 3 小時之內已經有 70%的人口聽到該訊息。又設最快要 T 小時後，

有99%的人口已聽到該訊息，則 T 最接近下列哪一個選項？(92 學測) (1) 5 小時 (2) 7

¹

2

小時 (3) 9 小時 (4) 11

¹

2

小時 (5) 13 小時 解：依題意100(1－2^－3k)%＝70%，⇒ 1－2^－3k＝

⁷

10

，⇒ 2^－3k＝

³ 10

又100(1－2^－kT)%＝99% ⇒ 1－2^－kT＝

⁹⁹

100

⇒ 2^－kT＝

¹

100

⇒(2^－3k)³

T

＝

¹

100

⇒ 3 ³ ( )10

T

＝

¹ 100

兩邊取log 得

3 T

log

³

10

＝－2，⇒

3

T

(log3－1)＝－2 ⇒ T＝ 6 log 3 1

－

－ ≈

⁶ 0.4771 1

－

－

＝

⁶

0.5229

－

－

≈11.5 答：(4)

23.以下個數何者為正？(92 學測)

(1)

2 −

³

2

(2)

log

₂

3

－1 (3)log₃2－1 (4)log 3

2

1 (5)

2 log 1

3 1

解：(1)

2 −

³

2

＝⁶ 2³ −⁶2² ＝⁶8−⁶4＞0 (2)∵

log

₂

3

＞

log

₂

2

＝1，∴

log

₂

3

－1＞0 (3)∵log₃2＞log₃3＝1，∴log₃2－1＜0 (4)log 3

2

1 ＝log2⁻13＝－

log

₂

3

＜0 (5)

2

log 1

3

1 ＝

log

₃ 1

2

¹

−

− ＝

1 1

−

− log₃2＝log₃2＞0

答：(1)(2)(5)

24.試問有多少個正整數 n 滿足 100 ≤(1.5)ⁿ≤ 500？(92 學測補)

(1) 3 個 (2) 4 個 (3) 5 個 (4) 6 個 (5) 7 個

解：原式同時取log，∴ log 100 ≤ log(1.5)ⁿ≤ log 500，⇒ 2 ≤ n(log 3－log 2) ≤ 2＋log 5

⇒ 11.357≤ n ≤ 15.326，故 n＝12，13，14，15 共 4 個 答：(2)

25.已知不等式 1.253×10⁸⁴⁵＜7¹⁰⁰⁰＜1.254×10⁸⁴⁵成立。請選出正確的選項。(92 數學甲) (1) log107＜0.846 (2) log107＞0.845 (3) 7¹⁰⁰＜5×10⁸⁴ (4) 7¹⁰＜2×10⁸ 解：(1)取 log，∴log1.253＋845＜1000 log 7＜log1.254＋845……○¹

○¹ 式同除1000，∴0.845＋

1000

1 log1.253＜log 7＜0.845＋

1000

1 log1.254，⇒ 0.845＜log 7＜0.846

(2)○¹ 式同除100，∴0.845＋

100

1 log1.253＜log 7＜0.845＋

100

1 log1.254，⇒ 0.845＜log 7＜0.846 (3) log 7¹⁰⁰＜84.6＜log 10⁸⁴＋log 5＝log 5×10⁸⁴ (∵log 5＝0.6990＞0.9)，⇒ 7¹⁰⁰＜5×10⁸⁴

(4)∵ log7＞0.845，∴10 log 7＞8.45＝8＋0.45＞8＋log 2，⇒ log 7¹⁰＞log10⁸ + log2，⇒ 7¹⁰＞2 × 10⁸ 答：(1)(2)(3)

26.下表是 2001 年時，從各國國會網站取得有關『該國國會議員席次與人口數』的資料：

根據上述資料，人口數(以千人為單位)為 P 的國家，他們的國會議員席次 y，以下列哪個公式制訂較接近上述五個 國家的現況？(92 數學乙)

(1) y＝P

4 (2) y＝0.1P＋36 (3)

y＝4 P

(4) y＝10³ P (5)

y＝27 log10P

解：(1) y＝P

4 對冰島適用，其他國家誤差太大，∴不合

(2) y＝0.1P＋36 對冰島適用，其他國家誤差太大，∴不合 (3) y＝4 P 對任何國家皆不適用，∴不合

(5) y＝27 log10P

冰島：27 log 270 54…＜63

挪威：27 log10 4480 81…＜165 誤差越來越大，∴不合 (4) y＝10³

P

，計算如下，其誤差非常小

冰島：10³ 270 63 挪威：10³ 4480 165 丹麥：10³ 5330 175 泰國：10³ 60600 393 日本：10³126540 500 答：(4)

27.陳老師證明了 x²

= 2

^x有兩個正實數解及一個負實數解後，進一步說，此方程式兩邊各取

log

₂，得

2 log

₂

x

＝x；陳老 師要同學討論此新的方程式有多少實數解？(92 數學乙)

小英說：恰有三個實數解；

小明說：恰有兩個正實數解；

小華說：最多只有兩個實數解；

小毛說：仍然有兩個正實數解及一個負實數解；

小芬說：沒有實數解。

請問哪些人說的話，可以成立？

(1)小英 (2)小明 (3)小華 (4)小毛 (5)小芬 解：解

2 log

₂

x

＝x，即求 y＝

2 log

₂

x

與 y＝x 圖形之交點個數

如右圖，其相交於2 點，且交點之座標均為正數

∴

2 log

₂

x

＝x 恰有 2 個正實數解 答：(B)(C)

