高中數學(2)習作甲 4-1 計數原理 74
4-1 計數原理 計數原理 計數原理 計數原理
例題例題
例題例題 1 邏輯邏輯邏輯 邏輯
試寫出下列敘述的否定敘述。
(1) （擲一枚公正的骰子）點數小於 3 (2) （x 是實數）3 ＜x ＜8
解解
解解 (1) 點數大於或等於 3 (2) x ≤ 3 或 x ≥ 8
例題例題
例題例題 2 集合基本概念集合基本概念集合基本概念 集合基本概念
集合 S ＝｛a，b，c｝，試問：
(1) S 有多少個元素？
(2) 請依元素個數依序列出 S 的所有子集合
解解
解解 (1) n（S）＝3 (2) 0 個：｛ ｝
1 個：｛a｝，｛b｝，｛c｝
2 個：｛a，b｝，｛a，c｝，｛b，c｝
3 個：｛a，b，c｝
例題例題
例題例題 3 聯集與交集聯集與交集聯集與交集 聯集與交集
集合 A ＝｛x│1 ≤ x＜9｝，B ＝｛x│4＜x ≤ 12｝，試求：
(1) A∩B (2) A∪B
解解
解解 (1) A∩B ＝｛x│4＜x＜9｝
(2) A∪B ＝｛x│1 ≤ x ≤ 12｝
例題例題
例題例題 4 差集與餘集差集與餘集差集與餘集 差集與餘集
假設宇集 U ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，A ＝｛1，3，5，7，9｝，
B ＝｛2，3，4，5，6，7｝，試求：
(1) A' (2) B' (3) A－B (4) B－A
解解
解解 (1) A' ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝－｛1，3，5，7，9｝＝｛0，2，4，6，8｝
(2) B' ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9｝－｛2，3，4，5，6，7｝＝｛0，1，8，9｝
(3) A－B＝A－A∩B
＝｛1，3，5，7，9｝－｛3，5，7｝＝｛1，9｝
(4) B－A＝B－B∩A
＝｛2，3，4，5，6，7｝－｛3，5，7｝＝｛2，4，6｝
高中數學(2)習作甲 4-1 計數原理 75
例題例題
例題例題 5 窮舉法窮舉法窮舉法（樹狀圖窮舉法 樹狀圖樹狀圖樹狀圖）
(1) 甲、乙兩人參加羽毛球比賽，規定 3 局 2 勝（沒有和局）者贏得比賽，請列出所有可能的比賽 結果
(2) A、B 兩校參加排球比賽，規定 5 局 3 勝者獲勝（沒有和局），已知第一、二局都由 A 校獲 勝，試問接下來的比賽過程有幾種勝負情形？
解 解 解解 (1)
(2) 已知 A 校 2 勝，故所求為 A 校再勝 1 次或 B 連勝 3 次
∴共 4 種
例題例題
例題例題 6 加法原理加法原理加法原理 加法原理
(1) 翰翰旅行社推出 5 種日本深度遊，7 種歐洲浪漫行，3 種北美輕鬆遊，小雯打算利用暑假參加 其中一種行程，共有幾種選擇？
(2) 小華有 3 雙運動鞋，2 雙皮鞋，4 雙布鞋，試問小華出門時可以有幾種鞋子的選擇？
解解
解解 (1) 5＋7＋3＝15（種）
(2) 3＋2＋4＝9（種）
例題例題
例題例題 7 加法原理與乘法原理加法原理與乘法原理加法原理與乘法原理 加法原理與乘法原理
如右圖，從 A 點到 B 點依下列行進方式，各有幾種走法：
(1) 只能向上或向右
(2) 只能向上、向下或向右
解 解 解解 (1)
∴有 34 種走法
(2) ∵可以向上、向下、向右
∴可視為如下圖形
故共有 5×5×5＝125 種走法
高中數學(2)習作甲 4-1 計數原理 76
例題例題
例題例題 8 乘法原理乘法原理乘法原理 乘法原理
(1) 翰翰旅行社推出 5 種日本深度遊，7 種歐洲浪漫行，3 種北美輕鬆遊，小慧打算就這三類行程 各選一種行程參加，有幾種選擇？
(2) 小偉有 2 頂不同的帽子，6 件不同的上衣，3 條不同的長褲，假設帽子可戴上也可不戴，試求 任意搭配最多有幾種穿著方式？
解解
解解 (1) 各選一種行程，∴有 5×7×3＝105 種選擇 (2) ∵帽子可戴可不戴，∴帽子有 3 種選擇
故 3×6×3＝54（種）
例題例題
例題例題 9 取捨原理取捨原理取捨原理 取捨原理
高一某班 42 人的段考成績，英文與數學至少一科及格者有 36 人，英文及格者有 30 人，數學及格 者有 26 人，試問：
(1) 英文、數學都及格者有多少人？
(2) 英文、數學都不及格者有多少人？
解解
解解 設 U、E、M 分別代表全班、英文及格、數學及格的人所成的集合 由題意知
n（U）＝42，n（E∪M）＝36，n（E）＝30，n（M）＝26 (1) 由取捨原理得
n（E∪M）＝n（E）＋n（M）－n（E∩M）
36＝30＋26－n（E∩M）
n（E∩M）＝20
∴英文、數學都及格者有 20 人
(2) n（E'∩M'）＝n（E∪M）'
＝n（U）－n（E∪M）＝42－36＝6
∴英文、數學都不及格者有 6 人
例題例題
例題例題 10 乘法原理與取捨原理乘法原理與取捨原理乘法原理與取捨原理 乘法原理與取捨原理
用 0，1，2，3，4 排五位數，依下列規則，可以排幾個相異的五位數？
(1) 數字可重複 (2) 數字不可重複
解 解 解
解 (1) 數字可重複
□□□□□
排五位數則最高位不可排 0
∴ 4×5×5×5×5＝2500（種）
(2) 數字不可重複，
則有 4×4×3×2×1＝96（種）
〈另解〉（取捨原理）
(1) □□□□□
先任意排，得 5×5×5×5×5＝3125 但 0 不可置最高位
0□□□□：5×5×5×5＝625
∴ 3125－625＝2500（種）
(2) □□□□□
先任意排，得 5×4×3×2×1＝120 但 0 不可置最高位
0□□□□：4×3×2×1＝24
∴ 120－24＝96（種）
