兩母體之比較 兩母體之比較

1

兩母體比較之統計推論 兩母體比較之統計推論

兩母體之比較 兩母體之比較

„

„ 例如比較兩種教學方式對於學生學習效 例如比較兩種教學方式對於學生學習效 果之影響 果之影響

„

„

例如比較兩種生產技術在產能上的不同 例如比較兩種生產技術在產能上的不同

„

„ 內容：兩母體平均數差 內容： 兩母體平均數差、 、兩母體比例差 兩母體比例差

以及兩母體變異數比 以及 兩母體變異數比之推論 之推論

3

二個母體平均數差的統計推論 二個母體平均數差的統計推論

„

„ 獨立隨機樣本 獨立 隨機樣本

––兩組樣本係分別隨機抽取自兩個獨立的母兩組樣本係分別隨機抽取自兩個獨立的母 體，因此兩組樣本互相獨立

體，因此兩組樣本互相獨立

„

„ 成對隨機樣本 成對 隨機樣本

––當兩組資料從同一個來源產生時，則稱這兩當兩組資料從同一個來源產生時，則稱這兩 組資料為成對樣本。在成對樣本中，每一對 組資料為成對樣本。在成對樣本中，每一對 樣本皆彼此互相獨立，然而每對樣本內的卻 樣本皆彼此互相獨立，然而每對樣本內的卻 是相依的是相依的

––例如：某班二十名學生數學期中與期末兩次例如：某班二十名學生數學期中與期末兩次 的考試成績

的考試成績

4

獨立隨機樣本

獨立隨機樣本

5

獨立隨機樣本 獨立隨機樣本

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

• 例如：

• 比較某家藥廠新改良的藥是否比舊有的藥具 有較好的藥效

• 比較福特汽車與豐田汽車所生產的二千cc的 車子那一種廠牌的車較省油

• 比較老師使用新的教學方法比舊有的教學方 法是否較能提高學生的學習效果

7

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

1. Z 檢定

• 兩個常態母體且其變異數已知。

• 兩個常態母體且其變異數未知，但屬大樣本。

• 兩母體不屬於常態分配，但其隨機樣本為大樣 本(依據中央極限定理)。若母體變異數未知，

需要用樣本變異數來估計。

2. t 檢定

• 兩個常態母體且其變異數皆未知，而其隨機樣 本為小樣本。

8

兩母體平均數差的假設檢定

兩母體平均數差的假設檢定

9

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

雙尾檢定

設立 假設檢定如下：

d H

₀ :

µ

₁ −

µ

₂ =

d H

₁ :

µ

₁ −

µ

₂ ≠ 若

d

=0，則可表示為

0 : _{1 2}

0

µ

−

µ

=

H

或

H

₀ :

µ

₁ =

µ

₂ 0

: _{1 2}

1

µ

−

µ

≠

H

H

₁ :

µ

₁ ≠

µ

₂

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

若 z > z_α，則拒絕 H₀

若 z < z_α，則拒絕 H₀

11

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

但假設相等

但假設不相等 自由度：ν = n₁

+ n

₂

- 2

自由度： ( )

( )

( ) (

^{( )}

)

2 2 2

1 1 2 2

2 2

2 2

1 1 1 2 2 2

=

( 1) ( 1)

S n S n

S n n S n n

ν +

− + −

12

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

若 t < -t_ν,α/2或 t > t_ν,α/2，則拒絕 H₀ 小樣本

13

兩母體平均數差的假設檢定 兩母體平均數差的假設檢定

若 t > t_ν,α，則拒絕 H₀

若 t < t_ν,α，則拒絕 H₀ -- 小樣本

成對樣本之兩個母體平均數差的 統計推論

對 於 小 樣 本 可 使 用 統 計 量

T

= − ~

(

−1

)

n t n S D

D

µD

成 對 樣 本 之 信 賴 區 間 與 假 設 檢 定 的 方 法 與 單 一 母 體 時 的 情 況 相 同 ， 當 樣 本 為 小 樣 本 且 母 體 變 異 數 未 知 時 ， 其 1 00(1−α)%之 信 賴 區 間 為

n n S

t n D

n S t

D

− ( −1)⋅ ^D ≤ _D ≤ + ( −1)⋅ ^D

2

2 α

α µ

其 檢 定 統 計 量

S T D

D

µD

= − 。

15

成對樣本之兩個母體平均數差的 統計推論

對於兩組成對 樣本平均數是否相等的雙尾檢定 )

: , :

(

H

₀

µ

₁ =

µ

₂

H

₁

µ

₁ ≠

µ

₂ ，我們可以將 其改為對一組 樣本

D 平均數是 否等於 0 的雙尾檢定，其假設檢 定

_i 如下：

0

0 : _D =

H µ

H

₁ :

µ

_D ≠ 0

其中

µ

_D =

µ

₁ −

µ

₂。而對於 有關成對樣本平均數之單 尾檢定的問題，也可以模仿雙尾檢定的方式來 進行。

16

成對樣本之兩個母體平均數差的 統計推論

(1) 雙尾檢定 0

0

:

