第四章 研究結果
本章依Doherty & Evans 提出的獨立研究三階段方式進行獨立研 究的指導。學生進行獨立研究的三個階段分為三節。第一節為教師引 導階段，第二節為獨立研究階段，第三節為獨立研究完成的結果與討 論階段。
第一節 教師引導階段
本研究在教師引導階段中最主要是依據 Krutetskii 提出的九項數 學能力因子而自行設計出「數學能力培養課程」，輔以交互教學法及 合作學習法的教學過程，進行建構數學課程的教學。其目的在於培養 及充實學生的數學能力及思考方式，以利於之後進入獨立研究。自 94 年 9 月 17 日至 94 年 11 月 9 日的十二次數學進階班課程中，於每 週三的晚上與每週六的早上師生一起討論一系列的「數學能力培養課 程」，每次上課 90 分鐘。
在「數學能力培養課程」中，我們分為前、後兩期：前期的每個 單元（單元1～11）主要均以某一種數學方法的學習為主；而後期的 每個單元（單元 12～17）則為較複雜的數學方法之應用。本課程上 課成果主要是透過學生們數學學習日記的課後回饋，與第一觀察者
（即為教學者）及第二觀察者的觀察記錄，最後由教學者進行分析與 反思，以為下一單元教學提供修正之訊息。
一、「數學能力培養課程」前期：
在此時期的 11 個單元中，由於篇幅的關係，因此我們列舉與第 二階段中之獨立研究階段較為相關的兩個單元（多明諾骨牌、佈放棋 子）之上課後的成果。而其教學活動設計及學生學習教材，請參閱附 錄五-1、五-2。
02. 多明諾骨牌〈Dominoes〉
將兩個單位正方形以邊相連接，然後分別在正方形內標記0，1，2，3，4，
5，6 個點，這就成為多明諾〈Dominoes〉骨牌。全副的多明諾骨牌共有 28 片
〈如右圖〉。請使用這副28 片骨牌拼成左圖〈為方便起見，點數用數字代替〉
，同一片骨牌的數字請用筆圈起來。請逐步說明您選的理由。
0 0
【教師教學說明】
教材分析
本單元主要是讓學生們學習透過整體性的思考與系統性的分 析，逐步去發現(1.5)（以(1.5)表示 1 5，以下同）只出現一次的唯一 性，再由數字排列間的關係來完成此問題。由於學生在圈選時都必須 說明理由，因此不會讓學生有半點「運氣好」的成分在，同時也讓學 生們瞭解系統性的逐步分析在數學的學習上是很重要的。
教學過程
(一) 題目在前一次上課(9/17)發給學生，並作策略教學示範，同時也 請同學先行思考，於下一次上課時(9/21)，與同學們共同討論。
(二) 在 9/21 上課時，先請解答出來的同學發表，發表時並要求學生 說明圈選的理由，再由全班一起檢視，討論同學們的解法。
(三) 之後，請未解答出問題的同學也發表其想法。
(四) 最後教師總結。
2 4 1 1 1
4 6 3 4 1 0 1 1 1
4 5 4 4 4 1 3 2 6
0 2 1 2 2 2
0 5 3 0 4 6 6 0 1
5 5 2 0 0 6 3 3 5 0 3 1 3 2 3 3 3
6 5 2 6 0 3 3 5 0
0 4 1 4 2 4 3 4 4 4
2 6 1 1 3
0 2 2 2 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
【學生的數學學習日記課後回饋】
這個問題有些學生做得出來，而且也提出各種不同的想法，但 也有些學生無法完成，在此從學生的學習日記中列出部分學生的想法 與做法：
學生 81015
我一開始所使用的方法，便是從(0.0)到(6.6)的順序找下去，但是發現會同樣的太 多了，顧慮到這邊顧不到那邊，總是無從下手，於是我開始整體的看下去，試著 找找看有沒有一定得圈的答案，當時找呀找，終於被我發現了一個(1.5)，本人興 奮極了，立刻繼續看下去，其後又發現了很多都是會被牽連而受到影響的數對，
往下推論，很快就全部圈完了。所以方法絕對是有的，但必須仔細尋找。
學生 70111
一開始先從題目中統計每張骨牌出現的所有次數，於是便發現(1.5)只出現一次， 再把那對數字所影響的骨牌數量扣除，依此類推便能找到答案。
學生 81007
我的做法：由角落開始找起，因為角落都是只能一種選擇，如左上角只能(2.4)，
因此其他地方的選擇會被剔除掉，如此找到答案的，有很多種解法。
學生 80339
我覺得從角落開始圈選比較容易。經比對發現右下角不論選哪一邊均會出現
(0.5)，這表示(0.5)一定會出現在這裡。再來左上角的4 可選(4.0)或(4.5)，經考慮
後，若選(4.5)，則底下的 0 勢必與 5 結合成(0.5)，這與前述造成矛盾，因此一開 始必定選擇(4.0)，...
學生 70132
靠著運氣，寫了又擦，擦了又寫，費盡了九牛二虎之力，終於把他完成了！
學生 70410
後來仔細看過後，發現途中有幾個死角，非得要那樣排不可！！所以經由他的「幫 助」，我找出「許多」一對一對的骨牌。但是還有許多骨牌不知道要怎麼分...
學生 80804
我沒有做出來，因為我竟然忘記骨牌能上下左右顛倒翻轉...
