高中數學(2)習作甲 3-2 二維數據分析 61
3-2 二維數據分析 二維數據分析 二維數據分析 二維數據分析
例題例題
例題例題 1 作散布圖作散布圖作散布圖(一)（原始數據作散布圖 原始數據原始數據） 原始數據
8 位同學每日溫習數學的時間（分鐘）與數學成績（分）如下表，試以時間為 x 坐標，分數為 y 坐 標，作散布圖
A B C D E F G H
溫習時間（分鐘） 50 40 55 55 45 80 50 60 數學成績（分） 65 55 70 75 65 75 60 80 解
解 解解
例題 例題 例題
例題 2 作散布圖作散布圖作散布圖(二)（標準化數據作散布圖 標準化數據標準化數據） 標準化數據
一組二維數據的標準化數據如下表，試作散布圖
x －0.5 0.5 1.5 1 0 －1.5 －1 y 0.5 －1.5 －1 1.5 －0.5 0 1 解解
解解
例題 例題 例題
例題 3 計算相關係數計算相關係數計算相關係數(一)（標準化數據計算相關係數 標準化數據標準化數據） 標準化數據 一組標準化標準化標準化標準化的二維數據如下表，試求相關係數
X 1.5 0 0.5 －1.5 －0.5 Y －0.5 －1.5 1.5 0 0.5 解
解 解
解 將同一筆資料的 X 與 Y 相乘，相加以後，除以 5 即可 X 1.5 0 0.5 －1.5 －0.5 Y －0.5 －1.5 1.5 0 0.5 XY －0.75 0 0.75 0 －0.25
故相關係數 ( 0.75 ) 0 0.75 0 ( 0.25 ) 0.25
5 5 0.05
r= − + + + + − =− = −
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例題例題
例題例題 4 計算相關係數計算相關係數計算相關係數(二)（原始數據計算相關係數 原始數據原始數據） 原始數據 一組二維數據如下表，試求相關係數
x 32 23 26 14 20
y 15 13 19 7 11
解解
解解 計算 x 與 y 的平均數，得 µx＝23，µy＝13
x y x－µx y－µy （x－µx）（y－µy） （x－µx）2 （y－µy）2
32 15 9 2 18 81 4
23 13 0 0 0 0 0
26 19 3 6 18 9 36
14 7 －9 －6 54 81 36
20 11 －3 －2 6 9 4
總和 96 180 80
故得相關係數 96 96
180 80 6 5 4 5 0.8
r= = =
× ×
例題 例題 例題
例題 5 計算相關係數計算相關係數計算相關係數(三)（平移伸縮計算相關係數 平移伸縮平移伸縮） 平移伸縮
已知一群二維數據（xi，yi）的相關係數為 0.45，將（xi，yi）平移伸縮為新的數據（xi'，yi'）， (1) 若（xi'，yi'）＝（5xi＋1，－6yi－7），試求相關係數 r'
(2) 若（xi''，yi''）＝（－5xi＋30，－2yi＋25），試求相關係數 r'' 解
解 解
解 二維數據平移伸縮以後的相關係數，只需觀察伸縮倍數的正負號即可 (1) ∵ 5 與－6 異號 ∴ r'＝－0.45
(2) ∵－5 與－2 同號 ∴ r''＝0.45
例題例題
例題例題 6 判斷相關係數判斷相關係數判斷相關係數（散布圖與相關係數判斷相關係數 散布圖與相關係數散布圖與相關係數散布圖與相關係數）
觀察下列 10 個散布圖，判斷其相關係數的正負，請選出符合下列條件的散布圖：
(A) (B) (C) (D) (E)
(F) (G) (H) (I) (J)
(1) 相關係數大於 0 (2) 相關係數小於 0
解解
解解 (1) 圖(A)(E)(G)資料的分布靠近一條斜率大於 0 的直線 表示兩個變量的相關係數大於 0
(2) 圖(C)(D)(I)資料的分布靠近一條斜率小於 0 的直線
表示兩個變量的相關係數小於 0，其餘(B)(F)(H)(J)資料的分布呈對稱 表示兩個變量的相關係數等於 0
