6 尋找等比數列的深度之旅

圓半徑成等比數列

6 尋找等比數列的深度之旅

而在古中國的《孫子算經》也出現一道類似問題「今有出門望見九堤、堤有九木、木有 九枝、枝有九巢、巢有九禽、禽有九雛、雛有九毛、毛有九色，問各有幾何？」，就是 一道以 9 為首項，9 為公比的等比數列問題。

意大利數學家斐波那契在《計算書》中，也有一道類似的題目「今有 7 位老婦同往羅馬，

每人有 7 頭騾，每頭騾背上有 7 袋，每袋裝有 7 個麵包，每個麵包有 7 把小刀隨之，問 以上列舉之物各有多少？」

上文中列舉的等比數列是虛擬情境產生的，而在我們的日常生活中，等比數列是否處處 可見，信手拈來，俯拾即是呢？複利問題就是一則大家耳熟能詳的例子：若年初存入 1 元，以年利率 0.05 複利計算，那麼第一年年底，第二年年底，第三年年底，…，第 n 年 年底的本利和依次為

1 2 3

1 (1 0.05) ,1 (1 0.05) ,1 (1 0.05) ,      ,1 (1 0.05) .  ⁿ

這數列就是等比數列。除複利問題外，日常生活中是否還可見到等比數列的蹤跡呢？現 在就讓我們來一趟尋找等比數列的深度之旅吧！

等比數列最早出現在古埃及的《萊因德紙草 書》上，該書第七十九題畫有一幅帶有數字的 圖，在 7、49、343、2401、16807 數字邊分別 畫著人、貓、鼠、大麥和量器。只有畫作，卻 沒有任何文字說明，因此成了一道流傳的數 謎。後人解出了這道數謎，認為圖案要表達的 意思是說「有 7 個人，每人畜養 7 隻貓，每隻 貓捕食 7 隻老鼠，而每隻老鼠先前偷食了 7 株 麥穗，每株穗麥能裝滿 7 個量杯」。

6.1 幾何世界裡的等比數列

幾何圖形容易產生相似的情形，這就會製造出比例式，等比數列就油然而生！

例題 1 證明下圖中圓半徑構成等比數列

【解】考慮前三個圓之關係（令其半徑分別為r r r ）₁, ,_{2 3} ，繪製如下圖：

利用相似性質得到

3

2 1 1 2 2

3 1 1 2 3 1 2

2 .

r r r r r r r r r r r r r

    

  

因此，五圓的半徑成等比數列。

例題 2 如下圖：在一個高度為 h ，底長為 a 的三角形內，畫一個正方形（如圖所示）。

依序往上畫的都是正方形，且設其邊長分別為l l₁, ,₂ , ,l_n 。

(1) 試求l 。 ₁

(2) 證明： l_n 是一個等比數列。

【解】由下列的輔助長度及相似性質得到：

1 1 2

1 1 2 2

l x x . h  x y  x y

 

由此等式推得

^{1 1 2 1} ₁

1 2 1 2

1 1 l x x a l 1.

h x x y y a l a h

   

         (6.1)

因此

1 ah .

l  a h



現在證明 l_n 是一個等比數列：將式子 (6.1) 應用到與邊長l_n1的正方形相接的三角形

（此三角形與原三角形相似）上：

1 1

1 1

1 ⁿ .

n

n n n

l h

l l l l a h

h a

 

 

 

   

  

  

 

因此 l_n 是一個公比為

h ah 等比數列。

6.2 寓言故事中的等比數列

例題 3 在一條筆直的數線上，烏龜與兔子正如火如荼地上演著龜兔賽跑的遊戲。烏龜 的起跑點就在原點的位置，而兔子站在烏龜後方 100 公尺的地方。烏龜的速度是每分鐘 1 公尺；而兔子每分鐘 50 公尺。規定數列 d_n 及 a_n 如下：d₀ 0（烏龜的起跑點座標），

d 為兔子跑到數線上座標為1 d₀ 0位置時，烏龜所在位置的座標，d 為兔子跑到數線上₂ 座標為d 位置時，烏龜所在位置的座標，依此類推，₁ d_n1為兔子跑到數線上座標為d 位_n 置時，烏龜所在位置的座標。定義a_n d_n d_n1(n1)。

問： a_n 是否為等比數列？兔子可以追趕上烏龜嗎？

【解】觀察得到

0 1 1 1 0

0, 100 1 2, 2, d  d  50   a d d  及

1 1

1 1 1 50 .

