第 4 章《籌書管見》內容分析（二）

(1)

第 4 章《籌書管見》內容分析（二）

本章主要介紹本書的九章內容及「九章問答」兩部分，這兩者不但是息息相關，且能從中看出趙泰耉從文本中所呈現的算學功力。而「九章問答」以自問自答形式呈現，其內容乃是針對九章問題的的解法，提出說明或評論，更能反映出趙泰耉的數學素養。¹

4-1 九章內容

九章內容有〈方田〉，〈粟布〉，〈衰分〉，〈少廣〉，〈商功〉，〈均輸〉，〈盈朒〉，〈方程〉，〈勾股〉等九章。

4-1-1 九章名義

趙泰耉曰：「一曰〈方田〉以御田疇界域，二曰〈粟布〉以御交貿变易，三曰〈衰分〉以御貴賤廪稅，四曰〈少廣〉以御積冪方圓，五曰〈商功〉以御功程積實，六曰〈均輸〉以御遠近勞費，七曰〈盈朒〉以御隱雜互見，八曰〈方程〉

以御錯糅正負，九曰〈勾股〉以御高深廣遠。」²顯然，這是針對九章各章內容，

提供一個概要說明。

《籌書管見》的九章內容，除了〈九章名義〉之外，也包含〈方田〉（24），

〈粟布〉（24），〈衰分〉（11），〈少廣〉（27），〈商功〉（31），〈均輸〉（7），〈盈朒〉

（10），〈方程〉（10），〈勾股〉（18）以及〈九章問答〉是全書的精華部分。上述各節之後括號內之阿拉伯數字，表示該節題數。由於這九章總題數 162 遠少於《九章算術》246 個問題，趙泰耉所選題目一定有其特殊考量。³下文逐一介紹各章內容。

4-1-2 方田

〈方田〉章主要在計算土地面積問題，筆者就圖形、名稱與算法，和《九章算術》、《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《詳明算法》、《算法統宗》，以表格形式作比較。表中◎表示在該書中有介紹相同圖形而且名稱相同，若有相同的圖形但名稱不同，則在（）中表示。

1 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 305-308。

2 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 43。

3 見洪萬生，（朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例），頁 305。

(2)

表 4-1 方田章各題內容比較

名

稱圖例籌書管見算

法現代算式題號九章算術

楊輝算法

算學啟蒙

詳明算法

算法統宗方

田

面自乘成積

面積＝a²

1、2 19

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

直田

長闊

長闊相乘得積

面積=ab

3、

20、

21、

22

◎ ◎ ◎ ◎

句股田

句股相乘折半得積

半句乘股圖

半股乘句圖

面積＝ 2

1

b a

＝ b 2 a

＝b a 2

4 ◎ ◎

︵句股形

︶

◎

︵句股形

︶

◎

圭田

底闊乘中長折半得積

(長廣相乘折半圖)

半廣乘長圖

面積＝ 2

1

b a

＝ b 2 a

＝b a 2

5 ◎ ◎ ◎

︵句股形

︶

◎

︵句股形

︶

◎

(3)

半長乘廣圖梯

田

大小頭相併以長乘之折半得積

併兩頭乘半長

併兩頭折半乘長圖

面積

＝(ab)c2

＝( ) 2c b a 

＝a b c

  2

6 ◎

︵邪田

︶

◎ ◎ ◎ ◎

圓田

周徑相乘以四除之得積，或半周半徑相乘得積

直徑（2r），

周（2 r ） 面積

＝2r r24

＝rr

7、8 9、23

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

弧矢田

弦矢相併以矢乘之

折半得積面積

＝(ab)a2

10 ◎

︵弧田

︶

◎

︵弧田

︶

◎

眉田

兩弦相併以腰闊乘之以四除之得積

面積＝

11 ◎ ◎

(4)

4 ) (ab c 環

田

4

外周自乘內周自乘二數相減餘為商十二而一得

積面積＝

12 ) 2 ( R)

(2 ²  r ² 12 13 14

◎ ◎ ◎ ◎ ◎

兩句相併田

兩句股合而成斜圭形以圭田法籌之長廣相乘折半得積

面積＝

(a b  ) c 2

17 ︵三斜田

︶兩

圭相併田

長闊相乘折半得積。若四角傾斜不正則分作兩圭形籌之

面積＝a b 2

18 ︵梭田

︶

︵梭田

︶

︵梭田

︶

︵梭田

︶

5

在〈方田〉章中，題目共計有 24 題，其中第 17 題趙泰耇曰：「今有兩句股相併田，直長八十尺，橫濶四十尺，問積？答：一千六百尺。術曰：兩句股合而成斜圭形，以圭田法籌之，長廣相乘折半得積。」第 18 題又曰：「今有兩圭相併田，中長二十尺，橫活十尺，問積？答：一百尺。術曰：長濶相乘折半得積。若四角歆斜不正，則分作兩圭形籌之。」⁶ ，兩句股田合併成圭田，頗能証明由方田-面積基本圖形，從方田（正方形）是由兩句股相等（等腰直角三角形）的句股田合併而成，再而圭田（任意三角形）可由兩個句股田（直角三角形）合併而成，又兩圭合併田（任意四邊形）亦可由兩圭田（三角形）合併成。可見趙泰耉在幾何學上的功力不凡。

趙泰耉將 12 類的題目都分別給了圖形。⁷同時，他也針對「句股田」，「圭田」

與「梯田」的面積公式，各自給出了多個「以盈補虛」的証明方法。⁸ 第 19-24

4 此處「徑」指兩圓半徑之差。見郭書春，《古代世界數學泰斗劉徵》（台北：明文出版社，1995 年），頁 58。

5 此處「梭形」，根據《楊輝算法》、《算學啟蒙》、《詳明算法》、《算法統宗》等數書，梭形的面積公式皆為「長乘闊折半」。

7 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 43-49。

8 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 45-46。

(5)

題則是關於面積計算涉及分數者。第 24 題趙泰耉曰：「今有田，積三千七百九十六尺，將欲改量令尺為古尺一尺二寸五分，問今積幾何？答：二千四百二十九尺四寸四分。術曰：置積為實，以一尺二寸五分自乘，為法除之。」⁹其中一古尺為一尺二寸五分。而有關圓周率之面積公式則採用了圓周率為 3 的算法，例如第 7 題「今有圓田，徑三十尺，周九十尺，問積？答：六百七十五尺。術曰：周徑相乘以四歸之得積，或半周半徑相乘得積。」¹⁰周徑相乘以四歸之得積，即

90×30÷4＝675，現代算式即為

2

(2 R)(2 ) 2 30

4 2 225

r r

    ^{ }   ≒675，這應

該只是為了方便籌算。

4-1-3 粟布

趙泰耉曰：「〈粟布〉以御交貿變易」。¹¹此章共 24 題，其中一些佈題方式與朝鮮本土脈絡有關，且「粟布」章已經不再納入中國舊九章「粟米」中各種糧食比例交換問題。¹²