學生 80935
骨牌的解法非常難，要一直一直try才能完成，所以我覺得這個骨牌非常無聊。
【第一觀察者觀察記錄】
(一) 上課討論作業時，不管學生是否完成作業，教師盡可能做到讓 學生都能發表自己的看法。
(二) 當學生在發表看法時，其使用語句均較為簡短。（如：就這樣、
(1.5)先選、...等）
(三) 在上課中發現部分學生很感興趣。但相對的，也發現到有些學 生慢慢的覺得很無趣。
(四) 部分學生在發表時覺得有些步驟是理所當然，幹嘛還要說理由。
(五) 上課時願意主動發表的學生並不多。
(六) 七年級學生的表現比八年級學生的表現較為活潑而踴躍。
(七) 教師在與學生討論時，常常會反問學生為什麼要這樣做的理 由，此時教師也能慢慢的引導學生說出解題的過程。
【第二觀察者觀察記錄】
(一) 教師在上課中能引導學生發表出自己的想法，且講解也非常清 楚。
(二) 教師在上課中均能顧及到大部分的學生，且尊重他們的想法。
(三) 學生在上課中願意主動發表的學生並不多，尤其是八年級學生。
(四) 上課時少部分學生未能參與討論，顯得無所事事。
【教學者的分析與反思】
(一) 有解答出來的學生之作法大致上可區分為兩種：一種是從角落 開始思考；另一種則是發現(1.5)只出現一次，因此從(1.5)開始 下手。這顯示學生們的想法是多元的，並能透過慢慢的分析即
有耐心的去尋找答案，這是在往後獨立研究的進行中不可缺少 的模式。
(二) 對於學生 81015 與學生 70111 兩人雖然都事先發現(1.5)出現的 唯一性，但兩人發現的方式並不相同：學生 81015 是透過反覆 的觀察中察覺；而學生 70111 卻是由整體全面性的思考，統計 出所有骨牌出現的次數而發現的，接下來再透過記錄，將使用 及影響到的骨牌次數一一扣除。
(三) 從學生 80804 中發現，有些學生對於問題的題意並沒有充分的 瞭解，以致於阻礙了之後的思考，因此對於這個部分，在往後 發題目給學生的時候，教師應先解釋題意，以免日後再造成如 此現象。
(四) 此課程是透過遊戲的方式來培養學生思考的能力。因此，學生 即使能解答出問題，但若只是「靠著運氣，寫了又擦，擦了又 寫，用盡了九牛二虎之力，終於把他完成了！」的方式(如：學 生 70132)，應不足以鼓勵。這也是教師日後需再多加強調的部 分。
(五) 由於每堂課時間有限且上課討論的人數過多，因此有些人在討 論中並未加入，這也是教師應注意及加強的地方。
(六) 由於學生們不太習慣對數學發表自己的看法，因此在討論發表 時語句均較為簡短，得需要教師不斷的引導才會有較為完整的 描述。
(七) 由於學生可能很少接觸到每一個過程都需要說明理由的問 題，因此會有學生在發表時覺得這是理所當然，幹嘛還要說理 由。
(八) 由於這份作業需要耐心且有系統的分析，屬於紙筆作業，但上 課中對部分學生來說或許不太習慣或超越能力所及，因此，慢 慢的會有學生覺得有些枯燥，所以這個單元應不適合當作第一 份作業，等學生慢慢熟悉上課方式之後再來上這個單元應該會 更好些。
(九) 下次所選的上課題材盡可能還是找些讓學生能實際操作的單 元才是。
04. 佈放棋子
如下圖的五角星棋盤有10 個交叉點 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，試將棋 子放在交叉點上，看誰放得多。
8
9 10 6 7
3 2 5
4 1
遊戲規則：
1. 任選一個沒有放棋子的交叉點當作起點。
2. 從起點沿著直線向前數一、二（起點不算在內），將一枚棋子放在二。
3. 每個交叉點只能放一枚棋子。
【教師教學說明】
教材分析
本單元主要是透過實際操作的遊戲方式來向同學們介紹「倒推 分析」(逆向思考)的思考方法，其有別於一般常用的「綜合法」(順向 思考)。在遊戲中，讓學生直接感受到有時逆向思考的方式卻較順向 思考來得容易。另外在此也為學生建立離散型極值(最大值或最小值) 的探討方式。
教學過程
(一) 題目在前一次上課(9/21)發給學生，教師當場解釋題意並作策略 教學示範，確定每位同學均已瞭解題意後，再請同學帶回思考，
於下一次上課時(9/28)，與同學們共同討論。
(二) 在 9/28 上課時，與同學們先行討論「佈放棋子」最多是否能放 10 子，並說出理由。
(三) 教師徵詢班上學生擺放最多棋子的擺法，並請同學們一起觀察 棋子擺放的規律性。
(四) 再請未解答出問題的同學也發表其想法。
(五) 最後教師總結，並透過操作介紹倒推分析的想法。
【學生的數學學習日記課後回饋】
同樣的，在這個問題中我們也從學生的學習日記中列出部分學 生的想法與做法：
學生 80804
此題其實非常簡單，只要找對了「著手點」，解題過程便輕而易舉，完全不費吹 灰之力。一開始想到的是隨機取點擺放棋子，但是這樣做，能放上去的棋子可說 是少之又少；接著，我想到任一點開始，跳兩格連接，最後每個點都能連到，且 能連接回到起點。於是照這方法推，便能放下9 子了。
學生 70132
一開始我只是隨便試試、排排，後來突然想到，這是個「五角星」，是可以一條 線畫到底的！於是，我從最後一目開始想...就這樣，我輕輕鬆鬆、簡簡單單、
隨隨便便就把這題完成了。
學生 80105
一開始我覺得這一定有什麼規律，是可以佈放很多棋子的，於是自己想了很多方 法，例如：由外圍、中間的五個頂點依順時鐘或逆時鐘方向來佈放、依照一內一 外(照順序)的方法佈放、越過一格佈放(由外或由內開始)、畫星星的方法或是坐 煩了就任意擺放。最後深怕自己和上次一樣做錯，於是便向治均確認作法，並詢 問他的作法...，我覺得我的方式怪怪的，於是決定承襲他前半段的方法，先 放滿一直線，之後再看自己能不能放更多的棋子。
學生 70136
在做這個題目時，我沒有想太多就一直嘗試，最後只擺到 8 顆...，為什麼他 可以擺到9 顆呢？我到底是哪裡出了差錯，後來才發現我沒有找到一些定律和規 則，只是盲目的一直做一直做，根本沒有抓到重點，所以下次我拿到題目時，應 該先想想看，再設計步驟證實我的想法。
學生 80212
這次講的「倒推分析法」，以前玩迷宮的時候都會用到，原來今天講☆也能用到
呀！！
學生 80401
這個遊戲在探討最多能放多少個棋子，因為一定要以空的位置當起點，可知最多 不可能放10顆而最多只能9顆。
在老師的檢討及引導後發現我自己在玩這個遊戲時，用錯了方法！花了好多時 間，最後還是沒有寫出正確的解法...不知道是運氣...還是腦力不夠好...唉！
不過這樣的解法也讓我瞭解...同一樣事物有好多好多方向可以看它！
學生 80828
今天一樣在愉快的氣氛度過，大家針對問題提出個人的想法，並且熱烈的討論，
實在太棒了，我覺得上課就要像這樣才對...