50

n n

n n n n

d d

d _ d   ^  a _ a  ^

因此

( 1) 1

1

50 2 ( 1 ) , 50

n n

an  a ^{ }   ^ 即 a_n 是首項為 2，公比是 1

50的等比數列。

事實上，兔子在數線座標為

1 2 3

2 100 1 49 1 50 a a a   

 時，剛好趕上烏龜，之後就領先烏龜了。

6.3 數學家創造的等比數列

例題 4 有人問過匈牙利裔美國數學家馮‧諾依曼如下的問題：

兩列火車在一條軌道上對開。最初相距 100 公里，而火車的速率都是每小時 50 公里。

假設有隻蒼蠅，飛行速率是每小時 75 公里。從一列火車頭往前飛，在到達另一列火車 的火車頭之後立刻折返飛行，再碰到原先的火車頭之後又立刻折返飛行。問火車相撞的 時候，這隻蒼蠅來來回回，總共飛了多遠？

【解一】（數學家的自以為是）數學奇才，電腦之父的馮‧諾依曼利用無窮等比級數的 求和方法來計算。他發現蒼蠅前幾趟的飛行距離分別為

60,12,2.4,0.48, . 蒼蠅來來回回，總共飛了

60 75 1 1

5





公里。馮‧諾依曼的直覺告訴他：這是等比數列，只需考慮前兩項，再佐以無窮等比級 數的公式即可。問題是：如何確認或者證明這個數列就是等比數列呢？

【解二】（外行人的詮釋）兩列火車於一個小時之後相撞。因此蒼蠅以每小時 75 公里的 速率來來回回，總共飛了

75 1 75 公里。

6.4 從數列誕生的等比數列 例題 5 數列 a_n 與 b_n 定義為

1 1

1 1

3 4 ,

3, ( 1).

2 2 3

n n n

n n n

a a b

a n

b b a b





 

 

 

    

 

數列 a_n b_n 2是等比數列。

【解】由

1 1 2 3 4 (2 3 ) 2

3 2 2

2 2

n n n n n n

n n n n

a b a b a b

a b a b

     

  

 

得證。

習題 1 在等比數列 a_n 中，

1

4

2 1

1 2 5

, 1,

n n n

a a

a _ a _ a n



 

  

則 a_n 的公比為何？ （87 年學科能力測驗）

習題 2 如下圖所示，上下兩條鐵板相距 12 公尺，上方的鐵板以每分鐘 1 公尺的速度向 下運動，下方的鐵板以每分鐘 1 公尺的速度向上運動。左下方的小鐵球，以每 分鐘 4 公尺的速度向方向角 30^的方向等速運動。

今忽略不計小鐵球的半徑，令小鐵球出發到第一次碰著鐵板所走的路徑長度為

l 公尺，第一次碰著鐵板到第二次碰著鐵板所走的路徑長度為0 l 公尺，…，依₁ 此類推。

(1) 求出l l l 的值，並寫下₀, ,_{1 2} l 的一般公式。 _n

(2) 在兩塊鐵板相碰之前，小鐵球總共走了多長的路徑？

習題 3 下列所描述的數列 a_n ，哪些是等比數列：

(1) 化學元素鉍 214 的半衰期約為 20 分鐘。今一礦物測量得到含有 10 公克的 鉍 214。此礦物第 n 小時之後，鉍 214 的殘餘量為a 公克。 _n

(2) a 定義為_n a₁1,a₂  2,a_n2 ( 2 1) a_n1 2a_n, (n1)。 (3) 右圖是把單位圓內部當成撞球台來使用，一粒質子從

(0,1)的點射出，射出角度剛好與虛線夾  角。此質子 第 n 次碰到單位圓的點之座標為 ( ,x y_{n n})，令複數

n n n

a  x iy 。

(4) 將一顆球由 100 公尺的高空自由落下，第一次落地反彈的最高點高度為a 公₁ 尺，第二次落地反彈的最高點高度為a 公尺，…，依此類推，第 n 次落地₂ 反彈的最高點高度為a 公尺。 _n

(5) 將一顆球讓它與地平面成60^的方向擲出，離手瞬間的速度為每秒 10 公尺。

此球第一次落地前的最高高度為a 公尺，第一次落地後至第二次落地前的₁ 最高高度為a 公尺，…，依此類推，第 n 次落地後至第₂ n1次落地前的最 高高度為a 公尺。 _n

