試求通過點 A（2，3，1）﹐且以 n ＝（1，－4，3）為法向量的平面方程式

2-1 平面方程式

我們已有了空間坐標系及空間向量的概念﹐現在我們要來討論空間中的平面方程式。我 們首先介紹平面的法向量﹐利用它來簡化求出空間中某一平面方程式﹐兩平面的夾角﹐及點 到平面的距離等複雜問題。

※平面的法向量

坐標空間中﹐如果一個以非零向量 n 為方向向量的直線 L 與平面 E 垂直﹐則稱 n 是平 面 E 的一個法向量。此時也稱 n 與平面 E 垂直﹐記為 n ⊥E。

※平面方程式

若向量 n ＝（a，b，c）為平面 E 的一個法向量﹐且點 A（x₀，y₀，z₀）為平面 E 上的一 個點﹐則平面 E 的方程式為 a（x－x₀）＋b（y－y₀）＋c（z－z₀）＝0。

上式亦可化為 ax＋by＋cz＋d＝0﹐其中 d ＝－（ax₀＋by₀＋cz₀）。

例題 1--- 試求通過點 A（2，3，1）﹐且以 n ＝（1，－4，3）為法向量的平面方程式。

--- x－4y＋3z＋7＝0。

隨堂練習 --- (1) 試求通過點 A（－1，2，3）且以 n ＝（2，5，－1）為法向量的平面方程式。

(2) 試求 xz 平面的一個法向量及平面方程式。

---

例題 2--- 設平面 E 通過點 P（1，2，3）﹐且平面 E 與平面 3x＋2y＋z＋5＝0 平行﹐

試求平面 E 的方程式。

--- 3x＋2y＋z－10＝0。

隨堂練習--- 設平面 E 通過點 P（－1，2，5）﹐且平面 E 與平面 2x－y＋3z－6＝0 平行﹐試求平面 E 的 方程式。

---

例題 3--- 設平面 E 通過 A（1，－1，1）﹐B（2，2，3）﹐C（3，1，3）三點﹐試求平面 E 的方程式。

--- x＋y－2z＋2＝0。

隨堂練習--- (1) 在例題 3 中﹐求平面 E 的方程式時﹐若取平面 E 上的一點 B（2，2，3）﹐所求得的結

果會相同嗎？

(2) 設平面 E 通過 A（1，1，1）﹐B（2，3，4）﹐C（4，5，2）三點﹐試求平面 E 的方程 式。

---

平面方程式：截距式

若有一個不通過原點的平面 E 分別交 x﹐y﹐z 軸於 A（a，0，0）﹐B（0，b，0）﹐C（0，

0，c）三點﹐則平面 E 的方程式為x a＋y

b＋z

c＝1。其中 a﹐b﹐c 分別稱為平面 E 在 x﹐y﹐

z 三個軸上的截距。

例題 3--- 若平面 E 分別交 x﹐y﹐z 軸於 A（3，0，0）﹐B（0，2，0）﹐C（0，0，4）三點﹐試求平 面 E 的方程式。

--- x

3＋y 2＋z

4＝1。

隨堂練習--- 若平面 E 分別交 x﹐y﹐z 軸於 A（2，0，0）﹐B（0，－3，0）﹐C（0，0，5）三點﹐試求 平面 E 的方程式。

---

※兩平面的夾角

設平面 E₁﹐E₂ 的法向量分別為 n₁﹐n₂。若 n₁ 與 n₂ 的夾角為 θ﹐則平面 E₁ 與 E₂ 的 夾角為 θ 與（180°－θ）﹐其中

cos θ＝ n1‧ n2

│ n1││ n2│。

例題 5--- 試求兩平面 E₁：x＋y＋2z＝6 與 E₂：x－2y－z＝－2 的夾角。

--- 120° 與（180°－120°）＝60°。

隨堂練習--- 試求兩平面 E₁：2x＋y＋2z＝0 與 E₂：x＋y＝0 的夾角。

---

※點到平面的距離公式

坐標空間中﹐點 P（x₀，y₀，z₀）到平面 E：ax＋by＋cz＋d＝0 的 距離為

│ax0＋by0＋cz0＋d│

a²＋b²＋c² 。

例題 3--- 試求點 P（1，－1，－3）到平面 E：x－2y＋2z－6＝0 的距離。

--- 3。

隨堂練習--- 試求點 P（2，－3，4）到平面 E：x＋y＋z－3＝0 的距離。

---

兩平行平面的距離

設 E1﹐E2 為坐標空間中的兩平行平面﹐且其方程式為 E1：ax＋by＋cz＋d1＝0﹐

