劉太平院士演講一一
數學難、 數學美
演講 : 劉太平 整理 : 林桂暖
時間 : 民國 89 年 10 月 28 日 地點 : 中央研究院數學研究所
今天是中研 院院區開放日, 歡迎大家來 到我們數學所。
數學是人 類文明一個重要的科目, 美國 進大學必須考 SAT, 主要的兩個科目是數學 跟 語文, 數學的重要大家都不會懷疑, 大家都 承 認數學重要, 但對我來說數學真是難, 相信 大 部分的人都覺得數學難。 有時坐計程車, 司 機問我是做什 麼的, 我說是念數學的, 他多半 回 答: 數學很難。 今天我要說的是: 大家都 知 道數學難; 但有真的深刻的體會到數學的 難嗎?
我對數學有 興趣的時候, 是開始數一二 三, 我小時候, 有一次鄰居去參加學校的家長 會, 回來說: 我那已經念小學的四哥不會從 一數到一百, 我母親覺得很奇怪, 因為雖然我 母親不識字, 但她覺得數學很簡單, 一點都不 難。 這事卻不能怪我四哥 (他後來上台大機械 系), 因為鄉下地方沒人教過他數字, 於是我 母 親放下寶貴的農作時間, 來教我哥哥從一 數到 一百。 我坐在旁邊就跟著學, 覺得有趣:
從 一開始到十一, 然後就到二十一, 再到三 十 一, 一直有相似的地方然後再做變化, 於是 我從一數到九十九然後也可以從九十九數到 一, 之後我就可以一直數到一千, 覺得很有意
思, 有一天我母親和鄰居聊天說:「 我們家太 平可以讀數學。」 所以我這樣決定讀數學了。
數學的難我第一次感覺到是小學二年級的時 候, 那時候開始學乘法, 要背九九乘法表, 我 覺得很難, 因為乘法的概念很不明顯, 例如:
5 × 6 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 是5加了6次, 雖然乘法是加法的延伸, 但事實上它是一個 思想上的突破。 偉大的音樂家貝多芬因為不 會乘法, 在他的樂譜上寫滿加法來算錢, 乘法 是 一個偉大的發明。 乘法有一個有趣的性質, 我們來看圖 一的對角線,
九九乘法表
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81
圖一
46
2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16, 一直下去然後上下成對稱, 2 × 7 = 7 × 2, 4 × 6 = 6 × 4 等等 . . ., 有一個完全的對稱 關係, 我在背九九乘法表時一直在想著: 為什 麼它會成對稱呢? 我一個一個檢查 3 × 2 = 2×3, 一直到全部檢查完, 因此耽誤了背九九 乘法 表, 放學時還被老師留下來背完才可以 回家。 我發現很多人 覺得 3 ×7 = 7×3 是一 件很 自然的事情, 而很快就接受了, 但我覺得 一點都不自然, 3 × 7 = 7 × 3 是說乘法有交 換性, 就是 A×B = B×A, 交換性是數學上 的大事情, 102×204 = 204×102 用加要算 很久, 何況還有上千和上萬的數目, 所以說交 換性是 一件很奇妙的事情, 人們就對它習以 為常成 習慣, 但是習慣是一件不好的事情, 不 過這個習慣不會維持很久; 到了高中就碰到 不同的事了, 我提到的是矩陣的乘法, 例如:
A 矩陣如圖示是一個空間的移動, B 矩陣是 空間的一個轉動,
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A =
2 0 0 1
B =
1 2
√3 2
√3 2 − 1 2
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30◦
30◦
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圖二
我們來看 AB 等不等於 BA, 如圖三, 我們知 道: AB 是先轉動再移動, BA 是先 移動再轉動, 我們清楚的看到 AB 不會等於 BA。
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AB
......
