目 录

———伽利略

一种科学 只 有 在 成 功 地 运 用 数 学 时 ,才算达 到完善的地步 .

———马克思

致 同 学

亲爱的同学,你感到高中阶段的学习生活有趣吗?

我们知道,数学与生活紧密相连.数学可以帮助我们认识世界, 改造世界,创造新的生活.数学是高中阶段的重要学科,不仅是学习 物理、化学等学科的基础,而且对我们的终身发展有较大的影响.

面对实 际 问 题,我们要认真观察、实验、归纳,大胆提出猜想.为 了证实或推翻提出的猜想,我们要通过分析,概括、抽象出数学概念, 通过探究、推理,建立数学理论.我们要积极地运用这些理论去解决 问题.在探究与应用过程中,我们的思维水平会不断提高,我们的创 造能力会得到发展.在数学学习过程中,我们将快乐地成长.

考虑广大同学的不同需要,本书提供了较大的选择空间.

书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、回 顾等内容构成一个完整的体系.它体现了教材的基本要求,是所有学 生应当掌握的内容.相信你一定能学好这部分内容.

本书还设计了一些具有挑战性的内容,包括思考、探究、链接,以 及习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等,以激发你探索数学的兴 趣.在掌握基本内容之后,选择其中一些内容作思考与探究,你会更 加喜欢数学.

目 录

第 1章

1.1

1.2

1.3

空间几何体……… 5

点、线、面之间的位置关系 ……… 21

空间几何体的表面积和体积 ………53

第 2章

2.1

2.2

2.3

直线与方程 ……… 77

圆与方程……… 107

空间直角坐标系……… 118

附 录

附录1 本章测试答案与提示 ……… 131

A ∈a 点 A 在直线a 上 A ∉a 点A 不在直线a 上 A ∈α 点A 在平面α 内 A ∉α 点A 在平面α 外

α∩β=a 平面α和平面β 的交线是a a ⊂α或a ⫋α 直线a在平面α 内

a ⊄α或a ⊈α 直线a不在平面α 内

a ∩b= A 直线a 和直线b 相交于点A a ∩α= A 直线a 和平面α 相交于点A a ∥α 直线a 平行于平面α

α∥β 平面α和平面β 互相平行 a ⊥α 直线a 垂直于平面α

α AB β(或α l β) 棱为AB,面为α,β的二面角(或棱为l,面为 α,β的二面角)

α⊥β 平面α和平面β 互相垂直

kl(或k^AB) 直线l的斜率(或直线 AB 的斜率) AB 或|AB| 线段AB 的长度

O xyz 空间直角坐标系

第 1章 立体几何初步

———牛顿

从土木建筑到家居装潢,从机械设计到商品包装,从航空测绘到 零件视图……空间图形与我们的生活息息相关.

例如,下面是某居室的设计图和中国“神舟五号”载人飞船升空 时的场景,其中蕴含了丰富的空间图形.

空间图形的研究非常重要.例如,如何检查墙面或旗杆是否与地 平面 垂 直? 如 何 刻 画 人 造 地 球 卫 星 轨 道 平 面 与 赤 道 平 面 所 成 的

“角”? 要解决这类问题,就要用到空间图形的相关知识.

在本章中,我们主要解决下面的问题:

● 空间几何体是由哪些简单几何体组成的?

● 如何描述和刻画这些简单几何体的形状和大小?

● 构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系?

1. 1 ^{空间几何体}

复杂的几何体,通常是由一些简单几何体(如柱、锥、台、球)组合 而成的.

● 柱、锥、台、球分别具有怎样的结构特征?

● 如何在平面上表示空间几何体?

下面我们先从直观上加以讨论.

1. 1. 1 棱柱、棱锥和棱台

● 仔细观察下面的几何体,它们有什么共同特点?

图1 1 1

本节所 说 的 多 边 形 包 括 它 的 内 部.将 一个图 形 上 所 有 的 点 按某一 确 定 的 方 向 移 动 相 同 的 距 离 就 是 平移.

图1 1 1(1)和图1 1 1(3)中的几何体分别由平行四边形和 五边形沿某一方向平移而得(图1 1 2).

图1 1 2

思 考

平移前 后 的 两 个 面互相平行.

一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体 叫做棱柱(prism).平移起止位置的两个面叫做棱柱的底 面(base), 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面(lateralface).

图1 1 3和图1 1 4给出了棱柱中一些常用名称的含义.

图1 1 3 _{图1 1 4}

底面为 三 角 形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四 棱柱、五棱柱……例如,图1 1 3为三棱柱,图1 1 4为六棱柱, 并分别记作棱柱ABC A'B'C'、棱柱 ABCDEF A'B'C'D'E'F'.

我们发现,棱柱具有如下特点:

两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形.

● 下面的几何体有什么共同特点? 与前面的图1 1 1进行对 比,前后发生了什么变化?

图1 1 5

图1 1 1 中 各 棱 柱 的 一 个 底 面 收 缩 为 一 个 点 时,可 得 到 图 1 1 5.

当棱 柱 的 一 个 底 面 收 缩 为 一 个 点 时,得 到 的 几 何 体 叫 做棱 锥 (pyramid).

与棱柱相仿,图1 1 6给出了棱锥中一些常用名称的含义.

仿 照 棱 柱,说 出 三棱锥、四棱锥、五棱 锥……的含义.

图1 1 6

图1 1 6中的四棱锥可记作棱锥S ABCD.

我们发现,棱锥具有如下特点:

底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.

如图1 1 7,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个 几何体,一个仍然是棱锥,另一个我们称之为棱台(truncatedpyramid).

即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.

图1 1 7 例1 画一个四棱柱和一个三棱台.

解 如图1 1 8,画四棱柱可分三步完成:

第一步 画上底面———画一个四边形;

第二步 画侧棱———从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;

第三步 画下底面———顺次连结这些线段的另一个端点.

被遮挡 的 线 要 画 成虚线.

图1 1 8

如图1 1 9,画三棱台的方法是:首先画一个三棱锥,在它的一 条侧棱上取一点,然后从这点开始,顺次在各个侧面内画出与底面对 应边平行的线段,最后将多余的线段擦去.

图1 1 9

多面体 有 几 个 面 就 称 为 几 面 体,如 三 棱锥是四面体.

棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体.由若干个 平面多边形围成的几何体叫做多面体(polyhedron).在现实世界中,存 在着形形色色的多面体,如食盐、明矾、石膏等的晶体都呈多面体形状 (图1 1 10).

图1 1 10

练 习

(第1题)

(第2题)

2.如图,三棱镜的模型是一个三棱柱,请指出该三棱柱的底面和侧棱.

3.画一个三棱锥和一个四棱台.

4.下面两个几何体是棱台吗? 简述理由.

