總統的選票
黃敏晃
1. 選票知多少
今年我國第一次直選總統, 由於中共的 飛彈干擾, 選情非常緊張, 選前我們家裡也有 熱烈的討論。 連還沒有投票權的女兒和以前 選舉時很冷漠的老婆都很關心: 「到底誰能選 上?」 更不用說剛有投票權的兒子了: 「到底 誰能選上?」
女兒發言澄清兒子的問題: 「你是問全 國有投票權的人數是多少? 還是這次到底會 有多少人投票?」 老婆呼應著說: 「對, 對, 這 是兩個不同的問題。」 「當然是後面的問題才 重要, 對不對?」 兒子有點不耐煩。 我趕緊出 來打圓場:「後面的問題和前面的問題, 應該有 關係才對。」 兒子問:「怎麼說呢?」
「這次到底會有多少人投票? 一定得等 到選舉結束後才會清楚。 我們要在選舉前回 答這個問題, 只能預估。 這裡預估需要的資訊 有兩個, 即全國有選票的人數, 另一個是預估 這次的投票率。」
老婆說:「全國的選舉人票的總數, 內政 部的戶政單位一定事先會統計出來的。 不過, 好像到目前為止還沒在報章雜誌上看到。」 女
兒說:「應該已知的資訊都還是個未知, 怎麼 辦?」 我說:「這個資訊也可以用其他已知資訊 估計呀。」 兒子問:「怎麼估?」
我說:「我們全國約有 2100 萬人口, 這是 大家都知道的。 假設這些人都是 1 歲到 70 歲, 而且是平均分佈, 那麼每個歲數的人數就是 約 30 萬。 20 歲以上的人就有投票權, 所以約 有 30萬 ×50 = 1500 萬人有投票權。」
女兒問:「這樣算出來的數目準確嗎?」 兒 子說:「當然不可能太準確的了。」 老婆說:「連 內政部戶政單位統出來的數據都不可能完全 準確。 問題是這樣估計合不合理?」 我說:「這 個估計方式把問題太過於理想化, 需要做調 整。」 女兒問:「怎麼調整?」
我說:「每年新出生的嬰兒, 這幾年好像 很穩定, 約每年 35 萬, 以前則逐年增加。 加 上年紀大的人有一部分已經過世, 所以 1500 萬應該減去一些數目才好。 譬如說減個 50 萬, 我會認為 1450萬是個合理的數目。」 老婆 說:「這樣的數字看起來滿合理的。」 雖然我認 為還有一些理由可以說明, 為什麼這樣子推 算是合理的 (譬如說, 用另一種人口分布模式 做另一種預估, 來作為驗算)。 但我老婆是目
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前台大的人口中心主任, 她表達了對合理性 的滿意, 受到兒女的尊重, 因此追問下去的課 題轉了個方向。
2. 投票率預估
兒子繼續問道:「就算 1450 萬是個合理 的數目字好了, 怎樣算出這次會有多少人投 票? 」 女兒是個好聽眾, 她說:「老爸剛才 不是說, 我們還要預估這次的投票率嗎?」 兒 子說:「投票率怎麼個預估法呢?」 老婆說:「可 能要從前幾次選舉的投票率來做推估?」 女兒 問:「從前次選舉的投票率是多少? 我們又 怎樣從這些投票率來推估這次選舉的投票率 呢?」
投票行為是社會科學方面的課題, 這是 我老婆的研究領域。 我本來以為老婆會接嘴 說明, 但她以前對選舉的冷漠, 使她對國內選 情陌生, 因此不敢多說話。 家裡三個人都眼睛 看著我, 我只好接下去:「我國這幾年來的投票 率滿穩定的, 約在 62% 到 68% 之間。 這次由 於總統直選, 連媽媽都有興趣了, 看起來投票 率會創新高。」 女兒問:「那會高到多少呢?」
兒子說:「有沒有可能超過 80%?」 老婆 說:「不太可能啦, 自由國家的選舉, 投票率能 超過 60%就難能可貴了。」 兒子問:「那些因素 會影響投票率呢?」 老婆說:「風和日麗時, 比 較多人願意去排隊投票, 下雨冷天時許多人 不想出門。 另外, 如選民很不滿意政府的行政 措施時, 也會有比較多的選民去投票, 表達換 人做做看的心聲。」 兒子繼續問:「那這次呢?」
我說:「理論上說, 一個社會若很安定, 則 人民的投票行為不會有很大的變化。 除非他
們覺得有需要用投票的行為, 傳遞很重要的 訊息。 總統直選是我國第一次, 以前不讓我 們老百姓直接票選, 所以這次有許多人會覺 得很新鮮, 下次總統選舉就不那麼新鮮了。
另一個影響這次投票率的大因素是中共的飛 彈, 許多人會覺得他們要破壞我們的選舉, 所 以我們一定要用選票來表達這次選舉的重要 性。」
女兒說:「老爸你說了一車子話, 我還是 沒聽到投票率會提昇到多高的估計。」 我說:
