4.1 例一：礦坑內支撐物最大強度之分析

第四章 實例分析

本章共分為兩個部分，分別介紹所採用的兩個實例，並在不同的 狀況下，說明與比較加上限制條件

a

係數估計以及變數刪除結果上有何差異。

4.1 例一：礦坑內支撐物最大強度之分析

4.1.1 說明與探討

本文所採用的第一個例子是 Jeffers(1967)中一份 180 筆橫木(timber) 的 資 料 ， 以 主 成 份 迴 歸 來 分 析 礦 坑 內 支 撐 物 (pitprop) 最 大 強 度 (compressive strength)與另外 13 個變數間的關係。該資料的 13 個變數 分 別 為 ： 支 撐 物 的 長 度 (X1-LENGTH) 、 支 撐 物 頂 端 的 直 徑 (X2-TOPDIAM)、支撐物的溼度(X3-MOIST)、支撐物在測試時的比重 (X4-TESTSG)、將支撐物烘乾後的比重(X5-OVENSG)、支撐物頂端的 年輪數(X6-RINGTOP)、支撐物底部的年輪數(X7-RINGBUT)、支撐物 所能彎曲的極限(X8-BOWMAX)、支撐物處於最大彎曲狀態時頂端至 底部的距離(X9-BOWDIST)、環生體的個數(X10-WHORLS0)、經過清 理後支撐物的長度(X11-CLEAR1)、每個環生體中“節”的平均個數 (X12-KNOTS) 及節的平均直徑(X13-DIAKNOT)，所有的資料訊息以相 關係數矩陣形式陳列於附錄 D 中。在本章中各表格所獲得的計算結

果，均係利用 MATLAB 及 LINGO 程式語言求得。

的特徵值由大至小依序為:4.219，2.378，1.878

X

本例中矩陣X '

，1.109，0.910，0.815，0.576，0.440，0.353，0.191，0.0506，0.0415 及 0.0387，X 'X 的條件數(condition number)κ =4.219/0.0387=109.02 1 0 0 ， 表 示 沒 有 共 線 性 問 題 ； 條 件 數 κ <

。 一 般 來 說 ， 條 件 數

100<κ<1000，表示有輕度至強度間的多重共線性問題；而κ >1000，

則表示有嚴重的多重共線性問題。本例中，κ =109.02，顯示有輕微的 多重共線性情形。另一方面，根據 2.1 節曾提到，矩陣 之對 角線元素 ，即變異膨脹因子 ，係另一個判斷自變數間共線性強 弱的指標。當變數間共線性很強時，(2.1.11)式中的 會趨近於 1。也 就是說當共線性很強時，至少會有一個以上的VIF的值很大。對所有自 變數迴歸的係數估計、標準差、t 值、p 值、決定係數 以及採用後退 刪除法的係數估計與標準差結果如下:

) 1

' ( ⁻

= X X C

Cjj VIF_j

2

Rj

2

Rj

表 4.1 完全模型及後退刪除法的相關結果

對所有自變數迴歸 後退刪除法 變數 迴歸係數 標準差 t 值 p 值 R²_j 迴歸係數 標準差

X1 -0.4885 1.8802 -0.26 0.3975 0.9239 -0.4921 1.8728 X2 0.4006 1.9212 0.20 0.4308 0.9272 0.3896 1.8814 X3 -0.9753 1.7715 -0.55 0.2912 0.9143 -0.9719 1.7690 X4 0.2925 1.8283 0.16 0.4365 0.9192 0.2854 1.8257 X5 -0.0822 0.8257 -0.10 0.4602 0.6051 -0.0761 0.8214 X6 0.1789 1.3659 0.13 0.4483 0.8558 0.2271 1.1991 X7 0.1351 1.7996 0.075 0.4711 0.9168 - - X8 -0.2632 0.7061 -0.37 0.3557 0.4602 -0.2775 0.6746 X9 -0.0728 0.7524 -0.10 0.4602 0.5245 -0.0745 0.7519 X10 -0.0846 1.1736 -0.07 0.4721 0.8046 - - X11 0.0967 0.6377 0.15 0.4404 0.3382 0.1190 0.5438 X12 -0.0689 0.6214 -0.11 0.4602 0.3028 -0.0624 0.6128 X13 0.0010 0.6904 0.001 0.5000 0.4353 - -

