條件機率、貝氏定理

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：100.05.25 範

圍

3-3

條件機率、貝氏定理

班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

4﹐P(A ∩ B) =1

4﹐P(B ′) =2

3﹐則 P(B ′ | A) =____________﹒

解答 5 8

解析 ∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 且

P B ( ) 1 = − P B′ ( )

∴ 3

4 = P(A) + (1 −2 3) −1

4 ⇒ P(A) =2 3

故 P(B ′ | A) = ( ) ( ) P A B

P A

∩ ′ = ( ) ( ) ( ) P A P A B

P A

− ∩

= 2 1 3 4

2 3

− = 5 12

2 3

=5 8 ﹒

2.投擲一公正骰子三次﹐令 A 表三次出現點數和為 12 的事件﹐B 表第一次擲出偶數點的事件﹐則 (1)P(A) =____________﹒ (2)P(B ′ | A) =____________﹒

解答 (1) 25

216;(2)12 25

解析 (1)點數和為 12 的情況有

(1﹐5﹐6)排列數為 3! = 6﹐(2﹐4﹐6)排列數為 3! = 6﹐(3﹐3﹐6)排列數為3 ! 2 != 3 (2﹐5﹐5)排列數為3 !

2 != 3﹐(3﹐4﹐5)排列數為 3! = 6﹐(4﹐4﹐4)排列數為3 ! 3 != 1 ∴ 共有 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 種﹐故 P(A) =25₃

6 = 25 216﹒ (2)P(B ′ | A) = ( )

( ) P B A

P A

′ ∩ = ( ) ( ) ( ) P A P A B

P A

− ∩

A ∩ B 表第一次偶數且點數和為 12 的事件﹐其個數有：

( 6﹐5﹐1)個數有 2! = 2﹐( 6﹐4﹐2)個數有 3! = 6﹐( 6﹐3﹐3)個數有 1 ( 2﹐5﹐5)個數有 1﹐( 4﹐5﹐3)個數有 2! = 2﹐( 4﹐4﹐4)個數有 1 ∴ n (A ∩ B) = 2 + 6 + 1 + 1 + 2 + 1 = 13 ⇒ P(A ∩ B) =13₃

6 = 13 216

故 P(B ′ | A) =

25 13 216 216

25 216

− =12 25﹒

3.某校學生中﹐高一占 40%﹐高二占 30%﹐高三占 30%﹐又知高一學生中有 50%是近視者﹐高二學 生中有 60%是近視者﹐高三學生中有 70%是近視者﹒從該校學生中任抽選一人﹐則

(1)此人不患近視的機率為____________﹒

(2)所選的人已知患近視﹐求此人為高二學生的機率為____________﹒

解答 (1) 41 100;(2)18

59

解析 設 A1﹐A2﹐A3依次表所選一人為高一﹑高二﹑高三學生的事件﹐

R 表所選一人為近視者事件﹐則

(1)P(R) = P (A1)．P (R | A1) + P (A2)．P (R | A2) + P (A3)．P (R | A3) = 40

100× 50 100+ 30

100× 60 100+ 30

100× 70 100= 59

100 ∴ P (R ′) = 1 − P (R) = 1 − 59

100= 41 100﹒

(2)P (A2 | R ) = ( ² ) ( ) P A R

P R

∩ = ( ²) ( | ²) ( ) P A P R A

P R =

30 60 100 100

59 100

× =18 59﹒

4.從一副撲克牌中抽出 5 張﹐已知其中 4 張是紅心﹐求另外一張也是紅心的機率為____________﹒

解答 3 16 解析

若已知前 4 張是紅心﹐則另外一張是紅心的機率等於從一副有 48 張（52 − 4 = 48）牌﹐

其中有 9 張（13 − 4 = 9）紅心的撲克牌抽一張﹐抽中紅心的機率即 9 48

3

=16﹒

5.設袋中有 10 個紅球﹐8 個白球﹐今自袋中連取兩次﹐每次取一球﹐取後不放回﹐已知兩次中至少 有一次取到紅球﹐求兩球皆為紅球的機率為____________﹒