E2：ax＋by＋cz＋d2＝0。

│ax0＋by₀＋cz₀＋d₂│

a²＋b²＋c² ＝│－d1＋d₂│

a²＋b²＋c²＝ │d1－d₂│ a²＋b²＋c²﹐ 此即兩平行平面 E1 與 E2 的距離公式。

例題 7--- (1) 試求兩平行平面 E1：x＋2y＋2z＋9＝0 與 E2：x＋2y＋2z－6＝0 的距離。

(2) 已知平面 E1 與平面 E2：2x－y－2z＋3＝0 平行﹐且平面 E1 與 E2 的距離為 2﹐

試求平面 E1 的方程式。

--- 解 (1)5。

(2) 2x－y－2z－3＝0 或 2x－y－2z＋9＝0。

隨堂練習--- (1) 試求兩平行平面 E1：x＋2y＋2z＋9＝0 與 E₂：2x＋4y＋4z－18＝0 的距離。

(2) 已知平面 E1 與平面 E2：x－2y－2z－9＝0 平行﹐且平面 E₁ 與 E2 的 距離為 3﹐試求 平面 E₁ 的方程式。

---

例題 8--- 如圖所示﹐已知長方體 ABCD－EFGH 的長﹑寬﹑高分別為 ¯¯AB＝2﹐¯¯AD＝6﹐¯¯AE＝4﹐令 P﹐

Q﹐R 分別為 ¯¯GF﹐¯¯GH﹐¯¯GC 的中點﹐則：

(1) 試求點 A 到平面 PQR 的距離。

(2) 設平面 PQR 與平面 CDHG 的夾角為 θ﹐試求 cos θ。

(3) 試求點 E 到平面 PQC 的距離。

---

(1) 30 7。 (2) cos θ＝－2

7 或 2 7。

習 題 2-1 一﹑基本題

1. 求通過點（2，3，4）﹐且以 n ＝（3，－2，1）為法向量的平面方程式。

2. (1) 求通過 P（2，3，4）﹐Q（3，5，6）﹐R（5，3，2）三點的平面方程式。

(2) 求通過 A（3，0，0）﹐B（0，4，0）﹐C（0，0，－5）三點的平面方程式。

3. 設平面 E 與平面 E1：3x＋2y＋z＋6＝0 平行﹐若平面 E 通過點（3，－4，2）﹐試求平 面 E 的方程式。

4. 試求兩平面 x＋y＋ 2 z－3＝0 與 z＝0 的夾角。

5. 試求點（3，－2，1）到平面 x＋2y－2z＋6＝0 的距離。

二﹑進階題

6. 設平面 E 與平面 E₁：3x＋2y＋z－6＝0 平行﹐且平面 E 與平面 E₁ 的距離為 14 ﹐試 求平面 E 的方程式。

7. 已知坐標空間中﹐（1，0，0）﹐（0，2，0）﹐（0，0，3）與（1，2，t）四點共面﹐試求 t 之 值。

8. 一平面 E 通過點 P（1，2，3）﹐且同時垂直於平面 E1：x＋y－2z＋3＝0 和 E2：2x－y

－z＋4＝0﹐試求平面 E 的方程式。

三﹑挑戰題

9. 坐標空間中有一平面鏡 E﹐今有一雷射光線由 A（3，－1，1）射向鏡面 E 上的一點 B（1，1，2）﹐經反射後通過點 C（－1，5，6）﹐如右圖所示﹐試求平面 E 的方程式。

2-2 空間直線方程式

回憶第三冊中坐標平面上直線的參數式求法：只要有直線的方向向量與直線上的一點﹐

就可以得到直線的參數式。本節介紹空間直線的方程式﹐並探討直線與平面的關係﹑點到直 線的距離﹑兩平行線的距離與兩歪斜線的距離。

直線的方程式

※直線參數式

設直線 L 通過點 A（x₀，y₀，z₀）﹐且與非零向量 v ＝（a，b，c）平行﹐則直線 L 的參數 式為



x＝x0＋at y＝y₀＋bt z＝z0＋ct

﹐t 為實數﹐

其中﹐t 稱為參數﹐ v 稱為直線 L 的方向向量。

同一直線的參數式其表達方式並不唯一：隨著選取的點 A 不同或方向向量 v 不同﹐則參數式的形式就會不一樣。

參數式帶有動態的概念：當 t 在變動時﹐P 點在直線 L 上隨之滑動。

例題 1--- (1) 試求通過點 P（2，－3，4）﹐且與向量 v ＝（4，2，－1）平行的直線 L 的參數式。

(2) 已知空間中兩點 P（－1，2，3）﹐Q（4，5，－6）﹐試求直線 PQ 的參數式。

--- 解 (1)



