副參】045 科目：商用微積分

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國立空中大學 108 學年度下學期期中考試題【 副參】045

科目：商用微積分 一律橫式作答 頁

 答案卷請標明題號，字體務必工整，並詳列計算過程，只寫最後結果不予計分。

 答案請掃描後於 109/05/04，24：00 前寄至面授教師信箱。

1. 導 數 與導 函數(20％)

(1)試分別利用(a)乘法規則(b)乘開後再微分(c)冪函數的連鎖律等三種方式，

求 d ( ² 1)²

dx x  (15％)

(2)比較三種方法的差異。(5％) 答 ：參 考 課 本 CH3-2





dx

d 。

2. 隱函數微分法(20％)

(1)分別以(a)隱函數微分法(b)顯函數微分法求 x y 1 x y

 

 ^的dy dx/ ， (c)求導數在點(1, 0)的值 。(15％)

(2)比較隱函數微分法與顯函數微分法的不同。 (5％) 答 ：參 考 課 本 CH3-4

x y 1 x y

 



隱函數微分

x y dx dy

dx y dy x y dx x dy

y x

y x y x y x y x

dx d y x

y x dx

d

dx dy dx

dy



















 

 





 

 

 







0 ) 1 )(

( ) )(

1 (

) 0 (

) ( ) ( ) ( ) (

1 ) (

2 1

1 



顯函數微分

(1, 0) |_(1,0)0 dx dy

2 0

0 0 2

1





















 



dx dy y

y

y x y x

y x

y x

註：試解釋(解一)和(解二)的解相同。

3. 偏微分的應用(20％)

假設等產量曲線為Q₀F L K( , )L^ 3 ,K 0，其中L為勞動、 為資本、K Q 為固₀ 定的產出水準。

(1) 何謂等產量曲線？為何要以等產量曲線描述廠商的生產行為？

(2) 試求出等產量曲線上任一點的切線斜率。

(3) 就上述(2)小題解出的結果，解釋其意義。

答 ： 參 考 課 本 CH3-6

1

3 L^

 ^



4. 指數與對數函數的應用(20％)

(1) 何謂自然指數 e ？何以計算連續複利的公式中會包含自然指數 e 與自然對數ln？ 請敘明您的看法(10％)

(2)以連續複利計息，若 6 年後存款額增加一倍，試問年利率是多少？ (10％)

答 ： 參 考 課 本 CH4-1

(1)數 學 常 數 ， 是 自 然 對 數 函 數 的 底 數 。 有 時 被 稱 為 歐 拉 數 （ Euler's number），

以瑞 士 數 學家 歐拉 命名 ， 是 一個 無 限 不循環 小 數，數 值約是 2.71828。

e 代表 成 長 有 其極 限， 以函 數圖 形 而言 ， 隨著 x 增 加 且 趨 近於 無 窮 大 時 ， e 將 收 斂 至 2.71828。

1) 2.71828 1

(

lim  

 

x

x x

e

6

6 6

(2)2

2 ln 2 ln 6 ln 2 0.1155 11.55%

6

r

r r

P A Pe

e e r

r

．

．

= =

= ? =

= = =

3

5. 高階導 函 數 (20％ ) 答 ： 參 考 課 本 CH3

函 數 一 階導 數 二階導 數 三 階導數 指定 導數

的 值 (1) _{f x( )x}³_2x1 ^{f(x)3x2 2}

f 

x



x f 

x



f 



g 

t



x 

g 

t



g 

t



g 



(3) _{h x( )x x}²₍ ³_2x1)

x x x x h

2 6 5

) (

2

4

 





2 12 20

) (

3  





x x

x h

12 60

) (

2







x x

h h 



(4) _{y x}²_1 ²

1 2 1) (



  x x

y

3 2 1) (



  x

y

5 2 1) (

3





  x x

y

| ₁





y

(5) ¹

2 1

y x



) 2

1 2 (

2  ^



 x

y y8(2x1)^3 y48(2x1)^4 y |_x048