勾 股 定 理
翰林版(一)2- 3單 元 內 容
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勾股定理
n 直角三角形：三個 內角中有–角為 90o 的三角形稱為直角 三角形。
Ø 斜邊：直角三
角形中直角所對的邊稱為斜邊，在 中國古時候稱為弦。
Ø 股：直角三角形中銳角所對的邊稱 為股，兩股中較短者又稱為勾。
【說明】右圖中，
c2=52+122 所以c2=25+144
因為c>0 故 c= 169 =13
n 勾股定理：直角三角形兩股的平方和等 於斜邊的平方，這種關係稱為勾股定 理、勾股弦定理、商高定理或畢氏定 理。
甲的面積= 大正方形面積- 四個直角三角 形面積和
C2= (a+ b)2-ab 2 ‧4
= a2+ 2ab+ b2- 2ab
= a2+ b2
範 例 講 解
Ex1.利用勾股定理計算下列各圖形未知的邊長： Hw1.利用勾股定理計算下面直角三角形中未知的 邊長：
勾股定理.docx
(1). (2).
(3). (4).
(5). (6).
(1). (2).
(3). (4).
(5).
(6).
Ex2.
(1). 已知一長方形的長為 2.4 公分，其對角 線長為 2.6 公分，求此長方形的周長。
(2).已知一正方形的對角線長 40 公分，求其 邊長。
Hw2.
(1).已知一長方形的花圃，此花圃的長是 2.4 公尺，其對角線長為 2.6 公尺，求此花圃 的面積為何？
(2).有一正方形的對角線長 5 2 ，則此正方 形的邊長為多少？
Ex3.直角△的三邊長分別為 5、12、x，求 x＝？ Hw3.已知一直角三角形的兩邊長分別為 3、4，
求第三邊長為何?
Ex4.如圖，直角△ABC 中，
∠BAC＝90°，¯AD⊥
BC，若 ¯¯ AB＝6，¯AC＝
8，試求¯AD的長。
Hw4.如圖，△PQR 為一直角三角形，其中PQ
＝96cm，PR＝ 100cm，則QS ＝？
Ex5.如圖，兩個相同的直角三角形（兩股長分別 為 a、b，斜邊長為 c）與一個
灰色的等腰直角三角形（腰長 為 c）；拼成一個梯形，請問：
(1).梯形面積＝?（以 a、b 表 示）
Hw5.如圖的梯形是由兩個相等的直 角三角形和一個腰長為 c 的等 腰直角三角形組成的，若已知 兩個相等的直角三角形其兩股 長分別為 a、b，則：
三角形的面積」列出算式，並將它展開、
化簡，可以得到什麼式子？
Ex6.已知梯子長 2.5 公尺，牆高 1.5 公尺。
(1).將梯子斜靠在牆上，
使得梯頂剛好靠在牆 頂上，如圖所示。請 問梯腳離牆角多少公 尺？
(2).如果將梯腳往牆腳方 向移動1.2公尺後，請 問此時梯子突出牆頂 的部分為多少公尺？
Hw6.如圖，翰翰將 2.6 公尺的梯 子放在離牆腳 1 公尺處，
則：
(1).梯頂離地面多少公尺？
(2).若翰翰覺得梯子架得太高
了，想要降低32 公分，則應將梯腳放在 牆角幾公尺處？
2
座標平面上兩點的距離
n 座標平面的距離：平面上任意兩點 A(x1,y1)、B(x2,y2)間的距離
由上圖可知AB2=BC2+AC2
AB = ( − ) + ( − )
【說明】A(6,2)、B(6,8) (1). A(6,2)、B(6,8) AB =8-2=6
(2). A(4,3)、B(-2,3) AB =4-(-2)=6 (3). A(3,2)、B(6,6) AB = (3-6)2+(2-6)2
= 32+42
=5
範 例 講 解
Ex7.求下列各小題中，坐標平面上兩點間的距 離：
(1) .A(6 ‚-3)、B(-2 ‚-3)。
(2) .C(2 ‚-1)、D(5 ‚ 3)。
(3) .E(5 ‚-3)、F(-2 ‚ 21)。
(4) .G(1 ‚ 1)、H(2 ‚ 3)。
Hw7.求坐標平面上兩點間的距離：
(1). A(2 ‚ -3)、B(-5 ‚ -3) (2).C(0 ‚ 0)、D(3 ‚ -4) (3).E(-6 ‚ -4)、F(3 ‚ -2) (4).G(4 , 4)、H(7 , 0)
勾股定理.docx
Ex8.
