數學傳播 45 卷 4 期, pp. 3-6
《大域微分幾何》 三卷書再版序
黃武雄
一、
這三卷書去年初版。 出乎意料地, 不到一年半已幾乎售罄。 去年初版成書後不久, 我便發覺 有幾處校對上的疏忽。 另外, 下卷最後一章 (即 ch.30) 的最後一個式子, 因論證大意而有漏洞。
慚愧之餘, 我一直期待再版時, 能有機會修正。
雖然有了這些瑕疵, 但出書以來, 我收到一些數學家的正面回饋, 則感到欣喜。 例如美國 Purdue 大學莫宗堅教授、 史丹佛 Stanford 大學兼中研院劉太平教授, 透過信件或電話告訴 我, 他們閲讀時的感想。 台大蔡宜洵教授更細心地讀完終卷, 寫下深刻感人的書評, 發表在 《中 華民國數學會電子報》; 這份書評的紙本, 亦將在中研院 《數學傳播》 季刊全文刊登。
另外, 感謝張海潮、 王藹農、 王立中教授指出篇一第 4 章 「曲面論基本定理」 的證明, 有個 gap, 並做了補正, 其間細微之辨, 非常有趣。 我在修訂版 (即現今這個再版) 上卷書末, 增添兩 頁附錄, 放入他們的補正。
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二、
初版時, 我在引言中談到 1978 年我出版過的小書 《初等微分幾何講稿》(以下簡稱為 「小 書」)。 這本小書適合大學部初讀者的水準。 許多這一代台灣的數學家, 年輕時都讀過這本小書。
如今他們已步入中年, 多次向我提起小書對他們大學時代的影響。
今年初, 在新迪出版社友人石飛益的贊助之下, 這本小書重新修訂出版。
目前 《大域微分幾何》 這三卷書 (以下稱為 「大書」), 可以看成是小書的續集, 初版或再版 不拘。 也就是說, 小書是大書的先修本。
但大書上卷的前篇章 A 〈大域曲面論概要〉 則是小書的濃縮版。 數學程度成熟的專業者可 以跳過小書, 直接讀大書。 兩書一小一大, 相輔相成, 從大學部的水準, 一直深入微分幾何專業 研究的領域。
中研院鄭日新、 台大李瑩英、 師大林俊吉三位教授, 原本計劃要在今年 8 月 7 日, 為大書 舉辦 「新書發表會/暨 cmc 曲面研討會」; 同時也回顧他們年輕時走向幾何的經驗。 惜因疫情起 伏不定而作罷。
我在今年初的 《數學傳播季刊》 中, 寫了一篇長文, 説明大書與小書內容的連結。 這篇長文 也作為前言, 放在重新出版的小書中。
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三、
眼前這套大書的再版, 上、 中兩卷除了修正幾處 typos (校對誤差) 之外, 幾乎沒什麼更 動。 下卷亦然, 真正大幅更動的是最後一章 (ch30)。 我把它重新改寫, 因為在彌補前述的漏洞 時, 我們的研究工作又有新的進展。
這章主題是處理 cmc 曲面 (hypersurface) 上 domain D(t) 的動態變形, 考慮其上 Jacobi 場隨著 t, 而離散出現的分佈情況。
我們引入 Morse index 定理, 來處理這問題。 關鍵便落在 stability operator 的特徵 值是否連續。 我們處理的 domain D(t) 是困難的廣義 Lipschitz domain, 並且容許它們的 topological type 可以隨 t 而改變。 如此 D(t) 才能伸向大域, 使其樣態多變。
但這樣一來, 問題便艱鉅得多, 而且論證也變得深刻。 穿越困難, 像走入曲折迂迴的甬道, 暗黑而多次碰壁。 經過半年多艱辛的努力, 我們終於看到曙光, 解決了問題, 得到完整的結果。
這章 (ch30) 的改寫, 是這再版修訂真正的重點。
[已買了初版的讀者, 再版出書後, 可在台大數學系網站, 看到改寫的 ch30。 不必加購再版 本]
四、
對於這套大書, 即眼前這三卷書的修訂過程, 我特別要感謝台大數學所博班生艾利歐 (本 名呂治鴻) 與李東洋, 他們辛苦打字與編輯, 在百忙的研究工作中抽出時間, 不厭其煩地為我做
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了好多額外的修補。 同時感謝台大出版中心李協芳先生, 及張主任與湯總編的支持。
其間, 我很高興從初版迄今, 與石苔合作, 設計封面。 我們的背後, 還有葉宗樺, 用心提供 Gauss-Riemann, Elie Cartan 與 Laplace 的手稿 [其意涵參見引言]。 協芳傳來出版中心的 意見 : 希望再版時, 封面的樣式能與初版有區隔, 又與初版有連結。
為了維持初版封面的精神, 我們只採用顏色反差, 以達到區隔與連結的效果。 同時在封面 左下, 加簡單的抽象圖形, 象徵珍貴的知識沿白色河道, 注入白色的海, 形成三角洲。
如此三卷書擺在書架上, 因鋸齒般的三色旗幟, 會有活潑的一體感, 說明它們是一整套書。
設計封面, 是愉快的經驗。 感謝石苔與宗樺。
五 、
這裡我必須重提摯友楊維哲教授, 及理論中心主任李瑩英。 因為他 (她) 們的協助, 這三卷 書才能以這樣的面貌, 經初版-再版, 順利面世。
最後我想到賴東昇教授一封穿越時空的來信。 賴先生是我大學時代的老師。 先提一句旁外 話 : 大學時代我們都不用 「老師」 來稱呼學校的教授, 我們用 「先生」 來稱呼他們, 其中含有對 專業者尊敬的意思, 同時也免除師生之間傳統的權力關係。 那是日人與民初的習慣。 這習慣一直 沿用到 60 年代。 翁秉仁教授有一次對此評論說, 那是很有品味而典雅的稱呼。 我亦如是觀。
我初遇賴先生, 是在 1961 剛上大二那年。 賴先生待我們學生極好。 有兩年多的時間, 維 哲、 宗堅、 我, 還有物理系、 電機系幾位好友, 整天窩在賴先生寬敞明亮的研究室, 還各據一個 書桌, 高談闊論, 玩笑嬉鬧。 有這因緣, 基本上是維哲 (綽號阿珠) 的牽線。
那時候賴先生還是台大數學系的年輕講師, 對數學始終充滿熱情。 我大三微分幾何就是修 他的課, 雖然他容忍學生 (包括我) 整天翹課。
事隔 60 年, 我寫了 《大域》 這三卷書, 寄送他一套。 他竟然願意細讀這套書, 來信寫了他 閲讀上、 中兩卷的感觸, 並說他接著要開始讀下卷 · · · 。
2021 年, 這封註明 2 月 21 日寫好的信, 從台中寄到我僻居新店山中的租居, 靜靜躺在望 向菜園的餐桌上。 清秀的字跡, 一如他的人, 他仍然稱呼我 「阿牛」, 台語音如 Agoo, 係我少年 時的小名。
我捧著信一字一句唸。 這些字句像是穿越半個多世紀的歲月, 來到我的眼前, 承載的不只 是數學的思索, 更有誠摯的師情, 與無數令人懷想的往事。
作者識 2021 年 初秋
—本文作者為台大數學系退休教授—
