4-3 組組組組 合合合合 例題例題例題例題

高中數學(2)習作甲 4-3 組 合 88

4-3 組 組 組 組 合 合 合 合

例題例題

例題例題 1 組合公式組合公式組合公式 組合公式 (1) 試計算

C

₃²⁰ 的值

(2) 已知

C

¹²_k

= C

₃^{12，試求 k 值} 解

解 解

解 (1)

C

₃²⁰＝20 19 18 1 2 3

× ×

× ×

＝1140 (2) k＝3 或 k＝12－3＝9

∴ k＝3 或 9

例題例題

例題例題 2 基礎組合問題基礎組合問題基礎組合問題(一) 基礎組合問題

(1) 某校規定，學生須在修業期間內，從 8 個開放選修的科目中選修 3 個，試問有幾種可能的選 修組合？

(2) 某高中打算從週一到週五的五天中，挑選兩天開放穿便服到校，試問有幾種安排的方式？

解 解 解

解 (1)

C

₃⁸＝8 7 6 1 2 3

× ×

× ×

 ＝56（種）

(2) ₂⁵ 5 4 1 2 10

C = × =

×

（種）

例題例題

例題例題 3 基礎組合問題基礎組合問題基礎組合問題(二) 基礎組合問題

平面上有 8 個相異點，任 3 點不共線，則：

(1) 可決定幾條直線？

(2) 可決定幾個三角形？

解 解 解

解 (1) ₂⁸ 8 7 1 2 28

C = × =

×

（條）

(2) ₃⁸ 8 7 6 1 2 3 56

C = × × =

× ×

（個）

例題例題

例題例題 4 組合與乘法原理組合與乘法原理組合與乘法原理 組合與乘法原理

(1) 為慶祝週年慶，某餐廳特別提供「保證飽特餐」回饋顧客。內容為沙拉或湯 6 選 2，主 菜 5 選 2，主食 3 選 1，飲料或甜點 5 選 2。試問共有幾種點餐組合的可能？

(2) 某社區管委會打算從 8 名男性及 7 名女性委員中，選出 5 名常務委員，如果規定任何一 個性別都不能少於 2 人，試問有幾種可能的組合？

解 解 解

解 (1)

C

₂⁶

× × × C

₂⁵

C

₁³

C

₂⁵＝15×10×3×10＝4500（種）

(2) 由題意知，可能是 2 男 3 女或 3 男 2 女

∴

C

₂⁸

× C

₃⁷

+ C

₃⁸

× C

₂⁷＝28×35＋56×21＝980＋1176＝2156（種）

高中數學(2)習作甲 4-3 組 合 89

例題例題

例題例題 5 分組分堆問題分組分堆問題分組分堆問題 分組分堆問題

將 8 本不同的書依下列方式分成 3 堆，試求各有幾種分法？

(1) 一堆 5 本，一堆 2 本，一堆 1 本 (2) 一堆 4 本，一堆 2 本，一堆 2 本

解 解 解

解 (1)

C

₃⁸

× × C

₂³

C

₁¹＝56×3×1＝168（種）

(2) ₄⁸ ₂⁴ ₂² 1

C × C × C ×

2! 1 70 6 210

= × × =

2 （種）

例題例題

例題例題 6 組合問題組合問題組合問題 組合問題

將 5 枝完全相同的鉛筆分給小朋友，試求各有幾種分法？

(1) 分給 8 個小朋友，每人最多 1 枝（有 3 人沒有鉛筆）

(2) 分給 3 個小朋友，每人至多 2 枝

解 解 解

解 (1) 從 8 人中選 5 人各給 1 枝，∴

C

₅⁸

= 56

^（種）

(2) 5＝2＋2＋1，即由 3 人中選 2 人各給 2 枝， ∴

C

₂³

= 3

^（種）

例題例題

例題例題 7 綜合問題綜合問題綜合問題 綜合問題

羅老師打算從班上跑步比較快的 8 名男生、6 名女生中，各選出 2 名參加運動會的 400 公尺 接力賽，試求：

(1) 若隨機安排為第一棒至第四棒，共有幾種選手名單？

(2) 若男生安排為第一棒與第四棒，女生安排為第二、三棒，共有幾種選手名單？

解 解 解

解 從 8 名男生選 2 人，

C

₂⁸

= 28

從 6 名女生選 2 人，

C

₂⁶

= 15

(1) 隨機安排的方法數

P

₄⁴

= = 4! 24

∴ 28×15×24＝10080（種）

(2) 男生排序有 2! 種，女生也有 2! 種 ∴ 28×15×2!×2!＝1680（種）

例題例題

例題例題 8 二項式定理二項式定理二項式定理(一) 二項式定理

(1) 試求（x＋y）⁷ 展開後，x⁵

y

² 項的係數 (2) 試求（x－y）⁵ 展開後，x²

y

³ 項的係數

解 解 解

解 (1) （x＋y）⁷ 的 x⁵

y

² 項為

C x y

₂^{7 5 2} ∴ 係數為

C

₂⁷

= 21

(2) （x－y）⁵ ＝〔x＋（－y）〕⁵

x

²

y

³ 項為

C x

₃^{5 2}

( − y )

^3＝

− C x y

3^{5 2 3} ∴係數為

− = − C

₃⁵

10

高中數學(2)習作甲 4-3 組 合 90

例題例題

例題例題 9 二項式定理二項式定理二項式定理(二) 二項式定理

(1) 試求（2x＋y）⁵ 展開後，x³

y

² 項的係數 (2) 試求（3x－2y）³ 展開後，xy² 項的係數

解 解 解

解 (1) （2x＋y）⁵ 的 x³

y

² 項為

C

₂⁵

( 2 ) x

³

y

²

= 2

³

C x y

₂^{5 3 2} ∴係數為 8×

C

₂⁵ ＝8×10＝80 (2) （3x－2y）³ ＝〔3x＋（－2y）〕³

xy

² 項為

C

₂³

( 3 ) ( 2 ) x − y

²

= 3 ( 2 ) −

²

C xy

₂^{3 2} ∴係數為 3×4×

C

₂³＝3×4×3＝36

例題例題

例題例題 10 巴斯卡三角形巴斯卡三角形巴斯卡三角形 巴斯卡三角形

某教練打算從甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛等 8 人中挑選 5 人參加籃球比賽，試求：

(1) 若任意挑選，有幾種方法？

(2) 假設不選甲有 m 種方法，必選甲有 n 種方法，則數對（m，n）＝？

解 解 解

解 (1)

C

₅⁸

= 56

^（種）

(2) 不選甲，由其餘 7 人選 5 人

m = C

5⁷

= 21

必選甲，由其餘 7 人選 4 人

n = C

4⁷

= 35

∴數對（m，n）＝（21，35）

說明 說明 說明

說明：本題可藉由(1)(2)小題

C

₅⁸

= C

₄⁷

+ C

₅⁷ 驗證巴斯卡公式

C

_kⁿ

= C

_kⁿ₋⁻₁¹

+ C

_kⁿ⁻¹