x＝2＋4t y＝－3＋2t z＝4－t

﹐t 為實數。

(2)



x＝－1＋5t y＝2＋3t z＝3－9t

﹐t 為實數。

隨堂練習--- (1) 試求通過點 P（5，－2，4）﹐且與向量 v ＝（3，－2，1）平行的直線參數式。

(2) 已知空間中兩點 P（－1，0，2）﹐Q（1，0，1）﹐試求直線 PQ 的參數式。

---

※直線對稱比例式

設直線 L 通過點 A（x₀，y₀，z₀）﹐且與向量 v ＝（a，b，c）

平行﹐其中 a﹐b﹐c 皆不為 0﹐則直線 L 的對稱比例式為 x－x0

a ＝y－y0

b ＝z－z0

c 。

一條直線對稱比例式的表示法並不唯一：隨著選取的點 A 不同或方向向量 v 不同﹐對稱 比例式的形式就會不一樣。

例題 2--- 設直線 L 通過點 A（－1，2，3）﹐B（4，1，5）兩點﹐試求直線 L 的對稱比例式。

--- 解x＋1

5 ＝y－2

－1＝z－3 2 。

隨堂練習--- 設直線 L 通過點 A（2，3，5）﹐且方向向量為（－2，7，1）﹐試求直線 L 的對稱比例式。

---

用此兩平面的方程式來表示直線的方法﹐稱為直線的兩面式。

例題 3--- 已知兩平面 E1：x＋y＋z＝3 和 E2：2x＋y＋3z＝7 相交於直線 L﹐試求直線 L 的參數式。

--- 解 設點 P（x，y，z）在交線 L 上﹐則



x＋y＋z＝3 2x＋y＋3z＝7﹐ 底下的想法是將 x﹐y 都用 z 來表示。

上式整理得



x＋y＝3－z 2x＋y＝7－3z﹐ 將兩式相減得 x＝4－2z﹐

代入 x＋y＋z＝3﹐得 y＝－1＋z﹐

故令 z＝t﹐可得 P 點的坐標為（4－2t，－1＋t，t）﹐

即直線 L 的參數式為



x＝4－2t

y＝－1＋t﹐t為實數 z＝t

隨堂練習--- 已知兩平面 E₁：2x＋y＋3z＝8 和 E₂：x－y＋6z＝4 相交於直線 L﹐試求直線 L 的參數式。

---

直線與平面的關係

空間中一條直線 L 與一個平面 E 的關係﹐可以出現下列三種情形：

(1) 兩者平行。 (2) 交於一點。 (3) 直線落在平面上。

一般而言﹐令 t 表直線 L 的參數﹐

(1) 如果沒有任何實數 t﹐可使點 P 落在平面 E 上﹐則直線 L 與平面 E 平行。

(2) 如果恰有一個實數 t﹐使點 P 落在平面 E 上﹐則直線 L 與平面 E 交於一點。

(3) 如果任意實數 t﹐所得的點 P 都落在平面 E 上﹐則直線 L 落在平面 E 上。

例題 4 --- 設平面 E 的方程式為 2x＋y－z＝3﹐試分別討論下列三直線與平面 E 的關係：

(1) L1：x－2

3 ＝y－2

1 ＝z－3

2 。 (2) L2：x－1

2 ＝y－2

－1＝z－3

3 。 (3) L3：x－1

2 ＝y－2

－1＝z－1 3 。 --- 解 (1)交於一點 P（2，2，3）。

(2)直線 L₂ 與平面 E 不相交﹐即直線 L₂ 與平面 E 平行。

(3)故直線 L₃ 落在平面 E 上。

隨堂練習--- 設平面 E 的方程式為 3x＋2y－z＝2﹐試討論直線

L：x－1

2 ＝y－2

3 ＝z＋3

4 與平面 E 的關係。

---

可決定一個平面：不共線三點、一直線與線外一點、相交於一點的兩直線、兩平行線。

若要求平面方程式﹐基本的想法仍然是找到平面的法向量和平面上一點即可。

例題 3--- 已知平面 E 包含點 P（2，3，5）與直線 L：x－1

2 ＝y－2

3 ＝z－3

2 ﹐試求平面 E 的方程式。

---

解 由直線 L 的對稱比例式 x－1

2 ＝y－2

3 ＝z－3 2 知：

Q（1，2，3）為直線 L 上一點﹐

向量 v ＝（2，3，2）為直線 L 的一個方向 向量﹐又QP＝（1，1，2）為平面 E 上的 一個向量﹐因此﹐ v ×QP 是平面 E 的 一個法向量﹐如圖 25 所示。由

v ×QP＝















 3 2 1 2 ，







 2 2 2 1 ，







 2 3

1 1 ＝（4，－2，－1）﹐

故平面 E 的方程式為

4（x－2）－2（y－3）－（z－5）＝0﹐

即 4x－2y－z＋3＝0。

隨堂練習--- 已知直線 L₁：x－1

3 ＝y－2

2 ＝z＋1

2 與 L₂：x－1

4 ＝y－2

3 ＝z＋1 2 相交於一點﹐試求包含直線 L₁ 與 L2 的平面方程式。

---

投影點

從平面 E 外一點 P 沿著平面的法向量方向所形成的直線﹐會與平面 E 交於一點 Q。由 法向量的定義知向量 QP 會與平面 E 垂直﹐故稱 Q 為 P 在平面 E 上的投影點。