學生 80436
想了五分鐘就想到了，這個沒有什麼困難的，因為五星形可以切割三個三角形，
而一個三角形以一個點當起點，把兩個其他的點放棋子而本身這個點就沒辦法放 棋子了，所以就最多只有七個點。
【第一觀察者觀察記錄】
(一) 這次的單元為實際操作的遊戲，由於一邊講解一邊操作，因 此，上起課來雖時有手忙腳亂的感覺，但大致上還算良好。
(二) 學生在實際操作的單元中反應明顯較「多明諾骨牌」熱絡了 許多。
(三) 當教師解釋完題意之後，教師隨即對學生提問最多是否能放 十顆棋子，而學生也能馬上能回答最多應為九顆，並能說出理 由。
【第二觀察者觀察記錄】
(一) 在上課中，教師能實際透過操作的引導，使學生在操作中瞭解 倒推分析法的用處及使用時機，非常詳盡！
(二) 對於未解答出來的學生，教師運用已解答出來的學生之解法，
讓未能解答出來的學生觀察其解答過程的規律性，而使其自行 領悟，而不是直接告訴他們解法。
(三) 學生在實際操作中學習，其上課的表現已較前一單元(多明諾骨 牌)更為熱絡些。
【教學者的分析與反思】
(一) 由於此單元為一實際操作的單元，內容上也不像之前「多明諾 骨牌」那樣需慢慢分析，再加上學生已慢慢能接受此課程，因 此，本單元在上課時學生顯得較為活潑了許多。
(二) 此次上課學生大都能從嘗試錯誤的方式開始，之後盡可能從中 去發現棋子之間的關係，不管最後是否有解出答案，同學們都 已較能發揮獨立思考的精神。（如：學生 70136、學生 80105）
(三) 在此次的課程中，學生們也漸漸感覺到此課程的上課方式有別 於一般在教室課堂中的上課方式，「大家針對問題提出個人的 想法，並且熱烈的討論，實在太棒了，我覺得上課就要像這樣 才對... 」。(如：學生 80828)
(四) 在此單元中，學生也慢慢可以感覺到，對於問題只要找對「著 手點」，解題過程便能輕而易舉。(如：學生 80804)
(五) 對於學生題意不清而阻礙及影響到思考之問題，由於有了之前 的經驗，因此在這次的單元中，於發題目給學生時已注意到將 題意解釋清楚，所以在這次的討論中較沒有發現對題意不清的 學生。
(六) 在上課中雖然時間很有限，無法讓每個學生都能發表，但也盡 可能做到讓學生輪流發表。
【比較與探討】
由以上兩個單元來看，其教學後的成果及尚待改進之處，我們做一比 較與探討：
教師部分
(一) 在「多明諾骨牌」單元中，由於部分學生對於題意產生誤解，
以致於阻礙及影響解題的思考。有鑑於此，在「佈放棋子」單
元中，發題目給同學時，教師先行解釋題意，並確認每位同學 均瞭解題意後才讓學生開始解題。因此，學生們在討論的過程 中對於題意不清而影響思考的因素也隨之降低。
(二) 「多明諾骨牌」單元是透過紙筆作業來思考，而「佈放棋子」
單元卻是透過實際操作來思考。由於後者較為具體而有趣，因 此學生在「佈放棋子」單元的表現較為熱絡，這也是學生在還 未熟悉上課方式的第一次課程中適合安排的單元。
(三) 同樣的，兩個單元由於上課時間有限，無法讓每位學生都能發 表，但也都盡可能做到讓學生輪流發表。
學生部分
(一) 在「多明諾骨牌」單元中，有些學生雖然可圈選出正確答案，
但從頭到尾卻是辛苦的寫了又擦，擦了又寫的嘗試錯誤而完 成；相較於在「佈放棋子」單元中，雖然一開始學生也會利用 嘗試錯誤的方式開始，但之後盡可能從中去發現棋子之間的關 係，而產生一些想法。
(二) 在「多明諾骨牌」單元中，會有學生覺得「這是理所當然，幹 嘛還要說理由！」；而在「佈放棋子」單元中，學生較會去探 討其擺放棋子方法的原因或理由。
(三) 由於此課程的上課方式與一般在課堂上的上課方式有所不 同，因此，學生在「佈放棋子」單元中比在「多明諾骨牌」單 元中，更能熟悉上課方式，這也是學生在「佈放棋子」單元中 表現較為熱絡的因素之一。
二、「數學能力培養課程」後期
同樣的，在此時期的 6 個單元中，我們也只列舉與第二階段中之 獨立研究階段較為相關的一個單元（大象扭出來）之上課成果。教學 活動設計及學生學習教材請參閱附錄五-3。
12. 大象扭出來
「大象扭出來」的構造是由一塊板與一個套所組成，板上有七隻可愛的大象，在不被 板套或相鄰的大象所阻擋的情況下，各隻大象可以自由的在原地扭動。透過大象的扭 動，如何將大象一隻隻的扭出來？
起始狀態 目的狀態
定義
1. 七隻大象（即為七個子）從靠近出口處之第一隻開始編號，依序為 1.2.3.4.5.6.7 2. Ei：第i隻大象所面對的方向。
，Ei為出口方向 3. Ei= 0
1
⎧⎨
⎩ ∴ 七隻大象的起始狀態為 E1=E2=...=E7=1
，Ei與出口方向垂直
4. ak：第k 隻大象的狀態由 1 到 0（或由 0 到 1）所需扭轉的次數。
即大象從Ek=1 到Ek=0（或Ek=0 到Ek=1）所需扭轉的次數。
5. Sk：前k 隻大象的狀態由 1 到 0（或由 0 到 1）所需扭轉的次數。
即 大 象 從E1=E2=...=Ek=1 到 E1=E2=...=Ek=0 （ 或 E1=E2=...=Ek=0 到 E1=E2=...=Ek=1）所需扭轉的次數。
實際操作
經過實際操作後，當n=1.2.3.4.5.6.7 時，分別記錄其an與Sn的結果於下表中：
an Sn
n
1 2 3 4 5 6 7
發現 從上表中，仔細觀察，是否能發現一些規律性？
推測 根據以上的發現，能否推測：若為 n 隻大象時，其規律又為何？
【教師教學說明】
教材分析
這個單元主要是介紹學生從特殊化到一般化的思考歷程，透過 實際操作後，經由整理歸納、猜想及證明，最後得到一般化結果的歸 納法訓練。此與之前的單元比較起來，是較為完整而有結構性。當中 透過遊戲的方式來進行，使學生更能體會到數學並不都是枯燥無味 的，它也有活潑可愛的一面。但因為考慮到學生均未接觸到數學證 明，因此，將此單元的教學重點擺在實際操作(特殊化)及發現、推測(猜 想)。另外，也讓學生慢慢學習數學符號的定義及使用上的重要性。
教學過程
(一) 題目與「大象」玩具在前一次上課(10/19)發給學生，並作策略 教學示範，同時也請學生先行操弄「大象」玩具，於下一次 上課時(10/22)，與同學們共同討論。
(二) 在 10/22 上課時，先讓學生熟悉「大象」的解法，並請解答出 來的同學教導解答不出來的同學。
(三) 等大家都學會了之後，就請學生們完成學習單上的表格記錄。
(四) 根據完成的表格記錄來與同學們共同討論七隻大象的規律 性，並推測若為 n 隻大象時，其規律性又為何？
(五) 最後教師總結。
【學生的數學學習日記課後回饋】
以下列出部分學生在學習日記中，對此單元的想法與作法：
學生 80312
這個遊戲不是很難，只要發現一個方法，到後面就越做越熟還滿有成就感的。一 開始做到第三隻大向就卡住了，想了一下，發現只要來回...，一直重複這個動 作就ok 了。
很訝異，這麼簡單的一個益智玩具，可以有那麼多的規律性在裡面。
學生 80305
我覺得玩這個玩具真的很有趣，本以為轉出來就好，但竟然還能學到規律，因為
我從頭到尾都找不到，其他人有些都一直說，我終於知道不一定要同一排才能有 規律，可以很多排混在一起。真的很高興能知道這件事，以後我一定能更會找規 律，不用再聽別人講而恍然大悟了。
學生 80804
我在家中研究他的特性，如大象的方向排列、基本移動的規則之類的，在試過幾 次之後就漸漸熟悉了，移動起來快速也節省了移動時間，於是沒多久便解出來了 (相當有成就感)，再看看此遊戲的學習單，卻看不懂究竟要我記錄什麼，...