解答 9 25

解析 每次取球情況的機率分配樹狀圖如右 故至少有一次取到紅球的機率為10

18× 9 17+10

18× 8 17 + 8

18×10 17 =125

153

∵ 兩次均取到紅球的機率為10 18× 9

17= 5 17

∴ 所求的條件機率為 5 17 125 153

= 9 25﹒

6.擲一公正骰子兩次﹐在點數和大於 9 點的條件下﹐第一次擲得 5 點的機率為____________﹒

解答 1 3

解析 設 A 表示點數和大於 9 點的事件﹐B 表示第一次擲得 5 點的事件﹐則

A = {(4﹐6)﹐(5﹐5)﹐(6﹐4)﹐(5﹐6)﹐(6﹐5)﹐(6﹐6)}﹐A ∩ B = {(5﹐5)﹐(5﹐6)}

∴ P (B | A) = ( ) ( ) P A B

P A

∩ =2 6=1

3﹒

7.一袋中有 3 個紅球和 5 個白球﹐共 8 個球﹐從袋中逐次取球﹐每次取出一球﹐且取出的球不放回﹐

若取每一球的機會相同﹐A 表第一次取出的球是白球的事件﹐B 表第二次取出的球是紅球的事件﹐

則(1)P (B) = ____________﹐(2)P (A | B) = ____________﹒

解答 (1)3 8;(2)5

7

解析 P (B) = P (A)⋅ P (B | A) + P (A′)⋅ P (B | A′)

⇐

8 ⋅ 3 7+3

8 ⋅ 2 7=21

56 = 3 8﹒

P (A | B) = ( ) ( ) P A B

P B

∩ = 5 3

5 3 8 5 8 7

3 8 7 3 7 8

⋅ = ⋅ ⋅ = ﹒

8.一袋中有 3 白球﹑4 紅球﹑5 黑球﹐今從袋中逐次取球﹒每次一球﹐取 3 次﹐取出不放回﹒若袋中 每一球被取中的機會均等﹐則

(1)三球為兩色的機率為____________﹒

(2)第三次取中白球的機率為____________﹒

(3)若已知取出三球為兩色﹐則第三次取中白球的機率為____________﹒

(4)若已知第三次取中白球﹐則三球恰為兩色的機率為____________﹒

解答 (1)29 44;(2)1

4;(3) 34

145;(4)34 55

解析 (1)設 A 表三球恰為兩色的事件：(任三球) − (三球三色) − (三球一色) n(A) = P¹²₃ − (C₁³× C₁⁴× C₁⁵× 3!) − (P³₃+ P⁴₃+ P⁵₃) = 1320 − 360 − 90 = 870 ∴ P (A) = 870

12 11 10× × =29 44﹒

(2)第三次取到白球的機率= 第一次取到白球的機率= 3 1 12= ﹒ 4 (3) 設 B 表第三次取中白球的事件

A ∩ B 表三球兩色且第三次白球的事件﹐其情況有 (白﹐紅﹐白)﹐(紅﹐白﹐白)﹐(黑﹐白﹐白)﹐

(白﹐黑﹐白)﹐(紅﹐紅﹐白)﹐(黑﹐黑﹐白)

∴ n(A ∩ B) = 3 × 4 × 2 + 4 × 3 × 2 + 5 × 3 × 2 + 3 × 5 × 2 + 4 × 3 × 3 + 5 × 4 × 3 = 204

⇒ P (B | A) = ( ) ( ) P B A

P A

∩ = ( ) ( ) n A B

n A

∩ =204 870= 34

145﹒ (4) ( )n B = × ×3 11 10=330

，

( ) P B A

P B

∩ = ( ) ( ) n A B

n B

∩ =204 330=34

55﹒

9.甲袋中有 3 紅球﹐2 白球；乙袋中有 2 紅球﹐6 白球；任選一袋取出一球﹐再放入另一袋中﹐然後 再從放入球的袋中又取出一球﹐則

(1)兩次取出之球異色的機率為____________﹒

(2)又已知兩次所取之球異色﹐則從甲袋取出白球的機率為____________﹒

解答 (1)341 720;(2) 2

11

解析 設 C1﹐C2分別表選甲﹑乙兩袋的事件﹐則 P(C1) = P(C2) =1 2 設 R1﹐R2分別表從甲﹑乙袋中取出紅球的事件

W1﹐W2分別表從甲﹑乙袋中取出白球的事件

(1)兩球異色之機率為（先甲袋紅球且後乙袋白球）+ （先甲袋白球且後乙袋紅球）

+ （先乙袋紅球且後甲袋白球） + （先乙袋白球且後甲袋紅球）

= P (C1 ∩ R1 ∩ W2) + P (C1 ∩ W1 ∩ R2) + P (C2 ∩ R2 ∩ W1) + P (C2 ∩ W2 ∩ R1)