28.台灣證券交易市場規定股票成交價格只能在前一個交易日的收盤價(即最後一筆的成交價)的漲、跌 7%範圍內變 動。例如：某支股票前一個交易日的收盤價是每股100 元，則今天該支股票每股的買賣價格必須在 93 元至 107 元 之間﹒假設有某支股票的價格起伏很大，某一天的收盤價是每股40 元，次日起連續五個交易日以跌停板收盤(也就 是每天跌7%)，緊接著卻連續五個交易日以漲停板收盤(也就是每天漲 7%)。請問經過這十個交易日後，該支股票 每股的收盤價最接近下列哪一個選項中的價格？(93 學測)

(1) 39 元 (2) 39.5 元 (3) 40 元 (4) 40.5 元 (5) 41 元 解1：依題意最後的收盤價為 40(1－7%)⁵(1＋7%)⁵＝40 × 0.93⁵ × 1.07⁵，

又由對數表得log(0.93⁵ × 1.07⁵)＝5(log0.93＋log1.07)＝5(0.9685－1＋0.0294)

＝5(－0.0021)＝－0.0105＝－1＋0.9895＝－1＋log9.762＝log0.9762 國名 議會席次 y 人口數 P(千人)

冰島 63 270

挪威 165 4480

丹麥 175 5330

泰國 393 60600

日本 500 126540

y＝ 2 log

₂

x

y＝x

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－8 指數與對數

所以收盤價約為40 × 0.9762＝39.0480 ≈ 39

解2：依題意最後的收盤價為 40(1－7%)⁵(1＋7%)⁵＝40[(1－0.07)(1＋0.07)]⁵＝40(1－0.0049)⁵

＝40[

C

₀⁵1＋

C

₁⁵(0.0049)＋

C

⁵₂(－0.0049)²＋……＋

C

₅⁵(－0.0049)⁵]≈ 40(1－5 × 0.0049)＝40 × 0.9755＝39.0200 ≈ 39 答：(1)

29.設 a，b，c 為正整數，若 alog5202＋blog5205＋clog52013＝3，則 a＋b＋c＝_______。(93 學測) 解：alog5202＋blog5205＋clog52013＝3 ⇒ log520(2^a × 5^b × 13^c)＝3

⇒ 2^a × 5^b × 13^c＝520³＝(2³ × 5 × 13)³＝2⁹ × 5³ × 13³，⇒ a＋b＋c＝9＋3＋3＝15 答：15

30.根據對數表，log 2 的近似值是 0.3010，log 3 的近似值是 0.4771。下列選項有哪些是正確的？(93 數學甲) (1) 10⁹＞9¹⁰ (2) 10¹²＜12¹⁰ (3) 10¹¹＞11¹⁰ (4)方程式 10^x＝x¹⁰有一負根

解：(1)∵log 10⁹＝9；log 9¹⁰＝10 log 9＝10×2log 3＝9.542，∴10⁹＜9¹⁰

(2)∵log 10¹²＝12；log 12¹⁰＝10 log 12＝10×(2log 2＋log 3)＝9.542，∴10¹²＞12¹⁰ (3)∵log 10¹¹＝11；log 10¹¹＞log 12¹⁰＞log 11¹⁰，∴10¹¹＞11¹⁰

(4)如右圖，求 y＝10^x與 y＝x¹⁰圖形之交點，得知有一交點的座標為負，故其有一負根 答：(3)(5)

31.統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現：我們的眼睛看到圖形面積的大小與此圖形實際面積的 0.7 次方成 正比。例如：大圖形是小圖形的3 倍，眼睛感覺到的只有 3^0.7(約 2.16)倍。觀察某個國家地圖，感覺全國面積約為 某縣面積的10 倍，試問這國家的實際面積大約是該縣面積的幾倍？(93 數學乙)

(1) 18 倍 (2) 21 倍 (3) 24 倍 (4) 27 倍 (5) 36 倍 (已知 log 2 0.3010，log 3 0.4771，log 7 0.8451)

解：(1)假設全國實際面積為 A，某縣實際面積為 B，∴ _0.7

7 . 0

B

A

＝10

取log( _0.7

7 . 0

B

A

)＝log 10，⇒ 0.7 log

B

A

＝1，得 log

B A

＝

7 . 0

1 1.4286 (2)∵log 2＜0.4286＜log 3，利用內插法得知 0.4286＝log2.725

∴log

B

A

＝1.4286＝1＋0.4286＝log10＋log2.725＝log27.25

⇒

B

A

27 答：(4)

32.聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W/m²)來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度為 I0＝10^{− 12} (W/m²)；當測得 的聲音強度為I (W/m²)時，所產生的噪音分貝數 d 為 d(I)＝10．log