(第4题)

5.多面体至少有几个面? 这个多面体是怎样的几何体?

6.画一个五面体.

1. 1. 2 圆柱、圆锥、圆台和球

● 下面的几何体与多面体不同,仔细观察这些几何体,它们有什 么共同特点或生成规律?

图1 1 11

这类几何体都可以看做是由一个平面图形绕某一直线旋转而成的. 例如,图1 1 11(1)中的几何体是矩形绕其一边旋转而成的几 何体.

思 考

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂 直于底边 的 腰 所 在 的 直 线 旋 转 一 周,形 成 的 几 何 体 分 别 叫 做圆 柱 (circularcylinder)、圆 锥(circularcone)、圆 台(circulartruncated cone),这条直线叫做轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底 面.不

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面,无论旋转到什么位置,这条 边都叫做母线(图1 1 12).

图1 1 12 仿照图1 1 12

(3),在其余各图中标 出 相 应 的 轴、母 线 和 底面.

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球 面 (sphere),球面围成的几何体叫做球体(spheroid),简称球.

图1 1 12中的圆柱、圆锥、圆台和球可分别记作圆柱 OO'、圆 锥SO、圆台OO'和球O.

一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形 成的曲面叫做旋转 面(图1 1 13),封闭的旋转面围成的几何体称 为旋转体.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.

图1 1 13

图1 1 14

例1 如图1 1 14,将直角梯形 ABCD 绕AB 边所在的直线旋转 一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的?

解 这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的,如图1 1 15.

图1 1 15

从例1看出,一些复杂的几何体是由简单几何体组合而成的.

例2 指出图1 1 16、图1 1 17中的几何体是由哪些简单几何 体构成的.

图1 1 16 _{图1 1 17}

解 图 1 1 16 中 的 几 何 体 是 由 一 个 六 棱 柱 挖 去 一 个 圆 柱 所 构 成的.

图1 1 17中的几何体可以看做是由一个长方体割去一个四棱 柱所构成的,也可以看做是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 (图1 1 18).实际上,图1 1 17也是一个柱体,它的底面为一个 凹多边形.

图1 1 18

思 考

练 习

(第1题)

(第2题)

2. 如图,将 ▱ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪 些简单几何体构成的?

3.充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?

4.用厚纸按如下三个图样画好后剪下,再沿图中虚线折起来粘好,得到的分别 是什么几何体? (保存好所做的模型,为下一节课作准备)

(第6题)

(第4题)

5.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1cm,2cm,高为3cm,求该圆台的 母线长.

6.如图,将平面图形ABCDEFG 绕AG 边所在的直线旋转一周,作出由此形成 的几何体,并指出该几何体是由哪些简单几何体构成的.

1. 1. 3 中心投影和平行投影

物体在灯光或日光的照射下,就会在墙壁或地面上产生影子,这 是一种自然现象.投影(project)就是由这类自然现象抽象出来的.生 活中有许多利用投影的例子,如手影表演、皮影戏等(图1 1 19).

图1 1 19

投影是光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在 该面上得到图形的方法.

中心投 影 也 称 透 视投影.

投射线交于一点的投影称为中心投影,如图1 1 20所示.

图1 1 20

中心投影形成的 直 观 图 能 非 常 逼 真 地 反 映 原 来 的 物 体,因此主 要运用于绘画领 域,也常用来概括地描绘一个结构或一个产品的外 观.由于中心投影的投射中心、投影面和物体的相对位置改变时,直 观图的大小和形 状 亦 将 改 变,因此工程制图或技术图样一般不采用

中心投影,而采用平行投影.

投射线互相平行 的 投 影 称 为平 行 投 影,平行投影按投射方向是 否正对着投影面,可分为斜投影和正投影两种,如图1 1 21所示.

图1 1 21

本节主要学习利 用 正 投 影 绘 制 空 间 图 形 的 三 视 图,并能根据所 给的三视图了解该空间图形的基本特征.

视图(view)是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.

光线自物体的前面向后投射所得的 投 影 称 为主 视 图或正 视 图,自上 向下投射所得的投影称为俯视图,自左向右投射所得的投影称为左 视图,用这三种视图刻画空间物体的结构,我们称之为三 视 图,如图 1 1 22所示.

图1 1 22

如 图1 1 23,画三 视 图 时 应 注 意:主 视 图 与 左 视 图 的 高 要 保 持 平 齐,主视 图 与 俯 视 图 的 长 应 对 正,俯 视 图 与 左 视 图 的 宽 应 相 等.

图1 1 23

例1 画出下列几何体的三视图(图1 1 24).

分析 画三视图之前,先把几何体的结构弄清楚.图1 1 24(1)为 第10页练习第4题中的模型,图1 1 24(2)是由一个圆台和一个球 组成的几何体,图1 1 24(3)为一个圆柱和一个六棱柱的组合体.

在绘制三视图时,被遮挡的轮廓线要画成虚线.

图1 1 24

解 这三个几何体的三视图如图1 1 25所示.

图1 1 25

例2 如图1 1 26,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三 视图(单位:cm).

选 择 不 同 的 视 角,所 得 的 三 视 图 可 能 不 同.被 遮 挡 的 轮 廓线应画成虚线.

图1 1 26 _{图1 1 27} 解 按1∶2比例绘制的三视图如图1 1 27所示.

练 习

(第1题)

(第2题)

2.画出如图所示各几何体的三视图(左边几何体是第10页练习第4题中的模型).

3.一个圆锥的底面半径和高均为2cm,试画出该圆锥的三视图.

4.如图,下列几何体分别由三个相同的小正方体组成,试分别画出这两个几何 体的三视图.

(第4题)

1. 1. 4 直观图画法

正投影主要用于绘制三视图,在工程制图中被广泛采用.但三视 图的直观性较差,因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投 影(图1 1 28).

图1 1 28

在中心投影(透视)中,水平线(或铅直线)仍保持水平(或竖直), 但斜的平行线则 会 相 交(如左图中的铁轨),交点称为消 点.在图1 1 28(2),(3)中分别有一个和两个消点,水平线(或铅直线)仍保持水

平(或竖直).

中心投影(透视)虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图方 法比较复杂,又不易度量,因此在立体几何中通常采用斜投影来画空 间图形的直观图.我们先看两个具体的例子.

例1 画水平放置的正三角形的直观图.

画法 如图1 1 29,按如下步骤完成:

图1 1 29

第一步 在已知的正三角形 ABC 中,取AB 所在的直线为x 轴, 取对称轴CO 为y 轴.画对应的x' 轴、y' 轴,使 ∠x'O'y' = 45°.

第二步 在x' 轴上取O'A' = OA,O'B' = OB,在y' 轴上取 O'C' = 12OC.

第三步 连结 A'C',B'C',所得三角形 A'B'C' 就是正三角形 ABC 的直观图.