=1 2×3

5×6 9+1

2×2 5×2

9+1 2×2

8×2 6+1

2×6 8×3

6=341 720﹒

(2)P(甲取白 | 兩球異色) =

1 2 2 1 2 2 2 5 9 2 8 6

341 720

× × + × ×

= 62 341= 2

11﹒

10.擲三粒均勻骰子一次﹐則在至少出現一粒 2 點的條件下﹐其點數和為偶數的機率為____________﹒

解答 46 91

解析 設 A 表至少出現一粒 2 點的事件﹐B 表點數和為偶數的事件 則 P(B | A) = ( )

( ) P A B

P A

∩ = ( ) ( ) n A B

n A

∩

∵ n(A) = 任意− (三粒均不出現 2 點的情形) = 6³ − 5³ = 91

A ∩ B 表至少出現一粒 2 點且其和為偶數的事件：形如 2 偶 偶 ﹐ 2 奇 奇

其中 2 偶 偶 有

(4﹐2﹐2)﹐(4﹐2﹐6)﹐(2﹐6﹐6)﹐(4﹐4﹐2)﹐(2﹐2﹐6)﹐(2﹐2﹐2) 共有3 !

2 !+ 3! +3 ! 2 !+3 !

2 !+3 !

2 !+ 1 = 3 + 6 + 3 + 3 + 3 + 1 = 19 種

又 2 奇 奇 有C₁³× × =3 3 27種（先排 2﹐每個奇數有 3 個選擇）

∴ n(A ∩ B) = 19 + 27 = 46﹐故 P(B | A) =46 91﹒

11.設甲袋中有藍球 3 個﹐白球 5 個﹐乙袋中有藍球 2 個﹐白球 1 個﹐紅球 2 個﹐今投擲一公正骰子﹐

若出現點數為么點或 6﹐則從甲袋任取一球﹐若出現其他點數﹐則從乙袋任取一球﹒求選取一白 球之機率為____________﹒

解答 41 120

解析 設 A﹐B 表選甲袋﹑乙袋的事件﹐W 表選取一白球的事件則 P(A) =2=1﹐P(B) =4=2

∴ P(W) = P(A)P(W | A) + P(B)P(W | B) =1 3×5

8 +2 3×1

5= 5 24+ 2

15=25 16 120

+ = 41 120﹒ 12.利用簡單隨機抽樣﹐若從全體 50 位學生中任意抽取一位學生﹐則編號第 35 號的學生﹐在第 13

次被抽出的機率為____________﹒

解答 1 50

解析 全部的排列數為 50!﹐將 35 號排在第 13 次抽出的排列數為 49! ⇒ 49! 1 50!=50﹒ 13.設甲袋中有 10 個電燈泡﹐其中 3 個壞的；乙袋中有 6 個電燈泡﹐其中 1 個壞的；丙袋中有 8 個

電燈泡﹐其中 2 個壞的；若任選一袋﹐由選出袋中任取一燈泡（選袋﹑選燈泡的機會均等）﹐

則抽中一個壞燈泡的機率為___________﹒

解答 43 180 解析

設 A﹐B﹐C 分別表選甲袋﹑乙袋﹑丙袋的事件﹐並設 D 表抽到一壞燈泡的事件﹐則 P(D) = P(A)P(D | A) + P(B)P(D | B) + P(C)P(D | C) =1

3× 3 10+1

3×1 6+1

3×2 8 = 1 1 1 18 10 15 43

10 18 12 180 180 + +

+ + = = ﹒

14.同擲三公正骰子的試驗中﹐A 表出現點數和是 5 的倍數的事件﹐B 表出現點數和是 10 的事件﹐

則(1)P (A) = ____________﹐(2)P (B | A) = ____________﹒

解答 (1) 43

216;(2)27 43

解析 x﹐y﹐z 表三骰子的點數﹐x + y + z = 10 時，由 x﹐y﹐z ∈ {1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6}得 {x﹐y﹐z} = {1﹐3﹐6}﹐{1﹐4﹐5}﹐{2﹐2﹐6}﹐{2﹐3﹐5}﹐{2﹐4﹐4}﹐{3﹐3﹐4}

∴ 數對(x﹐y﹐z)共有 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 種情形

同理 x + y + z = 5 時有 6 種情形﹐x + y + z = 15 時有 10 種情形

P (A) =6 27 10₃ 6

+ + = 43

216﹐P (B | A) = ( ) ( ) P A B

P A

∩ = 27 216

43 216

=27 43﹒

15.擲一均勻骰子三次﹐A 表三次的點數均不相同的事件﹐B 表三次的點數和是 6 點的事件﹐則 (1)P(B) = ____________﹐(2)而 A 與 B 不是獨立事件的理由是____________﹒