老師告訴我們：「尋找出來的規律只能(準確的)適用於七隻大象之內，後來的幾 隻或無限多隻大象，都無法100％保證一定符合此規律。」因此，若要告訴別人 多加幾隻大象後的結果將會如何，就必須有切確的「證據」，足以證明其結果。
我想，接下來我該要學會如何「證明」。
學生 80828
大象的遊戲，在最後得到數據後，就可以開始練習觀察，再列出相符的規則，可 以訓練觀察，對往後的推論應該很有幫助。
學生 80436
今天終於把大象的表格弄懂了，看來要加強國文了。
但是令我驚訝的是小小的七隻大象遊戲其中擁有很多的規律，這讓我相信一件 事，數學是深不可測的，
學生 80930
今天老師檢討「大象扭出來」，老師有教我們怎樣紀錄。這個遊戲操作簡單，但 是記錄就不容易了。
玩這個遊戲，我學會自己看懂遊戲的定義，且會試試看找出其中的規律。
學生 80935
這次的旋轉大象遊戲我覺得非常有趣，可能是因為我們很少做到這種用到玩具的 功課，所以覺得非常有新鮮感。
學生 80401
我將所有的定義及遊戲都完成了，並記錄成表格。經過觀察，我在這些數字之間 發現了規律，...，我懂規律但這式子好複雜，我不會列，只好請爸爸幫忙，他 所幫忙寫下的式子我都弄懂了喔！
學生 80101
回到家當天，我就把它拿出來「解」，轉呀轉，後來突然想到，可以是從小範圍 找大範圍，於是，我把目標鎖定於前三隻象。...這個遊戲真是趣味十足，我的 家人也一起玩呢，不過還是我比較厲害！
學生 80105
這次扭大象還滿有趣的，...，不過我有做成功，...，不過步驟很繁複，做一 做又忘了，但我覺得，在扭的過程中，似乎有一個步驟不斷的重複著，就是前面 的三隻大象會有一種規律。...
學生 80937
這一個禮拜的作業，我發現班上的人都有做，我想是因為有道具的關係而引起我 們的好奇心。我一開始覺得很難，...，不過後來再做時有把之前做成功的經驗 紀錄下來，所以沒有多久就把這七隻大向抽出來。這一次我想一定要做紀錄，不 然你做出來的結果很有可能忘記或者是不會應用，這樣可就麻煩大了。
學生 70132
不知為什麼，雖然我不知道原理，但只不過解出一次，解法就好像終身難忘。
【第一觀察者觀察記錄】
(一) 教師引領學生共同找規律，帶動學生找到一個個的規律，其 結果都出乎教師意料之外。
(二) 在找規律的同時，教師也特別告訴學生「尋找出來的規律只 能(準確的)適用於七隻大象之內，後來的幾隻或無限多隻大 象，都無法 100％保證一定符合此規律。」，以免學生誤解。
(三) 很多學生對於本單元特別感興趣，也都願意親自操作，上課
的討論也更為熱絡。
(四) 學生看到別人找到新規律時，自己也不甘示弱，因此也拼命 的在尋找新規律。
(五) 下課後，學生還是熱烈的在比賽扭轉大象的速度。
【第二觀察者觀察記錄】
(一) 透過操作式的遊戲方式來介紹歸納法，題材的設計很新鮮，
也很能引起學生的興趣。
(二) 教師對於整堂課的安排，從實際操作、歸納整理一直到發現 與猜測，顯得很有系統而連貫。
(三) 在尋找規律的同時，教師也特別說明了這些規律只適用在這 七隻大象，對於更多隻的大象來說，這只能算是一個猜想，
必須經過證明後才能成為真正的規律，以免學生產生誤解。
(四) 學生對於此單元非常感興趣，每個人都熱烈的參與。
(五) 下課後學生們還意猶未盡，都還在認真的探索大象呢！
(六) 對於規律的尋求，學生們常有一些不錯的表現。
【教學者的分析與反思】
(一) 本單元很多學生都非常感興趣，那是因為學生們很少接觸到 利用玩具也可以上課而感覺很新鮮。(如：學生 80935、學生 80937)
(二) 透過實際操作更能使學生有更深刻的記憶及更容易發現問題 (如：學生 70132)，這也是當初設計這些課程的原意。
(三) 學生對於之前單元學過的問題化簡之能力已能慢慢的應用到 此單元，表示學生的學習是用心的。(如：學生 80101、學生 80105)
(四) 其實教師很擔心學生會誤以為找到的規律就會適用在所有的 大象上，看到學生也瞭解特殊化到一般化之間是要經由證明 後而得知的，心裡就鬆了一口氣。(如：學生 80804)
(五) 在幾次課下來，看到學生慢慢學會遊戲先分析特性後再出發 會節省很多時間 (如：學生 80804)，心裡也著實覺得欣慰。
(六) 如何將問題及研究的過程透過定義及數學符號來表示，這方 面學生的確比較弱，因此在學習單的設計上，就先完成符號 定義，至於過程中使用的符號，學生們需再加強。(如：學生 80436、學生 80930)
(七) 透過遊戲的操作讓學生自己感覺到，所獲得的數據及結果，
其紀錄是很重要的。(如：學生 80937)
【比較與探討】
由於本單元是在此課程的後期實施，教材方面比前期的單元較具 結構性，因此，與前面兩個單元比較，其教學後的成果及尚待改進之 處，我們做一比較與探討：
(一) 由於此課程的進行已有一段時間，學生已能慢慢熟悉此課程 的上課方式，因此師生之間的互動教師也更能掌握。
(二) 「大象扭出來」單元為一透過玩具來思考的操作性單元，學 生感到非常新鮮，且有更深刻的記憶及更容易發現問題。在 課程結束後的問卷中，此單元也是學生最喜歡的單元。
(三) 從「大象扭出來」單元中，學生對於之前單元學過的問題化 簡及分析問題特性之能力已能慢慢的應用到此單元，從這一 點可看出學生的學習及思考方式已有改變。
(四) 如何將問題及研究的過程透過定義及數學符號來表示，這方 面學生的確比較弱，這也是需再加強。