I

0

I

。(93 數學乙) (1)一隻蚊子振動翅膀測得的聲音強度為 10^{− 12}(W/m²)，求其產生的噪音分貝數。

(2)汽車製造廠測試發現，某新車以每小時 60 公里速度行駛時，測得的聲音強度為 10^{− 4} (W/m²)，試問此聲音強度產生的噪音為多少分貝？

(3)棒球比賽場中，若一支瓦斯汽笛獨鳴，測得的噪音為 70 分貝，則百支瓦斯汽笛同時同地合鳴，被測得的噪音大 約為多少分貝？

解：(1) d(10^{− 12})＝10 log ₁₂¹² 10 10

−

−

＝10 log 1＝0 (分貝)

y＝x

¹⁰

y＝10

^x

(2) d(10^{− 4})＝10 log ₁₂

4

10 10

−

−

＝10 log 10⁸＝80 (分貝) (3)一支汽笛：d(I)＝10 log ₁₂

10⁻

I

＝70，⇒ log I．10¹² = 7，∴I = 10 ^{− 5}

百支汽笛：d(100I)＝10 log ₁₂ 10 100

−

I

＝10 log ₁₂

3

10 10

−

−

＝10 log 10⁹＝90 答：(1)0；(2)80；(3)90

33.設 a，b 為正實數，已知log₇

a

＝11，log₇

b

＝13：試問log₇(

a

+ 之值最接近下列哪個選項？(94 學測)

b

) (1) 12 (2) 13 (3) 14 (4) 23 (5) 24

解1：∵log₇

a

＝11 ⇒ a＝7¹¹

∵log₇

b

＝13 ⇒ b＝7¹³

∴log₇(

a

+

b

)＝log₇(7¹¹+7¹³)＝log₇7¹¹(1+7²)＝log₇7¹¹×50＝log₇7¹¹＋log₇50＝11＋

7 log

50

log ≒11＋2.1＝13.1 解2：(1)∵log₇

a

＝11 ⇒ a＝7¹¹ ； log₇

b

＝13 ⇒ b＝7¹³

(2)∵a，b 為正實數且 a ≠ b，根據算幾不等式，∴ a＋b＞2

ab

＝2×7¹² (3)log₇(

a

+

b

)是遞增函數，∴log₇(

a

+

b

)＞log₇(2×7¹²)＝12＋log₇2＝12＋

7 log

2

log ＝12＋

8451 . 0

3010 .

0 ≒12.36 (4)又∵a＜b ⇒ a＋b＜2b，∴log₇(

a

+

b

)＜log₇2

b

＝log₇2×7¹³＝13＋log₇2≒13.36

故12.36＜log₇(

a

+

b

)＜13.36 ⇒ log₇(

a

+

b

)最接近13 答：(2)

34.地震規模的大小通常用芮氏等級來表示，已知芮氏等級每增加 1 級，地震震幅強度約增加為原來的 10 倍，能量釋 放強度則約增加為原來的32 倍。現假設有兩次地震，所釋放的能量約相差 100,000 倍，依上述性質則地震震幅強 度約相差幾倍？請選出最接近的答案。(1) 10 倍 (2) 100 倍 (3) 1000 倍 (4) 10000 倍 (94 數學甲) 解：令A 表震幅強度，E 表能量強度，芮氏等級 n，依題意

芮氏等級

n n＋1 n＋2

……

n＋k

震幅強度 A 10A 10²A 10^kA 能量強度 E 32E 32²E 32^kE

設兩次地震之等級為 n 級與 n＋k 級，則其震幅強度為 A 與10^kA

∴32^kE＝100000 E，⇒2^5kE＝10⁵E，∴取log，⇒ (5k)log 2＝5，得知 k＝

2 log

1 ＝3

⇒ 震幅強度為 A 與10³A，亦即約相差 1000 倍 答：(3)

35.設 10⁴的所有正因數的乘積為 n，則 log n = 。(94 指乙) 解1：∵10⁴＝2⁴×5⁴，則其正因數共有(4＋1)(4＋1)＝25 個

⇒ 利用公式：正因數的乘積為 n＝(10⁴)²⁵² ＝10⁵⁰，∴log n＝log (10⁵⁰)＝50 解2：∵10⁴＝2⁴×5⁴，則其共有(4＋1)(4＋1)＝25 個正因數，

設正因數由小而大依次設為 a1，a2，…，a25，⇒ a1×a25＝a2×a24＝…＝a12×a14＝10⁴，故其中間項 a13＝10²

⇒ 所有正因數的乘積為 n＝a1×a2×…×a25＝(10⁴)¹²×10²＝10⁵⁰，則log n＝log (10⁵⁰)＝50 答：50

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－10 指數與對數

36.根據過去長期統計資料顯示：某公司推鎖員的年資 x(年)，與每次推銷成功的機率 y (x)，滿足下列關係式：

y (x)＝

_x

x +

− +

−

+ ³

3

2 1

2

(1)化簡 r (x)＝

) ( 1

) (

x y

x y

− ，並說明 r (x)的值隨 x 增大而增大(即 r (x)為遞增函數)。

(2)說明年資 8 年(含)以上的推鎖員，每次推銷不成功的機率小於 4 %。(94 指乙)

解：(1) r (x)＝

) ( 1

) (

x y

x y

− ＝

x x x x

+

− +

− +

− +

−

− + +

3 3 3 3

2 1 1 2

2 1

2

＝ _{x x}

x +

− +

− +

−

− + ^{3 3}

3

2 2

1

2 ＝2^{x − 3}

∵底數為2 的指數函數為遞增函數，∴r (x)的值隨 x 增大而增大 (2)∵x＝8，推銷成功機率 y (8)＝ _{3 8}

8 3

2 1

2

+

− +

−

+ = 33

32，且 x ≥ 8 時，r (x)為遞增函數

⇒ x ≥ 8 時，成功機率 y (x) ≥ 33

32，∴不成功的機率＝1－y (x) ≤ 1－

33 32＝

33 1 ＜

25

1 ＝4 %，故得證

37.在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長，假設細菌 A 的數量每兩個小時可以成長為兩倍，細 菌B 的數量每三個小時可以成長為三倍。若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則大約幾小時後細菌 B 的數 量除以細菌A 的數量最接近 10？