動手玩數學

在龜兔賽跑的問題中，烏龜的起跑點就在原點的位置，而兔子站在烏龜後方 s 公尺的地 方。烏龜的速度是每分鐘v 公尺；而兔子每分鐘₁ v 公尺。規定數列₂  d_n 及 a_n 如下：d₀ 0

（烏龜的起跑點座標），d 為兔子跑到數線上座標為₁ d₀ 0位置時，烏龜所在位置的座標，

d 為兔子跑到數線上座標為2 d 位置時，烏龜所在位置的座標，依此類推，₁ d_n1為兔子跑

到數線上座標為d 位置時，烏龜所在位置的座標。定義_n a_n d_nd_n1(n1)。證明： a_n 是等比數列，且在何條件之下，兔子可以追趕上烏龜嗎。

挑戰題

在蒼蠅飛行的問題中，設兩列火車相距 d 公里，他們的速率都是每小時 w 公里，蒼蠅的 速率為每小時 v 公里（其中 w v ）。設a 代表蒼蠅起飛至第一次遇到火車時所飛行的距₁ 離，a 代表蒼蠅第一次與第二次遇到火車時所飛行的距離，…，依此類推，₂ a 代表蒼蠅_n 第n1次與第 n 次遇到火車時所飛行的距離。證明： a_n 是等比數列，並寫下公比的公式。

無窮等比級數與齊諾的詭辯

在中國有龜兔賽跑的例子。巧合的，在西方也有齊諾創造出來的詭辯：古希臘哲學家齊 諾利用希臘神話中的飛毛腿阿紀利去追趕前面的烏龜。如同龜兔賽跑的例子一樣，齊諾 製造了「飛毛腿阿紀利永遠無法追過慢步的烏龜」這樣的矛盾。齊諾的另一個「箭射不 出去」的詭辯就更絕了。他說一支箭要射到一個目標，它必須先飛過前一半的距離，但 要飛過前一半的距離之前，又需先飛過前四分之一的距離，前八分之一的距離，…。但 這種一半又一半的過程是永無止境的，於是他說這枝箭永遠無法離弓了。

這些例子都牽涉到公比介於 1 與1之間的無窮等比級數。在古希臘時期，是沒有無限（窮）

和這種概念的。再加上這些矛盾與詭辯，古希臘數學家拒絕做任何與無（窮）限和有關 的研究，並把它們摒棄於數學論述之外。

尋找等比數列的深度之旅的習題解答

習題 1 設公比為 r 。由a₄ a₃a a₂, ₃ a₂ a₁ a₂1得到

4 2

1 5

2 5 2 1 2 1 .

a a r r 2

       

習題 2 (1)

1 2

0 16,1 16 3 , 2 16 3 , , _n 16 3 .ⁿ l  l   ^ l   ^ l   ^

(2)

6 4 24公尺。

習題 3 關於(1)的答案： 1

10 ( ) 8

n

an   。

關於(2)的證明：將遞迴式子a_n2 ( 2 1) a_n1 2a_n改寫為

 

2 1 2 1 .

n n n n

a _ a _  a _ a

利用此式子及a₁ 1,a₂  2得到

 

 

1 2 1 2 2ⁿ 2 1 2ⁿ ( 2 1).

n n n n

a a _  a _ a _   ^ a a  ^  有了這個式子之後，利用數學歸納法證明：

2ⁿ1. an  ^ 另一種作法是：將上述式子再改寫為









因此









關於(3)的證明：設180^2 , rcosisin。那麼由隸美佛定理知道：

n

an ir 是公比為 r 的等比數列。

關於(4),(5)：他們都是等比數列（證明需要一點物理知識）。

動手玩數學參考解答 由

1 1 1 1

1 1 2 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, , , _n aⁿ _n

v a v v

a s v s a v a a v a

v v v v ^ v v

           

得知 a_n 是公比為 ¹

2

v

v 的等比數列。

挑戰題參考解答

蒼蠅第n1次與第 n 次遇到火車期間，另一列火車前進的距離為

n . a w

v  由此知道

1 ⁿ .

n n

a v

a a w

v w v

    

整理得到

1 .

n

n

a v w a v w

  



因此， a_n 是公比為( ) ( ) v w v w



 的等比數列。