3-2

3-2 二維數據分析 二維數據分析 二維數據分析 二維數據分析

基礎題基礎題 基礎題基礎題

1. 試比較下列選項(A)～(F)的散布圖中，x，y 相關係數的大小

(A) (B) (C)

(D) (E) (F)

解 解解

解 (A) r＝1 (B) r＝－1 (C) r＝0 (D)－1＜r＜0 (E) 0＜r＜1 (F) r＝0

故得(B)＜(D)＜(C)＝(F)＜(E)＜(A)

2. 下列選項中，哪些圖形的相關係數與右圖的相關係數相等？

(A) (B) (C)

(D) (E)

解 解解

解 假設題圖的 9 個點為（x_i，y_i），其中 i＝1，2，……，9，相關係數為 α (A)點（xi，2y_i－1），相關係數為 α

(B)點（6－xi，yi），相關係數為－α (C)點（x_i，4－y_i），相關係數為－α (D)點（6－xi，4－yi），相關係數為 α (E)點（y_i，x_i），相關係數為 α

故選(A)(D)(E)

3. 一組二維數據（xi，y_i）經標準化後（X_i，Y_i）的數據如下表所示，試求：

i x

i

x

X x

µ

σ

= − 1.5 －1.5 －1 －0.5 1 0.5 0

i y

i

y

Y y

µ

σ

= − 1 －1.5 0 －1 1.5 0.5 －0.5

(1)（Xi，Yi）的相關係數

(2) 在標準化數據時，Y 對 X 的最適直線方程式

解解解

解 (1) 標準化數據（X_i，Y_i）之相關係數 r＝ ^{1 1 2 2 7 7}

7

X Y +X Y +L L +X Y

＝1.5 1 ( 1.5 ) ( 1.5 ) ( 1) 0 ( 0.5 ) ( 1) 1 1.5 0.5 0.5 0 ( 0.5 ) 7

× + − × − + − × + − × − + × + × + × −

＝6 7 (2) Y 對 X 的最適直線方程式為 Y＝rX，即 6

Y =7X

4. 某超市依據過去的銷售紀錄，平均氣溫在 20°C 到 36°C 時，每日平均售出的冰淇淋數量與當天 的平均氣溫之相關係數為 0.99，部分紀錄如下表。

平均氣溫（°C） 22 24 26 28 30 32 平均售出量（盒） 135 203 279 361 437 512

若某日平均氣溫為 33°C，依據上述資訊推測，試問該日賣出的冰淇淋數量應接近下列哪一個選 項？

(A) 530 盒 (B) 550 盒 (C) 570 盒 (D) 590 盒 (E) 620 盒

解 解解

解 因為相關係數接近 1，所以數據幾乎散布於一條直線附近 假設平均氣溫 33°C 時，賣出 y 盒，則

512 512 135 33 32 32 22

y− = −

− −
y=549.7≈550（盒）

故選(B)

5. 有 20 筆數據（x_i，y_i），i＝1，2，……，20，其中 x_i 與 y_i 的算術平均數分別為

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

2 2 2

1 2 20

(x −

µ

µ

µ

2 2 2

1 2 20

(y −

µ

µ

µ

解 解解

解 依定義，相關係數

r＝ ^{1 1 2 2 20 20}

2 2 2 2 2 2

1 2 20 1 2 20

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

x y x y x y

x x x y y y

x y x y x y

x x x y y y

µ µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ µ

− − + − − + + − −

− + − + + − × − + − + + −

L

L L

＝ 36

36 49× ＝6 7

6. 若 10 筆數據如右表，已知 x 與 y 的算術平均數分別為

µ

µ

σ

σ

r= 2，試求：

(1) y 對 x 的最適直線方程式 (2) x 對 y 的最適直線方程式

解 解解

解 (1) _y ^y( _x)

x

y

µ

σ

µ

− =

σ

1 4

20 ( 10 )

2 2 y− = × x−

y＝x＋10

(2) _x ^x( _y)

y

x

µ

σ

µ

− =

σ

1 2

10 ( 20 )