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例題例題
例題例題 7 求最適直線求最適直線求最適直線(一)（用標準化數據計算求最適直線 用標準化數據計算用標準化數據計算） 用標準化數據計算
一組二維數據的標準化數據如下表，試求最適直線的方程式 X 1.5 0.5 0 －1.5 －0.5
Y 0.5 0 1.5 －0.5 －1.5 解
解 解
解 標準化數據的最適直線方程式為 Y＝rX，故須求出此兩變量的相關係數 將同一筆資料的 X 與 Y 相乘，相加以後，除以 5 即可
X 1.5 0.5 0 －1.5 －0.5 Y 0.5 0 1.5 －0.5 －1.5
XY 0.75 0 0 0.75 0.75
相關係數 0.75 0 0 0.75 0.75 5 0.45
r= + + + + =
故得最適直線為 Y＝0.45X
例題例題
例題例題 8 求最適直線求最適直線求最適直線(二)（用原始數據計算求最適直線 用原始數據計算用原始數據計算） 用原始數據計算 一組二維數據如下表，試求最適直線的方程式
x 46 43 52 55 49
y 24 32 48 44 32
解 解 解
解 計算 x 與 y 的平均數，得 µx＝49，µy＝36
x y x－µx y－µy （x－µx）（y－µy） （x－µx）2
46 24 －3 －12 36 9
43 32 －6 －4 24 36
52 48 3 12 36 9
55 44 6 8 48 36
49 32 0 －4 0 0
總和 144 90
得最適直線斜率為 144 8
90 =5，故最適直線方程式為 8
36 ( 49 ) y− =5 x−
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例題例題
例題例題 9 求最適直線求最適直線求最適直線求最適直線(三)（已知平均數已知平均數已知平均數已知平均數、標準差與相關係數標準差與相關係數標準差與相關係數標準差與相關係數）
假設高一某班第一次段考的國文、數學成績以（xi，yi）表示，平均數分別為 µx＝65、
µy＝70，標準差分別為 σx＝8、σy＝12，兩科成績的相關係數為 0.6。試求：
(1) 數學成績對國文成績的最適直線方程式
(2) 已知小明的國文成績 85 分，試推估小明的數學成績
解 解 解
解 (1) 最適直線必通過（µx，µy），故此線通過點（65，70）
斜率 12
0.6 0.9 m= × 8 =
故最適直線方程式為 y－70＝0.9（x－65），即 y＝70＋0.9（x－65）
(2) 令 x＝85 代入最適直線方程式，得 y＝70＋0.9（85－65）＝88（分）
例題 例題 例題
例題 10 求最適直線並作預估求最適直線並作預估求最適直線並作預估 求最適直線並作預估
根據某商店的銷售紀錄，7 月 1 日開始，連續 5 日每日最高溫與當日冰棒銷售量如下表：
日期 7/1 7/ 2 7/ 3 7/4 7/5 最高溫（°C） 30 34 36 33 32 銷售量（枝） 430 500 600 540 560
(1) 試以每日最高溫為 x 坐標，每日銷售量為 y 坐標，求最適直線方程式
(2) 若氣象局預測第 6 日最高溫為 35°C，試以(1)的結果，預估第 6 日的冰棒銷售量
解 解 解
解 (1) 計算 x 與 y 的平均數，得 µx＝33，µy＝526
x y x－µx y－µy （x－µx）（y－µy） （x－µx）2
30 430 －3 －96 288 9
34 500 1 －26 －26 1
36 600 3 74 222 9
33 540 0 14 0 0
32 560 －1 34 －34 1
總和 450 20
得最適直線斜率為 450 45 20 = 2 故最適直線方程式為 45
526 ( 33)
y− = 2 x− ，即 45
526 ( 33) y= + 2 x−
(2) 令 x＝35 代入(1)的最適直線方程式，得 y＝571，故預估第 6 日銷售量為 571 枝