例2 画棱长为2cm 的正方体的直观图.

画法 如图1 1 30,按如下步骤完成:

图1 1 30

第一步 画水平放置的正方形的直观图 ABCD,使 ∠BAD = 45°,AB =2cm,AD =1cm.

图 画 好 后,擦 去 辅助线.

第 二步 过A 作z'轴,使 ∠BAz'=90°.分别过点B,C,D 作z' 轴的平行线,在z'轴及这组平行线上分别截取AA'=BB'=CC'=

DD' =2cm.

第三步 连结 A'B',B'C',C'D',D'A',得到的图形就是所求 作的正方体的直观图.

上面画直观图的方 法 叫 做斜 二 测 画 法(obliqueaxonometry),其 规则是:

(1)在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴交于O 点,再 取z轴,使 ∠xOz =90°,且 ∠yOz =90°.

(2)画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴,它们相交 于O',并使 ∠x'O'y'=45°(或135°),∠x'O'z' =90°,x'轴和y'轴所 确定的平面表示水平面.

(3)已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段,在直观图中分 别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.

(4)已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段,在直观图中保持原长 度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一半.

圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面.水平放置的圆的直观图应该 画成椭圆(图1 1 31).

图1 1 31

练 习

(第1题)

2.用斜二测画法画出下列水平放置的图形的直观图.

(第2题)

3.已知长方体的长、宽、高分别为3cm,2cm,2cm,试画出该长方体的直观图.

4.用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.

(第4题)

5.画出底面半径为1cm、高为3cm 的圆锥的直观图.

6.根据下面的三视图,画出相应的空间图形的直观图.

(第6题)

习题 1. 1

感受·理解

(第2题)

2.如图,将△ABC 绕BC 边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪 些简单几何体构成的? 画出这个几何体的直观图.

3.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的 底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔直径为1cm.分别按下列所指 正前方画出螺帽的三视图.

(第3题) 4.画出下列各几何体的三视图.

(第4题)

5.根据下面所给三视图,画出相应的几何体的直观图.

(第5题)

6.根据所给三视图,画出相应的空间图形的直观图.

(第6题)

7.已知圆锥的底面半径和高分别为2cm,3cm,求圆锥侧面上的点到底面圆 心的距离的最小值.

8.用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.

(第8题)

思考 ·运用

(第9题)

10.选择日常生活中的一个几何体,画出它的三视图和直观图.

探究 ·拓展

(第11题)

12.用一个平面截球得到一个截面,此截面一定是圆吗? 为什么?

13.某孔形样板如图所示,试设计一个塞子,使得它能堵住孔形样板上的每一 个洞.

(第13题)

阅 读 艺术家的透视法 ·年希尧的《视学》

透视法的起源 应 归 功 于 文 艺 复 兴 时 期 的 意 大 利 艺 术 家.这一时 期的艺术家们的 观 点 改 变 了,不再像中世纪那样把绘画和雕塑的目 的局限于为《圣经》作插 图、颂 扬 上 帝,而 是 把 描 绘 现 实 世 界 作 为 目 的.他们开始认真地研究如何在绘画中真实地再现自然风光和人物 情态.他们也热心研究几何,其目的是为了把三维的现实世界真实地 绘制在二维的画布上,由此产生了透视法.

意大利 数 学 家、艺术家阿尔贝蒂(Alberti,1404~1472)于1435 年发表《论绘画》,阐述了最早的数学透视法原理,引入了投射线和截 景等概念.他设想在人眼和景物之间插立一张玻璃平板.当眼睛(指 一只眼)向景物发出投射线时,由投射线和玻璃平板的交点所形成的 点集叫做一个截 景.截景给人的印象就如同景物本身一样.因此,如 果所作的画和截景一样,就会显得很逼真.阿尔贝蒂的透视法逐渐被 画家们采用并加以改进.

天才 艺 术 家 达·芬奇(LeonardodaVinci,1452~1519)学识渊 博,他十分重视数学的作用.他说:“一个人如果怀疑数学的极端可靠 性就是陷入混乱.”他认为大自然按照数学规律运转,自然界的力和 运动必须通过对数量的研究来探讨.只有紧紧地依靠数学,才能穿透 那不可捉摸的思想迷雾.他在绘画实践中,娴熟地运用了数学透视法 原理.他写了一本谈透视法的书《绘画专论》.书中认为一幅画必须是 实体的精确的再现,并坚信运用数学透视法能够做到这一点.他认为 绘画也是一种科学,因为它揭示了自然界的真实性.在达·芬奇的倡 导下,学习和应用透视法成为欧洲画家们的自觉行动.

中国清代宫廷画师 年 希 尧(? ~1738)从青年时代起就对数学和 制图技术有兴趣.他在北京时认识了一名意大利画家郎世宁(Giuseppe Castiglione,1688~1766).年希尧向他学习了透视知识,并且从他那

里得到一本讲透 视 法 的 书,爱不释手.经过深入钻研,他不仅洞悉原 著,还产生了一些自己的创见.于是他以原著为基础,加入自己的见 解,并补充了大量的图形,写成了《视学》一书,于1729年出版.

《视学》出 版 之 后,年 希 尧 觉 得 “终 不 免 于 肤 浅 ”,于 是 继 续 研

究.他 一 边 和 郎 世 宁“往 复 再 四 ,究 其 源 流”,一 边 从 中 国 古 籍 中 寻 找 相 关 资 料.经“苦 思 力 索 ,补 缕 五 十 余 图 ,并 附 图 说”,于 1735 年 出 了 修 订 版.

《视学》一书最精彩的部分是图形.图形分为两大类:直观图(立 体图)和平面图.直观图从画法原理上看又分轴测图和透视图,平面 图分二视图和三视图,其原理和现代工程制图完全一致.年希尧对于 透视原理论述清楚,对于投影关系也处理得很好,他想像一个物体悬 在空中,各点投影用虚线连结,一看就知道平面上的某个点是物体上 哪个点的投影.

中国古籍中也有立体图和平面图的画法,始于东汉,现在能看到 的如北宋 时《武经总要》的兵器图、《新仪 象 法 要》中 的 天 文 仪 器 图、

《营造法式》中的建筑图等,而且画得越来越好,但是总的来说还比较 粗糙,缺乏透视原理的说明,因而显得不够科学.因此,年希尧的《视 学》在中国是前无古人的;在世界上也堪称早期画法几何的代表作, 比法国数学家蒙日(Monge,1746~1818)于1799年出版的名著《画 法几何学》早70年.

1. 2 ^点 、线、面之间的位置关系

在上一节,我们已经对简单的几何体有了直观的认识.简单的几 何体是由空间的 点、线、面所构成的,本节我们将对点、线、面的位置 关系进行讨论.