而根據表 4.1 中各變數的決定係數 ，計有 5 個變數之 大於 0.9，顯 示某些變數間有極強的線性關係；但也有 4 個變數之 小於 0.5，顯示 這 4 個變數與其他變數間的線性關係較弱。因此，就 值而言，本例 的共線性非常嚴重，這與由條件數來判斷本例共線性強弱的結果有些 出入。繼續觀察對變數分別進行 t-檢定後所得到的 p 值，我們發現個別 檢定的結果均不顯著。但對整體模型進行 F 檢定時，結果卻是顯著的，

此表示有些變數是多餘的。因後退刪除法和 M.W.G.變數刪除法較為類 似，故將其係數估計、標準差的結果一併列在表 4.1 中，以便後續的對 照比較用。

2

Rj R²_j

2

Rj

VIFj

註：表 4.1 中後退刪除法已剔除了變數 X7，X10 及 X13，故表中對應格內的值沒有，以“-”顯示。

應變數Y 對全部 13 個主成份迴歸時的殘差平方和(sum of squares of residuals)為 0.26914，而自由度(degree of freedom)為 166 的均方誤

(mean square error)則為 0.0016213。當對應於最小 3 個特徵值的主 成份被刪除後，殘差平方和增至 0.31489，而 則為 0.0018633。

MSE

MSE

不論採用 M.W.G.原方法或改良法進行變數刪除時，所使用的仿 - 型檢定統計量 之值係與

F

F F_0.25(1,166)=1.33比較，以便決定變數應保留或 刪 除 。 根 據 3 . 5 節 的 說 明 ， 有 三 個 重 要 因 素 會 影 響 到 自 變 數 的 刪除與否，因此在分析實例時，共有八種情況需要考慮。而本文的主 要目的是探討與比較加上限制條件a_j∈

[ ]

[ ]

的係數估計及標準差可根據式(3.3.1)與(3.3.3)求得。但加上限制條件的 M.W.G.係數估計無法以公式表示，因此標準差就無從獲得，此時僅對 變數刪除的過程與結果加以討論。

j ∈ a

[

]

狀況一：不刪除對應於較小的特徵值之主成分，採用 M.W.G.原方法 (1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.2 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X13-DIAKNOT 0.0003 刪除 X13 2 0 X10-WHORLS 0.9032 再刪 X10 3 0 X7-RINGBUT 0.2660 再刪 X7 4 0 X9-BOWDIST 1.4005 停止，不刪 X9

表 4.3

變數 迴歸係數 標準差 X1-TOPDIAM -0.4601 1.8665 X2-LENGTH 0.3366 1.8749 X3-MOIST -0.9776 1.7463 X4-TESTSG 0.2803 1.8254 X5-OVERSG -0.0741 0.8169 X6-RINGTOP 0.2646 0.6502 X7-RINGBUT 0 0.0195 X8-BOWMAX -0.2905 0.6295 X9-BOWDIST -0.0637 0.7260 X10-WHORLS 0 0.0083 X11-CLEAR 0.1117 0.5304 X12-KNOTS -0.0699 0.5759 X13-DIANOT 0 0.0029

表 4.4 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇

0.9697 1.0044 0.9656 0.9686 1.0027 0.9817 0.8898

a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃

1.3275 0.3771 20.7292 2.5387 0.9357 -26.273

(2) 加上a_j ∈

[ ]

