1 指數函數的定義與特性

(1)

B2-1-2 指數函數及其圖形

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本節提要

本節介紹指數函數及其圖形特徵與相關應用,另述及指數不等式之解法。

1 指數函數的定義與特性 2 指數函數之圖形及其特徵 3 指數函數之應用

4 指數不等式

(2)

1 指數函數的定義與特性

重點

指數函數的定 義

形如f

x

=

a

^x

a O 0, a s 1, x 2 R 的式子, 稱為「以a為底的指數

函數」 (f : R / R^C)

[註]: 當a = 1時, f x = 1^x = 1 為常數函數(函數值不受變數x影響) 例如：f x = 2^x x 2 R 稱為「以2為底的指數函數」

指數函數的特 性

以a為底的指數函數f

x

= a^x a O 0, a s 1 具有f x₁

C

x₂ = f x₁

#

f x₂ 的特性

(3)

2 指數函數之圖形及其特徵

重點

指數函數之圖

形及其特徵 以a為底的指數函數 f

x

= a^x 之圖形特徵

a O 1 0 ! a ! 1

圖形全部皆位於x軸上方 E指數函數恆正 c x 2 R, a^xO 0 圖形必過點(0,1) Ef 0 = a⁰=

1

為遞增函數

(指數x愈大,乘方a^x愈大)

為遞減函數 (指數x愈大,乘方a^x

愈小)

圖形左浮貼x軸,右陡峭

(a愈大,圖形愈陡也愈貼)

圖形左陡峭,右浮貼x軸 (a愈小,圖形愈陡也愈貼)

圖形具上凹性 Ef x_{1 C}x₂

2 ! f x₁ Cf x₂ 2 f x = a^x 與 f x = a^{K x}= 1

a

x

的圖形對稱y軸(左右對稱)

(4)

例題

例題1A 指數函數的圖形 a O1

老師講解 學生練習

求作y =2^x x 2 R 的圖形 求作y = 4^x x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

Step-1先計算出"描圖樣本點"...

f := x/2

^x

M :=

x

K3 K2 K1

0

1 2 3

f(x)

1

8 1 4

1

2

1

2 4 8 (1.3.2.1.1.1.1)

Step-2 描點作圖...

K3 K2 K1 0 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

整理

f x = 2^x的圖形全部位於x軸上方(恆正) f x = 2^x的圖形過點(0,1)

f x = 2^x為遞增函數

f x = 2^x的圖形左浮貼x軸,右陡峭 f x = 2^x的圖形具上凹性

(5)

例題1B 指數函數的圖形 a O1

求作y = 3^x x 2 R 的圖形 求作y = 5^x x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

f := x/3

^x

M :=

x

K3 K2 K1

0

1 2 3

f(x)

1

27 1 9

1

3

1

3 9 27 (1.3.2.2.1.1.1)

x

K4 K2 2 4

K1 1 2 3 4 5 6

整理

f x = 3^x的圖形全部位於x軸上方(恆正) f x = 3^x的圖形過點(0,1)

f x = 3^x為遞增函數

f x = 3^x的圖形左浮貼x軸,右陡峭(比2^x

更陡更貼)

f x = 3^x的圖形具上凹性

(6)

例題2A 指數函數的圖形 0 !a !1

求作y = 1 2

x

x 2 R 的圖形 求作y = 1

4

x

x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

f := x/

1 2

x

M :=

x

K3 K2 K1

0

1 2 3

f(x)

8 4 2

1

2 1 4

1 8

(1.3.2.3.1.1.1)

x

K3 K2 K1 0 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

整理

f x = 1 2

x

的圖形全部位於x軸上方(恆正) f x = 1

2

x

的圖形過點(0,1) f x = 1

2

x

為遞減函數 f x = 1

2

x

的圖形左陡峭,右浮貼x軸 f x = 1

2

x

的圖形具上凹性 y =2^x與y = 1

2

x

的圖形對稱y軸

(7)

例題2B 指數函數的圖形 0 ! a ! 1

求作y = 1 3

x

x 2 R 的圖形 求作y = 1

5

x

x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

f := x/

1 3

x

M :=

x

K3 K2 K1

0

1 2 3

f(x) 27

9 3

1

3 1 9

1 27

(1.3.2.4.1.1.1)

x

K4 K2 0 2 4

K1 1 2 3 4 5 6

整理

f x = 1 3

x

的圖形全部位於x軸上方(恆正) f x = 1

3

x

的圖形過點(0,1) f x = 1

3

x

為遞減函數 f x = 1

3

x

圖形左陡峭右浮貼x軸(比 1 2

x

更陡更貼)

f x = 1 3

x

的圖形具上凹性

(8)

例題3 指數函數圖形應用

下圖為y = a^x, y = b^x, y = c^x, y = d^x四個函數 的圖形,試比較a, b, c, d四數的大小關係

觀察下圖,找出a之可能值為何?

(1)3 (2) 3

2

(3) 2 3

(4) 1 2

(5) 1 3

(9)

例題5A 指數函數圖形應用(含絕對值的指數函數)

求作y = 2^x x 2 R 的圖形 求作y = 3^x x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

Step-1 先計算出"描圖樣本點"...

f := x/2

^x

M := x

K3 K2 K1

0

1 2 3

f(x)

8 4 2

1

2 4 8 (1.3.2.7.1.1.1)

負的x和正的x的函數值一樣...

x

K3 K2 K1 0 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

整理

f x = 2^x的圖形全部位於x軸上方(恆正) (指數函數天生如此.