「女兒, 沒這麼容易估計的, 因為以前沒發生 過這種狀況, 舊經驗都不適用. . .。」 兒子搶著 說:「可是, 我們還是要預估是不是? 如果要你 預估的話, 你說多少?」 我想了想說:「70% 到 75%之間, 可能接近 70%。」
兒子說: 「單純一點就算是 70% 好啦, 剛才我們說選民有 1450 萬, 那麼 1450 × 70% = 1015 萬票, 調整一下成整數就算 1000 萬票了, 這樣是不是合理。」 老婆說:「應 該是合理的估計。」
3. 選票的分布
兒子問:「假設這次 1000 萬人投票選總 統, 那麼這四組人馬, 各會得到多少票?」 我 說:「這是比較複雜的問題, 很難估算。」 老婆 說:「美國選舉有民意調查, 有時候很準, 但也 有大錯特錯的時候。」 女兒說:「好像看到不准 宣布民意調查結果的事情。」 老婆說:「我也看 到, 好像說是不准用民意調查結果, 做為影響 選情的宣傳。」
女兒說:「說的也是, 如果已經知道某一 組人馬篤定當選, 支持其他組的選民還去投
票幹嘛?」 兒子說:「也不見得, 說不定支持被 認為會當選的那組選民, 反而覺得不用去投 票了呢?」 老婆說 「是呀! 人的行為本來就很 難預測。」 兒子說:「老爸, 你聽到外面的選舉 評估怎麼說?」
我說:「還不是道聽途說。」 兒子說:「連胡 說八道也是一種說法, 反正也沒有要求你做 學術性的說明, 你就轉述一下你聽到的說法 嘛。」 我說:「好吧! 最簡單的一種說法就是 4:3:2:1 的票源分佈說。 意思是陳王那組得到 的票數若當作 1 份來看, 那林郝那組的票數 是約 2 份, 彭謝約 3 份而李連約 4 份。」 女兒 說:「照我們估計的 1000 萬票, 那不是剛好是 100 萬, 200 萬, 300 萬和 400 萬嗎? 加起來 剛好是 1000萬耶。」
兒子說: 「4:3:2:1 的連比和票數是不是 1000 萬無關。 只是總共有 1000 萬的時候, 比較好算。 老爸, 有沒有任何理由說票源為什 麼這樣分布?」 我說:「當然有。 譬如說, 陳王配 得到的是宗教票和一些賭爛票。 台灣信佛教 和道教的人很多, 陳王從環島一週後, 把這方 面的票源鞏固起來。 當然宗教方面的人也有 人認為宗教是不應該那麼積極涉入政治事務 的, 所以他們也只能得到一部分這方面的票 源。」
兒子問:「賭爛票不是以前一直都投給民 進黨和新黨嗎?」 我說:「沒錯, 賭爛票其實就 是不滿意國民黨的行政措施, 表達換人做做 看的票。 以前民進黨還是黨外的時候, 賭爛票 是黨外的票源。 現在民進黨是最大的反對黨, 變成有制度的組織, 他們的政策和表現也有 許多人不滿意。 例如許多外省籍的賭爛票都
到新黨去了。 但新黨的作為也有許多人不喜 歡。 陳王這組就接收這些對三黨都不滿意的 賭爛票。」
兒子說:「這些沒有解釋為什麼, 陳王可 得到的是 1份. . .。」我插嘴說:「這種說法認為 陳王得到的票一定會最少, 所以把最少那組 當 1 份, 其他組的得票率, 當作這份的倍數來 說明, 會比較清楚。 當然, 倍數也可以是小數 倍。 例如這種說法的一種版本說, 林郝其實只 有 1.5 到 2 份之間的實力, 並不是一定要用 2 份來描述。」 女兒說:「沒錯, 這樣說好像滿清 楚的。」
4. 西瓜偎大邊
兒子說:「老爸, 為什麼林郝只有 1.5 到 2 份的實力?」 我說:「因為這組裡的鐵票是新黨 的票, 而新黨的票, 按照上次選票的情形看, 大概接近 120 萬。 其中有一部分會被陳王拉 走, 剩下的大概是 100萬上下。 其他的票就是 林洋港的票了, 林是南投縣長出身的, 他弟弟 現在是南投縣長, 這裡有一些票。 另外, 林當 過台灣省主席, 和某些縣市國民黨的縣黨部 主委, 有一些固定的支持者, 這樣估計大概有 50 萬到 80 萬票的實力。」
兒子說:「‘這樣加起來就是 150 萬到 200 萬票之間了。」 我進一步說:「當然, 林的這 些票不見得可靠。 因為這些票原本都是國民 黨的票, 這種票會不會投給林郝和國民黨的 組織運作方式有關。 值得注意的是這些票都 有投機性質, 有西瓜偎大邊的效應。」 老婆 問:「等一下, 我已經聽過好多次了, 一直沒弄 清楚。 什麼叫西瓜偎大邊效應。」
我說:「當一個團體要分成兩部分, 每個 人都要靠一邊站, 你自己若沒有立場, 本來 站那邊都行, 但你不願意站在輸的那邊。 所 以等到情勢比較明朗的時候, 才去站到比較 多人的那邊。 這種心態叫做西瓜偎大邊。」 兒 子說:「你的意思是, 若李連的勝勢明確, 這些 票都會跑回去李連那組?」 我說:「就是這個意 思。」 兒子說:「那林郝的票會不會掉到 150 萬 以下?」 我說:「說林郝配有 1.5 份到 2 份的實 力, 意思是認為他們的票不至於掉到150萬以 下。」