這 24 題中大部分為基本乘、除法或者是前章所述的「四率法」解之，另加入「東俗」法，以下依次敘述之。例如：

「今有粟七斗八升一合二勺五抄，每斗價一錢二分八里，問捻價？答：一兩。

術曰：以斗價乘捻粟合問。」¹³以現代數學算式即為：7.8125×0.128＝1。

「今有銀十九兩二錢五分一里，每銀三兩四錢五分換金一兩，問捻金？答：

五兩五錢八分。術曰：置銀為實，以金一兩價為法除實。」¹⁴以現代數學算式乃：

19.251÷3.45＝5.58。

「今有絲十四兩三錢五分，每絲一斤價銀二錢四分，問捻價銀？答：二錢一分五里二毫五絲。術曰：置捻絲以斤價乘之，以十六除之。」「今有絲十四兩三錢五分，價銀二錢一分五里二毫五絲，問斤價？答：二戈四分。術曰：置絲價以十六乘之為宲，以捴絲為法，除宲合問。¹⁵」以現代數學算式乃：14.35×2.4÷16

＝2.1525。2.1525×16÷14.35＝2.4。

12 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 305。

14 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 51-52。

(6)

趙泰耉將四率法歸納為「比例」、「互視」與「合率」三大類。趙泰耇曰：「比例者，以彼物知此物者，皆以比例求之。」¹⁶又曰：「今物多於原物，則今價亦多於原價；今股小於原股，則今勾亦小於原勾矣。」即現代數學裡除以一的正比 例問題，由四項比例式中，a：b=c：d，已知 a、b、c，求第四項 d。趙泰耇將 a、

b、c 稱為一率、二率、三率，d 則稱為四率。其求法是二率乘三率除以一率，得

四率，即

  

 

^ ^

 

三率二率

一率四率 。現代數學以 a：b=c：d 則 b×c=a×d（內項×內

項=外項×外項），所以 d=^{b c} a

 。此題不管是用「四率法」或「異乘同除」都可以輕鬆解之。

「今有茴香一千七百二十五斤十二兩七錢五分，每斤換茶四斤半，捴茶幾何？答：七千七百六十六斤零八五九三七五。術曰：置茴香，斤下留兩為一千七百二十五斤七九六八七五，以四五乘之。凡斤下帶兩者，以每斤價未捻價，則斤下位以十六除之，得數以為斤下之分，以斤價乘之，得捻。若以每兩價乘捻，則十六乘之，化斤為兩，加入斤下之兩為實，以兩價乘之。」¹⁷以現代數學算式乃：

12.75÷16＝0.796875（斤），1725.796875×4.5＝7766.085975（斤）。此題運用了未見於舊九章的「斤下留兩」口訣。¹⁸

「今有田，積十二萬九千六百尺，每畝稅米二十四斗八升，問捻米？答：三百七十二斗。術曰：古法六尺為步，二百四十步為畝，以六尺自乘，以二百四十乘之，得八千六百四十尺，即一畝之尺積也，以畝積除田積得十五畝，以每畝稅米乘之。若以五尺為步，則一畝積為六千尺，以除田積，得二十一畝六分，以每畝米乘之，得五百三十五斗六升八合。」¹⁹以現代數學算式乃：（一）古法：129600÷

（6×6×240）×24.8＝372。（二）當時朝鮮五尺為步故算式：129600÷（5×5×240）

×24.8＝535. 68。此題在「術曰」中運用了「東國田制自方五尺為一步」的規曰²⁰。

「今有三等田積一萬四千二百七十五尺，每結稅米四斗二升八勺，問捻米？

答：四斗二升三勺七抄九攝二圭。術曰：置田積以三等法七乘之，得九十九負九束（餘穀不滿五故去之）以每節米乘之。²¹」以現代數學算式乃：1.4275×70%＝

0.99925≒0.999，0.999×4.28 4.23792≒ 。朝鮮民間當時所用的長度單位與中國不同，分別是「巴」(或作「把」)、「束」、「負」、「結」：1 把=1 尺，1 束=10 尺，1

17 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 52-53。

21 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 53-54。

(7)

負=100 尺，10 負=1000 尺，1 結=10000 尺。

朝鮮民間使用的長度單位系統有多種，如「周尺」、「地尺」、「布帛尺」、「營造尺」等，因此，上述的「尺」到底多長，尚有待查證。除了單位不同之外，還有一種民間使用的田地分級方式：用現代的語彙理解之即：

表 4-2 朝鮮民間田地分級術語之意義

一等二等三等四等五等六等

100% 85% 70% 55% 40% 25%

即每差一等，遞減 15%。例如一等田若為一結，則二等田則為八十五負，三等田為七十負，四等田為五十五負，五等田為四十負，六等田為二十五負。李朝就是用這套方法來區分地目，以便稅收之計算。另外還提供這類民間數學的速算法：

「今有甲銀九五色十七兩六錢四分，乙銀八五色七兩九錢二分，丙銀七五色三兩二錢四分，誤入一爐鎔化，問銀為幾色？人分幾何？答：九色，甲分十八兩六錢二分，乙分七兩四錢八分，丙分二兩七錢。術曰：置甲銀以九五乘之，置乙銀以八五乘之，置丙銀以七五乘之，并得紋銀二十五兩九錢二分為宲，并三人原銀二十八兩八錢為法除實，得九，（即九色也），再列甲原銀，以九五乘之，以九色歸之，得甲分銀，列乙原銀以八五乘之，以九色歸之，得乙分銀，列丙原銀以七五乘之，以九色歸之，得丙分銀。²²」以現代數學算式乃：（0.95×17.64＋0.85×7.92

＋0.75×3.24）÷（17.64＋7.92＋3.24）＝25.92÷28.8＝0.9。甲得銀：0.95×17.64÷0.9

＝18.62；乙得銀：0.85×7.92÷0.9＝7.48；丙得銀：0.75×3.24÷0.9＝2.7。

從上可知，趙泰耉在寫「粟布」章時為順應當時朝鮮的風俗，都是一些可運用的題目。程大位在《算法統宗》文中有曰：「粟布章第二（以御交貿變易）粟，

是米也。以粟稻等率，求米之精粗，以斛斗求糧之多寡，以丈尺求帛之長短，以斤兩，求物之輕重，以御變易。」又「粟布歌」（以穀換糙米，糙米換白米為例說明不同種類或不同糧食間等價交換之折算方法，這種算法相當於今之比例計算，粟米折算方法最早載於《九章算術》粟米章並稱之為今有術。今有術是中國古代的基本算法之一，歴代算書所必論）²³影響，筆者也由文中臆測趙泰耉特將九章中「粟米」改作「粟布」。