(1) 24 小時 (2) 48 小時 (3) 69 小時 (4) 96 小時 (5) 117 小時 (95 學測) 解1：設一開始兩種細菌的數量均為 x，則依據題意：

細菌A 每經過 t 小時的成長數量為

2

²

t

x ⋅

；細菌B 每經過 t 小時的成長數量為

3

³

t

x ⋅

，

則

A

B

細菌 細菌 ＝

2 3

2 3

t t

x x

⋅

⋅

＝10，⇒ 即

3

³

t

＝

10 2

²

t

⋅

，⇒ 兩邊取 log，⇒ log3 3

t

＝ log2

10 2 log

t

+ ＝1＋ log2 2

t

同乘6 ⇒ (2 t )log3＝6＋(3 t )log2 ⇒ t＝

2 log 3 3 log 2

6

− ＝ 117.2

3010 . 3 4771 . 0 2

6 ≈

×

−

× 解2：設一開始兩種細菌的數量均為 x，則依據題意：

細菌A 每經過 2t 小時的成長關係式為

x 2

⋅ ^t； 細菌B 每經過 3t 小時的成長關係式為

x 3

⋅ ^t

若設經過6k 小時細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最接近 10，

即細菌B 經過 2t＝2(3k)＝6k 小時；細菌 A 經過 3t＝3(2k)＝6k 小時

⇒

A

B

細菌

細菌 ＝ _k

k

x x

3 2

2 3

⋅

⋅ ＝10 ⇒ 得 ²_3k^k 2

3 ＝10 ⇒ )^k 2 ( 3₃

2 ＝10 ⇒ )^k 8

(9 ＝10

⇒兩邊取 log ⇒ k(log 9－log 8)＝log 10＝1

⇒ k＝log9 log8 1

− ＝

3010 . 0 3 4771 . 0 2

1

×

−

× ≒19.5

⇒故需 6k

＝

19.5×6＝117 (小時) 答：(5)

38.在坐標平面上，設 P 為 y＝2＋x－x²圖形上的一點。若P 的 x 坐標為log₃10，則P 點的位置在：(95 數學甲) (1)第一象限 (2)第二象限 (3)第三象限 (4)第四象限 (5)坐標軸上

解1：(1)P 的 x 坐標為log₃10＞log₃9＝2＞0 (2)∵ y＝2＋x－x²＝－

4 ) 9 2

(

x

−1 ²+ ，為開口向下的拋物線(右圖) 當 x＝log₃9＝2 代入 y，得 y＝0

則當 x＝log₃10＞2 代入 y，得 y＜0，∴P 點 y 坐標為負數 由(1)(2)得知 P 點在第四象限

• •(2，0) (

2

1

，

4 9)

解2：(1)P 的 x 坐標為log₃10＞log₃9＝2＞0

(2)令 x＝log₃10＝2＋k，0＜k＜1，∴y＝2＋x－x²＝2＋(2＋k)－(2＋k)²＝－k²－3k＜0 由(1) (2)得知 P 點在第四象限

答：(4)

39.設 a 為大於 1 的實數，考慮函數 f (x)＝

a 與 g(x)＝

^x log_a

x

，試問下列哪些選項是正確的？(96 學測) (1)若 f (3)＝6，則 g(36)＝6

(2) (219) ) 238 (

f

f

＝

) 19 (

) 38 (

f f

(3) g(238)－g(219)＝g(38)－g(19)

(4)若 P，Q 為 y＝g(x)的圖形上兩相異點，則直線 PQ 之斜率必為正數 (5)若直線 y＝5x 與 y＝f (x)的圖形有兩個交點，則直線 y＝

5

1

x 與 y＝g(x)的圖形也有兩個交點

解：(1)若 f (3)＝6，得 a³＝6，兩邊取對數 ⇒ log_a6＝3，而 g(36)＝log_a36＝2log_a6＝6 (2) (219)

) 238 (

f

f

＝ ₂₁₉

238

a

a

＝

a

^238−219＝

a

¹⁹； ) 19 (

) 38 (

f

f

＝ ₁₉

38

a

a

＝

a

³⁸⁻¹⁹＝

a

¹⁹ ⇒∴

) 219 (

) 238 (

f

f

＝

) 19 (

) 38 (

f f

(3) g(238)－g(219)＝log_a238－log_a219＝

219 log_a 238

g(38)－g(19)＝log_a38－log_a19＝

19 log_a 38

∵ 219 log_a 238≠

19

log_a 38 ⇒ ∴g(238)－g(219) ≠ g(38)－g(19)

(4)∵log_a

x

的底數為 a＞1，∴y＝g(x)＝log_a

x

是一嚴格遞增之對數函數，⇒直線 PQ 之斜率大於 0，故必為正數 (5)如圖，函數 f (x)＝

a

^x與g(x)＝log_a

x

互為反函數，且圖形對稱於直線 y＝x

而 y＝5x 與 y＝

5

1

x 之圖形對稱於直線 y＝x

∴直線 y＝5x 與 y＝f (x)的圖形有兩個交點，

則直線 y＝

5

1

x 與 y＝g(x)的圖形也有兩個交點。

答：(1)(2)(3)(4)

