第壹章 緒論
第一節 研究背景
平行線概念及相關的推理性質是中學幾何課程的基本單元，它在歐幾里 得幾何原本中佔有不可或缺的關鍵地位。洪萬生(民 95)從數學史觀評論：中 國古代沒有數學「角」的概念，「角」與「平行線」是一體兩面的，如果我 們把幾何學裡的「角」與「平行線」等概念抽掉，整個幾何知識到底可以走 多遠？因此「平行線」與「角」的概念在幾何學的概念結構中，是很重要的。
在九年一貫課程綱要中，平行線概念在數學領域幾何單元中扮演很重要 的角色。例如在能力指標中，S-1-7 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與 垂直的現象(一、二、三年級)； S-2-5 能理解垂直與平行的意義(四、五年級)；
S-3-1 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題(六、七年級)；S-4-11 能 理解平行線的定義與相關性質(八、九年級)。從幾何結構的觀點而言，幾何 原本中與平行線相關的公設與定義有：第 23 條定義「平行直線是在同平面 內的直線，向兩個方向不斷地延長，不論哪個方向它們都不相交。」以及第 五公設：「已知一個線段與兩條線交會，所形成的同側內角和小於兩個直角，
則這兩條線最終必定會交會。」第五公設在數學發展史上引起許多的爭議，
因為這條公設並沒有前面四條公設直觀，可以直接拿來使用。許多數學家想 要「證明」第五公設，也因為有這樣的發展，後人發現若改變歐氏幾何的第 五公設，就會形成另一個幾何系統（非歐幾何）。由此可見平行概念無論在 幾何學習或幾何發展上都佔有重要的地位。
當分析數學教學設計時，我們通常要考量兩件事，一是「教什麼」，二 是「如何教」。 「教什麼」牽涉到數學單元概念本身的數學結構以及學生的 認知基礎；而「如何教」進一步考量到教學活動的設計、教學單元的安排、
組織和呈現方式，以及學生可能的認知方式。這兩件事都有個共通點，就是 要考量學生的概念認知結構。概念認知結構分成概念結構以及推理認知這兩 部份，概念結構指概念內部的知識體系，每個學生的概念結構都不盡相同，
也會隨著學習的歷程中擴充概念結構。推理認知為學習概念時的思考及轉化 成學習者本身知識的方式。我們若能先瞭解學生對於特定概念的認知結構，
才能有效地設計教學活動。譬如我們要進行平行線教學時，需先瞭解學生在
中學生平行線概念認知結構之研究
學習平行線概念的認知結構。一些研究者利用以心像操作活動為基礎的學習 成效，說明幾何學習活動要注重幾何圖形結構的觀察與操作（Bishop，
1983）。左台益、陳天宏(民 91)在針對國中生線對稱概念的研究中，也表示 瞭解學習者概念心像的操作特質，可以幫助教師去設計有效的教學活動。
雖然瞭解中學生平行線概念認知結構可以幫助教學活動的設計，但是學 生在平行線學習的困難並不單純存於數學概念的本身。從九年一貫能力指標 中可以看到中學生在學習平行線時要起始於相關定義與性質，進一步需利用 這些性質去做一些推理論證的問題。九年一貫數學學習領域的教學總體目標 中，其中一項就是「培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。」
可見邏輯推理能力是數學學習中的養成重心之一。在幾何領域亦然：小學的 幾何單元主要是藉由觀察及操作來學習幾何特徵，到了中學的幾何課程中，
在於培養中學生空間關係的知覺與邏輯推理能力。空間關係的知覺著重於空 間心像的操作，而邏輯推理能力強調命題的解析。
九年一貫課程綱要中也提示數學能力的養成是一個複雜的過程，而且經 常因人而異。當學習新的數學概念、新的演算規則，甚至運用舊的題材以新 的表示方式呈現時，學童都須藉由舊有的數學經驗來統合成新的直覺或邏輯 經驗，而數學精確語言的抽象本質，常會加深學童學習和推理認知的困難。
我們把範圍縮小到幾何學習來看，學生在學習幾何推理上是有困難的。就以 學習的型態來看，鄭勝鴻(民 94)提到幾何課程可以分成直覺幾何(intuitive geometry)和演繹幾何(deductive geometry)兩大部份，這是根據學習型態的不 同而區分。直覺幾何是展現空間關係，利用實驗操作和觀察，來學習幾何知 識，主要讓學生以直觀感受來學習；而演繹幾何是利用邏輯推理論證，以幾 何性質和符號式子的推導，來發展新知識。在九年一貫的課程綱要中，後期 的幾何學習是要引導學生從直覺幾何進入演繹幾何，但是從直覺幾何過渡到 演繹幾何的歷程真的會如此順利嗎？
從數學史的演進來看，幾何學是從生活中的觀察，到實驗操作，最後演 進到演繹推理，衍生出廣大精深的幾何性質和規律，這當中也走過了漫長的 道路。對照現今的教學歷程也是按照這樣的步驟。在九年一貫課程綱要中，