4-1-4 衰分

23 見梅榮照、李兆華校釋，《算法統宗校釋》，（安徽：安徽教育出版社，1990 年），頁 361。

(8)

趙泰耉曰：「〈衰分〉以御貴賤廪稅」，²⁴又程大位《算法統宗》文中「衰者，

等也。物之混者，求其等而分之；以物之多寡求之出稅；以人戶第求之差徭；以物價求貴賤高低者也。」²⁵，李籍《九章算術音義》中曰：「衰分，楚宜切。衰，

差也。以差而平分，故曰衰分。」此一算法相當於今之配分例。衰分為《九章算術》第三卷之名稱，該卷給出衰分術：「各置列衰，副並為法，以所分乘未並者各自為實，實如法而一。」其後《孫子算經》、《張邱建算經》均載有這類問題。

宋元以後，衰分問題有進一步發展。如《數書九章》卷九復邑修復題是一個綜合性衰分問題。《算學啟蒙》卷中差分均配門專門討論這類問題，明代《九章詳註比類算法大全》卷三亦有不少論述。²⁶

趙泰耉在〈衰分〉章舉了 11 個問題，均屬綜合性衰分問題，筆者大致將之分為三類（一）「綜合」型比例分配有 1、2、6、7、8、9 題共 6 題。（二）「等比」

型比例分配有第 5 題 1 題。（三）「等差」型比例分配有 3、4、10、11 題共 4 題。

底下就各類型各舉一題分類說明：

（一）「綜合」型比例分配：

例如第 1 題「今有錢一千三百七十五兩二錢，欲貿米、豆、麥三色，要令米三分、豆二分、麥一分，只云：米、豆價四錢二分，豆斗價二戈八分，麥豆價一錢八分，問各幾何？答：米二百六石二斗八升，豆一百三十七石五斗二升，麥六十八石七斗六升。術曰：三倍米斗價二倍豆斗價，加入麥斗價，共得二兩為法，

除捻錢，得麥數二之為豆數三之為米數。²⁷」

用現代數學算式來表示，意即，米數：豆數：麥數＝3：2：1，又米斗價為 4 錢 2 分，豆斗價為 2 錢 8 分，麥斗價為 1 錢 8 分，故 1375÷（42×3＋28×2＋18）

＝68.76，即為麥數。

（二）「等比」型比例分配

第 5 題「今有粟一萬一千五百五十七石，令四等人戶，從上作十分之六差分之，甲等一百二十五户，乙等一百八十三户，丙等二百八户，丁等九十五户，問每等每户各該幾何？答：甲等四千三百七十五石，每户三十五石；乙等三千八百四十三石，每户二十一石；丙等二千六百二十石八斗，每户十二石六斗；丁等七百十八石二斗，每户七石五斗六升。術曰：置捻石以一千通之為實，另置甲等户以一千通之，乙等以六百通之，丙等以三百六十通之，丁等以二百十六通之，并

24見趙泰耉，《籌書管見》，頁 56。

25見梅榮照、李兆華校釋，《算法統宗校釋》，（安徽：安徽教育出版社，1990 年），頁 371。

26見梅榮照、李兆華校釋，《算法統宗校釋》，（安徽：安徽教育出版社，1990 年），頁 433。

(9)

四衰得三十三萬二百為法，除實得數，即甲等一户所得之數，六之為乙等每户之數，又六之為丙等每户之數，又六之為丁等每户之數，仍以各户數乘所得之數，，

得各等捻數。」²⁸

也就是說，乙户所得＝ ⁶

10×甲户所得，丙户所得＝ ⁶

10×乙户所得，丁户所得

＝ ⁶

10×丙户所得，各等户之間所得成等比數列，公比為 ⁶ 10。（三）「等差」型比例分配

第 3 題「今有甲、乙、丙、丁、戊五人，共分銀五百二十一丙八錢五分，

差等分之，要令甲、乙所得之數，與丙、丁、戊所得之數同，問各幾何？答甲一百三十九兩一錢六分，乙一百二十一兩七錢六分五厘，丙一百四兩三錢七分，丁八十六兩九錢七分五厘，戊六十九兩五餞八分。術曰：甲五、乙四、丙三、丁二、戊一，甲乙併得九，丙丁戊併得六，九比六多三，仍以三各添五位為甲八、乙七、丙六、丁五、戊四，併甲乙為十五，併丙丁戊為十五，合為三十，以三十除共銀為實，以各人差數甲乙七八之類乘之合問。」²⁹

上述解法用算式表示，即為令甲為 a＋5d，乙為 a＋4d，丙為 a＋3d，丁為 a＋2d，戊為 a＋d 則可得

甲＋乙＋丙＋丁＋戊＝52185 甲＋乙＝丙＋丁＋戊即為

（a＋5d）＋（a＋4d）＋（a＋3d）＋（a＋2d）＋（a＋d）＝52185……（1）

（a＋5d）＋（a＋4d）＝（a＋3d）＋（a＋2d）＋（a＋d） ……（2）

由（2）可得 2a＋9d＝3a＋6d 得 a＝3d

因此五人各再添 3，即為甲 8d，乙 7d，丙 6d，丁 5d，戊 4d，合計共 30d，以 52185 為實，30 為法除之，即可得公差 d。

第 11 題「今有竹九節，只云：上四節容米一升四合，下三節容米二升一合，問每節容米？答：第一節七合十一分合之七，第二節七合，第三節六合十一分合之四，第四節五合十一分合之八，第五節五合十一分合之一，第六節四合十一分之五，第七節三合十一分合之九，第八節三合十一分合之二，第九節

28見趙泰耉，《籌書管見》，頁 61-62。

(10)

二合十一分合之六。術曰：以四節乘二升一合，以三節乘一升四合，二數相減餘四十二為宲，并四節三節為七折半，得三半，以減九節，餘五節半，以四節三節相乘得十二，以乘五節半，得六十六為法除宲，宲小故命分，得十一分之七，即每節之差也，置下節米二升一合，以三歸之得七合，加十一分之七為七合十一分合之七，即第一節容米也，逓減十一分之七，得各節容米○，又術置二升一合，以三節歸之，得七合，置一升四合，以四節歸之，得三合半，以減七合，餘三合半為宲，自第三節數至第七節，得五層，加半層得五五為法除宲，

亦為十一分之七，即差數也。」³⁰

其上第 11 題「竹九節」應該是《九章算術》「均輸」章的問題。³¹ 4-1-5 少廣（即開方法）³²

趙泰耉曰：「〈少廣〉以御積冪方圓」。³³古中國的開平方法、開立方法都記載於《九章算術》第四卷中，其理論依據則是二項展開式的應用，說明如下：

 