表 4.5

步驟 被刪之主成

分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X13-DIAKNOT 8.3000 不刪除 X13

表 4.6

變數 迴歸係數

X1-TOPDIAM -0.4658 X2-LENGTH -0.3971 X3-MOIST -0.9614 X4-TESTSG 0.2866 X5-OVERSG -0.0836 X6-RINGTOP 0.1478 X7-RINGBUT 0.2256 X8-BOWMAX -0.1509 X9-BOWDIST -0.1980 X10-WHORLS -0.1239 X11-CLEAR 0.0922 X12-KNOTS -0.0276 X13-DIANOT 0.02569

表 4.7 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇

1 1 1 1 1 1 1

a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃

0 1 1 0 1 1

註:加了限制條件a_j∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.6 未列出其標準差。

狀況二：刪除對應於較小的 3 個特徵值之主成分，採用 M.W.G.原方法

(1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.8

步驟 被刪之主成分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 3 X13-DIAKNOT 0.1225 刪除 X13 2 3 X9-BOWDIST 0.2238 再刪 X9 3 3 X12-KNOTS 1.8857 停止,不刪 X12

表 4.9

變數 迴歸係數 標準差 X1-TOPDIAM -0.0846 0.2846 X2-LENGTH -0.0369 0.3164 X3-MOIST -0.4120 0.3216 X4-TESTSG -0.3178 0.2912 X5-OVERSG 0.1296 0.5639 X6-RINGTOP 0.1909 0.4389 X7-RINGBUT 0.1832 0.2681 X8-BOWMAX -0.3255 0.6489 X9-BOWDIST 0 0.0024 X10-WHORLS -0.0572 0.2454 X11-CLEAR 0.0971 0.4716 X12-KNOTS -0.0573 0.5537 X13-DIANOT 0 0.0012

表 4.10 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇

0.9879 1.0061 1.0132 0.8720 1.0081 0.9511 0.9398

a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃

1.1523 1.1725 0.0000 0 0 0

(2) 加上a_j∈

[ ]

表 4.11 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 3 X5-OVENSG 18.7410 不刪除 X5

表 4.12

變數 迴歸係數

X1-TOPDIAM -0.1098 X2-LENGTH -0.0580 X3-MOIST -0.4150 X4-TESTSG -0.2979 X5-OVERSG 0.2314 X6-RINGTOP 0.1268 X7-RINGBUT 0.1278 X8-BOWMAX -0.2068 X9-BOWDIST 0.0773 X10-WHORLS -0.0702 X11-CLEAR 0.1004 X12-KNOTS 0.0518 X13-DIANOT -0.0327

表 4.13 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇

1 1 1 0 1 1 0

a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃

1 1 0 0 0 0

註:加了限制條件a_j∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.12 未列出其標準差。

狀況三：不刪除對應於較小的特徵值之主成分，採用 M.W.G.改良法

(1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.14 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X13-DIAKNOT 0.0004 刪除 X13 2 0 X10-WHORLS 0.9087 再刪 X10 3 0 X7-RINGBUT 0.2692 再刪 X7 4 0 X9-BOWDIST 1.4259 停止，不刪 X9

表 4.15

變數 迴歸係數 標準差

X1-TOPDIAM -0.4862 1.8671 X2-LENGTH 0.3958 1.8750 X3-MOIST -0.9828 1.7478 X4-TESTSG 0.2866 1.8255 X5-OVERSG -0.0762 0.8215 X6-RINGTOP 0.2674 0.6515 X8-BOWMAX -0.2727 0.6641 X9-BOWDIST -0.0667 0.7262 X11-CLEAR 0.1142 0.5305 X12-KNOTS -0.0708 0.5759

表 4.16 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅

1.0043 0.9972 0.9942 0.9902 0.9963

a6 a₈ a₉ a₁₁ a₁₂

0.9657 0.9813 1.6555 1.0078 0.0000

註：採改良法在最後模型中僅剩 10 個變數，故表 4.16 中矩陣 A 大小只有 10×10。

(2) 加上a_j ∈

[ ]

