16 鴿籠原理（抽屜原理）
如果你家有四個人，卻僅有三個房間，那麼至少有一個房間要住兩個人以上；或者你買 了五樣東西共花了一百零一元，那麼這五樣東西中，至少有一樣的價值超過二十元。諸 如此類的簡單算術稱為鴿籠原理（或抽屜原理），所以鴿籠原理是我們日常生活中常會 碰到的基本現象。本節的主要目的，就是要在適當的數論及幾何問題上引進鴿籠原理，
看是否能得到一些不顯然或者是意想不到的結果。
16.1 鴿籠原理（抽屜原理）
定理 16.1(鴿籠原理) 試證明
(1) 將n 個東西分成m 類。若n m 1，則至少有一類東西的數目大於或等於 2。
(2) 將n 個東西分成m 類。若nrm1，則至少有一類東西的數目大於或等於r1。
【証明】這原理的證明是很明顯的，理由是將 n 個東西放在 m 個抽屜裡。若nrm1， 則至少有一抽屜放了(r1) 個東西以上。
16.2 鴿籠原理的算數應用
如果 x 是一個實數，我們將 x 表為一個整數與一個小於 1 的正小數的和，並用符號{ }x 代 表這個正小數。例如
2.345 2 0.345 0.345, 1.62 2 0.38 0.38,
2 1 2 1 2
{ } {
1.
} ( ) { }
x x x
y y y
z z z
定理 16.2 如果 N 是一個正整數，是一個無理數。試證明可以找到 ,m n 使得 0 m n 1.
N
【証明】因為不是有理數，所以 n（ n 是不為零的整數）的小數部份不為零。
現在將(0, 1) 區間均分成 N 等分，即
1 1 2 1 0, , , , , N ,1 .
N N N N
根據鴿籠原理知道：底下N1個數 1 , 2 , ,
{ } { } {N} {(, N 1) } (0, ) 1 至少有 2 個落在同一區間，並假設正整數
1 2
1 n n N 1 使得
1 , 2
{n} {n} 落在同一區間，則
1 1 1
2 2 2 1 2 1 2
1 2
{ }
{ } | ( ) ( ) |
|{ } { }
1 .
| 1 n m n
n m n m m n n
N n n
N
因此可以找到整數mm1m2, n n1 n2或m (m1m2), n n1 n2使得 0 m n 1.
N
16.3 羅瑟貝利猜想
羅瑟貝利猜想是指：任意不被 5 整除的正整數 n 都存在至少一個正整數 m 使得 mn 的各 位數字不是 6 就是 7。例如n 23時，我們取m 29得到 29×23 = 667。
在 1990 年時，羅瑟貝利猜想已被多位數學家解決9 10（讀者是否有自己的解法呢）。在 這節裡，我們將證明一個較簡單的版本如下：
定理 16.3 任意正整數 n 都存在至少一個正整數 m 使得 mn 的各位數字不是 1 就是 0。(例 如：n7 時可取m143 得到 143× 7=1001)
我們考慮下列n1個數（把它們想成n1隻鴿子）
1
1,11,111, ,111 1,111 1
n n
被 n 除之所得餘數（餘數相同者表示住在同一個籠子）。因為有n1個正整數，所以根 據鴿籠原理知道：至少有兩個數被 n 除之，餘數一樣。設此兩數為
111 1, 111 1;
