物理 物理科 科 科 科理論試題 編號

台灣省中投區九十五學年度高級中學 數學、資訊及自然科能力競賽 物理 物理

物理 物理科 科 科 科理論試題 編號

1、擴散現象可從動力論與分子散漫運動的基本原理來理解。1855 年生理學家 Adolf Fick 從實驗 上發現擴散速率與濃度梯度及截面積成正比。氧氣進入到昆蟲的體內是從昆蟲身體的表面經由 氣管擴散進入體內，氣管的平均長度為 2 mm，截面積為 2

×

10

^-9

m

²

。假設氧在昆蟲體內的濃度是 在大氣中的一半。(假設氧的擴散係數為 1

×

10

^-5

m

²

/s) 試問：

（a）在 20

°

C 時的空氣中的氧濃度為何？以 mol/m

³

表示。(假設空氣中有 21%為氧氧)

（b）氧的擴散速率為何？

（c）一個氧分子從昆蟲身體表面擴散到體內所需的平均時間為何？

2、如圖所示，一質量為 10kg，半徑為 0.05m 的均質圓柱在一傾角為 30°的斜面上被一條不可伸長 的輕繩纏繞在圓柱上，並跨過無摩擦的滑輪在另一端連著一個質量為 20kg 的重物。假設圓柱只 滾不滑，求

（a）當重物下降 1m 時圓柱垂直向上運動的距離。

（b）圓柱中心的加速度。

（c）作用在接觸點 P 上的靜摩擦力。(已知垂直通過 圓柱平面圓心的轉動慣量為

2 1

MR

²

)

3、如下圖, 波長為 λ

的單色光垂直入射到相距為

d

的雙狹縫

S ¹

與

S ²

. 在

S ¹

後面放置一個長度為

t

的透明容器(設容器壁厚度可忽略)， 內部充滿空氣，光屏到狹縫的距離為 ℓ 設 λ

= 632.8 nm,

ℓ

= 2 m, t = 2 cm.

（a）觀察光屏上的干涉條紋, 發現中心亮紋與第 10 條亮紋的距離為 25.3 cm,求兩狹縫的間距

d.

（b）若利用幫浦將容器內的空氣逐漸抽出, 光屏上的干涉條紋如何移動?(請說明理由)

（c）設空氣全部抽光後,發現移動通過某固定點的干涉條紋數為 18. 求空氣的折射率

n.

m 30º

P R M

ℓ

4、一半徑為 R 之圓環，在 t = 0 ， x = 0 時，以 v ₀

之速度向 + x 方向前進， 同時以 ω

₀

逆 時鐘旋轉(如圖)。這時圓環與桌面有滑動， 假設滑動的磨擦係數 μ 為常數， 滾動的磨擦係數 可忽略。當圓環與桌面只有滾動沒有滑動時‚圓環呈等速度運動。試問

(a) 求最終速度。

(b) 若 v

₀

= 0.2 Rω

₀

, 重力加速度為 g， 求此圓環中心向右的最大位移為何 ?

5、如右圖所示，一木棒，長 10 m 可繞垂直軸 O 點旋轉，在木棒另端上放置一盛水之水杯，杯內 水中有一密度小於水（

ρ

_木^＜

ρ

水）且質量為 m 之木塊以線與杯底相連接。如木棒未繞 O 點旋轉，

則木塊繫線垂直向上如圖所示（設杯寬遠小於 r）。

（a）求此時線之張力 T。

（b）如木棒以

ω

^r＝0.7rad/s
之角速度繞鉛直軸轉。求此時線與垂直方 向之夾角 Ө，此 Ө 角向外或向內（指向轉軸方向）偏。

（c）求（b）之情況，懸線之張力 T’。

6、如下圖所示

(a) 一條繩子若是沒有拉緊是不能傳遞繩波的。今有一線密度為

ρ

^{的繩子，施予}

τ

^{的張力。若} 有振動器產生脈波在繩子上傳遞，請證明其波速為

(b) 假使把一條繩子一端接在音叉的一隻腳 P 上，另外一端則跨過滑輪 Q，懸掛質量為 M 的重 物。若繩子密度為

ρ = 1.8 ^g _m

; P 與 Q 間的距離為l

= 1.5 m

; 音叉的振動頻率為

f = 120 Hz

。 如果要在 P 與 Q 間產生 3 個節點，請問所需懸掛重物質量 M 為若干?

v τ

= ρ

7、均勻細桿長 l 、質量 m

，兩端靠在光滑牆壁和地面，如右圖。

如任其自此位置開始下滑。

(a)下滑過程中(桿端未離牆)，細桿質心移動軌跡為何種曲線?