例題 6--- 試求點 P（1，－2，2）對平面 E：2x－y＋z＝0 的投影點。

--- 解 Q 點坐標為（－1，－1，1）。

隨堂練習--- 試求點 P（2，3，1）對平面 E：3x＋2y＋z＝－1 的投影點。

---

點到直線的距離

設 P 為直線 L 外一點﹐從點 P 作直線 L 的垂線﹐令 垂足為點 Q﹐我們稱 ¯¯PQ 的長度為 點 P 到直線 L 的距離。

例題 7--- 試求點 P（1，2，3）到直線 L：x－6

3 ＝ y

－4＝z－6

2 的距離。

--- 解 設由 P 點作直線 L 的垂線的垂足為 Q 點﹐由直線 L：x－6

3 ＝ y

－4＝z－6

2 的參數式

L：



x＝6＋3t

y＝－4t﹐t為實數 z＝6＋2t

可令 Q 點坐標為（6＋3t，－4t，6＋2t）﹐PQ ＝（5＋3t，－2－4t，3＋2t）。

因為 PQ 與直線 L 的方向向量（3，－4，2）垂直﹐

即（5＋3t，－2－4t，3＋2t）‧（3，－4，2）＝0﹐

整理得 29t＋29＝0﹐解得 t＝－1﹐因此 Q 點坐標為（3，4，4）﹐

故 P 點到直線 L 的距離為¯¯PQ ＝ （3－1）²＋（4－2）²＋（4－3）² ＝3。

隨堂練習--- 已知點 P（1，－3，4）與直線 L：x－4

2 ＝y－2

1 ＝z－9

6 ﹐試求：

(1) 由點 P 往直線 L 作垂線的垂足坐標。

(2) 點 P 到直線 L 的距離。

---

兩平行線的距離

當兩直線 L₁﹐L₂ 互相平行時﹐其中一直線上的任意一點到另一直線的距離都相等。

因此﹐只要在一直線上任取一點﹐求其到另一直線的距離﹐所得即為兩平行直線的距離。

例題 8--- 求兩平行直線 L1：x－1

2 ＝y－3

－3＝z－4

2 與 L2：x－4

2 ＝y－2

－3＝z－8

2 的距離。

--- 解 由直線 L₁ 的方程式知 P（1，3，4）是直線 L₁ 上一點。

設由 P 點作直線 L₂ 的垂線﹐令垂足為 Q 點﹐

由直線 L₂ 方程式知﹐可令 Q 點坐標為（4＋2t，2－3t，8＋2t）。 由 PQ＝（3＋2t，－1－3t，4＋2t）與直線

L₂ 的方向向量（2，－3，2）垂直﹐因此

（3＋2t，－1－3t，4＋2t）‧（2，－3，2）＝0﹐

整理得 17＋17t＝0﹐解得 t＝－1﹐

所以 PQ＝（1，2，2）﹐故直線 L1 與 L2 的距離為¯¯PQ＝│PQ│＝ 1²＋2²＋2² ＝3。

隨堂練習---

求兩平行直線 L1：



x＝－2＋2t

y＝－3＋2t﹐t為實數﹐與L₂：x－3＝y－3＝z－3 z＝－1＋2t

的距離。

---

兩歪斜線的距離

設 L₁﹐L₂ 為空間中互為歪斜的兩條直線﹐在 L₁﹐L₂ 上分別有一個點 P﹐Q 使得 ¯¯PQ 同時垂直於 L₁﹐L₂ 兩直線。 ¯¯PQ 稱為 L₁﹐L₂ 的公垂線段﹐