綜合分析：
如同以上的教學成果與檢討，最後在整個課程結束後也設計「數 學能力培養課程」課後問卷，來瞭解學生們對此課程的回饋。此問卷 的開頭是這樣說的：
各位同學，很高興老師能與你們結緣，大家一起在課堂上探索數學是相當 美好的經驗。「數學能力培養課程」持續將近一個半月，想藉由同學們的實際參 與經驗，來瞭解本課程上課的情形，以作為後續課程改進之參考。因此，製作本 問卷，希望同學們能用心填寫。謝謝！
因此，對於整個「數學能力培養課程」，我們根據教學成果與檢 討及「數學能力培養課程」課後問卷，綜合分析出以下的結果：
(一) 在一開始，教師發題目（即「多明諾骨牌」單元）給同學時並 未先解釋題意，由於部分學生對於題意產生誤解（如：有部分 同學以為對角相連的兩數也可以為一組），以致於阻礙及影響 解題的思考。有鑑於此，之後的單元（「佈放棋子」單元之後），
教師在發題目給同學時均會先行解釋題意，並確認每位同學均 以瞭解題意後才讓學生開始解題。至此之後，學生們在討論的 過程中對於題意不清而影響思考的因素逐漸降低。
(二) 對於每一次上課的單元之講義，教師均能在前一次下課前就發 給學生，並能作策略示範教學，等到下一次上課時再進行討 論。對於課程如此安排，學生均覺得對於討論的問題能有充分 的思考時間，並覺得在不知解答的情況下，自己的想法會更有 價值。
(三) 由於學生們不太習慣對數學發表自己的看法，因此在討論發表 時語句均較為簡短，得需要教師不斷的引導才會有較為完整的 描述。
(四) 對於在課程中教師搭配數學學習日記，除了學生覺得可以表達 自己的想法，增加印象之外，同時教師也能藉此即時的瞭解學 生的學習情形，以利作為之後單元的教學參考。
(五) 在課程進行中可以看出學生們在一開始不知如何思考或不知 為何如此思考的疑惑中（如：在「多明諾骨牌」單元中，部分 學生無法說明其圈選的理由；在「填數字遊戲」單元中，很多 學生均使用試誤法，只要將答案填出即可），在教師一再的鼓 勵及一次次的要求學生們應學習說出解題的理由之下，漸漸的 學生們慢慢熟悉思考方式及習慣，更學會應用在之後的單元上
（如：學生們將「一條龍」單元中學會的簡化問題應用在「大 象扭出來」單元上，即將問題縮小到 2～3 隻大象的小範圍來 開始思考），可見教師已能慢慢培養學生具有數學思考的能力。
(六) 在上課討論中，不管同學是否解出問題，教師均會請同學說明 理由。對於解出問題的同學，老師請他說明解法；而未解出問
題的同學，教師也請他說明其解不出的想法，之後再將問題留 給全班同學來共同討論。如此訓練之下，學生們慢慢的能從討 論與辯證中更進一步獲得觀念的澄清。
(七) 由於上課時間有限，無法每次上課均能讓每位學生都有發表的 機會，但教師也都盡可能做到讓學生輪流發表。
(八) 從「數學能力培養課程」課後問卷與課堂觀察中可發現：在此 課程中學生們對於動手操作的遊戲式單元（如：佈放棋子、大 象扭出來、一條龍...等）比非操作之思考性問題（如：填數 字遊戲、多明諾骨牌...等）較為感興趣，這也是學生在還未 熟悉上課方式的第一次課程中適合安排的單元。
總之，在此階段中，教材方面教師依據 Krutetskii 提出的九項數 學能力因子設計了「數學能力培養課程」。其內容是以遊戲式數學為 題材，在動手玩數學的學習情境下，透過活動式的進行來呈現一種學 習數學思考方法的教材單元活動設計。而教師在此課程的教學過程中 我們亦可發現：除了能給予學生充分的思考時間與善用課堂上師生間 的討論之外，更重要的是教師能充分的讓學生透過實際操作，使學生 能有更深刻的記憶及更容易發現問題，因而對學習的重點能更有感 覺。不過無法讓每位學生均能充分的發表是其缺點。
第二節 獨立研究階段
本階段為獨立研究階段，共分為「確定研究主題與方向」、「尋找 器材與研究工具」、「研究歷程分析」（此歷程共有四個遊戲）和「研 究成果發表」四部分，其探討過程主要是參與、非結構式的觀察和放 聲思考。由於個案學生們從發覺問題、選擇主題一直到完成作品的每 一環節都有不小的轉折歷程，因此本節從作品本身的每一次相對敘 述，透過一個個場景的串連方式來討論當時個案學生的思考歷程，之 後再做一綜合分析。
而場景的建立與切割主要是以學生們在研究的過程中，不論是遇 到阻礙或是能自行順利解決問題的情景，透過「場景狀況」、「問題 解決實錄」與「得到結果」來呈現在獨立研究中教師指導的歷程，之 後研究者再從中收集資料來進行觀察，最後透過同一部分的場景資料 觀察結果共同來作綜合分析。
另外，在第二階段選出的學生，其在第一階段的表現情形也簡述 如下：
G1：口語表達清晰，且態度非常積極，尤其在問題分析與討論中 表現非常踴躍。
G2：表現較為沈靜內斂，對問題的思考也較為細膩，態度也很積 極。
B1：想法天馬行空，較容易聯想，尤其對規律性的尋求及操作性 的問題特別感興趣。
B2：喜歡與別人討論，同樣的，對於操作性的問題也較為感興趣。
第一部分 確定研究主題與方向
獨立研究是一條令人備感艱辛的路，從一開始的醞釀，找尋題 目，就得花上不少的功夫。如果你找到的是一個好題目，雖然不是說 一定會有好的成果，可是如果你找到的是一個壞題目，不管你有多大 的本事，也不可能有令人滿意的成績。以下是指導教師與四位個案學 生在找題目的過程分析：
場景狀況 2-1-1
個案學生在數學能力培養課程學習之後，剛好學校在每年的元月初 會舉辦校內科學展覽會，個案學生們很有興趣，但是不知道該如何 尋找研究主題？