(b)桿與牆起初夾角為

α

，下滑過程中夾角會增大，當夾角變為？度 桿與牆開始分離。(垂直桿通過質心轉軸之轉動慣量為

12 ml 2

) (c)若初夾角

α = 30 ⁰

，則(b)小題答案應為何？

1、[Ans]

(a) C ₀ = n / V = P / RT = ( 0 . 21 )( 1 . 013 × 10 ⁵ Pa ) /( 8 . 315 J / mol ⋅ K )( 293 K ) = 8 . 7 mol / m ³ #

(b) 濃度差: _{0 0 0} ( 8 . 7 / ³ ) 4 . 35 / ³ 2

1 2

1 2

1 C C mol m mol m

C

C = − = = =

∆ 擴散速率:

x DA C

J ∆

= ∆ D:擴散係數; A: 截面積

∴ ^J = ^{( 1} × ^{10 − 5 m 2 / s )( 2} × ^{10 − 9 m 2 )( 4 . 35 mol / m 3 ) /( 2} × ^{10 − 3 m )} = ⁴ × ^{10 − 11 mol / s} #

(c) 就平均濃度而言，

3 3

0 0

0 ( 8 . 7 / ) 6 . 53 /

4 3 4

) 3 2 ( 1 2

1 C C C mol m mol m

C _av = + = = =

∴

^{擴散的平均時間}

s s

mol m

m m

mol J

V C J N

t = / = _av / = ( 6 . 53 / ³ )( 2 × 10 ^{− 9 2} )( 2 × 10 ^{− 3} ) /( 4 × 10 ^{− 11} / ) = 0 . 6 #

3、

4、Answer : (a) v

_final

= (v

₀

- Rω

₀

)/2.

(b) v

₀ ²

/(2gμ) = (0.2Rω

₀

)

²

/(2gμ) .

5、 （a）

T＋mg－

ρ

木

m

ρ

水

g ＝ 0 T ＝ mg（

木 水

ρ

ρ －1）

（b）

Ө 向內（向轉軸）

Mrω ² ＝ m（10） （0.7） ² ＝ m（

2 g ）

Ө ＝ tan ^-1

g g

2 ＝ tan ^-1

2 1

（c）

T’＋ m（

2

3 g）－

ρ

木

m

ρ

水

g＝0 T’＝ 2

3 mg（

^水

ρ

ρ －1）

6、

7

(a) 下滑過程中 θ 2 sin

x _c = l

，

^cos θ 2

y _c = l →

4

2 2

2 l

y

x _c + _c = ∴

為圓形軌跡為圓形軌跡為圓形軌跡為圓形軌跡 #

(b)

^&

^cos θ θ

^&

2

x _c = l

，

^sin θ θ

^&

2

y _c = − l → ^{2 2 2}

8 1 2

1 ^mv c = ^ml θ

^&

2 2

2 1 2

1 c c ω

c mv I

y

mg ∆ = + 位能轉移為動能(移動+轉動)

2 2 2

2 )

12 ( 1 2 1 8

) 1 cos

2 ^l (cos α θ ^ml θ

^&

^ml θ

^&

mg − = + → θ

&

² = ^{3 g (cos} α − ^cos θ ^{) / l ( 1 )}

Q

(cos sin ) 2

2 1 =

^&&

= l θ θ

^&&

− θ θ

^&

x m

N _c 將 ) ( 式再微分 1 2 θ

^&

θ

^&&

= 3 g sin θ θ

^&

/ l → θ

&&

= ^{3 g sin} θ ^{/ 2 l ( 2 )}

離開牆 離開牆 離開牆

離開牆

N ₁ = 0 → cos θ θ

^&&

= sin θ θ

^&

² 將 (1)(2) 代入 → ^{2 cos} α = ^{3 cos} θ

⇒

) 3 cos ( 2 cos ¹ α

θ = ⁻ #

(c) )

2 3 3 ( 2 cos ¹ ⋅

= ⁻

θ ^{⇒ )}

3 ( 1 cos ^{− 1}

θ = #

2 2

2

2

( ) 2 sin 2 (2 )

( ) ( ) ( )

( )

a F

R m

v v

F m a m

R R

v

R R

v or v

τ θ τθ τ θ τ ρ

ρ

τ ρ

τ τ

ρ ρ

↓

↓

∆

 