公垂線段所在的直線稱為公垂線。公垂線段的長度 ¯¯PQ 稱為兩歪斜線 L₁﹐L₂ 間的距離。

例題 9--- 已知直線 L1：x－1

1 ＝y－2

1 ＝z－1

－1 與 L2：x－8

6 ＝y－7

2 ＝z－2

－3 互為歪斜線﹐試求：

(1) 直線 L₁ 與 L₂ 的距離。 (2) 公垂線 L 的對稱比例式。

--- 解 (1) 設公垂線 L 分別與直線 L₁﹐L₂ 相交於 P﹐Q 兩點﹐由直線 L₁ 與 L₂ 的方程式﹐

可令 P 點坐標為 P（1＋t，2＋t，1－t）﹐t 為實數﹐Q 點坐標為 Q（8＋6s，7＋2s，2－3s）﹐

s 為實數﹐得 PQ＝（6s－t＋7，2s－t＋5，－3s＋t＋1）。因為 PQ 與直線 L₁﹐L₂ 的方向向 量（1，1，－1）﹐（6，2，－3）均垂直﹐

所以 （1，1，－1）‧（6s－t＋7，2s－t＋5，－3s＋t＋1）＝0﹐

（6，2，－3）‧（6s－t＋7，2s－t＋5，－3s＋t＋1）＝0﹐

即 11s－3t＋11＝0

49s－11t＋49＝0 解得 s＝－1﹐t＝0。

因此 P 點坐標為（1，2，1）﹐Q 點坐標為（2，5，5）﹐

得公垂線段長 ¯¯PQ ＝ （2－1）²＋（5－2）²＋（5－1）² ＝ 26

(2) 由 PQ＝（1，3，4）為公垂線 L 的一個方向向量﹐且公垂線 L 通過 P（1，2，1）﹐故得公垂線 L 的對稱比例式為x－1

1 ＝y－2

3 ＝z－1 4 。

隨堂練習---

已知直線 L1：



x＝1＋3t y＝－7－4t z＝－t

﹐t 為實數﹐與 L2：



x＝3＋2s

y＝1－3s﹐s為實數 z＝－2s

。互為歪斜線﹐求直線 L1

與 L₂ 的距離。

---

習 題 2-2 一﹑基本題

1. 已知直線 L 通過 A（1，2，3）﹐B（3，3，2）兩點﹐試求直線 L 的參數式與對稱比例式。

2. 試求通過點 P（2，5，3）且與直線 L：x－1

3 ＝y－2

4 ＝z＋3

2 平行的直線方程式。

3. 試求兩平面 E1：x＋y＋2z＝8 和 E2：3x＋y＋4z＝10 的交線方程式。

4. 已知平面 E 的方程式為 3x－y＋2z＝5﹐判斷下列直線和平面 E 的關係。若直線和平面 E 交於一點﹐亦求出交點坐標。

(1) 直線 L₁：x

3＝y＋1

1 ＝z－3 2 。 (2) 直線 L₂：x－2

1 ＝y－3

1 ＝z－4

－1 。

(3) 直線 L₃：



x＝1＋t y＝t z＝1－t

﹐t 為實數

◎5. 已知點 P（3，1，5）及直線 L：x 1＝y

1＝z－1

2 ﹐試求：

(1) P 點到直線 L 的距離。

(2) P 點關於直線 L 的對稱點。

（當直線 L 為線段 PQ 的中垂線時﹐Q 為 P 點關於直線 L 的對稱點。）

二﹑進階題

6. 已知直線 L₁：x－1

2 ＝y－2

3 ＝z－3

4 與 L₂：x

2＝y－3

3 ＝z－1

4 為兩平行直線﹐若平面 E 包含 直線 L₁ 與 L2﹐試求平面 E 的方程式。

◎7. 已知直線 L1：x－2

1 ＝y－1

－3＝z－4

4 與 L2：x－1

1 ＝y－6

－1＝z－4

1 互為歪斜線﹐試求其公垂線

段長及公垂線方程式。

8. 已知直線 L₁：x－2

1 ＝y－1

－3＝z－4

4 與 L₂：x－1

1 ＝y－6

－1＝z－4

1 互為歪斜線﹐若平面 E 包含 直線 L1 且與 L2 平行﹐試求平面 E 的方程式。

◎9. 已知直線 L₁：x＝y－2

2 ＝z－2

－1 與 L₂：x－3

a ＝y＋1

b ＝z－5

c 平行﹐試求兩直線的距離。

三﹑挑戰題

◎10. 已知正四面體的四個頂點在兩條歪斜線 L1 與 L2 上﹐其中

L₁：



x＝4＋t

y＝－3－t﹐t為實數 z＝0

L₂：



x＝2＋s

y＝2＋s﹐s為實數 z＝1

試求此正四面體的邊長。

2-3 三元一次聯立方程式

在國中階段使用“代入消去法”與“加減消去法”來解二元一次聯立方程式。在本節中﹐我

們將利用這兩個方法來解三元一次聯立方程式（三元一次方程組）﹐並進一步探討三平面的幾

何關係。

上列的每個等式都含有三個未知數﹐而且它們的次數都是 1﹐像這樣的等式稱為三元一次 方程式。幾個三元一次方程式上下並列在一起﹐就稱為三元一次聯立方程式﹐也可稱為三 元一次方程組。

消去法：三元一次聯立方程式的解法與二元一次聯立方程式的解法相似：先消去一個未知 數﹐得到一個二元一次聯立方程式；再消去一個未知數﹐得到一元一次方程式﹐即可依次 求出各變數的解。