^{a b}^ ² ^{ }^a² ²^{ab b}^{  }² ^a²



²^{a b b}^



 

^{a b}^{  }³ â³ ³^{a b}² ^³âb²^{  }^b³ â³ ^_³â²^



³^{a b b b}^



^_

在《籌書管見》中，提到的開方法（共 27 題）：一是開「平方」法（1-10 題），

二是開「立方」法（16-22 題），三是開「帶縱平方」法(即含有一次項的一元二次方程式)（11-15 題），四是開「帶縱立方」法（23-25 題），第 26、27 題則分別需要用到開四次方根與開五次方根。

（一）開平方例式

表 4-3 開平方法

題目籌算解法

30 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 65-66。

31 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 306。《九章算術》「少廣」章包括一些非開方問題如：已知長方形面積及一邊長，求另一邊長。参考郭書春：《九章算術》，

頁 259-265。

32 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 306。参考郭書春：《九章算術》，頁 365-366

(11)

今有平方積二十二萬五千六百二十五尺，問方面?

答：四百七十五尺³⁴。

初商實方隅次商

實方

隅又次商

實方

隅

置積為實，實數滿萬，可商數百，隅超三位立於萬尺之下，上商四百，以隅呼商，置四百於隅法之上為方，法以方呼商，除實十六萬，餘實六萬五千六百二十五尺，復以隅乎商加入方，法得八百，方法退一位，隅退二位，次商七十，置於四百之右，以隅乎商，

置七十於隅法之上，得方法八百七十，以乎次商七八五十六，除實五萬六千，又呼七七四十九，除實四千九百，餘實四千七百二十五，復以隅乎商加入方，法得九百四十，方退一位，隅退二位，次商五尺置於七千之右，

以隅乎商，置五於隅法之上，得方法九百四十五，以呼次商五九四十五，除實四千五百，

又呼四五二十，除實二百，又呼五五二十五，

除實恰盡。

（二）開立方例式

表 4-4 開立方法

題目籌算解法今有立方積一萬

五千六百二十五尺，問方面幾何?

答：二十五尺。³⁵

商實方

廉隅

商實方廉隅

實滿千可商一千，隅法超二位橫置於實數千位之下，上商二十，以隅呼商，得廉法二千，得廉法二千，以廉呼商，得方法四百，以方呼商除實八千，餘實七千六百二十五，隅呼商加廉得四十，廉呼商加方得一千二百，復以隅呼商加得六十，方一退，

廉二退，隅三退，次商五尺，隅呼商加廉得六十五，廉呼商加廉得一千五百二十五，方呼商除實恰盡。

上述「開平方」、「開立方」皆與《楊輝算法》相同。³⁶趙泰耉在「開平方」、「開

34 此題見趙泰耉，《籌書管見》，頁 67。

36 參考王文珮，《楊輝算書探微：一個 HPM 的觀點》，（台北：國立台灣師範大學學系教學碩士

(12)

立方」法的術曰中，分別都提供「依圖布籌」，同時也呼應了前文中的「開方定商法」。³⁷

（三）開帶縱平方例式

「今有直積三千一百二十尺，只云長多闊十七尺，問長、闊各幾何？」³⁸ 根據題意，此題相當於解一元二次方程式 x²17x3120。底下則是趙泰耇的計算過程：

直積為實，立一隅於百尺之下

，以長多十七尺為從方，置於隅上。

上商四十，以隅呼商，亦置四十於隅上，併從方得五十七為法，以呼上商。

除實二千二百八十尺，餘實八百四十，以隅呼商，加入方法為九十七。

方一退，隅二退，次商八尺，

以隅呼之，加入方為一百五尺

，呼商除實恰盡，得四十八尺

。

（四）開帶縱立方例式

「今有立直積一萬七千五百尺，只云：高多方三尺，問方及高？」³⁹

班碩士論文，2002 年 8 月），頁 63-76。

37 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 306。此一佈籌開方圖示十分珍貴，因為中國古代數學文本中，我們找不到類似的例証。

商

實 3120

從方 17

隅 1

商 40

實 3120

從方 57 （40＋17）隅 1

商 40

實 840 （3120－40×57）從方 97 （40＋57）隅 1

商 48 （40＋8）實 0 （840－105×8）從方 105 （97＋8）隅 1

(13)

上述題目，用現代數學符號表示即為解一元三次方程式 ^x²

 

^x^{ }³ ¹⁷⁵⁰⁰^，其

所使用方法如下：

直積為實，上商二十，隅呼商得廉二十，加入從廉三尺，得二十三。

呼商得方，四百六十，呼商除實九千二百，餘實八千三百。

隅呼商加廉得四十三，廉呼尚加方得一千三百二十。

隅又呼商加廉為六十三，方廉隅各退，次商五尺。

隅呼商加廉得六十八，呼商加方得一千六百六十，呼商除實恰盡得方二十五尺。

4-1-6 商功（附堆積法）

趙泰耉曰：「〈商功〉以御功程積實⁴⁰」。「商功」章共有 31 題，前 19 題都與中國《九章算術》〈商功〉題類似，後 12 題則與「堆積（垜）法」類似⁴¹。趙泰

41 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耇〈九章問答〉為例〉，頁 306。

商 20

實 17500

方廉 23 （1×20＋3）隅 1

商 20

實 8300 （17500－460×20）方 460 （23×20）廉 23

隅 1

商 20

實 8300

方 1320 （43×20＋460）廉 43 （1×20＋23）隅 1

商 20

實 8300

方 1320 （43×20＋460）廉 43 （1×20＋23）隅 1

商 25 （20＋5）實 8300

方 1320

廉 63 （1×20＋43）隅 1

商 25

實 0 （1660－1660）方 1660 （68×5＋1320）廉 68 （1×5＋63）隅 1

(14)

耇曰：「方內容圓四分之三，圓內容方三分之二，圓容六角八分之七，六角容圓七分之六，三角容圓七分之四，圓容三角十六分之七，立方容圓十六分之九，立圓容方三分之一；方五斜七，正六面七，勾三股四斜五，、穿四壤五堅三。」⁴² 是為了計算方便，取其大約數。此方法應是引自《算法統宗》，程大位列舉了「方圓定則九圖」如下：

周三徑一

徑十尺

尺十

三周

論周三徑一不足周求徑三歸論徑一周三有畸經求周三因

方內容圓

四分之三

方內容圓

周自乘法用十二除乃是原三乘方四之法

徑自乘法用三因為圓四歸為方積三因四歸

圓容六角

圓容六角八分之七

積八歸七因

方五斜七論

方五尺尺七斜

論方五斜七有畸方求斜十四乘論斜七方五不足斜求方十四除

圓內容方

三分之二

圓內容方

積三歸二因

六角容圓

七分之六

六角容圓

積七歸六因

正六面七三角容圓圓容三角

(15)