(1).如圖，阿里不達 從惡魔島出發，
要到金銀島去捕 捉千禧蟲，途中 必須先向東走 12
公里，向北走 5 公里，向西走 8 公里，
再向北走 7 公里，最後向東走 1 公里，
請問惡魔島到金銀島的直線距離是多少公 里？
(2).小明從家中到學校的路徑為先向東 4 公 里，再向北 5 公里，再轉向西 16 公里，
則學校到小明家的直線距離有多遠？
Hw8.
(1).虎克船長在無人島上埋藏寶藏，他先在 A 地紮營，然後向東走 15 公里到達 B 地，
藏了第一批珠寶；再由 B 地向南走 8 公 里到達 C 地，藏了第二批珠寶；之後，
疲倦的虎克船長由 C 地走直線回到 A 地。請問虎克船長共走了多少公里？
(2).有一個機器人，他 只能直線前進或是 轉角 90°，如圖為 此機器人從 A 點到
B 點的行走路徑，則 AB ＝?
Ex9.若在坐標平面上有 A(2 , 3)、B(-1 , 4)、C(2 , 4)三點，則 AB 、 BC 、 AC的大小關係為下 列何者？
Hw9.下列何點距離原點最遠？
(A)(5,-4) (B)(4,4) (C)(5,-5) (D)(-4,5)。
綜 合 應 用
Ex10.下列何者不是直角三角形的三邊長？
(A) 11、60、61 (B) 32、42、52 (C) 7、
24、25 (D) 2.5、6、6.5。
Hw10.下列哪一組數不是直角三角形的三邊長？
(A) 1, 2 , 3 (B) 3,4,5 (C) 9,40,41 (D) 20,21,31。
Ex11.
(1).如圖，求出 AF ＋CD
＝？
(2).如圖，P 為正方形 ABCD 對角線AC 上一 點，已知AP ＝2，CP ＝ 8，則 BP ＝？
(3).如圖，則甲、乙兩個 正方形重疊出的斜線 部分面積為何？
Hw11.
(1).如圖，∠C＝90°，AE ⊥BD，BC ＝ 12，DC ＝5，AB＝10，DE＝5，求
AD＝?
(2).如圖，則CD ＝？
(3).如圖，A、B 兩正方 形的邊長各是 8cm、
7cm，則所有邊上任
意兩點的距離最長為多少公分？
Ex12.如圖，矩形 ABCD 中，BE ＝8，EC ＝ 6，∠BEC＝90°，求 矩形 A BCD 面積。
Hw12. 如圖，ABCD 為一 矩形，則：
(1).CD =?
(2).矩形 ABCD 的面 積=?
Ex13.如圖，已知AB＝4、
AC ＝3、DB＝5、DE
＝3，且AC ⊥AB，則 CD ＝ ？
Hw13.如圖，AB ⊥BF ， DF ⊥BF ，DE ⊥ AC ，求CF ＝？
Ex14.已知正方形甲是面積為 676 平方公分，若AP＝10 公 分，則正方形 ABCD 的面積 為何？
Hw14.如圖，四邊形 ABCD 為 一正方形，則灰色部分的 面積為何？
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Ex15.
(1).如圖是一個長方體容 器的示意圖，其中
AB ＝2，BF ＝3，
BC ＝5，有一隻螞蟻在 F 點想移動到 D 點，試問螞蟻最少要移動多少距離？
(2).一個長方體的盒子內部尺寸是 3cm、
4cm、12cm，則可放在盒中，最長細 桿的長度為多少？
Hw15.
(1).如圖，PQ 是正方體的對角 線，若PQ ＝a，則正方體的 表面積為何？
(2).如圖是一個長方體容器的示意圖，其中 AB＝2，BF ＝3，
BC ＝5，有一隻蜜蜂 在 F 點想移動到 D 點，試問蜜蜂最少要 移動多少距離？
Ans: 5 2;13
Ans: 2a2; 38