40.設實數 x 滿足 0＜x＜1，且log_x4－

log

₂

x

＝1，則 x＝_____。(96 學測) 解：log_x4－

log

₂

x

＝2log_x2－

log

₂

x

＝1

∵log_x2＝

2

x

log

1 ，∴原式為2(

2

x

log

1 )－

log

₂

x

＝1，

化簡得(

log

₂

x

)²＋

log

₂

x

－2＝0，因式分解 ⇒ (

log

₂

x

＋2)(

log

₂

x

－1)＝0

∵

log

₂

x

＝－2 或

log

₂

x

＝1 (不合， 0∵ ＜x＜1 時，

log

₂

x

＜0)

⇒

log

₂

x

＝－2，得 x＝

4 1

41.設 a1，a2，a3，…，a10是一等比數列，其首項 a1＞1 且公比 r＞1。坐標平面上有一質點 M 自原點(0，0)出發，依以 下規則連續移動十次：第一次移動往右log a 單位，第二次移動向上₁ log a 單位，第三次移動往右₂ log a 單位，第四₃ 次移動向上log a 單位，依此類推直到第十次；即第₄

2 k − 1

次的移動是往右log

a

_2k−1單位，接著第2k 次的移動是向上

log

a 單位。已知經過這十次的移動後，該質點 M 停在點(5＋5

2_k log ，5＋2 log2 2

15 )的位置上，試問首項

a 與公比 r

₁ 組成的序對( a1，r)為以下哪一選項？(96 指甲 3)

(1)(

2

，

2

) (2)(2

2

， 5 ) (3)(2，

2

) (4)(5， 5 ) (5)(5，

2

) 解：如圖所示，設M(x，y)

x y

x＝y y＝5x

y＝ a

^x

y＝

^logax

y＝

₅¹

x

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－12 指數與對數

x＝

log a

₁＋log a ＋₃ log a ＋₅ log a ＋₇ log a ₉

＝

log a

₁＋log r

a

₁ ²＋log r

a

₁ ⁴＋log r

a

₁ ⁶＋log r

a

₁ ⁸

＝

log a

₁＋(

log a

₁＋log r )＋(²

log a

₁＋log r )＋(⁴

log a

₁＋log r )＋(⁶

log a

₁＋log r ) ⁸

＝5

log a

₁＋2log ＋4

r

log ＋6

r

log ＋8

r

log

r

＝5

log a

₁＋20log ＝5＋5

r

log 2

y＝ log a

₂＋

log a

₄＋log a ＋₆ log a ＋₈ log a ＝5₁₀

log a

₁＋25log ＝5＋

r

log2 2 15

⇒解得log ＝

r

log2 2

1 ＝log 2，∴r＝

2

，a1＝5，⇒( a1，r)＝(5，

2

) 答：(5)

42.試問：在坐標平面上，下列哪些選項中的函數圖形完全落在 x 軸的上方？(97 學測) (1) y＝x＋100 (2)

y＝x

²＋1 (3)

y＝2＋sin x (4) y＝

2 (5) ^x

y＝log x

解： (1) (2) (3)

(4) (5)

答：(2)(3)(4)

43.已知在一容器中有 A，B 兩種菌，且在任何時刻 A，B 兩種菌的個數乘積為為定值 10¹⁰。為了簡單起見，科學家用

P

A＝

log ( n

_A

)

來記錄A 菌個數的資料，其中

n

_A為A 菌的個數。試問下列哪些選項是正確的？(97 學測)

(1) 1≤

P

_A≤ 10

(2)當

P

_A＝5 時，B 菌的個數與 A 菌的個數相同

(3)如果上週一測得

P

_A值為4，而上週五測得

P

_A值為8，表示上週五 A 菌的個數是上週一 A 菌個數的 2 倍 (4)若今天的

P

_A值比昨天增加1，則今天的 A 菌比昨天多了 10 個

(5)假設科學家將 B 菌的個數控制為五萬個，則 5＜

P

_A＜5.5 解：(1) 1∵ ≤

n

_A＜10¹⁰，∴0≤

P

_A＜10

(2)

P

_A＝5＝

log ( n

_A

)

，∴

n

_A＝10⁵；則B 菌的個數＝ ₅

10

10

10 ＝10⁵

(3)上週一

P

_A值為4，∴

n

_A＝10⁴；上週五

P

_A值為8，∴

n

_A＝10⁸； ₄

8

10

10 ＝10⁴ (4)

P

_A 值增加 1，則增加 10 倍個，不是增加 10 個

(5) B 菌的個數＝五萬個，

n

_A＝2×10⁵，

P

_A＝log (2×10⁵)＝5＋log 2 ≈ 5.301 答：(2)(5)

44.某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的75% 。公司希望每年 依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。若要達到這項目標，則該公司每年至少要比 前一年減少_____%的二氧化碳的排放量。(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。)(98學測F)

x y

O 1 2 3

y＝2＋sin x

y＝sin x x

y

O 100

-100

x

y

O

y＝x

²＋1

y＝x

² 1

x y

O

y＝log x

x

1

y

O

y＝

2^x

1

log a1

O

log a2

log a3

log a4

log a5

x

y

解：設當年和前一年排放量的比為 x，則根據題意得知 x⁵＝75%＝

4 3

取log x⁵＝log 4

3，⇒ 5log x＝log 3－log 4 0.4771－0.6020＝－0.1249

∴log x －0.02498，⇒

x

log1＝0.02498＝log 1.059，得知 x＝

059 . 1

1 0.9442

⇒ 遞減率＝1－x＝0.0558 5.6%

答：5.6%

45.若(a，b)是對數函數 y＝log x 圖形上一點，則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上？(98 指乙 3) (1)(1，0) (2)(10a，b＋1) (3)(2a，2b) (4)(