六正

步步步

七七

面面

步七面

弦求徑六因七歸徑求弦七因六歸

七分之四

三角容圓

積七歸四因

十六分之七

圓容三角

積十六除七因

圖 4-1 方圓定則九圖⁴³

而在《雜九章算術》「商功」單元方面，程大位曾提及：「『商』，度也。商量用力之法也。以堅壤之率求穿地之實，以廣闊高深，求城塹溝渠之積，以車往來求程途負載之功。」⁴⁴在上述體積的公式說明後，趙泰耉他藉由上一單元的基礎，

引導學習者能實際應用於計算建築物的體積。簡單說明了在土建工程時，其『穿積』：『堅積』：『壤積』＝4：3：5，⁴⁵並繼而提出築土建工程的類型，包括：「城積」、「河積」、「方堡壔」、「圓堡壔」、「方亭臺」、「圓亭臺」、「方錐」、「圓錐」、「築圓城」等，即土建工程中的體積計算問題。然後進而介紹建築物的體積公式，以使人力能發揮的更有效率。

趙泰耉於「商功」中第 4 題問曰：「今穿地，廣三尺，長五尺，深七尺，問穿地及壤、堅各幾何？」⁴⁶答曰：「穿地一百零五尺，壤一百三十一尺二寸五分，

堅七十八尺七寸五分。」其方法為：「長廣相乘，以深乘之，得穿積。以五乘積，

以四除之得壤積。以壤積，三因四歸，得堅積。」依現今之算法如下：穿地積＝

3×5×7＝105 ，又因為『穿積』：『堅積』：『壤積』＝4：3：5 ，所以壤積＝105×⁵ 4

＝131.25 ，堅積＝131.25×³

5＝78.75。

〈商功〉章中，趙泰耉在所附上「堆積（垜）法」，也有完整的介紹。這個單元大抵為探討堆垛個數的問題。按一定規律堆放的物體來計算總數，或由物體的總數推估外層或上層的個數，前者稱「堆積」，後者稱「還原」，相當於今之數列、級數的計算。內容包含茭草底子、倚牆尖堆、倚牆平堆、三稜算子、堆垛、

小梯垛、大梯垛、圓箭、方箭、三稜箭、三角垛果子、四角垛果子、三角四角果

43 趙泰耉在〈雜法〉明顯少了許多，參考本文 3-5-5〈雜法〉

44 引明．程大位《算法統宗》（商功第五章），收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，鄭州：河南教育出版社‧1993 年，頁 1338

45 《九章算術》商功章第一題術曰：「穿地四，為壤五，為堅三，為墟四。」穿謂鑿，壤謂疏鬆的土，堅謂牢固的土。

(16)

子各一所、圓毬、金毬、缶瓶堆垛、積罌等等。

事實上，堆垛術的創始者為北宋沈括的隙積術，而其萌芽可追溯至《九章算術》的芻童術。《算學啟蒙》、《四元玉鑑》、《丁巨算法》、《算法全能集》、《詳明算法》、《九章詳註比類算法大全》與《田畝比類乘除捷法》等書，皆曾討論堆垛的問題，而這部分所討論的問題有大部分取材自《詳明算法》、《田畝比類乘除捷法》、《算學啟蒙》等書，當然更提及利用《九章算術》中的「芻童術」來解題，

但卻無寫出芻童術的做法。

「隙積術」也就是一般所說的垛積問題，而在中國最早研究對此門加以研究是北宋時代的沈括(西元 1032-1095)，此外，楊輝、朱世傑也在隙積這個領域有所貢獻，⁴⁷正如清代數學家顧觀光所說：「堆垛之術詳於楊氏、朱氏二書，而創始之功，斷推沈氏。」⁴⁸

下表是《籌書管見》中提到隙積問題，筆者為之加上圖示，並佐以現代數學符號表示法。其中「圓物」即《籌書管見》之「箭圓束」。「圓箭」、「方物中心無一」應是來自《算學啟蒙》。

表 4-5 隙積術說明

類型圖示例題與解法以現代數學符號表示圓物

公差 6

1、6、12、18、24…

22 今有竹箭圓束，外周五十四，問積？答：

二百七十一個。⁴⁹

 

271 2 1

6 6 54

54  





方物公差 8

1、8、16、24、32…

24 今有方束，外周三十二，問積？答：八十一。⁵⁰

 

32 32 8 8 2 1 81

  



四方垛

1²＋2²＋3²＋…＋

n²=？

28 今有四角果垛，每面底闊十二個，問積？

答：六百五十個。⁵¹

 

¹

12 12 1 12

2 650 3

 

   

47 參考自李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》（台北：九章出版社，2000 年），頁 172。

48 參考顧觀光，《九數存古》，卷五。参考林肯輝，《《書計瑣錄》之內容分析》，台北：國立台灣師範大學學系教學碩士班碩士論文，2003 年，頁 83。

51 見趙泰耇，《籌書管見》，頁 90。

(17)

三稜物公差 9

1、9、18、27、36…

26 今有三稜平積，外周四十五束，問積？

答：一百三十六個。⁵²

 

45 45 9

1 136 9 2

  



三角垛

1＋（1＋2）＋（1

＋2＋3）＋…＋（1

＋2＋3＋…＋n）

=？

29 今有三角果垛，每面底闊十八個，問積？

答：一千一百四十個。

53

  

18 18 2 18 1 6 1140

  



趙泰耉在此處均有同數據，反問的問題，為比較特殊的論述，故依上圖表分列之。

4-1-7 均輸

趙泰耉曰：「〈均輸〉以御遠近勞費」。⁵⁴相對於前節「商功」章的龐雜內容，

「均輸」章只有 7 題，包括了《九章算術》「商功」章的傳統題型如第 1 題「今有倉粟二萬零二百七十六名，令三鄉人戶分，納量戶口多寡，道里遠近，價值高下，而均輸之上鄉三百二十四戶，距倉三百里，粟石價四兩五錢，中鄉四百八十六戶，距倉四百五十里，石價三兩六戈，下鄉二百八十六戶，距倉六百五十里，

石價二兩二錢，問各戶設納幾何？答：上鄉納六千五百七十六石，每戶二十石二十七分石之八，中鄉納八千二百二十石，每戶十六石八十一分石之七十四，下鄉納五千四百八十石，每戶十九石一百四十三分石之二十三。術曰：列置三鄉，戶數以上鄉三百里乘石價四兩五錢，得十三兩五錢，以除上鄉戶，得二十四分，以中鄉四百五十里乘石價三兩六錢，得十六兩二錢，以除中鄉戶，得三十分，以下鄉六百五十里乘石價二兩二錢，得十四兩三錢，以除下鄉戶，得二十分，并得七十四分，以除捴粟，得二百七十四石，以二十四乘之，即上鄉所納，以三十乘之，