例題 1---

試求三元一次聯立方程式



3x＋2y＋ z＝39 2x＋3y＋ z＝34 x＋2y＋3z＝26

的解（x，y，z）。

---

（x，y，z）＝（9.25，4.25，2.75）。

隨堂練習--- 設二次函數 f（x）＝ax²＋bx＋c 的圖形通過（1，1）﹐（2，3）﹐（3，7）三點﹐試求 f（x）。

---

※克拉瑪公式

對於三元一次方程組



a1x＋b1y＋c1z＝d1

a₂x＋b₂ y＋c₂z＝d₂ a3x＋b3y＋c3z＝d3

﹐

定義 Δ﹐Δ_x ﹐Δy ﹐Δz 如（＊）式﹐則當 Δ 0 時﹐方程組恰有一組解 x＝Δx

Δ ﹐y＝

Δy

Δ ﹐z＝

Δz

Δ 。

例題 2---

利用克拉瑪公式解方程組



2x＋3y－ z＝－2 x－ y＋ z＝8 3x－2y－9z＝9

。

--- 有一組解 x＝4﹐y＝－3﹐z＝1。

隨堂練習---

用克拉瑪公式解方程組



 x－2y＋3z＝7 2x＋ y＋ z＝4

－3x＋2y－2z＝－10

。

---

※三元一次方程組解的判定

對於三元一次方程組



a1x＋b1y＋c1z＝d1

a₂x＋b₂y＋c₂z＝d₂ a3x＋b3y＋c3z＝d3

﹐ 令 Δ﹐Δ_x﹐Δy﹐Δz 定義如前﹐則：

(1) 若 Δ 0﹐則方程組有唯一一組解。

(2) 若 Δ＝0﹐但 Δ_x﹐Δy﹐Δz 其中有一個不為 0﹐則方程組無解。

(3) 若 Δ＝0﹐且 Δ_x＝Δy＝Δz＝0﹐則方程組可能無解﹐也可能有無限多組解。

例題 3---

解方程組



2x＋ y＋ z＝7 3x＋ y－ z＝6 7x＋2y－4z＝11

。

---

故方程組的解為



^x＝t

y＝13 2－5

2 t ﹐t 為實數﹐

z＝1 2＋1

2 t

隨堂練習---

解方程組



 x－ y＋3z＝6 2x＋ y－ z＝11 3x＋3y－5z＝21

。

---

例題 4--- 坐標平面上﹐已知一圓 C 通過（3，2）﹐（1，4）﹐（－1，2）三點﹐試求圓 C 的方程式。

--- 圓 C 的方程式為 x²＋y²－2x－4y＋1＝0。

隨堂練習--- 試問在坐標平面上﹐有沒有一個圓通過（1，3）﹐（2，1）﹐（4，－3）這三個點？

---

三平面的幾何關係

要求坐標空間中三平面 E₁：a₁ x＋b₁ y＋c₁ z＝d₁ ﹐E₂：a₂ x＋b₂ y＋c₂ z＝d₂ ﹐ E₃：a₃ x＋b₃ y＋c₃ z＝d₃ 的交點坐標﹐相當於求解三元一次方程組



a1x＋b1y＋c1z＝d1

a₂x＋b₂ y＋c₂z＝d₂ a3x＋b3y＋c3z＝d3