解答 (1) 5

108; (2) ( )P A P B⋅ ( ) ≠P A( ∩B) 解析

6 3

3 3

6 5 4 5

( ) 6 6 9

P A = P = × × =

3 3 3 1 5

3 3 3

3 3 3 3

10 5 ( ) 6 6 6 6 108

H C C

P B

= = + − = = =

P(A ∩ B) = 6₃ 6 = 1

36（只有 1 + 2 + 3﹐1 + 3 + 2﹐…﹐3 + 2 + 1 共 6 種可能）

∵ P(A)．P(B) =5 9． 5

108≠ 1

36= P(A ∩ B) ∴ A 與 B 不是獨立事件﹒

16.有街道如下圖（每一小方格皆為正方形）﹐甲自 P 往 Q﹐乙自 Q 往 P﹐兩人同時出發以相同速 度﹐沿最短距離前進﹒假設在每一分叉路口時﹐選擇前進方向的機率都相等﹐問甲﹑乙二人在路 上相遇的機率有多大？將所求的機率化為形如

2ⁿ

a 的最簡分數（即既約分數）﹐其中 n 及 a 皆為正 整數﹐則序對(n﹐a) = ____________﹒

解答 (8, 29)

解析 兩人在 A 點相遇之機率(1 2+1

2×1 2+1

2×1 2×1

2)(1 2×1

2×1 2×1

2) =7 8× 1

16= 7 128 兩人在 B 點相遇之機率(1

2×1 2×1

2×1 2)(1

2×1 2×1

2×1 2) = 1

16× 1 16= 1

256 兩人在 C 點相遇之機率(1

2×1 2×1

2×1 2)(1

2+1 2×1

2+1 2×1

2×1 2) = 1

16×7 8= 7

128

∴ 甲﹑乙在路上相遇之機率為 7 128+ 1

256+ 7 128= 29

256=29₈ 2 =

2ⁿ

a

，

17.設 A﹐B﹐C 為樣本空間 S 之事件﹐若 A﹐B﹐C 為三獨立事件﹐P(B) =1

3﹐P(A ∪ B) = 7 12﹐且 P(A ∩ B ∩ C′) = 3

32﹐則 P(C) = ____________﹒

解答 1 4

解析 ∵ A﹐B﹐C 為獨立事件 ∴ A﹐B﹐C′亦為獨立事件且 A﹐B 為獨立事件

∵ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)且 P(A ∩ B) = P(A)P(B)

∴ 7

12= P(A) +1 3−1

3P(A) ⇒ P(A) =3 8

又 P(A ∩ B ∩ C′) = 3

32 ⇒ P(A)P(B)P(C′) = 3 32

∴ 3 8×1

3× P(C′) = 3

32 ⇒ P(C′) =3

4﹐故 P(C) = 1 − P(C′) = 1 −3 4=1

4﹒

18.某公司生產的省電燈泡由甲廠﹑乙廠﹑丙廠生產的比例是 40%﹐35%﹐25%﹐根據統計﹐甲廠﹑

乙廠﹑丙廠生產的瑕疵品分別占各廠生產品的比例為 1.3%﹐1.2%﹐1.5%﹐若將公司生產的燈泡集 中在倉庫裡﹐從中任取一個燈泡﹐則(1)取到瑕疵品的機率為____________；

(2)若從中取得的燈泡是瑕疵品﹐則此燈泡是甲廠生產的機率為____________﹒

解答 (1)

263 2000

52 1315

解析 (1)取到瑕疵品的機率 = 40%× 1.3%+ 35%× 1.2%+ 25%× 1.5% =

1315 263 10000 = 2000

263 1315 2000

× = ﹒

19.擲三枚均勻的銅板一次﹐則至少出現一個正面的條件下﹐

(1)三個都是正面的機率 = ____________﹐(2)恰有兩個正面的機率 = ____________﹒

解答 (1)1 7;(2)3

7

解析 擲三枚銅板﹐至少出現一次正面的機率：全－(三反) = 1 −1 8=7

8

(1)三次都正面的機率 =1

8﹐所求條件機率 = 1 8 7 8

=1 7﹒

(2)恰兩次正面的機率 = ₁³ 1 ³ ( )2 C = 3(1

8) =3

8﹐所求條件機率 = 3 8 7 8

=3 7﹒

20.袋中有 6 白球 3 黑球﹐每次從袋中取出一球﹐取後放回﹐共取 5 次﹐已知取到 4 次白球﹐則最初 兩次都是白球的機率為____________﹒

解答 3 5

解析 設 A ：取到 4 次白球﹐ B ：前 2 次取到白球﹐

∵ ⁵₄ 2 ⁴ 1 80 ( ) ( ) ( )