a

1，1－b) (5)(a²，2b) 解：1. (a，b)在函數 y＝log x 圖形上一點，⇒ b＝log a

2. (1，0)代入 y＝log x，⇒ 0＝log 1 或 由函數 y＝log x 圖形必過點(1，0)，(正確) (10a，b＋1)代入 y＝log x，⇒ b＋1＝log (10a)＝log 10＋log a＝1＋b，(正確) (2a，2b)代入 y＝log x，⇒ 2b＝log (2a) ≠ log 2＋log a＝log 2＋b，(不正確) (

a

1，1－b)代入 y＝log x，⇒ 1－b≠ log

a

1＝－log a＝－b，(不正確)

(a²，2b)代入 y＝log x，⇒ 2b＝log a²＝2 log a＝2 b

，

(正確) 答：(1)(2)(5)

46.數學教科書所附的對數表中，log4.34＝0.6375、log4.35＝0.6385。根據 log4.34 和 log4.35 的查表值以內插法求 log4.342，設求得的值為 p，則下列哪一個選項是正確的？(98 指甲 1)

(1) p＝

2

1(0.6375＋0.6385) (2) p＝0.2×0.6375＋0.8×0.6385 (3) p＝0.8×0.6375＋0.2×0.6385 (4) p＝0.6375＋0.002 (5) p＝0.6385—0.002

解：利用分點公式，如右圖

p＝

2 8

6375 . 0 8 6385 . 0 2

+

× +

× ＝0.2×0.6385＋0.8×0.6375 答：(3)

47.在密閉的實驗室中，開始時有某種細菌 1 千隻，並且以每小時增加 8%的速率繁殖。如果依此速率持續繁殖，則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項？(99 學測 5)

(1) 9 千隻 (2) 108 千隻 (3) 2200 千隻 (4) 3200 千隻 (5) 32000 千隻 解：設100 小時後細菌的數量為 x 千隻，∴x＝1×(1＋8%)¹⁰⁰＝(1＋8%)¹⁰⁰，

兩邊取log，log x＝log (1＋8%)¹⁰⁰＝100×log(

100

108)＝100(log 2²×3³－log100)

≒100×(2×0.3010＋3×0.4771－2)＝100×0.0333＝3＋0.33

x＝10

^3.33＝10^3＋0.33＝10³×10^0.33≒2200，其中 10^0.33＝y，0.33＝log y≒log 2.2

答：(3)

48.設(

a

_n+1)²＝ 10 1 ₂

)

(

a

_n ，n 為正整數，且知

a 皆為正。令

_n

b

_n =log

a

_n，則數列 b1，b2，b3，…為 (100 學測 3) (1)公差為正的等差數列 (2)公差為負的等差數列 (3)公比為正的等比數列

(4)公比為負的等比數列 (5)既非等差亦非等比數列 解1：關係式(

a

_n+1)²＝

10 1 ₂

)

(

a

_n ，兩邊取log 得 log(

a

_n+1)²＝log 10

1 ＋log(

a

_n)²

| | |

4.34 4.342 4.35 0.6385 0.6375

p

2 8

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－14 指數與對數

∴2log

a

_n+1＝－

2

1＋2log

a

_n，⇒2

b

_n+1＝－

2

1＋2

b

_n

∴

b

_n+1＝－

4

1＋

b ，得

_n

b

_n+1－

b ＝－

_n 4

1，∴＜

b ＞公差為負的等差數列

_n

解2：關係式(

a

_n+1)²＝ 10 1 ₂

)

(

a

_n ，∴

a

_n+1＝( ⁴

1

10

⁻ )

a

_n

∴

a

₂＝( ⁴

1

10⁻ )

a

₁，

a ＝(

₃ ²

1

10⁻ )

a

₁，

a

₄＝( ⁴

3

10⁻ )

a

₁，

a ＝(

₅ 10⁻¹)

a

₁，…

得

b

₁＝

log a

₁，

b

₂＝

log a

₂＝－

4

1＋

log a

₁，

b ＝

₃ log a ＝－₃ 2

1＋

log a

₁，

b

4＝

log a

₄＝－

4

3＋

log a

₁，

b ＝

₅ log a ＝－1＋₅

log a

₁，…

⇒公差 d＝

b

₂－

b

₁＝－

4

1＝

b －

₃

b

₂＝

b

₄－

b ＝…

₃ 答：(2)

49.請問下面哪一個選項是正確的？(100 學測 5)

(1) 3⁷＜7³ (2) 5¹⁰＜10⁵ (3) 2¹⁰⁰＜10³⁰ (4)

log

₂

3

＝1.5 (5)

log

₂

11

＜3.5 解：(1) ╳× 3⁷＝3⁶⋅3＝9³⋅3＞7³

另解：3⁷＝2187，7³＝343，∴3⁷＞7³ 另解：7log 3≈3.3397＞3log 7≈2.5353 (2) 5¹⁰＝25⁵＞10⁵

另解：10⋅log 5≈6.990＞5log 10＝5 (3) 2¹⁰⁰＝(2¹⁰)¹⁰＝1024¹⁰＞(10³)¹⁰＝1000¹⁰

另解：100⋅log 2≈30.10＞30⋅log 10＝30 (4)1.5＝log₂2^1.5＝log₂ 8＜

log

₂

3

另解：若

log

₂

3

＝1.5，則2 ＝ 8 ＝3(不合) ^1.5 (5) 3.5＝log₂2^3.5＝log₂ 128＞

log

₂

11

＝log₂ 121

另解：若

log

₂

11

＜3.5，則2 ＝ 128 ＞11 (合) ^3.5 答：(5)