表 4.17

步驟 被刪之主成分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X13-DIAKNOT 8.3000 不刪除 X13

表 4.18

變數 迴歸係數

X1-TOPDIAM -0.4658 X2-LENGTH 0.3971 X3-MOIST -0.9614 X4-TESTSG 0.2866 X5-OVERSG -0.0836 X6-RINGTOP 0.1418 X7-RINGBUT 0.2256 X8-BOWMAX -0.1509 X9-BOWDIST -0.1980 X10-WHORLS -0.1239 X11-CLEAR 0.0922 X12-KNOTS -0.0277 X13-DIANOT 0.2569

表 4.19 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇

1 1 1 1 1 1 1

a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃

0 1 1 0 1 1

註：加了限制條件a_j∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.18 未列出其標準差。

狀況四：刪除對應於較小的 3 個特徵值之主成分，採用 M.W.G.改良法

(1) 未加上a_j∈

[

]

表 4.20

步驟 被刪之主成分個

數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 3 X13-DIAKNOT 0.1225 刪除 X13 2 3 X9-BOWDIST 0.1746 再刪 X9 3 3 X2-LENGTH 1.233 再刪 X2 4 2 X10-WHORLS 0.9556 再刪 X10 5 2 X12-KNOTS 1.1373 再刪 X12 6 2 X11-CLEAR 7.6481 停止，不刪 X11

表 4.21

變數 迴歸係數 標準差

X1-TOPDIAM -0.1702 0.6757 X3-MOIST -0.4069 0.3209 X4-TESTSG -0.3144 0.2902 X5-OVERSG 0.1309 0.5598 X6-RINGTOP 0.2044 0.4193 X7-RINGBUT 0.1629 0.2851 X8-BOWMAX -0.3087 0.5999 X11-CLEAR 0.1119 0.5279

表 4.22 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₁₁

1.0029 1.0177 0.6621 1.0601 0.8321 0.8909 0 0

註：採改良法在最後模型中僅剩 8 個變數，故表 4.22 中矩陣 A 大小只有 8×8。

(2) 加上a_j ∈

[

]

表 4.23 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 3 X5-OVENSG 18.7410 不刪除 X5

表 4.24 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數

X1-TOPDIAM -0.1098 X2-LENGTH -0.0580 X3-MOIST -0.4150 X4-TESTSG -0.2979 X5-OVERSG 0.2314 X6-RINGTOP 0.1268 X7-RINGBUT 0.1278 X8-BOWMAX -0.2068 X9-BOWDIST 0.0773 X10-WHORLS -0.0702 X11-CLEAR 0.1004 X12-KNOTS 0.0518 X13-DIANOT -0.0327

表 4.25 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇

1 1 1 0 1 1 0

a8 a₉ a₁₀ a₁₁ a₁₂ a₁₃

1 1 0 0 0 0

註:加了限制條件a_j∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.24 未列出其標準差。

4.1.2 結果分析

綜觀前一節所獲致各表的結果，可歸納出下列四點結論:

1. 當a_j ∈[0,1]這個限制條件被加入模式後，四種狀況下所獲得 的結果均有一個現象趨於一致，即被刪除的變數個數均少於 未加上限制條件a_j ∈[0,1]時所刪除的變數個數，這和之前理論 的預期結果是符合的。

2. 在不考慮a_j ∈[0,1]這個限制條件時，比較表 4.2 與 4.14、表 4.8 與 4.20，可印證 Mansfield et al.(1977)所言，他們的改良法較 原方法有效，即所刪除的變數個數會較多。

3. 在不考慮a_j∈[0,1]這個限制條件時，Mansfield et al.(1977)認為 ，預先刪除對應較小的特徵值之主成份會使變數刪除的個數 更多。但比較表 4.2 與 4.8 後，發現他們所言不完全正確。