_D

= H

µ

0

1 : _D ≠

H µ

拒絕域 { ( ¹ ) }

2

−

≥

= T T t n

CR

_α

檢定統計 量

n S

D n

S D n

S T D

D D

D

D

= − =

= −

µ

0

若

( 1) ( 1)

2 2

−

≤

−

≥

t n T t n

T

_α 或 _α

，則拒 絕 H ；

₀

17

兩個獨立常態母體變異數的比較

當兩組隨機樣本皆為小樣本時，若要作兩母體平均數 差的統計推論，則必須先確認兩母體的變異數σ

₁ ²

與 σ

₁ ²

是否相等

定理

若U表自由度為r₁的卡方分配，V表自由度為r₂的卡方分 配，即U ~ χ²(r₁)，V ~ χ²(r₂)，且U與V互為獨立，則

) , ( / ~

/

2 1 2

1

F r r

r V

r F

=

U

F 分配

定理

若兩個獨立隨機樣本：X₁, X₂, …, X_n1

~N( µ

₁

, σ

₁²) ，

Y

₁, Y₂, …, Y_n2

~ N( µ

₂

, σ

₂²)，樣本平均數分別為

與 ，樣本變異數分別為 與

，則

∑

=

=

¹

1 1

1

ⁿ

i

X

i

X n

∑

=

− −

= ²

1 2 2

2 ( )

1 1 ⁿ

i

i Y

n Y

S ~ ( 1, 1)

/ /

2 2 1

2 2 1 2

1 − −

=

F n n

S F S

σ σ

∑

=

− −

= ¹

1

2 1

2

1 ( )

1 1 ⁿ

i

i X

n X

∑

S

=

=

²

2 1

1

ⁿ

i

Y

i

Y n

19

F 分配的性質

α

F_α(r1, r2) 1. P[F > F_α(r₁, r₂)] =

α

2. F_α(r₁, r₂) = 1/F_1-α(r₂, r₁) or F_1-α(r₁, r₂) = 1/ F_α(r₂, r₁) 3. 假如F~F(r₁, r₂)，則 1/F ~ F(r₂, r₁)

4. F分配在統計學上應用相當廣，尤其在檢定兩母體變異 數是否相等，以及變異數分析之檢定上均會使用到

X ~ F(r

₁, r₂) Ö X屬於自由度為r₁, r₂的F分配 ( r₁ > 0, r₂ > 0)

20

F 分配的性質

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0 1 2 3 4 5 6 7

F

機

率 密 度

F

_3,12

F

_5,5

F

_{12 ,5}

f F ( )

21

兩個獨立常態母體變異數的比較

2 2

1 1

df F

_２

df

２

χ χ

= ， 又( 1) ~

(

1

)

1 2 2

1 2 1

1− −

S n

n

χ

σ ^，

(

¹

)

) ~ 1 (

2 2 2

2 2 2

2− −

S n

n

χ

σ ，因此我們將其轉換成

( )

( )

２ ２

２ ２

２ ２

2 2

1 1

2 2 2

2 2 2

1 2 1

2 1 1

2 2

1 1

1 1

1 1

σ σ σ

σ χ

χ

S S

n S n

n S n

df

F df

=

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

=

兩個母體變異數比之假設檢定

二母體變異數

σ ₁ ²

與

σ ₂ ²

的檢定是以F 抽樣分配進行，

其檢定統計量為

2 2 2 1 2 1

2 2

S F

= ⋅

S

σ σ

但無論為單尾或雙尾檢定，在H₀成立下，

σ

₂²/

σ

₁²= 1，故 檢定統計量可簡化為F = S₁²/ S₂²

• 雙尾檢定

H

₀：

σ

₁²=

σ

₂² （或

σ

₁²/

σ

₂² = 1）

H

₁：

σ

₁²≠

σ

₂² （或

σ

₁²/

σ

₂² ≠ 1）

當顯著水準為α時，

拒絕域：檢定統計量F = S₁²/ S₂²≥ F_{n1-1, n2-1,α/2}

23

兩個母體變異數比之假設檢定

• 右尾檢定

H

₀：

σ

₁²=

σ

₂² （或

σ

₁²/

σ

₂² = 1）

H

₁：

σ

₁²>

σ

₂² （或

σ

₁²/

σ

₂² > 1）

當顯著水準為

α

時，

拒絕域：檢定統計量F = S₁²/ S₂²≥ F_{n1-1, n2-1,α}

• 左尾檢定

H

₀：

σ

₁² =

σ

₂² （或

σ

₁²/

σ

₂² = 1）

H

₁：

σ

₁² <

σ

₂² （或

σ

₁²/

σ

₂² < 1）

當顯著水準為α時，

拒絕域：檢定統計量F = S₁²/ S₂²≤ F_{n1-1, n2-1,1-α}