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Bv • ABv
•v
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BA
•Av BAv •
v •
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圖三
如果我們直接做矩陣的計算如圖四, 我 們也可以得到 AB 不會等於 BA。
2 0 0 1
1 2
√3 2
√3 2 − 1 2
=
1 √ 3
√3 2 − 1 2
A B
1 2
√3 2
√3 2 − 1 2
2 0 0 1
=
1 √3 2
√ 3 − 1 2
B A
A × B 6= B × A 圖四
我學數學好不容易才接受 AB = BA,
但是呢, 現在又被教說 AB 6= BA, 對我來說
是 一件震驚的事情, 其實事情有交換的時候
也會有不交換的時候, 日常生活上我們常有 不交換的時候, 例如先買菜再接小孩或先接 小孩再 買菜是不一樣的事情, 不可隨便交換。
或在 量子力學上 A, B 可以各代表一種測量, 如果 AB = BA 那麼這兩種測量可同時測 量不會互相干擾; 如果 AB 6= BA 就代表兩 種測量會互相干擾, 不可同時測量, 在這裡數 學的理論對物理上有深遠的影響。
我們再回來看為什 麼 3 × 7 = 7 × 3 ? 對我來 說這是那麼的困難, 如圖五
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3 × 7 :
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7 × 3 :
圖五 · 重組
我把上面兩個三加上下面的一個湊成一 個 七, 那第二個七就較難湊成, 所以我一個下
午 都在做這件事情, 其實老師有教過怎樣湊, 但是我沒 聽到, 後來我知道所有三的第一個 就湊成一個七, 第二個就第二個七, 這樣就簡 單多了, 這就是數學的一個重組過程, 重組是 數學上一個重要的過程。
接下來我想舉一個例子來說明重組的妙 用。 我們知 道在古希臘 Euclid 證明過有無 窮多個質數, 今天不說他的證明, 我要講的是 大 約 Euclid 之後兩千年 Euler 的另一個證 明, 這中間沒有其他人對質數有其他證明。 首 先我們先 講一些代數, 我們知道
(1−x)(1+x+x 2 +· · ·+x n )
=1+x+· · ·+x n −x−· · ·−x n+1
=1−x n+1 1−x n+1
1−x =1+x+x 2 +· · ·+x n 若 |x| < 1, 讓 n 趨向無窮大, 得到
1
1 − x = 1 + x + x 2 + · · ·
我們再回來看 質數 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
· · ·, Euler 對數論做了一個基本的工作, 他 看下面的乘式
1 1− 1 2
× 1 1− 1 3
× 1 1− 1 5
× 1 1− 1 7
× · · ·
= 1+ 1 2 + 1
2 2 + 1
2 3 +· · · × 1+ 1 3 + 1
3 2 + 1
3 3 +· · · × 1+ 1 5 + 1
5 2 + 1 5 3 + · · ·) × 1+ 1
7 + 1 7 2 + 1
7 3 +· · ·) × · · ·
=1+ 1 2 + 1
3 + 1 4 + 1
5 + 1 6 + 1
7 + 1 8 + 1
9 + 1
10 + 1 11 + 1
12 +· · ·
上面的第二個等號是一個初等、 自然, 卻是偉
大的發現, Euler把質數非常不規則的東西重
組成非常規則的東西, 然後我們把最後的式 子做重組
1+( 1 2 + 1
3 +· · ·+ 1
10 )+( 1
11 +· · ·+ 1 100 ) +( 1
101 + 1
102 +· · ·+ 1
1000 )+· · ·
> 1+ 9 10 + 90
100 + 900 1000 +· · ·
=1+ 9 10 + 9
10 + 9 10 +· · · 上面的不等式成立的原因是因為
1 2 > 1
10 , 1 3 > 1
10 , · · · , 1 11 > 1 1 100
12 > 1
100 , · · · , 1
101 > 1 1000 , · · · 然後我們知 道不等式的右邊是無窮大, 所以 左邊也無窮大, 因此證明了有無窮多的質數。
重組的工夫在數學上有非常廣泛的應用。