● 空间的点、直线和平面具有怎样的位置关系?

● 如何用数学语言来表述和研究这些位置关系?

1. 2. 1 平面的基本性质

用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定,将一把直尺置于桌 面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整,为什么?

椅子放不稳,是地面不平还是椅子本身有问题?

上面的问题都和平面的基本性质有关.那么,

● 平面有哪些基本性质? 平 面 没 有 厚 薄,

是无限延展的.

广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一 样,平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.平面通常用平行四 边形来表示,当平面水平放置的时候,一般用水平放置的正方形的直 观图作为平面的直观图(图1 2 1).

平面通常用希腊字母α,β,γ,…表示,也可以用平行四边形的两 个相对顶点的字母表示,如图1 2 1中的平面α、平面AC 等.

图1 2 1 _{图1 2 2}

在生产与生活中,人们经过长期的观察与实践,总结出关于平面 的三个基本性质.我们把它们当做公理,作为进一步推理的基础.

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直 线上所有的点都在这个平面内(图1 2 2).

这时我们说直 线 在 平 面 内,或者说平面经过直线.“将一把直尺 置于桌面上,通过是否漏光就能检查桌面是否平整”,就是基于这个 基本性质.

空间中点、直线、平面的位置关系,可以借用集合中的符号来表 示.例如,在长方体ABCD A1B1C1D1中(图1 2 3):

位 置 关 系 符 号 表 示

点P 在直线AB 上 P ∈ AB 点C 不在直线AB 上 C ∉ AB

点M 在平面AC 内 M ∈ 平面 AC 点A1不在平面AC 内 A1∉ 平面 AC 直线AB 与直线BC 交于点B AB ∩BC =B

直线AB 在平面AC 内 AB ⊂ 平面 AC 直线AA1不在平面AC 内 AA1⊄ 平面 AC

图1 2 3 _{图1 2 4} 这样,公理1就可以用符号表示为(图1 2 2):

A ∈α

B ∈α ⇒AB ⊂α.

公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共 点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线(图1 2 4).

若两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条公共直 线叫做这两个平 面 的交 线.教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一 个公共点,那么它们就相交于过这个点的一条直线.

公理2可用符号表示为(图1 2 4):

P ∈α

P ∈β ⇒α∩β=l且P ∈l.

公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (图1 2 5).

确 定 一 个 平 面 的 含义 是 有 且 只 有 一 个 平面.

“用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定”、“照相机支架只需 三条腿就够了”都是基于这个基本性质.公理3也可简单地说成,不共 线的三点确定一个平面.

过不共线三点A,B,C 的平面(图1 2 5)通常记作“平面ABC”.

图1 2 5 _{图1 2 6} 根据上述公理,可以得出下面的推论:

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个 平面(图1 2 6).

已知:直线l,点A∉l(图1 2 6).

求证:过直线l和点A 有且只有一个平面.

分析 先在直线l上任取两点B,C,这样 A,B,C 三点就确定一个 平面,再证明l在这个平面内.

证 在直线l上任取两点B,C.因为点 A 不在直线l 上,根据公理3, 经过不共线三点A,B,C 有一个平面α.

因为B∈α,C∈α,所以根据公理1,l⊂α,即平面α经过直线l 和 点A.

因为B,C 在l 上,所以经过直线l和点A 的平面一定经过点A, B,C.

于是再根据公理3,经过不共线的三点A,B,C 的平面只有一个, 所以经过直线l和点A 的平面只有一个.

类似地,我们可以得出下面两个推论:

推 论 2 经 过 两 条 相 交 直 线 ,有 且 只 有 一 个 平 面 (图 1 2 7).

图1 2 7

图1 2 8

推 论 3 经 过 两 条 平 行 直 线 ,有 且 只 有 一 个 平 面 (图 1 2 8).

图1 2 9

如图1 2 9,用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两 根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一平面内,否则就不在同一 平面内,其依据就是推论2.

例1 已知:A ∈l,B ∈l,C ∈l,D ∉l(图1 2 10).

求证:直线 AD,BD,CD 共面.

空间若干点或直 线 都 在 同 一 个 平 面 内,就称它们“共面”.

分析 因为直线l与点D 可以确定平面α,所以只需证明 AD,BD, CD 都在平面α 内.

图1 2 10

证 因为 D ∉l,所以l与D 可以确定平面α(推论1).

因为A ∈l,所以 A ∈α,又 D ∈α,所以 AD ⊂α(公理1).

同 理,BD ⊂α,CD ⊂α,所以AD,BD,CD 在同一平面α内,即它 们共面.

例2 如图1 2 11(1),在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,P 为棱 BB1的中点,画出由 A1,C1,P 三点所确定的平面α与长方体表面的

交线.

图1 2 11

分析 因为点 P 既在平面α 内又在平面AB¹ 内,所以点 P 在平面α 与平面AB1 的交线上.同理,点A1 在平面α 与平面AB1 的交线上. 因此,PA1就是平面α与平面AB1的交线.

作法 连结 A¹P,PC1,A1C1,它们就是平面α与长方体表面的交线 (图1 2 11(2)).

练 习

2.用符号表示下列语句:

(1)点A 在直线l上,l在平面α 内;

(2)平面α和平面β 的交线是直线l,直线m 在平面α 内;

(3)点A 在平面α 内,直线l经过点A,且直线l在平面α 外;

(4)直线l经过平面α 外一点M .

3.画图表示下列语句(其中P,M 表示点,l,m 表示直线,α,β表示平面):

(1)P ∈l,P ∈/α,l∩α= M;

(2)α∩β=m,P ∈α,P ∈/m;

(3)l⊄α,l⊂β;

(4)P∈α,P∈β,α∩β=m.

4.用符号表示“点A 在直线l 上,l在平面α 外”,正确的是( ).

A.A∈l,l∉α B.A∈l,l⊄α C.A⊂l,l⊄α D.A⊂l,l∉α 5.下列叙述中,正确的是( ).

A.因为P∈α,Q∈α,所以PQ∈α

B.因为P∈α,Q∈β,所以α∩β=PQ

C.因为 AB⊂α,C∈AB,D∈AB,所以CD∈α D.因为 AB⊂α,AB⊂β,所以α∩β=AB

6.若A∈α,B∉α,A∈l,B∈l,那么直线l与平面α 有多少个公共点?

7.请指出下列说法是否正确,并说明理由:

(1)空间三点确定一个平面;

(2)如果平面α与平面β 有公共点,那么公共点就不止一个;

(3)因为平面型斜屋面不与地面相交,所以屋面所在的平面与地面不相交.

8.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,P 为棱BB1的中点,则直线 A1P 与 平面ABCD 是否相交? 为什么? 直线 D1P 呢?

(第8题)

(第9题) 9.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,P 为棱BB1的中点.