。 因此﹐由上述方程組的解可以判斷三平面的幾何關係。

依照三元一次方程組的解﹐我們將空間中三平面的相交情形區分成下列三種類型：

(1) 若恰有一組解﹐則三平面恰交於一點。

三平面恰交於一點 (2) 若有無限多組解﹐則三平面的相交情形有三種可能。

三平面互異且 相交於一直線

兩平面重合且與 第三平面交於一直線

三平面重合 (3) 若無解﹐則三平面的相交情形有四種可能。

三平面兩兩 交於一直線 但三交線沒 有共同交點

兩平面平行 且與第三平 面分別交於

一直線

三平面平行 兩平面重合

且與第三平 面平行

例題 5--- 試判斷三平面 E₁：x－y＋z＝3﹐E₂：3x－y－z＝7﹐E₃：4x－y－2z＝9 的幾何關係。

--- 解 解方程組



 x－y＋ z＝3 ○¹ 3x－y－ z＝7 ○² 4x－y－2z＝9 ○³

因為 Δ＝









1 －1 1 3 －1 －1 4 －1 －2

＝0﹐

所以方程組可能有無限多組解或無解。

此時觀察三平面法向量皆不平行﹐因此三平面關係可能是圖 34 或圖 37﹐

利用加減消去法直接解方程組可得



x＝2＋t y＝－1＋2t z＝t

﹐其中 t 為實數﹐

故方程組有無限多組解且這是直線參數式﹐

因此三平面互異且相交於一直線﹐如圖 34。

隨堂練習--- 試判斷三平面 E1：2x＋y－z＝3﹐E2：x＋2y＋z＝3﹐E3：3x＋4y＋z＝7 的幾何關係。

---

例題 6--- 試就 a 值討論三平面 E₁：x＋y＋az＝1﹐E₂：x＋ay＋z＝2﹐E₃：x＋y＋z＝1 的幾何關係。

--- 解 考慮方程組



x＋y＋az＝1 x＋ay＋z＝2 x＋y＋z＝1

計算可得

Δ＝





1 1 a 1 a 1 1 1 1

＝－a²＋2a－1＝－（a－1）² 因此﹐

(1) 當 a 1 時﹐Δ 0﹐方程組有唯一一組解﹐此時三平面交於一點﹐如圖 33。

(2) 當 a＝1 時﹐Δ＝0﹐

此時三平面方程組為



x＋y＋z＝1 x＋y＋z＝2 x＋y＋z＝1

顯然平面 E1﹐E3 重合﹐且和平面 E2 平行﹐此時方程式無解﹐如圖 36。

隨堂練習--- 試就 a 值討論三平面 E1：x＋3y＋z＝1﹐E2：2x－y＋z＝2﹐E3：3x＋ay＋2z＝3 的幾何關係。

---

※空間向量的線性組合

給定坐標空間中三個向量 a ＝（a₁，a₂，a₃）﹐ b ＝（b₁，b₂，b₃）﹐ c ＝（c₁，c₂，c₃）﹐ 要把 d ＝（d₁，d₂，d₃）寫成 a ﹐ b ﹐ c 的線性組合﹐即要求 x﹐y﹐z 使得