底下我想舉 一個小學四年級的例子, 我 小學 四年級的時候大概有一個月沒上課, 我 母親怕我的功課落後所以跟鄰居借了幾本課 本我 自己看, 我大概花一個月看了一年的教 材, 因為看的太快, 其中有關分數的部份我始 終覺得怪怪的, 我看書上說 2 3 = 4 6 是因為
2
3 就是把 一塊大餅分成三等分的其中兩份, 4 6 是把同樣 一塊餅分成六份的其中四份, 所以 他們相 等, 可是我一直覺得很奇怪, 兩塊餅如 果不 一樣大, 那 2 3 怎麼等於 4 6 ? 這個問題是 不能問老師的, 否則老師會以為你故意搗蛋, 好多年下來我才終於知道分數不是大小的問 題, 而是比例的問題, 是餅有的顏色部份比上 沒顏 色部份, 無關餅的大小, 如圖六。
2 3 = 4 6
圖六
世間沒有絕對的大小, 我舉莊子的話: 「天下 莫 大於秋毫之末, 而大山為小」。 這裡大山就 是泰山, 因為他看到最大的山就是泰山。 所以 沒有什 麼絕對, 只有比較而已, 莊子在這重要 的哲學 題目得到突破, 可惜我們東方後來並 沒有繼續以數學來發展。
我舉一個物理實驗的例子來說明大小一 事; 有兩個飛機翅膀, 一個大一個小, 大的長 度是小的 三倍如圖七:
U
U/3
圖七
我們在實 驗的時候不可能把一台波音 747 放 進風洞實驗室, 所以我們造一個小的翅膀來 做實 驗, 做實驗時風速必須是大的三倍, 它附 近的氣流才會跟大的相似, 是流體力學重要 的雷 若常數, 這是一種比例關係。 當然不是所 有的比例 關係是三倍跟三分之一, 有時候跟 我們 高中學的拋物線 y = x 2 , x 增加三倍 y 增加九倍, 雙曲線 y 2 = x 2 , x 增加三倍 y 增加三倍, 各種比例問題在自然界物理界有 不同的應用, 例如光的傳遞和熱的傳導, 數學 能用不同比例法則描述出來。
接下來我所舉的例子是小學六年級的例 子, 時鐘問題: 分針和時針在兩點三點之間何 時 重合? 我那時覺得是一個困難的問題, 先 不 說為什麼我覺得困難, 我們先看書本怎樣 算的。 兩點時, 分針在時針之後 10 分, 而時 針的 速度是每分 1/12 分, 我們把它想成分針 時針在賽跑, 一個在後一個在前, 一個快一個 慢, 速度差 11/12 分, 所以要花 10 ÷ 11 12 = 10 10 11 分鐘才 能趕上, 因此分針時針在 2 點 10 又 10/11 分重疊。 問題的解決是把時鐘 問 題想成賽跑問題, 這是一種類比, 類比就是 把 表相不相同, 但本質是相同的問題連想在 一起, 類比在數學上非常的重要, 有時候做純 數學就是為了做類比。 我們再來看看幾個類 比的問 題, 水波、 音波、 光波、 車流是類比的 問 題; 熱傳導、 污水擴散、 生物蔓延也是類比 問 題, 在數學上都是同一個問題, 所以把時鐘 問題想成賽跑問題是一個重大的突破。
為什麼那時我會覺得時鐘問題很困難 呢? 如圖八:
兩點十分不重疊
兩 點 10 10 12 分仍不重疊
圖八
兩點十分的時候分針到了 10 分, 但時針不等
分針, 自己走了 10/12 分, 所以不重疊, 兩點
又 10 又 10/12 分仍不重疊, 一直下去好像
永 遠不重疊。 我舉另一個例子, 有一位匈牙利
偉 大的數學家, 一天有人問他一個問題: 有
兩個人 面對面由兩端開始走, 中間有一隻蒼
蠅 在飛, 碰到一個人的鼻子時就往回飛, 碰到
另 一個的鼻子就又往回飛, 就這樣來回飛, 如
果知 道兩人速度, 那麼在兩個人碰到之前蒼
蠅飛了多 遠? 這跟時針問題一樣, 你把全部 加 起來就可以: 10 + 10 × 12 1 + 10 × 12 1 ×
1
12 + 10 × 12 1 × 12 1 + × 12 1 + · · · = 10 10 11 這個 數學家工夫了得, 只花了三四秒就算出來, 問 的人 覺得無趣, 說: 你以前一定聽過這問題 了。 其實他沒聽過只不過他把它加起來而已。
他加的 速度也真快。 同樣的我們也可說: 分針 往前時針就往前 一點點, 就一直在追, 無窮無 盡 的追, 是一種逼近的過程。
逼 近的過程是一個辛苦的過程, 因為要 無窮無盡的加。 但是有很多時候逼近可以由 計算機去做, 計算機的出現, 就有了新的數學 的出現, 本來笨拙的計算方法就變得很有用, 計算機對近代的數學有很大的作用。 接下來 例子告 訴你們計算機的作用, 這張圖九是數 學所周謀鴻先生給我的,
(From Van Dyke, An Album of Fliud Motion) According to Henri Poincare, we study Nature simply because she is beautiful.