(1)画出平面PAC 与平面ABCD 的交线;

(2)画出平面PA1C 与平面ABCD 的交线.

1. 2. 2 空间两条直线的位置关系

本 书 中,如 无 特 别 说 明,“两 条 直 线”

指 不 重 合 的 两 条 直 线,“两 个 平 面”指 不 重合的两个平面.

我们知道,平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种.那么,

● 空间两条直线的位置关系有哪些呢?

观察如图1 2 12所示的长方体 ABCD A1B1C1D1,可以看 出,空间两条直线除了相交、平行两种位置关系外,还有第三种位置 关系.例如,直线A1B1与BC、直线 A1B1 与CC1 等 既 不 相 交 又 不 平 行,即不同在任何一个平面内.又如,图1 2 13中机械部件蜗杆和 蜗轮的轴线a 和b,它们也不同在任何一个平面内.

图1 2 12 _{图1 2 13}

我们把不同在任 何 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 叫 做异 面 直 线(skew lines).

因此,空间两条直线的位置关系有以下三种:

位 置 关 系 共 面 情 况 公共点个数

相 交 直 线 在同一平面内 有且只有一个

平 行 直 线 在同一平面内 没 有

异 面 直 线 不同在任何一个平面内 没 有

1.平行直线

在平面几何中,同 一 平 面 内 的 三 条 直 线a,b,c,如 果a∥b 且 b∥c,那么a∥c.这个性质在空间是否成立呢?

如图1 2 14,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AA1 ∥ BB¹, CC1 ∥BB¹,通过观察可以看出 AA1∥CC¹.

又如图1 2 15,在圆柱OO1中,AA1∥OO1,BB1∥OO1,通过 观察也可以看出AA1∥BB¹.

图1 2 14 _{图1 2 15}

这 表 明,空 间 的 三 条 直 线 也 具 有 这 样 的 性 质,我 们 把 它 作 为 公理.

公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a,b,c三条直线 两两 平 行,可 以 记 为 a ∥b∥c.

用符号表示为:

a ∥b

b∥c ⇒a∥c.

思 考

例1 如图1 2 16,在长方体 ABCD A¹B1C1D1 中,已知 E,F 分别是AB,BC 的中点,求证:EF∥A¹C1.

图1 2 16

证 连结AC.在△ABC 中,因为E,F 分别是AB,BC 的中点,所以 EF ∥AC.

又因为AA1􀱀BB1,BB1􀱀CC1,所以 AA1􀱀CC1, 从而四边形AA1C1C 是平行四边形,所以 AC ∥ A¹C1. 从而EF ∥ A¹C1.

在平面中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且

方向相同,那么这两个角相等.这一结论在空间成立吗?

观察图1 2 16中的 ∠BEF 和 ∠B¹A1C1,这两个角的两边分 别平行,且有

∠BEF = ∠B1A1C1(因为 ∠BEF = ∠BAC = ∠B1A1C1).

一般地,我们有

定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且 方向相同,那么这两个角相等.

图1 2 17

已知:∠BAC 和 ∠B1A1C1的边AB ∥A¹B1,AC ∥A¹C1,并且 方向相同(图1 2 17).

求证:∠BAC = ∠B¹A1C1.

分析 为证明 ∠BAC = ∠B¹A1C1,我们构造两个全等三角形,使

∠BAC 与 ∠B1A1C1是它们的对应角. 证 分别在∠BAC 和∠B1A1C1的两边上截取

AD = A1D1,AE =A1E1, 连结AA1,DD1,EE1,DE,D1E1.

AB ∥ A¹B1

AD = A1D1 ⇒ 四边形 AA1D1D 是平行四边形

⇒AA1􀱀DD1

同理,AA1􀱀EE¹ ⇒DD1􀱀EE1⇒ 四边形DD1E1E是平行四边形

⇒ DE = D1E1

AD = A1D1

AE = A1E1

􀮦

􀮨

􀮧

􀪁􀪁􀪁􀪁 ⇒△ADE ≌ △A¹D1E1⇒∠BAC = ∠B1A1C1.

思 考

∠B¹A1C1之间有何关系?为什么?

例2 如图1 2 18,已知E,E1分别为正方体ABCD A1B1C1D1

的棱AD,A1D1的中点,求证:∠C¹E1B1 =∠CEB.

分析 设法证明E1C1∥EC,E¹B1 ∥EB.

图1 2 18

证 连结EE1.

因为E1,E 分别是A1D1,AD 的中点,所以A1E1􀱀AE, 故四边形A1E1EA 是平行四边形,从而 A1A􀱀E¹E.

又因为A1A􀱀B¹B,所以E1E􀱀B¹B,故四边形EE1B1B 是平行四

边形.

于是E1B1∥EB,同理,E¹C1 ∥EC.

又因为 ∠C1E1B1与∠CEB 两边的方向相同, 所以 ∠C1E1B1=∠CEB.

练 习

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB 与∠A1O1B1之间具有什么关系?

3.如图,已知AA',BB',CC'不共面,且AA' 􀱀 BB',BB'􀱀CC'.

求证:△ABC ≌ △A'B'C'.

(第3题)

(第4题) 4.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1.

(1)直线AC 与直线A1C1平行吗? 为什么?

(2)∠A1BC1与∠AD1C 是否相等? 为什么?

5.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,P,Q 分别为棱AA1和CC1的中点, 问:∠D1PB1与∠BQD 是否相等? 为什么?

(第5题)

(第6题)

6.如图,三棱锥S ABC 中,M,N,E,F 分别为棱SA,SC,AB,BC 的中 点,试判断直线 MN 与直线EF 是否平行.

图1 2 19

2.异面直线

如图1 2 19,在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1 中,直 线 AB 与 A1C 具有怎样的位置关系?

假设AB 与A1C 共面,由于经过点 C 和直线AB 的平面只能有 一个,所以直线 A1C 和AB 都应在平面ABCD 内,于是点 A1 在平面 ABCD 内,这与点 A1 在平面ABCD 外矛盾.因此,直线 AB 与A1C

是异面直线. 一般地,我们有

图1 2 20

定理 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内 不经过该点的直线是异面直线.

用符号表示为(图1 2 20):

若l⊂α,A ∉α,B ∈α,B ∉l,则直线 AB 与l是异面直线.

为 什 么a',b'所 成角的大小 与 点O 的 选择无关?

如图1 2 21,a 与b 是异面直线,经过空间任意一点 O,作直线 a'∥a,b'∥b,我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a,b所成的角.

图1 2 21

图1 2 22

例1 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体(图1 2 22).

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC¹是异面直线?

(2)求异面直线AA1与BC 所成的角;

(3)求异面直线BC1 与AC 所成的角.