i j
a b i j 則
( ) 111 1000 0
j i i
n b a
∣ 得證。
9 G. Berzsenyi, The Roseberry conjecture, Quantum (May 1990).
10 G. Berzsenyi, At siexes and sevens, Quantum (November 1990).
習題 16.1 阿山的家是一個 3 4 平方單位的矩形。若阿山生了六個小孩，則證明至少有 兩個小孩的距離不大於 5 單位。
習題 16.2 十七位科學家中每一位和其他人都通信。在他們的信件往來中僅僅討論三個 題目，而每兩位科學家僅討論一個題目。證明至少有三位科學家，他們彼此 討論的問題都一樣。11
11先固定一位科學家。
習題 16.3 在半徑為 1 的圓上畫一個正方形及一個正三角形。若圓周上的這七個頂點不 相同，則證明至少有兩個頂點所構成的弧長不大於
12
。
習題 16.4 單位長的正方形內任意擺放若干個圓（圓半徑可以不相等）。若這些圓的周 長和為 7，則證明：可以畫一條與正方形邊平行的線且此線至少與三個圓相 交。
習題 16.5 如果 ,N p 是正整數， q 為整數，是一個無理數。證明可以找到整數 ,m n 使 得
1 . m n q
p N
習題 16.6 設 m 為正整數且正整數17 m 的各位數字不是 1 就是 0。試求 m 的最小值為 何？
習題 16.7 設 m 為正整數且正整數 29 m 的各位數字不是 1 就是 0。試求 m 的最小值為 何？
習題 16.8 在 7 3 的矩形棋盤上任意放置黑白兩種棋子（如下圖）每個格子都必須擺放 棋子。試證明：必可在棋盤上畫出一個小矩形（矩形的四個頂點所在的格子 都不一樣，也就是矩形的長與寬都大於一格）使得四個頂點所在的格子所擺 的棋子都是同一種顏色（如下圖所示 3 2 的小矩形）。
習題 16.9 在一個邊長皆為正整數的矩形撞球台 ABCD 中，其中 , , , , ,A B C D E F 為此撞球 台的六個洞（ ,E F 分別是線段 BC 與 AD 的中點）且BC2AB。一球O 從 A 點撞出，第一次碰到撞球台的邊 BC ，離 B 點的距離為，假設此球除非進 洞否則此球會在撞球台上不停的跑。試問
(1) 球 O 會進洞的充分必要條件是什麼？
(2) 若球 O 不會進洞則以 A 點為圓心，任意小的正數為半徑畫一圓；證明此
球會碰撞此圓內撞球台的邊無限多次。
(3) 若球O 不會進洞，則此球碰撞此撞球台的點所構成的集合是稠密（dense）
於整個撞球台的邊。（本小題超過高中範圍）
動手玩數學
在 7 7 的棋盤上（共有 49 個方格）。當一位國王站在某一個格子內時，以此格子為中心 的平行、垂直及兩條對角線上的格子都是此國王管轄的範圍。請問：至少需要幾位國王，
才有辦法管轄整個棋盤（注意：非國王所在的方格可以由兩個以上的國王共管，但是國 王所在的方格不能由兩個以上的國王共管，也就是王不見王的意思）。例如下圖是三個 國王管轄 4 4 棋盤的情形：
挑戰題
證明：平面上任一凸 2n 邊形的對角線中，至少有一條與此多邊形的所有邊都不平行。12
12計算對角線數目，再利用反證法及鴿籠原理將對角線分配到與它平行的邊上。本問題 原本是很難的題目，但是在鴿籠原理的使用之下，變為容易。
正方形內放置點的猜想
“正方形內放置點問題”一直是幾何學上很有趣卻很難的問題。所謂“正方形內放置點
問題”是說：在單位長的正方形內（含邊）放置相異的 n 個點，應該如何放置才能使此 n 個相異點中最接近的兩個點距離最大，設此最大距離為d 。很明顯的，n n2時，將兩 點放置在此正方形的對角線的兩端則得到最大的距離 2 （任何其它兩點的擺設均得不 到此距離），所以d2 2；同理n4時，將四點放置在此正方形的四個頂點則得到d4 1。 事實上，數學家已經知道的d 有如下： n
2 3
4 5
6 7
8 9
14 16
25
2, 6 2,
1, 2,
2 13, 4 2 3, 6
6 2 1
, ,
2 2
6 2 1
, ,
3 3
1. 4
d d
d d
d d
d d
d d
d
至於d 僅知道它的近似值約為 0.421。當 n 值很大時，數學家們可以證明10 d 的值約與 n
4
2 3 n
的值接近。（聰明的讀者是否能證明d3 6 2呢？）