【解決過程實錄】
G1：老師，我們要參加科展，想好好做一件作品，不過不知怎樣開始進行？
B1：前些日子我們在數學進階班所討論的那些東西，在往後做科展中是否有幫
助呀？
研究者(T)告訴案主(G1、B1)：「是的，我們要開始用這幾個禮拜感覺到的過程進 行科展研究，至於那些過程如何幫助你們，自己要好好用心，當然你們隨 時可以和老師討論。不過首先我們要能找到可以好好研究的主題。」
G1：老師，我以前做過科展，但都是屬於自然科學，至於數學科展我沒做過，
要怎樣找題目，我不知道。
B1：我也是。
G2：我也不會。
B2：我也不會。
T：基本上，你們可以到一些數學遊戲的書或是一些數學網站上找找看，只要你 們覺得有趣、新奇，不管會不會，都可以列入考慮。這樣好了，給你們一個 禮拜的時間找找看，之後我們再來討論吧！
B1、B2、G1、G2點頭同意。 (94/11/11)
【得到結果】
經過教師的引導後，個案學生也同意試試看。
【研究者的觀察】
當學生對於研究的方向不清楚時，教師能引導學生方向，而不是 直接告訴學生答案，學生也能信賴教師。
場景狀況 2-1-2
對於個案學生們找到的一些題目，卻不知道該如何從中去選擇出一 個適合當作研究的主題？
【解決過程實錄】
一週後B1、B2、G1、G2 找了一些題目回來。
G1：老師，我們已經找到一些題目了，但是不知道該如何從中去選擇出一個適 合當作研究的主題？
B1：對呀！真是傷腦筋。
T：你們能不能就這些題目找個適合的來研究，也就是說，不管這些題目有沒有 趣，你們覺得可以訂出個怎樣的原則來選擇適合你們作研究的主題。
B1：依照我最想知道答案的程度排順序。
G1：可是會不會有的太難，我想訂個方法很重要。
T：訂個方法，好主意，怎麼訂？
G2：可以是我們覺得不會太難的。
G1：有點道理，對了！不要太難的，這樣好了，我們來排排順序，我們各認為 有興趣且不會太難的問題挑出來好不好？
B2：嗯，就這樣做做看。
他們四人決定這些原則後，最後確定了以下四個問題：(1)如何將任意角三等 分；(2)探討直角三角形的三邊長關係；(3)鬼角圖遊戲；(4)搶三十遊戲。
(94/11/18)
【得到結果】
在教師建議學生們需擬定一個篩選題目的原則後，經過個案學生 們討論，最後訂定了一個篩選題目的方法，也根據此方法篩選出四個 題目。
【研究者的觀察】
1. 在一連串複雜且沒有頭緒的尋求研究題目中，教師能及時建議學 生們擬出一套清晰且有效的篩選機制，才不至於讓學生們掉入複 雜的漩渦中。
2. 在學生的討論中，教師發現學生對問題已聚焦，此時教師會趁勢 做更進一步的引導，讓學生能針對問題提出有助於解決的方式。
場景狀況 2-1-3
經教師解釋過後發現篩選出來的四個題目都不適合當作研究主題，
但G1 對於「搶三十遊戲」很有興趣，並說明可以改變其遊戲規則，
如此不但會成為新問題，而且可以增加其創意性呀？
【解決過程實錄】
他們四人決定這些原則後，最後確定了以下四個問題：(1)如何將任意角三等分；
(2)探討直角三角形的三邊長關係；(3)鬼角圖遊戲；(4)搶三十遊戲。
T：很好（教師笑了一下），你們過濾到只剩下四個問題。不過這四個問題若要當 作研究主題真的會有些『問題』。
B1：什麼，會有什麼問題？
T：別急，老師解釋一下。「如何將任意角三等分」，這是古希臘三大作圖難題之 一，後來也被證明了有一部份是做不出來的問題；「探討直角三角形的三邊長 關係」這早已經有結果了；同樣的「鬼角圖遊戲」也是。至於「搶三十遊戲」
這更是大家都很熟悉的問題，也沒什麼好做的。所以你們若決定其中之一，
是不是真的會有『問題』呢？
B1：那怎麼辦？(一臉失望)搞了半天，我們不就白忙一場了！
G2：真是的！找題目可真難呀！！
G1：老師，「搶三十遊戲」是我提出來的，那是因為之前您上課有提到，而且以 前我都沒有聽過，覺得很有意思，所以才提出來的。老師以前也說過，科展 題材除了找現有題目之外，也可以自行再做變化來增加創意性，同樣的，我 們是否可以改變其遊戲規則，如此不但會成為新問題，而且可以增加其創意 性呀？
T：沒錯，不過即使將此遊戲的規則做變化，據老師所知在國中小都很多人做過。
如探討拿到最後一個的人贏、拿到最後一個的人輸、限制某些固定數字不能 拿取...等，你們可以到科教館的網站上查詢歷屆作品專輯。這樣好了，既 然對「搶三十遊戲」有興趣，大家再找找或想想其規則是否還有其他新的變 化，同樣的，下一週同一時間，我們再來討論吧！祝你們好運！！
B1、B2、G1、G2 點頭同意（大家有些沮喪）。 (94/11/18)
【得到結果】
教師希望個案學生們再找找或想想其規則是否還有其他新的變 化，以免和別人的作品有所衝突，學生們也都點頭同意。
【研究者的觀察】
1. 當學生在研究的過程中，若其題材有所不妥時，教師能適當的做 出解釋。
2. 當個案學生確定找到四個題目中，教師均已經向學生解釋過不適 合，但G1 卻對於「搶三十遊戲」有濃厚的興趣，在此教師也能尊 重且延續學生的想法而再給予適時的引導。
3. 在進入獨立研究工作時學生們已很清楚，對於結果未知，教師也 不一定有速成的解答，因此學生不會直接向教師要答案，而是與 教師共同討論。
4. 學生們已感覺到，要找到一個好題目並不容易。
場景狀況 2-1-4
經過個案學生們努力的查證與搜尋，發現一個變化性規則的「搶三 十遊戲」，大家都覺得很有趣，但不知是否具有發展性？
【解決過程實錄】
一週後...