兒子說:「那彭謝的 3 份呢?」 我說:「民進 黨上次立委選舉的得選率高達 33%, 但這次 總統選舉, 一方面彭明敏和李登輝背景很相 近, 許多選民也覺得他們對台灣要獨立當家 做主人的述求, 一樣在盡心力, 只是一個明白 地說, 另一個只做不明說而已。 加上中共的飛 彈和文宣, 都針對李登輝攻擊, 使許多原來會 投給民進黨的游離選票倒向李連配。 尤其是 南部, 三月初我到屏東、 高雄和台南時, 和 一些朋友談話, 覺得這種趨勢很明顯。」 兒子 說:「所以估計彭謝不可能得到 33% 或更多的 票, 反而會降到 30%。」 我說:「可能更低。」
老婆說:「很有趣。 那麼李連配呢? 照 4:3:2:1 的說法, 他們得票不可能過半數囉。」
我說:「很難說, 他們正在努力求過半。 國民黨 上次立委選舉得票率是 46% 左右, 被林郝配 和陳王配拉走一些, 這就是李連會得4份的說 法。 但以目前看來, 他們的得票率可能超過 46%, 原因是相當部分的民進黨會倒過來, 加 上游離票的凝集, 另外則要靠國民黨的組織 戰了。」
女兒說:「說了老半天, 李連配得票能不 能過半呢? 還是不能回答。」 老婆說:「這本 來就不可能事先弄清楚的。 不過, 今天晚上講 這些話, 老爸用一些單純的數學來說明, 我好 像對選情比較清楚些。」 兒子和女兒都表示同 意:「用數學說明選情, 果然有些好處。」
5. 無奈的結語
數學的功能在幫助人思考和溝通, 本文 的目的在借助討論選情的背景, 來呈現這兩 種功能。 這些討論是實際發生的, 我和我的家 人都覺得數學在這種討論中對溝通概念非常 有幫助。 最令我們感嘆的是數學裡的單純估 計, 非常有效率。 根據這次總統大選的次日, 即民 85年 3月 24日中央日報的報導:
1. 全國的合格選民約有 1430 萬人, 我們估 計 1450萬人。
2. 投票人數約為 1076 萬人, 投票率高達 76.04%。 這裡我們的估計誤差的原因, 在 於我沒有使用到過去的正確資訊: 在我的 印象中, 過去台灣的投票率都在 60% 到 70%之間, 但後來我查的結果是在去年台 灣省長, 台北和高雄兩市市長第一次開放 民選那次, 投票率也高達 76.06%。 即使 如此, 1000 萬和 1076 萬的估計還算是很 好的 (通常 20%的誤差內都算是好的)。
3. 在四組人馬的得票方面: 陳王得107萬票, 約佔 10%, 林郝得票約160萬, 約佔15%, 這兩組的估計都很準; 彭謝得約227萬票, 約佔 21%, 可見源流失嚴重, 這些票都跑 到李連那組去了, 李連得票約 581 萬, 約 佔 54%。
中小學生學習數學的最大疑惑之一是, 學了數學到底有什麼用? 數學課內的題目, 要嘛是與生活情境無關 (context free), 即 使勉強湊上一些情境也非常不自然, 看得出 來是數學老師, 或是寫數學課本的那些數學 家製造出來的“人造題”。
長久下來, 學生都認為“數學”, 只不過 是一批人製造出來的一種特定的考試遊戲而 已, 並沒有實質的意義。 這樣的心態並不健 康, 而要消除這種想法的最佳方式, 莫過於舉 許多和生活相關的數學應用之案例。 如此才 能使中小學生感到, 數學其實是為了解決生 活中問題而發展出來的學問。
當然, 這樣的案例並不好找。 所以筆 者自從翻譯一篇“數學應用–直接引用的文字 題”, 刊登於 「數學傳播」 第十卷第三期 (民 國 75 年 9 月) 之後, 也沒能收集到足夠的例
子, 來寫一篇和這方面有關的文章。
這次應成功中學的邀請去為他們的校慶 做一場數學的專題演講。 由於他們希望演講 的內容要通俗一點, 希望學生看到數學在生 活上的應用, 因此開頭定的題目是“生活中的 數學”。 想借此機會逼自己把生活中使用數學 的經驗加以反省檢視, 整理成一篇文章。 在我 原先的構想當中, 本文的材料是其中的第一 節。 但是寫出來的結果, 這部分已經太長了, 可以單獨成一篇短文, 加上不是很有空無法 在時間的限制下 (即到成功中學演講之前) 寫 完全文, 所以無奈地把這部分獨立出來, 寫成 這篇粗陋的文章, 請讀者不吝批評指教。
—本文作者任教於台大數學系, 並主持教育 部的小學數學課程研發小組—