= ≈ = =  

 

∆ = ∆

= ∆ = ∆ = ∆

∆

 

⇒   = ∆

 

⇒ = =

l

l

l

l l

2

2

2 2

2 2 3 2 2

( ) ( 1) 2 ( 3)

2

2

4

(1.8 10 )(120 ) (1.5 )

1.488 1.5

4 4(9.8 )

Kg m

m s

b n n

v v f

f v

v mg

mg f

f Hz m

m kg kg

g

λ λ

λ τ

ρ ρ

ρ

ρ ⁻

= + = =

= = → =

= =

=

⇒ = = × = ≈

l

l Q

l

l

l

v 1

A 1

A 2

v 2

註一：一般而言，流體可區分為穩定流體(Steady Flow)、非穩定流體(Unsteady Flow)、及紊亂流體(Turbulent Flow)，這些不同 狀況的流體，基本上可以用雷諾數(Reynolds number)的大小來區分。流體速度不是太快而且密度保持一定的水流，就 是屬於穩定且不可壓縮的流體。

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物理科實驗試題 編號 流體實驗

一、實驗簡介

一般在處理流體運動中，有兩個很重要的概念：一個是連續方程式(Equation of Continuity)；另一個是伯努力方程式(Bernoulli’s Equation)，藉由這兩個方程 式，就可以解釋穩定而且不可壓縮的流體問題[^註一]。

第一個概念(連續方程式)是來自質量守恆，在流體束（流體被限制流經的路徑）

流經之各點，其流體速度和流體束截面積的乘積為一個常數，如圖一所示意，即

A v

＝

constant。在生活中可見的例子是：河道狹窄處之水流流速較寬廣處的水流流速 快。

而第二個概念(伯努力方程式)是來自能量守恆，當流體束流經不同高度時，該 處 壓 力 (P) ， 流 速 (

v

) ， 及 高 度 (y) 之 間 有 一 個 關 係 式 ， 即

= +

+ v gy

P ρ ² ρ

2

1 constant

，

ρ

為流體的密度，g 為重力加速度，如圖二所示。生活 中常聽到所謂的「流速快則壓力小」，就是基於這個概念，也由此解釋何以飛機會上 升。

圖一：在流體束中，任一點的流速

v

和在當處流體束的截面積 A 的乘積為一定數，

就是

A 1 v 1 = A 2 v 2 =

constant。

2 2 , V

P y 1

1 1 , V P

y 2

v 2

v 1

圖二：在流體束中，流經不同高度之流體，其所處之壓力(P)、流速(v)、及高度(y) 之間有一個關係，就是

P 1 +

2

1 ρ v ₁ ² + ρ gy ₁ = P 2 +

2

1 ρ v ₂ ² + ρ gy ₂ =

^constant。

圖三簡示一個盛水容器，水流透過下方的小孔流洩出，則容器內水位高度隨時 間下降，而此水位高度下降的速率就是本實驗要探討的主題，也就是要經由量測到 的 y(t)函數，探討其相關問題。理論上，此問題自然可以用上述的兩個概念推導。

實際上，則是要透過實驗量取數據來印證理論。

惟，我們可以理解的是，推導過程是針對理想流體。事實上，水具有黏滯性，

此特性將會使得實驗結果與理論有所差異。簡單的說，水的流動過程中會有流阻，

就像電流的流動會遭遇到阻力一般（就是電阻），在本實驗的架設上，水流經過大圓 桶與小圓孔，當然就分別遭遇到來自大圓桶及小圓孔的流阻，以影響程度而言，其 中來自小圓孔（可視為小圓管）的流阻將是主要且為決定性的部分。

圖三：側面鑽一小孔之盛水圓桶，水流洩出，則水位下降，主要探討的是 y(t) 的函數關係。

有關流體流經小圓管的的描述，帕穗定律 (Poiseuille's Law)有定量的公式如 下：

( Q )

P R

t

∆ = ∆

∆

………(1) 其中，

∆ P

為小圓管兩端的壓力差，

^Q

t

∆

∆

為流經小圓管的體積流率(單位時間流 過的水容量)，而

R

就是流阻。此公式看起來就像歐姆定律

V = IR

。而流阻與幾個相 關參數之間的關係，經過演算，可以得到如下式：

4

R 8c π r

= l

………(2)

l

= 小圓管的長度(cm)

r

= 小圓管的半徑(cm)

c

= 水的黏滯係數(

s cm

g

⋅

)

∆ P

=小圓管兩端壓力差(

₂ s cm

g

⋅

)