4. 後退刪除法所選擇的變數和狀況三採用改良法(即表 4.14)所選 擇的變數相同，且兩者的係數估計極為接近。

4.2 例二：乙炔( acetylene )轉換比例之分析

4.2.1 說明與探討

本文所採用的第二個例子是 Douglas, Montgomery , Peck (2001)中 關於乙炔(acetylene)轉換比例與另九個變數的資料。本資料的九個變數 分別為：氣體接觸的時間長短(X1-T)、氫( )與 n-Heptane 的比值 (X2-H)、氣體接觸時的溫度(X3-C)、T 與 H 的交互項( X4-T×H )、T 與 C 的交互項(X5-T×C)、C 與 H 的交互項( X6-C×H )、T 本身的交互項 (X7-

H2

T2)、H 本身的交互項(X8-H )、C 本身的交互項(X9-² )、此例之 原始資料已被標準化，且並詳列於附錄 D 中。

C2

本例中矩陣X'X 的特徵值由大至小依序為：4.2048，2.16261，

1.13839，1.0413，0.38453，0.04951，0.01363，0.00513，0.0001。

X X'

矩陣 的條件數κ =4.2048/0.0001=42048。依照上一節對共線性嚴重 程度的分類，顯示本例有嚴重的多重共線性問題。

應變數 Y 對所有自變數迴歸的係數估計、標準差、t 值、p 值、決 定係數R²_j以及採用後退刪除法的係數估計、標準差如下表：

表 4.26 完全模型及後退刪除法的相關結果

對所有自變數迴歸 後退刪除法 變數 迴歸係數 標準差 t 值 p 值 R²_j 迴歸係數 標準差

X1 3.2893 2.9785 1.10 0.3117 0.9973 0.3563 0.0360 X2 -0.5209 0.2037 -2.56 0.0431 0.4041 -0.4884 0.2559 X3 3.9665 4.0131 0.99 0.3611 0.9985 - - X4 -1.8484 0.8588 -2.15 0.0749 0.9678 -1.8660 0.7737 X5 13.4133 12.475 1.08 0.3236 0.9998 1.5628 1.1945 X6 -2.0819 0.9199 -2.26 0.0643 0.9719 -2.1686 0.7962 X7 7.7582 6.4627 1.20 0.2752 0.9994 1.6543 1.0931 X8 0.3259 0.2747 1.19 0.2803 0.6851 0.2921 0.1893 X9 4.7475 5.2379 0.91 0.2803 0.9991 - - 觀察表 4.26 中各個變數之決定係數 值，得知計有 7 個變數的 超過 0.9，而另外兩個變數的 分別為 0.4041 及 0.6851。由此可知本例大多 數的 值均很大，即變數間有極強的線性關係，此結果與由條件數判 斷共線性強弱程度的結論一致。依據表 4.26 中對個別變數進行 t-檢定 後得到的 p 值，我們發現除了 X2，X4，X6 外個別檢定的結果均不顯 著。但對整體模型進行 F 檢定時，結果卻是顯著的，此表示有些變數 是 可 刪 除 的 。 本 例 中 保 留 全 部 的 9 個 主 成 份 時 的 殘 差 平 方 和 為 0.14256，而自由度為 6 的均方誤為 0.02376。此例使用的仿 -型檢定 統計量同例一，且 係我們決定保留或刪除變數的臨界點。

2

Rj R²_j

2

Rj

VIFj

F

62 . 1 ) 6 , 1

25(

.