解 (1)正方体共有12条棱,与 BC1 相交的棱有6条,与 BC1 平行 的棱不存在.因此余下的6条棱所在的直线分别与直线 BC1 是异面 直线,它们是 A1A,A1B1,A1D1,DA,DC,DD1.

(2)因为AD ∥BC,

所以 ∠A1AD 即为AA1与BC 所成的角.

因为 ∠A1AD =90°,

所以AA1 与BC 所成的角为90°.

(3)因为AA¹􀱀BB1􀱀CC1, 所以四边形AA1C1C 是平行四边形, 所以AC ∥ A¹C1,

所以BC1与AC 所成的角就是BC1与A1C1所成的锐角或直角. 连结A1B.

因为A1B,BC1与A1C1都是正方体的面对角线, 所以A1B =BC1= A1C1,

故 △A¹BC1是正三角形.

因此,BC1与A1C1所成的锐角为60°,即BC1 与AC 所成的角为60°.

若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直, 记作a ⊥b.

如图1 2 22中,AA¹ 与BC 所成的角为90°,就记作 AA1 ⊥ BC.

图1 2 13中,蜗杆和蜗轮的轴线是互相垂直的异面直线,它表 明由蜗杆到蜗轮的传动方向变了90°的角.

练 习

(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线;

(2)过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直.

(第2题)

2.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,哪些棱所在直线与直线 AA1是异面 直线且互相垂直?

3.如果两条直线a 和b 没有公共点,那么a 与b 具有怎样的位置关系?

4.如果直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,那么a 与b 具有怎样的位置关系?

5.在两个相交平面内各画一条直线,使它们成为:

(1)平行直线; (2)相交直线; (3)异面直线.

6.指出下列命题是否正确,并说明理由:

(第7题) (1)若a∥b,c⊥a,则c⊥b;

(2)若a⊥c,b⊥c,则a∥b.

7.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1. (1)求异面直线A1B 与C1C 所成的角;

(2)作出异面直线AC 与D1B 所成的角;

(3)作出异面直线A1C 与D1D 所成的角,并求出该角 的正切值.

8.下列图形中,能确定直线a,b是异面直线的是( ).

(第8题)

习题 1.2( 1)

感受·理解

(1)点A 在平面α 内,点B 在平面β 内,直线AB 在平面β 内;

(2)平面α和β 的交线为l,直线m 在平面α 内,且m 与l交于点P.

2.画出满足下列条件的图形(其中A,B,M 表示点,m,n,a,b表示直线,α, β表示平面):

(1)m ⊂α,n⊂β,α∩β=l,m ∥n∥l;

(2)A ∈α,B ∈β,AB ⊄α,AB ⊄β,α∩β=l;

(3)a⊂α,b⊂β,α∩β=l,a∩b= M.

(第3题) 3.如图,试根据下列要求,把被遮挡的部分画为虚线.

(1)AB 被平面α 遮挡;

(2)AB 没有被平面α 遮挡.

4.如果三条直线两两相交,那么这三条直线是否共面?

5.四条线段顺次首尾相接,所得的图形一定是平面图形吗?

为什么?

6.画“三个平面两两相交”的直观图.

7.已知空间不共面的四点,过其中任意三点可以确定一个平面,由这四个点能 确定几个平面?

8.如果a,b是异面直线,直线c与a,b都相交,那么由这三条直线中的任意 两条所确定的平面共有多少个?

9.在长方体ABCD A1B1C1D1中,经过A1D 与BB1能否作长方体的截面?为 什么?

10.如果AB,CD 是两条异面直线,那么直线 AC,BD 一定是异面直线吗? 为 什么?

思考·运用

12.如图,在正方体AC1中,A1E1=CE,A1F1=CF.求证:E1F1􀱀EF.

(第11题) (第12题) (第13题)

13.如 图,设 M 是 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 棱BB1 的 中 点,试 作 出 平 面 A1C1M 与平面ABCD 的交线.

14.分别与异面直线a,b都相交的两条直线c,d 一定异面吗? 为什么?

探究·拓展

(1)求证:四边形EFGH 是平行四边形;

(2)若AC=BD,求证:四边形EFGH 是菱形;

(3)当AC 与BD 满足什么条件时,四边形EFGH 是正方形?

(第15题)

(第16题)

16.如图,在 正 方 体ABCD A1B1C1D1 中,P 为 棱BB1 的 中 点,判 断 平 面 D1PC 与平面ABCD 是否相交.如果相交,作出这两个平面的交线.

1. 2. 3 直线与平面的位置关系

图1 2 23

我们已经研究了空间两条直线有三种位置关系,那么,

● 直线和平面可能有哪几种位置关系?

观察图1 2 23所示的长方体,可以发现,棱 A1B1(或 A1D1)所 在的直线与平面AC 没有公共点,对角线A1C(或棱AA1)所在的直线 与平面AC 有且只有一个公共点,棱 AD 所在直线与平面AC 有无数 个公共点.

如果一条直线a 和一个平面α 没有公共点,我们就说直线a与平 面α平行;如果直线a与平面α 有且只有一个公共点,我们就说直 线 a与平面α相交;如果直线a 与平面α 有无数个公共点,我们就说直

线a在平面α内.

一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种:

位置关系 直线a 在平面α 内 直线a 与平面α 相交 直线a 与平面α 平行 公 共 点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点

符号表示 a ⊂α a ∩α= A a ∥α

图形表示

我们把直线a与平面α 相交或平行的情况统称为直线在平面外, 记作a ⊄α.

1.直线与平面平行

在图1 2 23所示的长方体中,A1B1∥AB,当直线 AB 沿直线 BC 平移时,就形成了平面 AC,直线 AB 在平移过程中的每一个位置

都与A1B1平行,因此直线 A1B1与平面AC 没有公共点.

一般地,我们有

本章中出现的判 定 定 理 的 证 明 不 作 要求.

直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个 平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

图1 2 24 用符号表示为(图1 2 24):

a ⊄α b⊂α a ∥b

􀮦

􀮨

􀮧

􀪁􀪁􀪁􀪁 ⇒a∥α.

图1 2 25

例1 如图1 2 25,已知 E,F 分别是三棱锥A BCD 的侧棱 AB,AD 的中点,求证:EF∥平面BCD.

分析 设法在平面BCD 内找一条直线与EF 平行.

证 AE =EB

AF =FD ⇒EF ∥BD

EF ⊄ 平面BCD BD ⊂ 平面BCD

⇒EF ∥ 平面BCD.

如果一条直线与 一 个 平 面 平 行,那么这条直线是否与这个平面 内的任意一条直线都平行?

由直线与平面平 行 可 知,这条直线与这个平面内的任意一条直 线都没有公共点,所以它们只能平行或异面.

直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平 行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交 线平行.