( Q ) t

∆

∆

= 體積流率(

^{cm 3}

s

)

如圖三所示，小圓孔可以視同一個小圓管，小圓管兩端的壓力差與容器內水位 的高度 y 有關，而體積流率與高度的時變率有關（就是水位高度對時間的變化率）， 也就是與前述量測到 y(t)函數的導數有關（即微分

lim 0 t

y dy t dt

∆ →

∆ = ∆

）。因此，由公式(1) 可知，將

∆ P

對

( Q )

t

∆

∆

作適當的轉換後，再作圖分析，則可以推導求得水的黏滯係數。

二、實驗引導

1. 如圖三所示，經由小孔洩出水，容器內水位下降。主要探討的是水位高度相對於 洩水時間的關係圖，就是 y(t)的函數關係。

2. 印證實驗，透過實驗簡介的兩個流體重要概念，解出 y(t)的關係，進而分析及印 證實驗結果。

3. 安排適合之實驗步驟與方法，探討

^dy

dt

對 y 的關係，從而推導出水的黏滯係數。

4. 合理解釋實驗值與理論值的差異。如果發生差異性，並不是表示理論不對，而是 有一些現實因素，使得與在理想的狀況下推導出來的結果有所差異。

三、實驗器材

壓克力圓筒 x1、塑膠盆 x1、水桶 x1、橡膠軟管 x1、游標尺 x1、碼錶 x1、溫度計 x1、燒杯(500cc)x1、方格紙 x3、硬紙板 x1、小刀 x1、夾子 x1、膠帶 x1、抹布 x1

四、實驗步驟及配分

1. 架設壓克力圓筒，如圖三。觀察水洩出小孔的情形，並量測及記錄 y(t)，需要 測量多組 y 對 t 的數據，使結果足以畫出合理的 y(t)圖，並瞭解曲線走向（例 如呈直線、二次曲線、或更高次曲線）。(配分 20%)

2. 藉由實驗簡介的理論，推導出 y(t)的關係。(配分 15%)

3. 將推導得到的理論值和實驗所得數據畫在一起，分析比較及印證實驗與理論的 差異，並合理解釋此差異性。(配分 10%)

4. 將實驗及理論的數值，分別以

y

對時間 t 作圖，分析數據所呈現之曲線，並由 曲線相關參數印證實際狀況。(配分 15%)

5. 設計合適之實驗步驟及作法，量測不同水平面高度時之

^dy

dt

，分析

^dy

dt

對 y 的關 係，以供探討

( Q )

P R

t

∆ = ∆

∆

。請同學注意，如有不同做法，則以同學的方法為優先。

(配分 15%)

6. 相 較 於 大 圓 桶 ， 請 說 明 何 以 小 圓 孔 扮 演 主 要 且 決 定 性 的 流 阻 。 進 而 探 討

( Q )

P R

t

∆ = ∆

∆

的實驗結果，經由作圖，分析並求出水的黏滯係數，並探討誤差（水 在 25

^o

C 的黏滯係數為 0.0872

s cm

g

⋅

，而水的黏滯係數隨溫度上升而下降）。(配 分 15%)

7. 在步驟 5 的實驗中，同學們可以僅採用一種方式，實際探討水的黏滯係數。限 於時間，請同學們描述可能的第二種或第三種方式，但是要注意到實際操作面，

最好能配合桌上設備就可以達成的方式。不能太理想，而有實際上達不到的遺 憾。(配分 10%)

流體實驗

一、實驗步驟：

1﹒將適當長度的方格紙貼於圓筒上，以方便讀取水的高度。

2﹒加水至距小孔 13.5 公分高處，開始量測水面下降至不同高度的時間，記

錄於表一中。

表一

高度 y(cm) 時間 t(s) 時間差(s)

13.5 0

13.1 31.55

12.9 43.36 11.81 12.1 92.43

11.9 102.55 10.12 11.1 167.24

10.9 180.86 13.62 10.1 242.24

9.9 258.58 16.34 9.1 327.02

8.9 344.14 17.12 8.1 415.39

7.9 434.96 19.57 7.1 510.36

6.9 531.61 21.25 6.1 614.86

5.9 636.93 22.07 5.1 732.86

4.9 758.17 25.31

二、實驗分析：

1﹒將表一中所得的數據製成 y(t)圖，如圖一所示。由圖一可知 y(t)圖為二次

曲線，但實驗值明顯大於理論值，即水流的速率比理想流體慢，此原因 為水黏滯性的影響，其黏滯係數的大小會在之後探討。

圖一：藍色線為實驗數據所作的曲線，紅色線為理論值(計算與推導在 分析 2)。由圖可看出實驗值明顯大於理論值，其原因為水黏滯性的影響。

y = 7E-06t² - 0.0203t + 14

y = 6E-06t² - 0.0159t + 13.643

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 100 200 300 400 500 600 700 800

t (s)

y (cm)