d ＝x a ＋y b ＋z c ﹐ 即

（d₁，d₂，d₃）＝x（a₁，a₂，a₃）＋y（b₁，b₂，b₃）＋z（c₁，c₂，c₃）﹐ 這相當於解三元一次方程組



a1x＋b1y＋c1z＝d1

a₂x＋b₂y＋c₂z＝d₂ a3x＋b3y＋c3z＝d3

。

由克拉瑪公式可知﹐當 Δ 0 時﹐此方程組恰有一組解﹐故 d 可寫成 a ﹐ b ﹐ c 的線性 組合。

注意到當 Δ 0 時﹐a ﹐b ﹐ c 所張出的平行六面體體積不為 0﹐即 a ﹐b ﹐c 不在同一平 面上。因此上段的結論其幾何意義為：

當空間非零向量 a ﹐ b ﹐ c 不在同一平面上時﹐則任何一空間向量 d 必可寫成 a ﹐ b ﹐ c 的線性組合

d ＝x a ＋y b ＋z c ﹐ 且這個表示法是唯一的。

例題 7--- 給定坐標空間中四個向量

a ＝（1，1，1）﹐ b ＝（1，3，4）﹐ c ＝（1，2，6）﹐ d ＝（6，13，27）。

試問：d 是否可表成 a ﹐b ﹐c 的線性組合 x a ＋y b ＋z c ？ 若可以﹐請表出其線性組合。

--- 解 由 a ﹐ b ﹐ c 組成的 Δ＝









1 1 1 1 3 4 1 2 6

＝7 0﹐

所以 d 可表成 x a ＋y b ＋z c 的線性組合。又

x a ＋y b ＋z c ＝（x，x，x）＋（y，3y，4y）＋（z，2z，6z）

＝（x＋y＋z，x＋3y＋2z，x＋4y＋6z）﹐

且 d ＝（6，13，27）﹐因此解



x＋ y＋ z＝6 x＋3y＋2z＝13 x＋4y＋6z＝27

得 x＝1﹐y＝2﹐z＝3﹐故 d ＝ a ＋2 b ＋3 c 。

隨堂練習--- 給定坐標空間中四個向量

a ＝（1，1，1）﹐b ＝（2，3，1）﹐c ＝（1，3，4）﹐d ＝（13，26，25）。試問：d 是否可表 成 a ﹐ b ﹐ c 的線性組合 x a ＋y b ＋z c ？ 若可以﹐請表出其線性組合。

---

習 題 2-3 一﹑基本題

1. 設函數 f（x）＝ax²＋bx＋c 通過（0，1）﹐



 1，5 2 



﹐



 －1，－1

2 



三點﹐試求 a﹐b﹐c 之值。

2. 已知一圓過三點（－1，7）﹐（3，5）﹐（4，2）﹐試求此圓的方程式。

◎3. 用克拉瑪公式解



 x＋ y＋2z＝1 2x－ y－ z＝1 3x＋2y＋4z＝3

。

◎4. 解下列兩方程組﹐並判斷其所代表的三平面之間的關係：

(1)



 x－2y＋ z＝3 3x－ y＋2z＝1 7x－4y＋5z＝4

。 (2)



 x－ y＋2z＝4 2x－ y＋2z＝1 5x－3y＋6z＝6

二﹑進階題

◎5. 給定坐標空間中四個向量

a ＝（1，0，1）﹐ b ＝（1，0，－1）﹐ c ＝（0，1，0）與 d ＝（2，3，4）﹐

試問 d 是否可表成 x a ＋y b ＋z c 的線性組合？若可以﹐請求出

（x，y，z）的所有可能的解。

◎6. 若方程組



 x＋ y－2z＝1 2x－ y＋z＝2 x－2y＋3z＝a

有解﹐求 a 值及其解。

7. 設方程組



 x＋ y＋ z＝6 2x－ y＋3z＝9 3x－2y＋ z＝2

與方程組



ax＋by＋cz＝－1 ax－by＋cz＝3 bx＋cy－az＝－4

有相同的解﹐試求 a﹐b﹐c 之值。

◎8. 已知平面 E1：2ay＋z＝0﹐E2：x＋y＋az＝b﹐E3：（1－a）x＋7y＝1﹐

a﹐b 為實數﹐若三平面的交點不只一個﹐試求 a﹐b 之值。

三﹑挑戰題

9. 有一個三位數﹐各位數字的和是 10﹐交換個位數字與百位數字後就比原數大 198﹐交換 十位數字與百位數字後就比原數小 90﹐試求此三位數。