數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一和階段二的學生由實體的 操作和外在的觀察來學習幾何圖形的形狀和構成要素；階段三利用之前學到
的性質和具體表徵來進行學習，不僅嘗試去解決問題，並且利用性質之異同 來思考辨識圖形；階段四將操作以符號抽象化，並用邏輯推理出非形式化的 推論。
眾多研究學者在探討這四個階段學生在幾何學習時所面臨到的困難 時，發現學生在幾何學習時，從實驗操作到邏輯推理這段過程並非易事。很 多學生在學習運用數學語言做邏輯演繹時都會面臨困難，彷彿在目標前有一 道鴻溝在前面難以跨越。Maroiotti(2000)指出一開始進入中學的學生一般都 有直覺幾何的背景，而當學生要進入演繹幾何的時候，先前學過的知識就必 須要重新編碼，以某些直覺幾何中的性質做為定義或公設，再以此為基礎用 邏輯推理的方式推論出演繹幾何中的其他性質。不過這段歷程是一連串的抽 象語言的操弄，學生在不瞭解為何要將以學過的性質用這麼多文字或符號來
「檢查」是否正確的情況之下，用不熟悉的抽象語言去進行推理。不僅如此，
學生還要判斷這些性質中，哪些是已知的條件，哪些是未知的事實(鄭勝鴻，
民 94)。這麼多的語言和判斷，造成學生在認知上的負荷，也影響到了學習 成效。此外學生若不清楚定義、性質的意義及重要性，就要讓他們去運用這 些定義和性質去做推理，這對學生在運用邏輯推理時會造成困難。
有一些幫助學生從直覺幾何進入演繹幾何的相關研究：英國數學協會希 望可以利用局部演繹推理來讓學生順利過渡到演繹幾何。黃哲男(民 91)探索 個體於幾何解題活動時之動態心像，發現動態心像在幾何解題過程中具有輔 助的角色。Piaget(1980)利用反思抽象來達到數學邏輯思考。van Hiele 夫婦 認為許多學生學習幾何產生困難的主要原因是教學教材未能符合學生思維 層次，另外實驗幾何和演繹幾何學習形態的差異之大，造成了學習上的鴻 溝，這道鴻溝落在學生前頭，就會造成學生極大的認知負荷。
鄭勝鴻(民 94)曾利用電腦輔助學生進行證明活動，他使用動態幾何軟體 (GSP)幫助學生進行論證。鄭勝鴻的研究成果顯示出在 GSP 環境的功能有：引 導學生發展論證能力、幫助學生將外在監控系統（即利用 GSP 中的拉動功能來檢 驗其作圖是否正確）內化為內在監控系統（作圖必須賦予圖形結構），其中的巨集 功能為：提供性質來幫助學生解決問題與做辯證的工作、扮演輔導監控的角色、
促進學生的概念結構。本研究嘗試將動態幾何軟體做為教學工具，利用GSP 環 境幫助學生跨越過演繹幾何的鴻溝，並且檢測 GSP 對認知負荷的影響。
中學生平行線概念認知結構之研究
第二節 研究目的與問題
Dubinsky(1991)在「進階數學思考的反思抽象」的研究時，對於教學策 略以促進數學的概念建構，提出四個步驟：
1.觀察學生在學習特殊主題或單元時的歷程，分析他們的概念發展結 構，也就是概念心像。
2.分析資料，利用上述觀察，再根據一般教學理論，和設計者本身對數 學的瞭解，對每一個主題做起源分解，以關注於一個可能讓學習者建構概念 的呈現方式。
3.設計教學，發展活動和創造情境引發學生去產生特別的反思抽象。
4.重覆這些歷程，修訂起源分解和教學的設計，持續直到有穩定的發展。
以上的步驟，正是我們研究的主要流程。 整體來說，本研究以平行線 為單元主題，有兩大研究目標。第一階段我們想要瞭解中學生平行線概念的 認知結構，所以我們想要探討的是：(1)瞭解中學生平行線的概念心像與定 義；(2)瞭解中學生平行線圖形及基本的操作模式；(3)瞭解中學生平行線性 質的推理結構；(4)分析中學生平行線概念的起源分解。
第二階段，我們想要幫助學生從實驗幾何跨越到演繹幾何。所以我們參 考第一階段的研究結果，從中學生平行線概念的認知結構為基石設計出教學 活動。然後以認知負荷理論為理論背景，利用動態幾何環境和局部推理做為 教學策略，對四個班級做實驗教學，並分析學生推理發展的表現和教學策略 運用的成效。
本研究目的分為兩大部份，第一部份是從縱向個案的深度訪談中，去瞭 解中學生對於平行線概念的認知結構及推理方式，第二部份是以認知負荷為 理論架構訂定教學策略並進行平行線單元的教學，使學生能克服邏輯推理所 面臨的困難的鴻溝，從實驗幾何跨到演繹幾何。
基於以上目的發展出以下的研究問題：
一、中學生對於平行線概念的認知結構為何?
這個問題可以分成四個細部問題：
2.平行線圖形及基本的操作模式為何?
3.平行線相關性質的推理結構為何?
4.平行線概念的起源分解?
二、在用認知負荷理論設計出來的幾何推理教學活動的架構下，學生對於平 行線問題的推理的表現為何?推理行為有何影響?
這個問題可以分成四個細部問題
1.中學生對於平行線推理的形式為何? 在推理上是否會碰到什麼困難?
2.局部推理和動態幾何軟體是否能提升學生的推理層次?
3.局部推理和動態幾何軟體對於學生認知負荷的影響？
4.認知負荷對學生推理層次的關聯為何?