實驗值 理論值

2﹒理論推導：

由伯努力方程式可知 _{1 1} ² _{1 2 2} ² ₂

2 1 2

1 v gy P v gy

P + ρ + ρ = + ρ + ρ

……(1) 其中 P

¹

=P

²

=大氣壓，y

²

=0，故式子可整理成

v ₁ ² + 2 gy ₁ = v ₂ ²

………(2) 又由連續方程式 A

1 v 1 ＝ A 2 v 2 可知 ₁

2 1

2 v

A

v = A

………(3)

將(3)式代入(2)式中，整理後可得

v gy A

A ₂ 1 ₁ ² 2

2 2

1  =





 

 −

………(4)

又

dt

v 1 = − dy

代入(4)式 →

dt A A dy g

y 1

2 1

2 2 2

1 −

− =

………(5)

將(5)式積分 →

t h A

A

y g +

 

 



 −

−

=

1

2 2

2 2 1

………(6)

由(6)式可知 y(t)圖為二曲線圖。

從圖一可知實驗所得 y(t)圖為二次曲線圖，與此推導結果相符。

3﹒ 由(6)式可知

y

與 t 為線性關係，故將實驗數據做

y

-t 圖，如圖二。

由(6)式知線性方程式的斜率為

 





 



 −

−

1

2 ₂

2 2 1

A A

g

，又本實驗所用之圓筒內徑

為 14.05 公分，小孔的孔徑為 0.15 公分，故可由圖二所得方程式之斜率 推得 g 值為 499cm/s

²

，此與實際 g 值 980cm/s

²

差距甚大，由此可知水的 黏滯性在此扮演很重要的角色；而由方程式的截距可推得起始點為

圖二：

y -t 關係圖，由圖可知其關係式為 y

=-0.002t+3.67。

y = -0.0019x + 3.6547

y = -0.0027x + 3.6742

2

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8

0 100 200 300 400 500 600 700 800

t

y^ 0 .5

4﹒若要考慮黏滯係數對本實驗的影響，就須引用帕穗定律

( Q )

P R

t

∆ = ∆

∆

，其

中

R ^8c ₄ π r

= l

， ∆ P = ρ gy

，

t A y t Q

∆

= ∆

∆

∆

1 ，

所以可將式子整理為

t y r g

A y c

∆

= 8 ¹ ₄ ∆ π ρ

l …………(7)

將表一數據經過計算可得製成

t y

∆

∆

-y 圖，如圖三所示。

由(7)式及圖三所得直線方程式可推得本實驗所用液體的黏滯係數為

0.129

s cm

g

⋅

，比 25℃時純水的黏滯係數

0.0872 s cm

g

⋅

大了 47％，造成此 現象的原因，除實驗上量測的誤差(如小孔的直徑大小、圓筒直徑大小 及圓筒壁的厚度)外，本實驗所用的水為自來水，水中的雜質也可能造 成黏滯係數變大的原因。

5﹒除利用

t y

∆

∆

-y 圖求出黏滯係數外，尚可利用測量固定水位時，單位時間

流出的水量與水位高的關係求出黏滯係數，其步驟如下：

(1) 將水桶裝滿水，置於桌面上；壓克力圓筒裝水至固定高度(12cm)後，

置於椅子上。

(2) 將水管兩端分別置於水桶與壓克力筒中，利用虹吸現象使水桶中的水 可流到壓克力筒中，並以夾子夾住水管控制進水量，使壓克力筒中的 水位保持不變。

(3) 將燒杯置於小孔前，測量水流出 10ml 所需的時間。

測量結果：

水在 12cm 高時，流出 10ml 需 4.47s(4.49、4.53、4.44 的平均值) 由此可推出水的黏滯係數為 0.12

s cm

g

⋅

，與分析 4 所得結果相符。

0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026

6 7 8 9 10 11 12 13 14

dy/dt (cm/s)

y (cm)

實驗值 理論值

圖三:

t y

∆

∆

-y 圖，實驗值的直線方程式為

t y

∆

∆

=0.0013y+2×10^-5。