0 =

F

與例一的處理方式相同，在區分為四種不同狀況下，我們將“加上 限制條件a_j ∈[0,1]”和“未加上限制條件a_j ∈[0,1]”時，執行 M.W.G.變數刪 除的結果分別表列如後，以便進行分析、比較。

狀況一：不刪除對應於較小的特徵值之主成分、採用 M.W.G.原方法

(1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.27 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X3-C 0.0898 刪除 X3 2 0 X1-T 0.7692 再刪 X1 3 0 X8-H ² 2.4688 停止,不刪 X8

表 4.28 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數 標準差

X1-T 0 0.3743

X2-H -0.4833 0.1562

X3-C 0 0.5192

X4- T×H -1.8674 0.6511 X5- T×C 1.5627 3.9330 X6- C×H -2.1702 0.6942

X7-T² 1.6545 0.5514 X8-H² 0.2921 0.2114 X9-C² -0.7887 2.1269

表 4.29 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉

1.2002 0.9679 0.8692 0.9886 0.9486 0.3777 1.2206 0.3014 0.9648

(2) 加上a_j ∈

[ ]

表 4.30 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X3-C 0.1040 刪除 X3 2 0 X8-H ² 2.8893 停止,不刪 X8

表 4.31 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數

X1-T 0.3782 X2-H -0.4634 X3-C 0 X4- T×H -1.8654

X5- T×C 1.5022 X6- C×H -2.1950

X7-T² 0.8218

X8-H² 0.2405

X9-C² -0.7738

表 4.32 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉

0.9999 1 1 1 1 1 1 0.2726 0.9675

註：加了限制條件a ∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.31 未列出其標準差。

狀況二：刪除對應於較小的 2 個特徵值之主成分、採用 M.W.G.原方法

(1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.33 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成

分個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 2 X5-T×C 0.1560 刪除 X5 2 2 X1-T 0.0721 刪除 X1 3 2 X9-C² 1.2503 刪除 X9 4 2 X8-H ² 4.3446 停止,不刪 X8

表 4.34 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數 標準差

X1-T 0 0.1265

X2-H -0.4916 0.1371

X3-C -0.6550 0.0173

X4- T×H -1.5763 0.0707

X5-T×C 0 0.0144

X6- C×H -1.8424 0.0616

X7-T² 0.6919 0.0141 X8-H² 0.3307 0.1480

X9-C² 0 0.3437

表 4.35 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉

1.7509 0.8990 0.9004 0.8732 0.9341 2.0711 0.9047 0 0

(2) 加上a_j ∈

[ ]

表 4.36 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 2 X5-T×C 0.2400 刪除 X5 2 2 X1-T 0.1003 刪除 X1 3 2 X8-H ² 4.1997 停止,不刪 X8

表 4.37 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數

X1-T 0 X2-H -0.4688 X3-C -0.6120 X4- T×H -1.4416

X5-T×C 0 X6- C×H -1.6969

X7-T² 0.6408

X8-H² 0.3186

X9-C² -0.2995

表 4.38 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉

0.8398 1 1 1 1 1 0.7451 0 0

註：加了限制條件 ∈ 後係數估計無法以公式表示，故表 4.37 未列出其標準差。

狀況三：不刪除對應於較小的特徵值之主成分、採用 M.W.G.改良法

(1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.39 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X3-C 0.0898 刪除 X3 2 0 X9-C² 0.0171 再刪 X9 3 0 X5-T×C 1.9958 停止,不刪 X5

表 4.40 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數 標準差

X1-T 0.3565 0.2121

X2-H -0.4883 0.1449

X4- T×H -1.8674 0.6409 X5- T×C 1.5627 0.9898 X6- C×H -2.1702 0.6732

X7-T² 1.6545 0.9060 X8-H² 0.2921 0.1568

表 4.41 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈

0.9984 1.0017 0.9998 1.0001 1.0002 0.9758 1.0009

註：採改良法在最後模型中僅剩 7 個變數，故表 4.41 中矩陣 A 大小只有 7×7。

(2) 加上a_j∈

[

]

表 4.42 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 0 X3-C 0.1040 刪除 X3 2 0 X9-C² 0.0176 刪除 X9 3 0 X7-T ² 2.8421 停止,不刪 X7