即中鄉所納，以二十乘之，即下鄉所納，仍各以其戶除之，得各鄉每戶所納。」

55至於第 6 題「今有三女寧親，大女七日一來，中女五日一來，小女三日一來，

問三女幾日同會？答：一百零五日。術曰：以五乘之，再以三乘之。」⁵⁶此題型原載於中國《孫子算經》，⁵⁷趙泰耉何以編入此章，值得探究！而後「九章問答」

第四十三條中提供說明為何「術曰：以五乘之，再以三乘之。」（現代數學最小公倍數 7×5×3）其說明如下：「問三女寧親何其多日，而得會耶？曰：五七三十

54 見趙泰耇，《籌書管見》，頁 43

55 見趙泰耇，《籌書管見》，頁 92-93。

(18)

五日，則大女、中女會，而小女不在，三五十五日，則中女、小女會，而大女不至，三七二十一日，則大女、小女會而中女不來，故必百五乃得參會也。」⁵⁸但是並未指出此一問題與「均輸」之關係何在。

4-1-8 盈朒

趙泰耉曰：「〈盈朒〉以御隱雜互見」⁵⁹。「盈不足術」又稱「盈朒術」，為《九章算術》中第七章。典型的盈不足問題是買物問題，各人所出 A，盈 a，所出 B，

不足 b，求人數、物價，計算時排列如下圖。根據《九章算術》「盈不足術」的

「術曰」可以整理成

不盈不朒之正數=

b a

Ba Ab



 物價= A B

Ba Ab





人數= A B b a



 。⁶⁰

若用代數方法檢驗之，可以看成一個線型函數的問題，設我們欲求出的「不盈不 朒之正數」為 x，即此 x 可使線型函數 f(x)=0，而依題意的條件可列 f(A)=a，

f(B)=-b(負表示不足)，我們假設此線型函數為 f(x)=kx+h，k，h 為常數，則依條件 可列出聯立方程式：

f(A)=kA+h=a…(1) f(B)=kB+h=-b…(2)

(1)-(2)得 k=

B A

b a



 ，代回(1)可得 h=

B A

Ba Ab



 ，即 f(x)=

B A

b a



 x+(

B A

Ba Ab



 )

因為 f(x)=0，故 x=

b a

Ba Ab



 ，即不盈不朒之正數。而 k=

B A

b a



 即人數，h=

B A

Ba Ab



即物價。

《九章算術》中除了「盈不足」術外，還有兩類：一是「兩盈」或「兩不足」；二是「盈適足」或「不足適足」。「兩盈」的情況只需改(1)中的 a 為-a 即可，

「兩不足」的情況則改(2)中的-b 為 b，可得到

60 參考郭書春，《古代數學泰斗-劉徽》（台北：明文出版社，1995 年），頁 19-20。

A B

a b

(19)

不盈不朒之正數=

b a

Ba Ab



物價= A B Ba Ab



人數= A B b a



 。⁶¹

「盈適足」或「不足適足」則可分別令 b=0 或 a=0，即可得到 盈適足：

不盈不朒之數=B 人數= A B

a

 物價= A B

Ba



不足適足：

不盈不朒之數=A 人數= A B

b

 物價= A B

Ab



《籌書管見》〈盈朒〉有 10 個例題，其中「盈不足」有第 1、2、7、9 題共 4 題，「兩盈」有第 3、4 共 2 題，「兩不足」有第 5 題 1 題，「盈適足」或「不足適足」有第 6、8、10 題共 3 題。以下摘錄兩題分析：

今有人分物，不知其數，只云每人七個盈七個，每人九個不足十一個，問人數、物數各幾何？答：人九，物七十個。術曰：此問一盈一不足也，以每人為分母，盈不足為分子母互乘，子并之為物宲，并盈不足為人宲，兩分母相減，以其餘為約法以除物宲得物除人宲得人，依啚布籌。左上乘右下得六十三，右上乘左下得七十七，并為一百四十，并盈不足為十八，另以七個九個相減得二為法，除一百四十為物數，除十八為人數。⁶²

此題是典型的「盈不足」問，按右圖所示：

根據公式得：

不盈不朒之正數=^{7 11 9 7} 7 11

  

 =¹⁴⁰ 18 物數= 140

7 9 70

 人數= 18

7 9 9

 。

61 參考郭書春，《古代數學泰斗-劉徽》（台北：明文出版社，1995 年），頁 20-21。

62 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 95-96。

9 7 11(不足) 7(盈)

(20)

故物數共 108 個，人數共有 24 人，每人應分¹⁴⁰ 18 個。

今有店主招客，每房九人餘四十三人，每房十二人餘四人，問房及人幾何？

答：房十三，人一百六十。術曰：此兩盈也，依啚布籌。母互乘，子相減，

為人宲兩盈，相減為房宲，分母相減餘三，為法除各宲合問。⁶³ 我們可用盈朒術解之，是為「兩盈」的問題。如右圖排列各

數。則

不盈不朒之正數= ^{9 4 12 43} 43 3

  

 =⁴⁸⁰ 39 。人數= 480

43 4 160

 房間數= 43 3

12 9 13

 

 。

趙泰耉在〈盈朒〉章的「術曰」中，又恢復「依圖佈籌」之方式，是故此一佈籌開方圖示十分珍貴，因為中國古代數學文本中，我們找不到類似的例証。⁶⁴ 底下再舉一《九章算術》例題

金瓶十二隻，銀瓶十五隻，稱之重適等，交換一隻而稱之，金輕銀五兩七錢半，問二色各一重幾何?曰：金瓶一重二十八兩七錢半，銀瓶一重二十三兩。

此題在《九章算術》中是放在「盈不足」章第十八題，以盈朒術求之。《算法統宗》則將這題放在「衰分」章。以下分別根據《九章算術》中的「盈朒術」與《籌書管見》中的「衰分術」，以現代數學符號呈現。

表 4-6 盈不足術與衰分術

盈不足術衰分術

假設金一重 x 兩，銀一重 y 兩。依題意 得 12x=15y。

則吾人可令 f(x)=(14y+x)-(11x+y)-5.75 即 f(x)=13y-10x-5.75

欲求 x 使 f(x)=0。

12 金=15 銀。

先將互換後的重量差除以 2。

5.75÷2=2.875

以此分別乘以原銀、金的個數：

15×2.875=43.125

63 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 96-97。

64 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耉〈九章問答〉為例〉，頁 306 之註 40。

12 9 4 43

(盈) (盈)

(21)