2 4 x− = × y−

y＝4x－20

7. 有一組二維數據（x_i，y_i），i＝1，2，……，n，若已知平均數

µ

µ

σ

σ

解 解解

解 y 對 x 的最適直線方程式為 _y ^y( _x)

x

y

µ

σ

µ

− =

σ

即 8

2 ( 5 )

y− = ×r 3 x− ，又此直線通過點（3，6）

得 8

6 2 ( 3 5 ) r 3

− = × −
3

r= −4 故 x 與 y 的相關係數為 3

−4

x x 1 x ₂ …… x ₁₀ y y 1 y ₂ …… y ₁₀

進階題進階題 進階題進階題

8. 圖(一)是項目 A（x 軸）與項目 C（y 軸）的散布圖，

圖(二)是項目 B（x 軸）與項目 C（y 軸）的散布圖，

試繪製項目 A（x 軸）與項目 B（y 軸）的散布圖，

並觀察是正相關還是負相關？

解 解 解

解 利用圖(一)、圖(二)製表並繪製項

目 A（x 軸）與項目

B（y 軸）的散布圖如左，觀察可 知為負相關

9. 已知有 20 筆數據（xi，y_i），i＝1，2，……，20，若已知平均數

µ

µ

(A) y 對 x 的最適直線過點（3，4）

(B) y 對 x 的最適直線方程式為 y＝4x＋8 (C) x 的標準差大於 y 的標準差

(D)當 x＝4 時，可預測 y＝8

(E)新數據（2xi－3，4－5yi）的相關係數仍為 0.8

解解解

解 (A) ○：最適直線必過點（µx，µy）＝（3，4）

(B) ×： _y ^y ( _x)

x

y r

σ

µ µ

− =

σ

x

m r

σ

=

σ

代入（2，0）可得斜率 m＝4，故最適直線方程式為 y＝4x－8 (C) ×：由(B)知 ^y

x

r

σ

σ

4 5 0.8

y x

σ

σ

(D) ○：將 x＝4 代入最適直線方程式 y＝4x－8，可得 y＝8 (E) ×：新數據（2xi－3，4－5yi）的相關係數為－0.8

故選(A)(D)

項目 A 項目 B 項目 C

10 65 26

17 60 28

20 55 37

22 50 41

30 45 44

34 40 50

42 35 56

47 30 61

53 25 63

54 20 72

圖(一) 圖(二)

10. 測量五位同學的身高（x）與體重（y），結果如右 表，試求：

(1) 身高與體重的相關係數

(2) 體重對身高的最適直線方程式

(3) 利用最適直線，預測當身高是 173 公分時，體重約為多少公斤？

解 解 解

解 x y x－µx y－µy

(x−

µ

µ

160 48 －8 －2 64 4 16

164 46 －4 －4 16 16 16

168 50 0 0 0 0 0

172 54 4 4 16 16 16

176 52 8 2 64 4 16

µx＝168 µy＝50 160 40 64 (1) 相關係數 r＝ 64

160 40 =0.8

×

(2) 體重對身高的最適直線斜率為 64

m=160

即 64

50 ( 168 )

y− =160 x−
y＝0.4x－17.2

故體重對身高的最適直線方程式為 y＝0.4x－17.2

(3) 當 x＝173 時，代入 y＝0.4x－17.2，可得 y＝52（公斤）

11. 假設二維數據變數（a_i，b_i）的相關係數 r＝0.9，已知 a_i 的算術平均數

µ

σ

µ

σ

(1) xi 的算術平均數

µ

σ

(2) y_i 的算術平均數

µ

σ

(3)（xi，yi）的相關係數 R (4) y 對 x 的最適直線方程式

解解解

解 (1)(2) 由數據的平移與伸縮可得

µx＝3µa－1＝8，σx＝｜3｜σa＝3 µy＝3－2µb＝－1，σy＝｜－2｜σb＝4

(3) 因 xi＝3ai－1，yi＝3－2bi 之 ai 與 bi 的係數異號 故 R＝－r＝－0.9

(4) y 對 x 的最適直線方程式 _y ^y ( _x)

x

y R

σ

µ µ

− =

σ

即 4

( 1) ( 0.9 ) ( 8 )

y− − = − × × −3 x
y＝－1.2x＋8.6

身高（公分） 160 164 168 172 176 體重（公斤） 48 46 50 54 52