3 3 243

P A =C = ﹐ 2 2 ³₂ 2 ² 1 16

( ) ( ) ( )

3 3 3 3 81 P A∩B = × ×C =

16 ( ) 81 3 ( | )

( ) 80 5 243 P A B

P B A

P A

⇒ = ∩ = = ﹒

21.已知甲﹑乙兩人打靶的命中率分別為3 4﹐2

5﹒今甲﹑乙兩人向同一個靶各射擊兩發﹐若每一發 命中與否互不相關﹐求此靶恰被命中二發的條件下﹐甲﹑乙兩人各擊中一發的機率為_________﹒

解答 72 157

解析 所求機率為 ( 1 1)

( 2) ( 2) ( 1 1)

P

P +P +P

甲中 且乙中

甲中 乙中 甲中 且乙中

2 2

1 1

2 2 2 2 2 2

1 1

3 1 2 3 ( )( )( )( )

72 72 4 4 5 5

3 3 1 2 3 1 2 3 81 4 72 157 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

4 5 4 5 4 4 5 5

C C

C C

= = =

+ + + + ﹒

22.設某工廠有 A ﹐B ﹐C 三部機器生產同樣的產品﹐其產量分別為總產量的1 4﹐1

3﹐5

12﹒而 A ﹐B ﹐ C 三部機器的產品中﹐其不良品分別占其個別產量的 4%﹐3%﹐2%﹒

(1)從所有產品中取一產品﹐問取中不良品的機率為____________﹒

(2)從所有產品中取一產品﹐已知取中不良品的條件下﹐問此產品來自 C 機器的機率為__________﹒

解答 (1) 17 600;(2) 5

17

解析 (1) 1 1 5 17

( ) 4% 3% 2%

4 3 12 600

P 不良品 = × + × + × = ﹒

(2)

5 2%

12 5 ( | )

1 4% 1 3% 5 2% 17

4 3 12

P C

= × =

× + × + ×

不良品 ﹒

23.擲一枚硬幣四次﹐則至少出現三次正面的機率為____________﹒

解答 5 16

解析 設擲四枚硬幣﹐樣本空間 S﹐則|S|=2⁴=16﹐

至少三次正面的事件為 A﹐即三正、四正，則|A|=C₃⁴+C₄⁴= ﹐所以5 5 ( ) 16 P A = ﹒

24.小王和小林一起玩打靶遊戲﹐小王射擊命中靶的機率是3

5﹐小林的機率是2

3﹐小王先射﹐小林 後射；小王射中與否不會影響小林的命中率﹐若他們兩人向靶各射一次﹐則只有小林命中的機 率為____________﹒

解答 4 15

解析 設小王與小林命中的事件分別為 A 與 B﹐所求機率為 (P A'∩B)=P A' P B A'( ) ( | )﹐ 但已知 A 與 B 互相獨立﹐所以 ( |P B A')=P B( )﹐又 ( ) 1P A' = −P A( )﹐

故所求機率為 3 2 4 (1 )

5 3 15

− × = ﹒

25.連續投擲一公正骰子﹐欲使出現 6 點的機率不小於2

3的投擲次數至少是____________次﹒

（註： log 2 0.3010, log 3 0.4771≈ ≈ ） 解答 7

解析 投一次不出現 6 點的機率為5

6﹐欲使出現 6 點的機率不小於2

3時﹐ 5 1 ( )6 3

n≤ ﹐

即 (log 5 log 6) ( log 3)n − ≤ − ﹐故 log 3

log 2 log 3 (1 log 2) 6.03

n≥ ≈

+ − − ﹐即至少要投擲 7 次﹒

26.如圖﹐設路線圖中﹐ PQ=P'Q'﹐ QR Q'R'= ﹐ RS=R'S'﹐甲自 P 往 P' ﹐ 乙自 P' 往 P；二人同時出發﹐以相同的速率前進﹐在分叉點選擇各個前進 方向的機率相等﹐則甲﹑乙兩人途中不相遇的機率為____________﹒

解答 121 162

解析 (1)甲﹑乙途中相遇的情況只有在 , , , , , A B C C' B' A' 等六處﹐

如圖所示﹒

(2)設兩人在 , , , , , A A' B B' C C' 相遇的機率分別為 ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )

P A P A' P B P B' P C P C' ﹐

則 1 1 1

( ) ( )

3 3 9 P A =P A' = × = ﹐

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 81 P B =P B' = × × × = ﹐

1 1 1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 324 P C =P C' = × × × × × = ﹐

故兩人途中相遇的機率為 1 1 1 41

2( )

9+81+324 =162﹐ 因此不相遇的機率為 41 121

1−162=162﹒