..)

f x = 2^x的圖形過點(0,1)

f x = 2^x的圖形對稱y軸(左右對稱)

(10)

例題5B 指數函數圖形應用(含絕對值的指數函數)

求作y = 2^{K x} x 2 R 的圖形 求作y = 3^{K x} x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

y =

2

^K^x =

1 2

x

...

f := x/2

^Kx

M :=

x

K3 K2 K1 0 1 2 3

f(x)

1

8 1 4

1

2 1 1 2

1 4

1 8

(1.3.2.8.1.1.1)

正的x和負的x的函數值一樣...

x

K3 K2 K1 0 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

整理

f x = 2^{K x}的圖形全部位於x軸上方(恆正) (指數函數天生如此...)

f x = 2^{K x}的圖形過點(0,1)

f x = 2^{K x}的圖形對稱y軸(左右對稱)

(11)

例題6 指數函數圖形應用(函數的疊合)

求作y =2^xC2^{K x} x 2 R 的圖形 求作y = 2^xK 2^{K x} x 2 R 的圖形

[簡答] : 略

詳解

f := x/2

^xC2^Kx

M :=

x

K3 K2 K1

0

1 2 3

f(x)

65

8 17

4 5

2

5 2

17 4

65 8

(1.3.2.9.1.1.1)

x

K3 K2 K1 0 1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8

整理

f x = 2^xC2^{K x}的圖形全部位於x軸上方(恆正) f x = 2^xC2^{K x}的圖形全部位於的圖形過點(0,2)

a

^x

Ca

^Kx

R 2

f x = 2^xC2^{K x}的圖形對稱y軸(左右對稱)

(12)

y = 2^x與y = 3x的圖形有幾個交點? y = 2^x與y = x的圖形有幾個交點?

[簡答] : 0個

例題8A 指數函數圖形應用(比大小)

比較下列各數的大小：

0.3 ^1.3, 0.3 ^0.3, 0.3 ^K0.3, 0.3 , 1

1.2 ^1.2, 1.2 ^0.2, 1.2 ^K0.2, 1.2 , 1

[簡答] :

1.2 ^K0.2! 1 ! 1.2 ^0.2! 1.2

! 1.2 ^1.2

例題8B 指數函數圖形應用(比大小)

0.5 ³, 0.5 ^1.5, 1

2 , 2^K2, 1

2 ^1.5, 2 ², 2 2 , 1

[簡答] :

2 ^1.5O 2 ²O 1 O 2 2

(13)

3 指數函數之應用

重點

指數在生物統 計上的應用

布袋蓮的培植或者是海藻的增生,其生長面積與時間的關係均可以指數函數表示.

在一細菌培養實驗室中, 若開始計算那一天的細菌數為m,此後每過一天細菌數 就變為r倍(增加

r K1

倍), 以開始那一天為準, 1天後的細菌數為m$r, 2天後的細 菌數為m$r², 3天後的細菌數為m$r³, 則x天後的細菌數為m$r^x, 代表...細菌數(

y

為天數(x)的函數,故其相對應的關係可以指數函數f

x

= m$r^x加以表示.

半衰期 物質衰變成原來一半所需的時間稱為"半衰期".

(14)

例題

例題9 指數函數之應用(生物統計)

在一實驗室中, 細菌數1天後變為a倍, 若3天後發現細菌數為200,000, 4.5天後發現細菌數為1,600,000. 試求：

(1)a之值

(2)5天後的細菌數

(3)幾天後的細菌數可達800,000?

在一實驗室中, 細菌數1天後增加a倍, 若 3天後發現細菌數為10⁶個, 4.5天後發現細菌數為8 # 10⁶個. 試求：

(1)a之值

(2)5天後的細菌數

(3)幾天後的細菌數可達1.024 # 10⁹個?

[簡答] : (1)a=3 (2)1.6 # 10⁷ (3)8天

(15)

例題10 指數函數之應用(生物統計)

經過長期的追蹤調查,某國家公園10年前有10隻熊,這10年來熊的數量一直符 合數學模式B t = 100

1 C9 # 3K0.1 t C 10 , 即t 0 % t % 10 年前熊的數量有B Kt 隻 .若未來熊的數量仍按照這個數學模式 成長(即t年後熊的數量約有B t 隻),則 (1)現在熊的數量有幾隻？

(2)再過幾年,熊的數量才會達到50隻？

例題11A 指數函數之應用(生物統計:半衰期)

若某種放射性元素1公克每經過1年只剩 下0.84公克,其餘轉化成其他物質,試問 此物質需要多少時間才會衰變成原來的 一半(其半衰期多長)?

已知一放射性元素在3.36 # 10⁴年後衰變為原來的1

4 , 求其經過多少年會衰變為原來 的一半(其半衰期多長)?

[簡答] : 1.68 # 10⁴年

(16)

例題11B 指數函數之應用(生物統計:半衰期)

放射性同位素碳14的半衰期約為6000 年,則碳14的量減少至原來的 1

8 需要多少時間？

(17)

4 指數不等式

重點

指數不等式 未知數出現在指數位置的不等式,稱為「指數不等式」.

a^xO a^y 0

x O y

(底數相同且大於1)

a^xO a^y 0

x ! y

(底數相同且小於1)

a

^xCa^Kx

R 2

(18)

例題

例題12A 指數不等式(底大於1)

解不等式2^{x2 C2x}O8

例題12B 指數不等式(底小於1)

解不等式 1 2

x2

O 1 4

例題13 指數不等式

解不等式4^xK2^xK2 O 0 解不等式9^xK4$3^xC3 O 0

[簡答] :

x ! 0 或 x O 1

(19)

例題14 指數不等式

解不等式2

2 x C2

! 9 $ 2^xK 2 解不等式2

2 x C 2

! 9 $ 2^xK 2

[簡答] : 2 ! x ! 1