50.設(π，r)為函數 y＝

log

₂

x

圖形上之一點，其中π為圓周率，r 為一實數。請問下列哪些選項是正確的？(100 數乙 5) (1)(r，π)為函數 y＝2 圖形上之一點 (2) ^x (－r，π)為函數 y＝ )^x

2

(1 圖形上之一點

(3)(

π

1，r)為函數 y＝

x

12

log

圖形上之一點 (4) (π，2r)為函數 y＝4 圖形上之一點 ^x 解：(1)∵(π，r)為函數 y＝

log

₂

x

圖形上之一點，∴r＝

log

₂

π

，得知π＝2^r

可知(r，π)為函數 y＝2^x圖形上之一點

另：∵函數 y＝

log

₂

x

與函數 y＝2^x互為反函數，∴圖形對稱 y＝x

即若(π，r)為 y＝

log

₂

x

圖形上之一點，則(r，π)為 y＝2^x圖形上之一點 (2) (－r，π)代入 y＝ )^x

2

(1 ，得π＝ )^−r 2

(1 ＝2^r，成立

另：∵函數 y＝2^x與函數 y＝ )^x 2

(1 ＝2^−x對稱 y 軸，

∴由(1)(r，π)為 y＝2^x圖形上之一點，則(－r，π)為 y＝ )^x 2

(1 圖形上之一點

(3)由(1)知，r＝

log

₂

π

，∴(

π

1，r)代入 y＝

x

12

log

，得 r＝

π

log 1

12 ＝

log

₂

π

，成立

(4) (r，2π)代入 y＝4^x，得2π＝4^r，即π＝

2

4^r ≠2^r與(1)π＝2^r不同義 答：(1)(2)(3)

51.考慮坐標平面上滿足2 ＝^x 5 的點 P(x，y)，試問下列哪一個選項是錯誤的？(100 數甲 1) ^y (1)(0，0)是一個可能的 P 點 (2)(log 5，log 2)是一個可能的 P 點

(3)點 P(x，y)滿足 xy≥ 0 (4)所有可能的點 P(x，y)構成的圖形為一直線 (5)點 P 的 x，y 坐標可以同時為正整數

解：(1) (x，y)＝(0，0)滿足2 ＝^x 5 ，故(0，0)是一個可能的 P 點，正確 ^y

(2)將2 ＝^x 5 兩邊取 log ，得 x log 2＝y log 5，∴(x，y)＝(log 5，log 2)是一個可能的 P 點 ^y (3)由(2)得 x log 2＝y log 5，知 x 與 y 同號，即滿足 xy≥ 0

(4) P(x，y)滿足2 ＝^x 5 ，得(log 2)x－(log 5) y＝0，其圖形為一直線 ^y

(5)當 x 為正整數時，2 為偶數；當 y 為正整數時，^x 5 為奇數，除 x＝y＝0 時，滿足^y 2 ＝^x 5 ^y 但是 x，y 同時為正整數時，不滿足2 ＝^x 5 ^y

答：(5)

出處：第二冊(Ch1 指數與對數)

52.下表為常用對數表log N 的一部份：(101 學測 3) ₁₀

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0292 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

M M M M M M M M M M M

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

M M M M M M M M M M M

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 請問10^3.032最接近下列哪一個選項？

(1) 101 (2) 201 (3) 1007 (4) 1076 (5) 2012 解：設 k＝10^3.032，取log k＝₁₀ log₁₀10^3.032＝3.032＝3＋0.032

其中log 1.07＜0.032＜₁₀ log 1.08，∴3＋₁₀ log 1.07＜₁₀ log k＜3＋₁₀ log 1.08 ₁₀ 即log 10₁₀ ³＋log 1.07＜₁₀ log k＜₁₀ log 10₁₀ ³＋log 1.08 ₁₀

⇒log 1070＜₁₀ log k＜₁₀ log 1080，得 1070＜k＜1080 ₁₀ 答：(4)

53.若正實數 x，y 滿足log₁₀

x

＝2.8，log₁₀

y

＝5.6，則log₁₀(

x

²+

y

)最接近下列哪一個選項的值？(101 學測 5) (1) 2.8 (2) 5.6 (3) 5.9 (4) 8.4 (5) 11.2

解：∵log₁₀

x

＝2.8，∴x＝10^2.8，x²＝(10^2.8)²＝10^5.6

10

y

log ＝5.6，∴y＝10^5.6

則 x²＋y＝2⋅10^5.6，∴log₁₀(

x

²+

y

)＝log₁₀2⋅10^5.6＝log₁₀2＋log₁₀10^5.6＝0.3010＋5.6＝5.9010 答：(3)

54.設 0＜x＜1。請選出正確的選項。(101 數乙 6)