T：來，看看你們有沒有什麼新的發現。
B1：我找到的變化遊戲規則部分和老師上個禮拜說的一樣。
B2：我也是。
G1：我在一本書上看到一個不一樣的遊戲變化規則，且科教館的網站上我也查 過歷屆作品專輯，並沒有看到這樣的作品，不知道有沒有人做過？
12.1 移動遊戲
假設遊戲者為甲、乙兩人且甲先玩(即為先手),並遵守下列規則：
1. 如上圖,共有數字 1~5 五個數字，兩人必須輪流從中選一數，,但不可重複對 方剛選的數。
2. 將兩人所選的數字累加起來,當累加至一個給定的正整數 N 者算贏。
3. 若動彈不得或故意累加的數字超過所給定的數字 N 者算輸。
問：哪些正整數N，乙方(即後手)有必勝的策略？並證明你的答案。
1 2 3 4 5
在問題當中，雖然如同老師所說限制某些固定數字不能拿取，但是本問題是
「不可重複對方剛選的數」，也就是限制拿取的數字是變動的，有些不一樣。
同時，若將取數範圍推廣為1~n，其結果又不知會變為如何？
G2：好像很難的樣子！
B1：我們做得出來嗎？有點懷疑！
T：很好，找題目就是要這樣，必須作文獻探討，這樣才不會和別人的作品有所 衝突。
T：這個問題倒是蠻不一樣的，而且老師也沒看過。好吧！只不過在成為正式題 目之前必須先做做看，看看這個問題會不會太難或評估看看是否有發展性，
若沒問題，當然是可以成為科展研究的主題。不錯！不錯！今天大家總算有 些眉目了！！辛苦大家。
B1：Yes！總算有些結果。 (94/11/25)
【得到結果】
教師建議同學們，對於找到的題目，在決定是否為研究主題之 前，先著手試試看，看此題目是否有發展性再作決定。學生們也贊同 教師的建議。
【研究者的觀察】
1. 學生們對於尋找研究主題終於有些眉目而感到欣慰。
2. 在學生經過一番努力而有所進度或是途中遭遇挫折時，教師也能 給予適時的增強或鼓勵，那怕是一句「辛苦了！」。
場景狀況 2-1-5
對於評估找到的題目是否具有發展性一事，經個案學生們實際研究 過（做到取數範圍為 1~n，n=3.4.5...10）後，發現這個問題的確 有難度，變化性也很大。
【解決過程實錄】
T：各位同學，經過幾個禮拜下來，除了研究取數範圍為 1~5 之外，還有做到哪 些的延伸呢？
G1 ： 老 師 ， 我 們 做 的 可 多 著 呢 ！ 我 們 現 在 已 經 做 到 取 數 範 圍 為 1~3 、 1~4...1~10，而且共有 4 個類型，這個題目可真難做啊！
B1：是呀！取數範圍 1~3 及 1~5 還好，不過取數範圍為 1~7 及 1~9 特別難做，
可把我給搞糊塗了，我們可是花了好大的功夫最後才把他弄清楚的 咧，這個題目的確有挑戰性。
T：那取數範圍為 1~4、1~6、1~8、1~10 呢？
G2：取數範圍為 1~4、1~6、1~8、1~10 反而好做，它們和一般搶 30 遊戲一樣，
只要總數為取數範圍的頭尾和的倍數即為後手有必勝策略之數。甚至我們 也可以更進一步得到取數範圍為1~偶數都是如此。
T：照你們這樣說來，到目前為止你們的收穫還真不少哦！辛苦大家了，這個題 目既然有變化性應該是值得大家來研究，好吧！那大家是否同意以這個題目來 當作今年科展的主題呢！
大家異口同聲：同意！
G1：好耶！主題終於決定了！！
B1：唉！科展的主題可真是難找呀，不過對於這個主題還沒有實際研究之前還 沒有特別感覺，經過這幾個禮拜的研究之後，我覺得這個題目越做越有意 思了，真想知道最後會有什麼樣的結果，真令人期待！！
T：這個題目最後會發展到什麼樣的結果，那就得看看各位的努力哦，老師也很 期待，加油！ (94/12/14)
【得到結果】
大家一致認為很適合成為科展主題，因此今年科展研究的主題就
此決定。
【研究者的觀察】
1. 對於研究主題的確定大家都覺得很滿意也很期待。
2. 學生在實際研究過後，雖感受到這個主題的難度，但也能引發其 興趣，更期待研究之後的結果。
場景狀況 2-1-6
好不容易確定了研究主題之後，而個案學生們也繼續尋找此問題的 規律性（已經做到取數範圍為 1~50，共分七個類型），但在一次偶 然間卻發現這題目曾經有別人做過。
【解決過程實錄】
G1：老師（表情頹頭喪氣），我昨天無意間在學校圖書館看到一本書（一邊說，
一邊把書拿出來。書名為「中華民國八十九年參加國際科學展覽活動優勝 作品專輯」），書中我發現曾經有人做過和我們一模一樣的題目。（一邊說，
一邊翻開書）
B1：真的嗎？怎麼會這樣（訝異狀），那我們這幾個禮拜所花的時間不就白費了！
G2：是啊！昨天 G1 就告訴我了，我聽了也覺得很挫折，為什麼會這樣？那還做 這個題目幹嘛！就不用做了啦！
T：來，別太氣餒，老師看看...，哇！真的咧！題目真的一模一樣（老師看 著別人的作品，過了將近十分鐘左右...），不過他們的結論說取數範圍為1~n 後手有致勝策略的N 值共可分三個類型，這和你們所做的不大一樣吧！
G1：哪裡，哪裡，我看看，我看看...，（過了兩分鐘左右）真的耶，我們從 取數範圍為1~3 做到 1~50，就已經有七個類型了，怎麼可能做到 1~n 只有 三個類型而已 。
B2：在國外也得獎的作品應該不會錯，該不會是我們自己做錯了吧！
B1：不可能呀！（很有自信的回答）
G2：是啊！我們做的應該沒錯，到 50 很明顯就應該有七個類型呀！
（大家你一句，我一句，爭論不休...）
T：好！好 ！大家先不要吵，你們先好好的檢查兩邊的結論，看看是哪裡有誤 再說，切記！必須檢查清楚，搞不好你們會有機會的。
四人異口同聲：好！（四人均很有精神的回答，於是四人也就著手開始檢查）
(94/12/16)
【得到結果】
個案學生們都非常氣餒，但經過教師仔細比對之後，發現別人以 前所做出來的結果與案主們所得到的結果並不相同，因此讓學生們仔 細檢查，看看問題出在哪裡，
學生們也就著手開始檢查。
【研究者的觀察】
1. 當個案學生們發現已經做了幾個禮拜的題目，別人居然在以前曾 經做過時，深感挫折，甚至有要放棄的念頭。
2. 當個案學生們出現意見相左時，相互間會鬧意見，且爭論不休。
此時，教師要同學們以實事求是的精神，仔細檢查錯誤之處，而 並非是吵鬧爭論。
場景狀況 2-1-7
在個案學生們仔細檢查別人做過的作品時，赫然發現其大部分的結 論均有誤，但接下來卻不知該如何處理？
【解決過程實錄】
過了一個小時之後...