(1)先令 12x=15y=120 則 x=10，y=8

故 f(10)=13×8-10×10-5.75=-1.75 亦即當 x=10 時，不足 1.75 (2)次令 12x=15y=240

則 x=20，y=16

故 f(20)=13×16-10×20-5.75=2.25 亦即當 x=10 時，盈 2.25

利用盈朒術：

10 20 1.75 2.25 不盈不朒之正數 x=

75 . 1 25 . 2

75 . 1 20 25 . 2 10







 =14.375

再利用 12x=15y 即可求出 y=11.5 答：金一重 14.375 兩，銀一重 11.5 兩

12×2.875=34.5

原金、銀個數相減 15-12=3 再以 3 除上述兩積：

43.125÷3=14.375 即金一重 34.5÷3=11.5 即銀一重。

以現代代數檢驗：

設原金 a 塊，每塊重 x；銀 b 塊，每塊 重 y。互換 p 個後，金比銀輕 w。則：

ax=by…(1)

(a-p)x+y=(b-p)y+x-w…(2) 利用加減消去法得

x=

  

p b a bw



1

y=

  

p b a aw



1 ，因為此題是交換 1 個故 x=

 

b a

b w

 

2 ，即金一重 y=

 

b a

a w

 

2 ，即銀一重。

4-1-9 方程

趙泰耉曰：「〈方程〉以御錯糅正負。」⁶⁵此單元實為《九章算術》中的第八章：方程。〈方程〉是《九章算術》中最高的成就。⁶⁶由於〈方程〉章中包含了

「正負術」⁶⁷。

《九章算術》中的方程術已經可以解決五元一次方程組了，甚至如「五家之井」更是六元之不定方程組。但《籌書管見》「方程」舉 10 題目，其中二元方程組有第 1、2、3、9 共 4 題，三元方程組有第 4、5、7、8、10 共 5 題，四元方程組有第 6 題 1 題。如前章一樣「依圖佈籌」了珍量史枓，至於解題方式，筆者以其中二例說明：

問鼎三彝二共重一百五十五兩，又鼎四彝五共重二百六十五兩，鼎彝各重

66 見郭書春，《古代數學泰斗-劉徽》（台北：明文出版社，1995 年），頁 38。

67 《九章算術》「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」見劉鈍、郭書春點校，《算經十書》（台北：九章出版社，2001 年），頁 175。

(22)

幾何?曰：鼎三十五兩，彝二十五兩。術曰：布籌。先以右上三偏乘左行，

左行鼎十二彝十五，重七百九十五兩，次以左上四偏乘右行，右行鼎十二彝八，重六百二十兩，仍以右行減左行，鼎空彝七，重一百七十五兩，即彝之重上法下宲而一，得彝重二十五兩，置彝重，就本圖以彝二乘之，得五十兩，以減共重，餘一百五兩，即三鼎之重，以三除之，得鼎重。⁶⁸

《籌書管見》中「方程」的計算格式為「直式」，如右圖。對照今人所用的「橫式」，設一個鼎重 x 兩，一個彝重 y 兩，依題意列式：

3x+2y=155…(1) 4x+5y=265…(2)

第(1)式等同於右式，第(2)式等同於左式。「方程術」的精神是利用「互乘消去法」，⁶⁹為了使兩式 x 的係數相等以便消去，今人會將第(1)乘 4，第(2)式乘 3，等同於《籌書管見》

中方程術以鼎 3 乘左式，以鼎 4 乘右式，如右圖中箭頭所示。

再以(1)減(2)，即左右兩式相減，就可以將 x(即鼎)消去，而 求出 y(即彝)，再將求出的 y 代入(1)即右式，即可求出 x。

4-1-10 勾股

趙泰耉曰：「〈勾股〉以御高深廣遠。」⁷⁰「勾股」的內容與中算文本中，吳敬《九章算法比類大全》(1450 年)⁷¹、楊輝《詳解九章算法》(1261 年)的〈勾股生變十三名圖〉、⁷²程大位《算法統宗》(1592 年)的〈勾股名義生變一十三名〉均相同，而《籌書管見》的〈勾股〉則增加了勾股積、勾冪、股冪及弦冪，減少了弦較和，共有十六種情形。而〈勾股〉這個說法最早出現在顧應祥的《勾股算術》

(1533 年)中。⁷³金容雲在《籌書管見》(1718)書前，有提到口訣是參考《詳明算

68 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 101-102。

69 即今國內中小學數學教科書中之「加減消去法」。

71 見楊輝，《楊輝算法》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊（鄭州：

河南教育出版社，1993 年），頁 974。

72 見程大位，《算法統宗》收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊（鄭州：

河南教育出版社，1993 年），頁 1364。

73明‧顧應祥，《勾股算術》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷第二分冊，（鄭州：河南教育出版社，1993 年），頁 976。

左右 265 155

(積 795) (積 620)

彝彝 5 2

(積 15) (積 8)

鼎鼎 4 3

(積 12) (積 12)

圖 4-2 方程術(直式)

(23)

法》及《算法統宗》。⁷⁴

《籌書管見》〈勾股〉章共有 18 題，如下表所示：

表 4-7 勾股章各題比較

題號名目及條件術曰

1.2.3

勾股弦互求 已知 a，b 求 c 已知 a，c 求 b 已知 b，c 求 a

c＝ a²  b² b＝ c²  a² a＝ c²  b²

4.5.6.7

勾股與諸較及諸和求勾股弦 已知 a，c－b

已知 b，c－a 已知 b，c＋a 已知 a，c＋b

c＋b＝c b a



2

c＋a＝c a b



2

c－a＝c a b



2

c－b＝c b a



2

8 勾弦和、勾弦較求勾股弦

已知 c＋a，c－a b＝ (ca)(ca)

9 勾、股求容方 S＝

b a

ab

 10.11. 比例勾股

12 勾、股求容圓徑

已知 a，b，c 圓徑＝

c b a

ab



2 4 1

13.14 勾與股弦差求股

已知 a，c－b c+b＝

b c

a



2

15.16. 立表測望 17.18 勾、股、弦求面積

已知 a，b，c

74見趙泰耉，《籌書管見》，頁 103-104。由此可臆測「勾股」的部份可能是參考自《算法統宗》。

(24)

趙泰耉用最簡易勾股數字來表達勾股術中的意義，解法也都是利用中算的古法求作，其中包含八種題型及測量題，前七種題型與《九章算術》及《九章算法比類大全》均相同，「弦與勾股和較求勾股」未被列入，「已知股與勾弦較求勾與弦」(題 5)是新增，題目如下：「今有股十二尺，句弦較六尺，問弦及句？