表 4.43 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數

X1-T 0.3753 X2-H -0.4641 X4- T×H -1.8900

X5- T×C 1.5329 X6- C×H -2.2215

X7-T² 0.8331

X8-H² 0.2399

表 4.44 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈

0.9984 1 1 1 1 0.9753 1

註 1：採改良法在最後模型中僅剩 7 個變數，故表 4.44 中矩陣 A 大小只有 7×7。

註 2：加了限制條件a ∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.43 未列出其標準差。

狀況四：刪除對應於 2 個較小的特徵值之主成分、採用 M.W.G.改良法

(1) 未加上a_j ∈

[

]

表 4.45 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 2 X5-T×C 0.1560 刪除 X5 2 2 X7-T ² 0.0061 再刪 X7 3 2 X4-T×H 1.6506 停止,不刪 X4

表 4.46 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數 標準差

X1-T 0.6191 0.1414

X2-H -0.4495 0.1446

X3-C -0.3322 0.1375

X4- T×H -0.3509 0.5666 X6- C×H -0.5719 0.5765

X8-H² 0.2936 0.1594 X9-C² -0.7856 0.0831

表 4.47 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₆ a₈ a₉

1.0132 0.9987 1.0020 1.0415 1.0005 0 0

註：採改良法在最後模型中僅剩 7 個變數，故表 4.47 中矩陣 A 大小只有 7×7。

(2) 加上a_j∈

[

]

表 4.48 自變數刪除過程

步驟 被刪之主成分

個數 欲刪除的變數 F 值 結論 1 2 X5-T×C 0.0240 刪除 X5 2 2 X7-T ² 0.0068 再刪 X7 3 2 X4-T×H 2.5248 停止,不刪 X4

表 4.49 最後模型的係數估計

變數 迴歸係數

X1-T 0.4765 X2-H -0.4601 X3-C -0.2093 X4- T×H -0.0549

X6- C×H -0.2629 X8-H² 0.3190

X9-C² 0.3985

表 4.50 對角矩陣 A 之對角線元素

a

a1 a₂ a₃ a₄ a₆ a₈ a₉

1 0.9986 1 1 0.9075 0 0

註 1：採改良法在最後模型中僅剩 7 個變數，故表 4.50 中矩陣 A 大小只有 7×7。

註 2：加了限制條件a_j∈[0,1]後係數估計無法以公式表示，故表 4.49 未列出其標準差。

4.2.2 結果分析

經觀察 4.2 節中各表的結果，可歸納出下列幾點結論:

1. 和前例的結果一樣，當限制條件a_j ∈[0,1]被加入模型後，不論在 何種狀況下，被刪除變數的個數均不超過未加上限制條件時所 刪除變數的個數。

2. 在前例中，如果加上限制條件a_j ∈[0,1]，則沒有任何變數被刪除 掉。但在本例中，加了限制條件a_j ∈[0,1]後，仍有變數被刪除掉，

其中的原因之一有可能是本例的多重共線性程度較為嚴重的緣 故。

3. 在不考慮限制條件a_j∈[0,1]時，比較表 4.33 與表 4.45，我們發 現採用 M.W.G.改良法所刪除變數的個數反而少於採用 M.W.G.

原方法所刪除的變數個數，此結果與 Mansfield et al.(1977)文中 所言相違背。

4. 在不考慮 這個限制條件時，Mansfield et al. (1977)文中提 到，事先刪除對應於較小特徵值的主成份會增加變數刪除的個 數。當比較表 4.27 與 4.33、表 4.30 與 4.36、表 4.39 與 4.45、

表 4.42 與 4.48 後，我們發現不論有無加上限制條件 ， 本例所呈現的結果都符合該文的說法。

] 1 , 0

∈[ aj

] 1 , 0

∈[ aj

5. 本例中，採用後退刪除法所刪除的變數與狀況三採用 M.W.G.

改良法(即表 4.39)時相同，且兩者的係數估計亦差距甚微。