G1：老師！老師！（很興奮且激動的表情）我們檢查出來了，是他們做錯，而 且還錯很多呢！我們目前所做的結果是對的，是他們做錯了。
B1：對呀，是他們做錯了，我們做的才是對的。
T：真的嗎？別急！好好的告訴老師。
G1：是！（面帶笑容，且臉上充滿自信）
G1：雖然我們只做到取數範圍為 1~50，但在這之間，取數範圍為 1~7 應是＜9；
8,8＞，而他們卻做出＜9；8＞，這也是他們第一個錯誤的地方。至於其他出 錯的地方還有取數範圍為 1~9.17.23.31.33.39.41，這些我們也都一一的檢驗過 的確出錯，若再繼續找下去，相信錯誤的地方會越來越多。
（＜9；8,8＞即為數列 9, 9+8, 9+8+8, 9+8+8+9,...）
T：哇！你們太厲害了，竟然可以找出這麼多錯誤的地方，實在太神了！
B1：老師那怎麼辦？我們可以繼續做下去嗎？（表情很高興，也很疑惑）
T：當然可以，既然之前的作品有那麼多錯誤，這個研究就更值得去做，我們當 然要繼續做下去。
四人：耶！耶！耶！我們可以繼續做下去了，太好了！ (94/12/16)
【得到結果】
教師鼓勵個案學生們繼續完成此研究，學生們也覺得非常高興願 意繼續做下去。
【研究者的觀察】
1. 當學生檢查出是別人發生的錯誤時，情緒非常興奮且激動。
2. 在教師瞭解學生們檢查出是別人發生錯誤時，也適時的給予學生 們鼓勵：「實在太神了！」。
場景狀況 2-1-8
決定繼續研究的幾個禮拜後，個案學生們為了防止再跟別人『相 撞』，於是想將主題繼續延伸，再多探討不同遊戲規則下的變化，在 此詢問教師的意見。
【解決過程實錄】
作品之遊戲一研究中...
G1：老師，這次好險，還好我們可以繼續做下去，只不過我有一個想法，就是 為了以防萬一，我們除了繼續完成此問題的研究之外，我們是否可以再做 其他延伸，比如說是規則的改變，這樣也可以增加作品的趣味性及創意性 呀！
T：It’s good idea. 不過要考慮到研究時間的問題。至於要如何延伸？
G1：我想到的是如果取數範圍不從 1 開始呢？即取數範圍為 m~n， m≠1 G2：嗯，這聽起來很有意思喔 ！
B1：研究到現在，我也有一些心得，原本的規則是「不可重複對方剛選的數」，
這是要避開剛選的數，既然要避開，我們也可以朝向多避開一些規則的方向 來想，比如說避開一般搶 30 遊戲當中常使用的策略，就是「取數範圍的頭 尾數字之和」。
B2：哇，這更炫了，開出這麼多的菜單，我懷疑我們是否能消化？
T：你們提的意見都很好，也都可以試試看，這表示你們對研究已經慢慢有感覺 了，這是好現象。不要怕，老師鼓勵你們多多勇於嘗試，頂多是「撞牆」而 已，沒什麼了不起，加油！ (95/01/6)
【得到結果】
在教師的支持與鼓勵下，學生們將再繼續延伸研究的主題，朝著
「取數範圍為m~n，m.n 為正整數且 m≠1」與「不可取與前一手所取 的數字之和為取數範圍的頭尾數字之和」的方向研究。
【研究者的觀察】
1. 對於同學間（B1、G1）提出新的想法時，B2 懷疑是否能完成。此 時教師為了淡化B2 的疑慮且增強學生們的自信心，因此也適時的 給予尊重和鼓勵。
2. 對於學生所提的意見中，雖然結果未知，但若有可行性，哪怕對 於整個研究只有一點點幫助，教師亦都能鼓勵與尊重學生。
綜合分析：
1. 在研究主題的尋找中，一開始教師希望學生們能依喜好及需求來 做選擇，因此不給學生們任何設定與限制，只是引導學生們需制 訂出篩選的方法來找出適合的研究題目。由此可看出教師扮演著 催化而非主導的角色，慢慢帶領學生們進入獨立研究的領域。
2. 當學生們對於搶三十遊戲充滿濃厚的興趣時，雖然教師覺得這已 是多人做過的題材較不適合，但整個選題方向還是朝向此遊戲的 規則變化來進行。這顯示主題的選擇還是以學生為主，教師亦能 尊重學生們的想法。
3. 雖然學生們已找到一個新的變化型規則遊戲，但對於是否能成為 主題，教師建議學生們先行試試看，希望學生們對於所選定的問 題能更有感覺之後再決定是否為研究主題。從此過程中可發現：
教師對於協助及引導學生們選定研究主題是有經驗的。
4. 當學生們發現已經做了好幾個禮拜的題目，別人居然在以前曾經 做過時深感挫折。不過，教師在看過別人的作品之後，對學生說：
「必須檢查清楚，搞不好你們會有機會的。」，由此可看出教師對 氣餒中學生的鼓勵與期望。
5. 當學生檢查出是別人發生的錯誤時，情緒非常興奮且激動，教師 也適時的給予鼓勵：「實在太神了！」。可見教師也很高興，同時 也佩服學生們的表現。
6. 學生們在一連串尋找主題的過程中，就像是洗三溫暖般。因此，
對於想繼續做延伸與推廣的研究，主要是想維護自己辛苦得來的 研究主題及方向。
對於此次研究主題的尋找雖然有些曲折，險些與別人過去的作 品有所衝突，但最後也都順利達成。在這當中教師所扮演的角色與指 導經驗、對學生的鼓勵與支持及師生間的良好互動，這都對此次研究 主題的尋找產生了不少的影響。同時在整個尋找主題的過程中也顯示 學生在找題目時，文獻探討做得還不夠，這也是教師應特別提醒學生 的地方，以免學生最後走了很多冤枉路。
另外，從以上我們可進一步發現：個案學生們在訂定研究主題 與方向時，並不是一開始就能完整且明確的訂定出來，其過程乃是邊 做邊修，邊修邊產生新的想法，到最後才順利的完成。
第二部分 尋找器材與研究工具
在這一部分，我們將整個研究中，對於所使用的器材與工具之 引入與尋找取得的歷程，作一整理與分析。
場景狀況 2-2-1
在研究的一開始，教師要求個案學生們在平時記錄時之使用紙張能 統一規格。
【解決過程實錄】
T：我們這一次要做的是數學科展，會需要很多的紀錄紙張，最後會從這些紀錄 的資料中去整理出我們的作品來。因此老師希望這些記錄用的紙張能統一規 格。
G1：老師，那要用多大的紙張呢？
T：你們家裡有沒有只用過一面的 A4 回收紙張呢？
B1：有，我們家裡有很多。
G1：我們家也有。
B2：有。