图1 2 26

已知:l∥α,l⊂β,α∩β=m(图1 2 26).

求证:l∥m.

证 l∥α⇒l和α 没有公共点

m ⊂α ⇒l和m 没有公共点

l,m ⊂β ⇒l∥ m.

例2 一个长方体木块如图1 2 27(1)所示,要经过平面 A1C1内

一点P 和棱BC 将木块锯开,应该怎样画线?

分析 点 P 与BC 确定平面α,根据题意,应画出平面α 与长方体各 面的交线.

因为点P 既在平面α 内又在平面A1C1内,由公理2,平面α与平 面A1C1必相交于经过点P 的一条直线.设这条直线与 A1B1,C1D1

的交点分别为E,F.

由于BC∥B¹C1,故BC∥平面 A1C1,由直线与平面平行的性质 定理得BC∥EF.因此只要在平面 A¹C1 内过点P 作B1C1 的平行线 即可.

作法 在平面 A¹C1内,过点 P 作EF∥B¹C1,分别交 A1B1,C1D1于 E,F.

连结BE,CF,则 BE,CF 和EF 就是所要画的线(图1 2 27 (2)).

图1 2 27

例3 求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直 线平行,那么第三条直线也和它们平行.

图1 2 28

已知:平面α,β,γ,α∩β=l,α∩γ=m,β∩γ=n,且l∥m (图1 2 28).

求证:n∥l,n∥ m.

证 l∥ m l⊄γ

m ⊂γ

⇒l∥γ l⊂β β∩γ=n

􀮦

􀮨

􀮧

􀪁􀪁􀪁􀪁 ⇒n∥l.

同理,n∥m.

思 考

练 习

(1)如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行;

(2)过直线外一点有无数个平面与这条直线平行;

(3)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行.

2.给出下列条件:①l∥α;②l与α 至少有一个公共点;③l与α 至多有一个 公共点.能确定直线l在平面α 外的条件的序号是 .

3.已知直线a,b和平面α,下列命题中正确的是( ).

A. 若a∥α,b⊂α,则a∥b B. 若a∥α,b∥α,则a∥b

C. 若a∥b,b⊂α,则a∥α

D. 若a∥b,a∥α,则b∥α或b⊂α

4.如图,在长方体AC1的侧面和底面所在的平面中:

(1)与直线AB 平行的平面是 ; (2)与直线AA1平行的平面是 ; (3)与直线AD 平行的平面是 .

(第4题)

(第5题) 5.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1.

(1)直线AA1与平面BB1D1D 是否平行? 为什么?

(2)直线AA1与平面C1DB 是否平行? 为什么?

(第7题)

(3)直线B1D1与平面ABCD 是否平行? 为什么?

(4)直线B1D1与平面C1DB 是否平行? 为什么?

6.若两条直线a,b都平行于平面α,则a,b的位置关系如何? 分别画图说明.

7.如图,一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α 内,把这块矩形木板绕 AB 转动,在转动过程中,AB 的对边CD 是否都和平面α 平行? 为什么?

2.直线与平面垂直

观察圆锥SO(图1 2 29),它给我们以轴SO 垂直于底面的形 象.轴SO 与底面内的哪些直线垂直呢?

图1 2 29 _{图1 2 30}

由于圆锥SO 是由 Rt△SOC 绕直角边SO 旋转一周形成的,因 此SO 与底面内的每一条半径都垂直,从而SO 垂直于底面内的所有 直线.

为 什 么 轴 SO 垂 直于底 面 内 的 所 有 半 径,就有SO 垂直于底 面内的所有直线?

如图1 2 30,如果一条直线a与一个平面α 内的任意一条直线 都垂直,我们就说直 线a与 平 面α互 相 垂 直,记作a⊥α.直线a 叫做 平面α的 垂 线,平面α 叫做直 线a的 垂 面,垂线和 平 面 的 交 点 称 为 垂足.

由此可知,前面所说的正投影就是投射线垂直于投影面的投影.

思 考

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?

(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?

事实上,

你能证明这个结 论吗?

过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,过一点有且只 有一个平面与已知直线垂直.

从平面外一点引平面的垂线,这个点和垂足间的距离,叫做这 个 点到这个平面的距离.

图1 2 31

例1 求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另 一条也垂直于这个平面.

已知:a∥b,a⊥α(图1 2 31).

求证:b⊥α.

分析 只要证明b与平面α 内任意一条直线都垂直.

证 设 m 是α 内的任意一条直线.

a ⊥α

m ⊂α ⇒a ⊥ m

a ∥b ⇒b⊥ m,故b⊥α.

如图1 2 32(1),将一张矩形纸片对折后略为展开,竖立在桌 面上,我们可以观察到折痕与桌面垂直.如图1 2 32(2),从两个不 同的方向观察,旗杆都与水平线垂直,就可以判断旗杆与地面垂直.

图1 2 32

一般地,我们有

图1 2 33

直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

用符号表示为(图1 2 33):

若a⊥ m,a⊥n,m ∩n= A,m ⊂α,n⊂α,则a⊥α.

两根旗杆垂直于地面,给我们以旗杆平行的形象.

一般地,我们有

直线与平 面 垂 直 的 性 质 定 理 如 果 两 条 直 线 垂 直 于 同 一 个平面,那么这两条直线平行.

已知:a⊥α,b⊥α.求证:a∥b.

图1 2 34

分析 直接证明a∥b比较困难,我们采用反证法来证明.

证 如图1 2 34,假设b不平行于a,设b∩α=O,b' 是经过点O 与直线a平行的直线.

直线b与b' 确定平面β,设α∩β=c.

因为a⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c.

又因为b' ∥a,所以b' ⊥c.

这样在平面β内,经过直线c上同一点O,就有两条直线b,b' 与 c垂直,显然不可能.

图1 2 35

因此a∥b.

例2 已知:l∥α.

求证:直线l上各点到平面α的距离相等.

证 过直线l上任意两点 A,B 分别作平面α的垂线 AA',BB',垂 足分别为A',B'(图1 2 35).

因为AA' ⊥α,BB' ⊥α, 所以AA' ∥ BB'.

设经过直线AA' 和 BB' 的平面为β, 则β与α的交线为直线 A'B'.

因为l∥α, 所以l∥ A'B',

从而四边形A'B'BA 是平行四边形,

所以AA' = BB'.

即直线l上各点到平面α的距离相等.

一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到这个平面的 距离,叫做这条直线和这个平面的距离.

练 习

2.对于直线l,m,n,平面α,下列命题是否正确,试说明理由:

(1)若l⊥α,则l与α相交;

(2)若 m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;

(3)若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.

(第1题)

(第3题) 3.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1.

(1)直线 AB 与平面BCC1B1是否垂直? 为什么?

(2)直线 AC 与平面BB1D1D 是否垂直? 为什么?