(1) x²＜ x ＜x (2)log₁₀(

x

²)＜log₁₀

x

＜

log

₁₀

x

(3)log₂(

x

²)＜log₁₀(

x

²)＜

log

₂

x

(4) log₁₀(

x

²)＜log₂

x

＜log₁₀

x

解：(1)如下圖(1)得知 a＝ x ＞b＝x＞c＝x²，即 x ＞x＞x²，不正確

(2)如圖(2)，得知log₁₀(

x

²)＜log₁₀

x

＜

log

₁₀

x

，正確 (3)如圖(3)，得知log₁₀(

x

²)＜log₂(

x

²)＜

log

₂

x

，不正確 (4)如圖(4)，得知log₁₀(

x

²)＜log₂

x

＜log₁₀

x

，正確

1

x y y＝x

y＝ x

y＝x

²

O 圖(1)

a b c

1

x y

y＝

log₁₀

x a

c b

圖(2)

1

x y y＝

log₁₀

x

b c

圖(3)

y＝ log

₂

x a

1

x y y＝

log₁₀

x

c b

圖(4)

y＝ log

₂

x

歷屆試題99 綱 cjt Ch3－16 指數與對數

答：(2)(4)

55.觀察 2 的次方所形成的等比數列：2，2²，2³，2⁴，…，設其中出現的第一個13 位數為2 ，則 n＝______。 ⁿ (log₁₀2≈0.3010)(101 數乙 C)

解：∵出現的第一個13 位數為2 ，∴得知ⁿ log2ⁿ＝12＋k，0≤ k＜1，k 為尾數

⇒12≤log2ⁿ＜13，⇒12≤ nlog ＜13，⇒2 2 log12 ≤ n＜

2 log

13

⇒39.86…≤ n＜43.18…，n＝40，41，42，43 答：40

56.作某項科學實驗共有三種可結果 A、B、C，其發生的機率分別為

P

_A＝

log

₂

a

、

P

_B＝

log

₄

a

、

P ＝

_C log₈

a

；其中

a 為一正數，試問 P

_A為下列哪一個選項？(101 數甲 3)

(1) 9

5 (2) 11

6 (3) 13

7 (4) 15

8 (5) 17

9

解：∵

P

_A＋

P

_B＋

P ＝1，∴

_C

log

₂

a

＋

log

₄

a

＋log₈

a

＝

log

₂

a

＋ 2

1

log

₂

a

＋ 3

1

log

₂

a

＝1，⇒

log

₂

a

＝ 11

6 ，故

P

_A＝ 11

6 答：(2)

57.當(x，y)在直線 2x＋3y＝3 上變動時，關於 K＝9 ＋^x 3 的敘述，試問下列哪個選項是正確的？(101 數甲 5) ^y (1) K 有最大值 28，最小值 6 3 (2) K 有最大值 28，但沒有最小值

(3) K 沒有最大值，但有最小值 12 (4) K 沒有最大值，但有最小值 6 3 (5) K 沒有最大值也沒有最小值

解：根據算幾不等式，K＝9 ＋^x 3 ＝^y 3 ＋^2x 3^y≥2

3

^2x

⋅ 3

^y ＝2

3

^2x+y ＝2

3

³ ＝6 3 答：(4)

58.令 a＝2.6¹⁰－2.6⁹，b＝2.6¹¹－2.6¹⁰，c＝

2 6 . 2 6 .

2 ¹¹ − ⁹

。請選出正確的大小關係。(102 學測 2) (1) a＞b＞c (2)

a＞c＞b (3) b＞a＞c (4) b＞c＞a (5) c＞b＞a

解：a＝2.6¹⁰－2.6⁹＝2.6⁹(2.6－1)＝2.6⁹×1.6

b＝

2.6¹¹－2.6¹⁰＝2.6¹⁰(2.6－1)＝2.6¹⁰×1.6＝2.6⁹×4.16

c＝

2

6 . 2 6 .

2 ¹¹− ⁹

＝ 2

) 1 6 . 2 ( 6 .

2 ⁹× ² −

＝ 2

76 . 5 6 . 2 ⁹×

＝2.6⁹×2.88

∴得知 b＞c＞a 答：(4)

59.設 a＞1＞b＞0，關於下列不等式，請選出正確的選項。(102 學測 8) (1)( a− )⁷＞( a− )⁹ (2)

b ＞

⁻⁹

b

⁻⁷ (3)

a

log₁₀ 1＞

b

log₁₀ 1 (4)log_a1＞log_b1 (5)log_a

b

≥log_b

a

解：(1)( a− )⁷＝－

a

⁷，( a− )⁹＝－

a

⁹，⇒∵a＞1，∴

a

⁷＞

a

⁹，⇒－

a

⁷＜－

a

⁹，即( a− )⁷＞( a− )⁹

(2)

b

⁻⁹＝ 1₉

b

，

b

⁻⁷＝ 1₇

b

，⇒∵1＞b＞0，

b

⁷＜

b

⁹，∴ 1₇

b

＞ 1₉

b

，即

b

⁻⁹＞

b

⁻⁷ (3)

a

log₁₀ 1＝－log₁₀

a

，

b

log₁₀ 1＝－log₁₀

b

，

⇒∵a＞b，log₁₀

a

＞log₁₀

b

，即

a

log₁₀ 1＜

b

log₁₀ 1 (4)log_a1＝0，log_b1＝0，∴log_a1＝log_b1

(5)如右圖，當 a，b 與 1 距離不等時，不等式不成立 例：取 a＝2，b＝

4 1，則

4

log₂ 1＝－2＜log 2

4

1 ＝－

2 1

答：(1)(2)

a

b log

b

a log

1

x

y

O

b a