Vortex distribution, Re=3000, T = 41. (With random walk) B
0
-5 5
5
0
10 15 20 25 30 35
-5 Y
X
For a mathematician, Nature consists of vari- ous set of differential equations.
圖九
圖形的 一開始有一顆很小的石頭, 這就像我 們在河裡看水流經過石頭產生的流水, 會有 一個個不對稱漩渦, 這跟我們飛機尾後的氣 體漩渦一樣, 如果水流越快漩渦圖形就不一 樣, 飛機也是一樣。 我們知道做實驗很貴, 因 此用 計算機來算, 用計算機來算是一個逼近 的 過程, 為什麼用計算機算物理實驗要逼近 過程? 水流往石頭旁邊流產生壓力, 壓力呢 就產生力量把水往另一邊壓, 用計算機就算 出圖九的下圖。 如果我們要做不同的飛機的 實 驗, 飛行速度不一樣, 翅膀形狀也不一樣, 做 風洞實驗就還要做另一個翅膀, 這是一個 很昂 貴的事情, 計算機呢只要輸入不同數字 就可以 達成, 所以用計算機逼近是一件大事 情。
接下來我舉最後 一個問題是國中問題, (a + b) 2 6= a 2 + b 2 如圖十就可以告訴你 為什麼
(a + b) 2 6= a 2 + b 2
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a a 2 ab
b ab b 2
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a+b
(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab 非線性
圖十
這是一個非線性的問題, 我們工程大部 分應用是用 線性去算的, 例如我敲一塊東西 力氣越大它震動也比例的增大, 是一種線性 現象, 但是呢我力氣一直增大到一個地步, 就 要斷裂了, 因此線性常是不好的逼近。 非線性 的作用是到 處都有, 例如氣象的氣壓圖它今 天 一個樣子到了明天就完全不一樣, 天有不 測風雲。 下面這個非線性例子是數學所杜寶 生先生 給我的, 如圖十一:
f (x) = 2.675 − c(1 + x 2 ) 週期: 1 c = 0.2
x = 1.81567
−→2.675 − 0.2[1 + (1.81567) f 2 ]
= 1.81567 週期: 2 c = 0.5 x = −0.161895
−→2.675 − 0.5[1 + (−0.161895) f 2 ]
= 2.161895
−→2.675 − 0.5[1 + (2.161895) f 2 ]
= −0.161895 圖十一
C 控制著 f (x) 非線性的程度, 當 c = 0.2 時, 不管 x 等於多少把它代入 f (x) 的出來 的值再 一直代入, 最後都會趨近 1.81567, 把 x = 1.81567 代入, f (x) = 1.81567 是 唯 一的固定點; 當 c = 0.5 時, 則 x =
−0.161895 時, f(x) 代入兩次會等於 x, 所以它有 一個週期, 如果我們再增強非線性, c = 0.65, 圖十二告訴我們運算結果,
週期: 4 c = 0.65
0.014486
x = −0.640047
−→2.675 − 0.65[1 + (−0.160047) f 2 ]
= 1.758721
−→2.675 − 0.5[1 + (1.758721) f 2 ]
= 0.014486
−→2.675 − 0.5[1 + (0.014486) f 2 ]
= 2.024864
−→2.675 − 0.5[1 + (2.024864) f 2 ]
= −0.160047 圖十二
從圖知道它會在四個點不停的繞, 永無止境 的繞, 不會離開四個點, 如果再增加非線性因 素例如 c = 0.7 就會有八個點繞, 再繼續增 加的 話就有無窮多的點在繞, 如圖十三。
它的 變化已經沒有規則, 它是一種混亂的現
象, 有一個日本的數學家, 他說混亂現象在渾
沌裡找到, 有一次他在大陸演講學生沒聽過
渾沌一詞還以為是指吃的東西。 渾沌現象根
源於所 謂的蝴蝶效應, 是說一隻小蝴蝶翅膀
動 一下, 附近的空氣變一下, 但最後可能導致
極大的 變動。 這個是多年研究的數學結果, 其
實絕大多數的非線性作用今天我們還是不能
理解的。
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