答：弦十五尺，句九尺。術曰：股自乘，以較除之，得二十四，即句弦和數也，

加較半之得弦，減較得句。」⁷⁵立一表、立二表三角測量問題（第 15 題如下表，

第 16 題），以及已知直角三角形三邊長，求其面積之問題（題 17、18）。而本章也附錄了幾個圖形，其中最後四題之附圖還相當複雜精準，⁷⁶但作者並未提供『勾股定理』之圖形證明，實在令人不解。⁷⁷。

第 10 題附有「歌訣」（後表敘述），第 15 題附有「解曰」，第 16 題題目如下：「今有隔海望山立二表，高各五步，相距千步，前後参直，徙前表，卻行一百二十三步，人目著地，取徑島山，與前表参齊，復從後表卻行一百二十七步，人目著地，取望島山，亦與後表参齊，問島高及島距前表幾何？答：島高一千二百五十五步，前表距島遠三萬七百五十步。術曰：以表高乘表間得積，

於後表卻行內減前表卻行餘四步為法除之，加表高，得島高，以前表卻行乘表間，以相多四步為法除之，得島遠。楊輝曰：海島以重差為術，前表距木遠，

乃小股中容積一段，後表去木遠，乃大股中容積一段，以小容積減大容積，其餘減不盡者，在前後表兩界之中，名表間積，所以古人以表高乘表間為宲，以前啚小餘股減後啚大餘股，以餘除表間積，得弦外之高，本是大容積減小容積餘為宲，大餘股減小餘股餘為法，以法除宲加表高為句之通長。」⁷⁸其中「楊輝曰」，⁷⁹其他的類型都未見於《九章算術》「勾股」章。它們可能源自《楊輝算法》。⁸⁰

76 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 116-119。

78 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 117-119。

79 見郭書春 (1993)，《籌書管見》〈勾股〉第 15 題與楊輝《續古摘奇算法》之『遙望木竿』3 題相同。後者收入《楊輝算法》（本書含《乘除通變本末》，《田畝比類乘除捷法》與《續古摘奇算法》），頁 1113-1116。

80 見洪萬生，〈朝鮮儒家讀九章－以趙泰耇〈九章問答〉為例〉，頁 307。

(25)

由上為第 15 題的圖形及解法，原文的圖形雖然不是很正確，⁸²但仍然可以看出趙泰耉的解題方法，以及他想用圖形來幫忙解題。趙泰耉在這裡先說明：

句股弦法是已知二段求一段，但這裡只有句，沒有弦及句股積，故用大小相似句股形求得大股。

在楊輝《詳解九章算法》的基本題都是用(8，15，17)勾股數，趙泰耉則是

81 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 116-117。

82 見趙泰耉，《籌書管見》，頁 117。圖形有出入，但並不影響解題方法與結果的正確性。

15、今有立木，不知其高，從木根退至二十五尺，立一表，

表高九尺，從表退五尺，復立短表高三尺，人目著短表端望木梢與前表端齊平，問木高？

荅：三十九尺。

術曰：置前表距木遠二十五尺為大句，前表減後餘六尺為小股，以乘大句為實，以兩表間五尺為小句以除實得大股三十尺即表上之高也，加表高三十九尺。⁸¹

解曰：勾股之法以二段求一段，

此只有句，而無弦、無積不可以求股也，故退作小句股，其形與大句股相似，以異乘同除求之得大股。

現代的解法：若大句＝25 ， 小股＝9－3＝6，小句＝5，

大股：25＝6：5 則大股＝30 ∴ 木高＝30+9＝39

另解曰：以直形補成倒順兩句股，則弦之內外各有直積一段兩積相同，以小股除之得大句，小句除之得大股。以小股乘二十五尺為容方積，以小句為餘句除之得餘股。

這裡他把把小句看成餘句，則小股×大句=容方積

容方積/餘句=餘股。

大股小股大句

小句

(26)

熱愛(3，4，5)，這或許是他在《雜法》中，特別指出勾三股四弦五的原因吧。《九章算法比類大全》⁸³「卷九」一開始是勾股弦互求三種算法，再來勾股弦圖、勾股生變十三名圖、古問二十四問、比類二十九問以及詩詞四十八問，比類前五題的數字是(27，36，45)即(3，4，5)來處理，由以上的資料顯示，趙泰耉《籌書管見》的「勾股」部份，也可能是以《九章算法比類大全》為主要的參考文本。

趙泰耉利用兩個圖形來解釋本章題 1-8 的解法，這裡包括了勾股定理與「勾弦和」，「勾弦較」，求股等等所謂的「勾股」之術。⁸⁴針對「勾股容方」（本章題 9）與「勾股容圓」（本章題 12），趙泰耉所提供的兩個圖形不具一般性，而且他的論述並未脫離圖形之特定關係，他顯然並未有效地證明了勾股定理。以下為題 9 及題 12 的圖形及解法：

9、今有勾股容方，只云(句)二十一尺，

股二十九尺，問容方面？

荅：十二尺一寸八分。

術曰：句股相乘得倍積為實，并句股為法除實。

解法：s=

b a

ab

 = 12.18 29

21 29 21 





83 引郭書春《古代世界數學泰斗－劉徽》，（台北：明文書局，1995 年），頁 418-420。明朝出現了兩部在《九章算術》影響下縞纂的重要的數學著作，一是吳敬的《九章算法比類大全》，

一是程大位的《算法統宗》。吳敬，字信民，仁和(今杭卅巿)人。當擔任過浙江布政使司的冪府，掌管全省田賦和稅收的會計工作。積十年多的時間，於 1450 年完成《九章算法比類大全》

十卷。在第一卷之前的首卷列出了大數記法、小數記法、四則運算等內容。第一卷到第九卷收集了《九章》、《海島》、《緝古》、《詳解九章算法》等著作中的題目作為“古問”，並以結合當時人民生活實用性問題，特別是與商業資本有關的應用題比類，共一千多個問題，依照《九章》

的名目方田、粟栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程、勾股分成九類。這是楊輝比類思想的進一步發展。它對後來幾百年的的中國著作起了規範的作用。而程大位(1533~1606)，

字汝思，號賓渠，安徽休寧(今安徽省黃山市屯溪區)人。少年聰慧，讀書廣博，對文字學、書法、數學尤感興趣。20 歲起在長江中下游一帶經商，他搜羅了很多數學著作，遍訪明師。60 歲（1592）完成《直指算法統宗》十七卷，匯集了 595 個數學應用問題，大部分是傳本數學書中摘錄的。程大位為了這部著作，花費了不少心血。

84見趙泰耇，《籌書管見》，頁 179-180。趙泰耇所提供的兩個圖形不具一般性，而且他的論述並未脫離圖形之特定指涉，所以，他顯然並未有效的證明了勾股定理。不過。他顯然只訴諸這兩個圖形，就同時為本章題 1-8 的解法，提供了合理的說明。

第 4 章 《籌書管見》內容分析（二）