(3)直线 A1C 与平面 ABCD 是否垂直? 为什么?

(4)直线 AB1与平面A1BCD1是否垂直? 为什么?

4.某空间图形的三视图如图 所 示,试 画 出 它 的 直 观 图,并 指 出 其 中 的 线 面 垂 直关系.

(第4题)

(第5题)

(第6题) 5.如图,在△ABC 中,M 为边 BC 的中点,沿AM

将△ABM 折起,使点B 在平面ACM 外.在什 么条件下直线AM 垂直于平面 BMC?

6.如图,已知PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B, 且α∩β=l,求证:l⊥平面 APB.

观察图1 2 36所示的长方体 ABCD A1B1C1D1,可以发现 A1B,A1C,A1D 虽然都和平面ABCD 相交,但都不与这个平面垂直.

图1 2 36 _{图1 2 37}

一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做 这个平面的斜线(obliqueline),斜线与平面的交点叫做斜 足,斜线上 一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.

如图1 2 37,过平面外一点 P 向平面α 引斜线和垂线,那么过 斜足Q 和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射影),线 段P1Q 就是斜线段PQ 在平面α 内的射影.

平面的一条斜线 与 它 在 这 个 平 面 内 的 射 影 所 成 的 锐 角,叫做这 条直线与这个平面所成的角.

可 以 证 明:PQ 与平 面α 内经过点Q 的直线 所 成 的 所 有 角 中,∠PQP1最小.

在图1 2 37中,∠PQP1 就是PQ 与α 所成的角.

一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线与 平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.

图1 2 38

例3 如图1 2 38,已知 AC,AB 分别是平面α 的垂线和斜线, C,B分别是垂足和斜足,a⊂α,a⊥BC.求证:a⊥AB.

分析 因为 AB⊂平面 ABC,所以只要证明a⊥平面 ABC.

证 AC ⊥α

a ⊂α ⇒a⊥ AC a ⊥BC AC ∩BC =C

􀮦

􀮨

􀮧

􀪁􀪁􀪁􀪁 ⇒a⊥ 平面ABC

AB ⊂ 平面 ABC ⇒a⊥ AB.

图1 2 39

例4 如图1 2 39,已 知 ∠BAC 在 平 面α 内,P∉α,∠PAB=

∠PAC.求证:点 P 在平面α 内的射影在∠BAC 的平分线上.

证 作PO ⊥α,PE ⊥AB,PF ⊥AC,垂足分别为O,E,F,连结O E,OF,OA.

PE ⊥ AB,PF ⊥ AC

∠PAE = ∠PAF PA = PA

􀮦

􀮨

􀮧

􀪁􀪁􀪁􀪁 ⇒Rt△PAE ≌ Rt△PAF⇒AE = AF.

PO ⊥α

AB ⊂α ⇒AB ⊥ PO AB ⊥PE PO ∩PE =P

􀮦

􀮨

􀮧

􀪁􀪁􀪁􀪁 ⇒AB ⊥ 平面PEO⇒AB ⊥OE.

同理,AC ⊥OF.

在Rt△AOE 和 Rt△AOF 中,AE = AF,OA =OA, 所以Rt△AOE ≌ Rt△AOF.

于是 ∠EAO = ∠FAO,

因此,点 P 在α 内的射影O 在 ∠BAC 的平分线上.

思 考

练 习

(1)与PC 垂直的直线有 ; (2)与AP 垂直的直线有 .

(第1题)

(第2题) 2.如图,已知正方体ABCD A1B1C1D1.

(1)求直线AA1与平面ABCD 所成的角;

(2)求直线AA1与平面BCC1B1所成的角;

(3)直线A1B 在平面ABCD 内的射影是哪条直线?

(4)直线A1C 在平面ADD1A1内的射影是哪条直线?

3.在正方体ABCD A1B1C1D1中,直线 AD1与平面ABCD 所成的角的大小 是 .

4.若直线a 与平面α 不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线( ).

A.只有一条 B.有无数条

C.是平面α内的所有直线 D.不存在

5.从平面外一点向平面引斜线段,如果斜线段的长相等,那么它们在平面内的 射影相等吗?

(第7题) 6.设菱形ABCD 所在平面外一点P,满足PA =PC,判

断直线AC 与平面PBD 是否垂直,并说明理由.

7.如图,在 正 方 体ABCD A1B1C1D1 中,O 为上底面 A1B1C1D1的中心.作出直线OC 与平面ABCD 所成

的角,并求出该角的正切值.

习题 1.2( 2)

感受·理解

(第1题) _(第2题)

2.如图,α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.

求证:CD ∥EF.

四个顶点不共面 的四边 形 叫 做 空 间 四 边形.

3.如图,E,F,G,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的 中点,求证:

(1)四点E,F,G,H 共面;

(2)AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH.

4.如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,E∈BC,F∈B1C1,EF∥C1C,点 M∈侧 面AA1B1B,点 M,E,F 确 定 平 面γ.试 作 出 平 面 γ 与 三 棱 柱 ABC A1B1C1表面的交线.

(第3题) (第4题) (第5题)

5.如图,在三棱锥S ABC 中,M,N 分别为△SAB 和△SBC 的重心.求证:

MN ∥ 平面 ABC.

6.将一本书打开后竖立在桌面α上(如图),P,Q 分别为AC,BE 上的点,且 AP =BQ.

求证:PQ ∥ 平面α.

(第6题)

(第7题) 7.如图,在正方体ABCD A'B'C'D'中,求证:AC⊥BD'.

8.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD.

(1)指出图中有哪些三角形是直角三角形,并说明理由;

(2)若PA=AD=AB,试求PC 与平面ABCD 所成角的正切值.

(第8题)

(第9题)

9.如图,AB 是圆O 的直径,PA 垂直于圆O 所在的平面,C 是圆O 上不同于 A,B 的任一点.求证:BC⊥平面PAC.

10.已知直线a∥平面α,直线b⊥平面α.求证:a⊥b.

11.在三棱锥P ABC 中,顶点 P 在平面ABC 内的射影是 △ABC 的外心, 求证:PA=PB=PC.

思考·运用

(第12题)

(第13题)

13.如图,在四棱锥P ABCD 中,M,N 分别是AB,PC 的中点,若ABCD 是 平行四边形,求证:MN∥平面PAD.

14.求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就 和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

15.在正方体ABCD A1B1C1D1中,求证:A1C ⊥ 平面 AB¹D1.

16.在三棱锥P ABC 中,点 P 在平面ABC 内的射影O 是△ABC 的垂心(三 角形三条边上的高所在的直线交于一点,这个点叫做这个三角形的垂心), 求证:PA⊥BC.

探究·拓展

(第17题)

底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体(parallelopiped),侧棱与底