高師大附中 103 學年度第一學期高二數學科第二次段考自然組試題

高師大附中 103 學年度第一學期高二數學科第二次段考自然組試題

一、填充題 (共 72 分。全對才給分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 得 分 6 12 18 24 29 34 39 44 49 52 55 58 61 64 66 68 70 72 1. 某建築物有一塔﹐塔上有一旗桿﹐已知旗桿長為塔高的 2 倍﹐今在平地上一點測得建築物

的頂端、塔頂和旗桿頂的仰角分別為30、34和 ﹐試求 值為 度(四捨五入取至小數點 後第一位)﹒

 30 34 39 40 41 42 43

sin 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933

2. 已知tan 37 40' 0.7720  ﹐tan 37 50' 0.7766  ﹐若tan  0.7739且0   360﹐則 值為 (幾度幾分)(四捨五入取至分的整數位)﹒

3. 在A、_B兩支旗竿底端連線段中的某一點測得_A旗竿頂端的仰角為_29﹐_B旗竿頂端的仰角 為15﹒在底端連線段中的另一點測得A旗竿頂端的仰角為26﹐B旗竿頂端的仰角為19

﹒則_A旗竿高度和_B旗竿高度的比值為 ﹒

 75 71 64 61

tan 3.73 2.90 2.05 1.80

4. 在平面上有相異三條直線L1：x3y 1 0、L₂：2x ky  1 0及L₃：x y  3 0﹐若L₁、 L2、L3不能圍成一個三角形﹐求 k 的值= ﹒

5. 三直線^{3x2y 6 0}、2x y  3 0以及x4y 2 0圍成一個三角形﹐試求此三角形的 外心坐標是 ﹒

6. 設△ABC 的三頂點為 A(2, 0)﹐B(1, 2)﹐C(4, 2)﹐若 P(k, ^k1)為△ABC 內部的一點﹐求 k 的範圍為 ﹒

7. 在坐標平面上﹐假設有一光源自點 A(2, 5)朝向直線 L：^{y x 1}射出一道光線﹐已知經直線 L 反射後﹐反射光通過點 B(6, 0)﹐求此光線在直線 L 的入射點坐標是 ﹒

8. 設^{( , )x y} 滿足不等式組

3 2 12 0 2 0 0, 0 x y x y x y

   

   

  



﹐試求

(1) ^{2x y 1}的最小值是 ﹒

(2) 1 2 y x



 的最小值是 ﹒ (3) x²y²的最小值是 ﹒

9. 建築公司在房市熱絡時推出甲﹑乙兩型熱門預售屋﹒企劃部門的規劃如下：甲型屋每棟地 價成本為 300 萬元﹐建築費用為 500 萬元﹐乙型屋每棟地價成本為 500 萬元﹐建築費用為 200 萬元﹐公司在資金部分限制地價總成本上限為 13500 萬元﹐所有建築費用的上限為 1 億 8000 萬元；若甲型預售屋售出每棟可獲利 900 萬元﹐乙型預售屋售出每棟可獲利 600 萬元﹒假設推出的預售屋皆可售出﹐且甲型預售屋推出^x棟﹐乙型預售屋推出^y棟時﹐公 司可以得到最大利潤﹐則數對( , )x y = ﹒

10. 設表示坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域

2 2 4

1 x y

y

  



  ﹐已知函數^{x y} 的最大 值與最小值分別產生在區域上的點 A 和點 B﹐求

(1) 點 A 的坐標是 ﹒ (2) 點 B 的坐標是 ﹒

11. 平面上有一直線 L：kx y  1 0與圓 C：x² y² 2x2y 2 0﹐則 (1) 若直線 L 與圓 C 相交於相異兩點時﹐k 的範圍是 ﹒

(2) 若k 1時﹐直線 L 與圓 C 所截的弦長為 ﹒ (3) 若 1

k   時﹐圓 C 上的點到直線 L 的最短距離為 ﹒2

12. (1) 在坐標平面上﹐求過點 P(4, 3)且與圓 C：(x2)²y² 4相切的直線方程式為 ﹒ (2) 承(1)﹐若在點 P 處有一光源﹐請問光將圓 C 投射至 x 軸的影長為 ﹒

二、多重選擇題（共20 分。每題5 分，答錯不倒扣；每題至少有一個正確選項，答錯一個選 項可得3 分，但若答錯二個或二個以上選項，則不得分；不答不給分）

1. 右圖為兩直線L1：x ay b  0﹐L₂：x cy d  0的圖形﹐下列 何者正確？

(A)a0　 (B)b0　 (C)c0　 (D)d 0　 (E)^{a c} ﹒

2. 下列條件何者恰可決定一個圓？

(A)通過三點 A(1, -3)﹐B(2, 6)﹐C(4, 24) (B)通過四點 A(1, 0)﹐B(-1, 0)﹐C(0, 1)﹐D(0, -1) (C)以(1, 0)﹐(3, 4)為一直徑的兩個端點 (D)圓心(-1, 2)且與 x 軸﹐y 軸相切

(E)與三直線x y  1 0、y0、x0均相切﹒

3. 在坐標平面上﹐以 O(0, 0)﹐A(3, 0)﹐B(0, 4)為頂點的三角形﹐令圓C1﹐圓C₂分別為OAB 的外接圓﹐內切圓﹒下列何者正確？

(A)圓C₁的半徑為2 (B)圓C₁的圓心在直線4x3y12上 (C)圓C₂的面積為 4



(D)圓C₂的圓心在直線^{y x} 上 (E)兩圓的連心線 _{1 2} 5 C C  2 ﹒

4. 坐標平面上兩點 A(-1, 2)﹐B(5, -1)﹐關於滿足PA k PB k ( 0)的所有動點P 的軌跡方程 式﹐下列何者正確？

(A)若k1﹐則動點P 的軌跡方程式為一個二元二次方程式 (B)若k1﹐則動點P 的軌跡方程式為一個二元二次方程式 (C)若0 k 1﹐則動點P 所成的圖形為一個包含 A 點的圓 (D)若k1﹐則動點P 所成的圖形為一個包含 A 點的圓 (E)若k2﹐則由動點P 所圍成的圖形面積為20 ﹒

三、證明題(共 8 分)

1. 試證：在坐標平面上﹐點 P(x₀, y₀)為圓 C：x²  y² dx ey  f 0上的一點﹐則通過點P

且切於此圓的切線方程式為 _{0 0} ( ⁰ ) ( ⁰ ) 0

2 2

x x y y

x x y y d  e  f

     ﹒(8 分)

高師大附中 103 學年度第一學期高二數學科第二次段考自然組試題 答案卷

高二 班 座號： 姓名：

一、填充題 (共 72 分。全對才給分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 得 分 6 12 18 24 29 34 39 44 49 52 55 58 61 64 66 68 70 72

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. 8.(1) 8.(2) 8.(3) 9. 10.(1)

10.(2) 11.(1) 11.(2) 11.(3) 12.(1) 12.(2)

二、多重選擇題（共20 分。每題 5 分，答錯不倒扣；每題至少有一個正確選項，答錯一個選 項可得3 分，但若答錯二個或二個以上選項，則不得分；不答不給分）

1. 2. 3. 4.

三、證明題(共 8 分)

1. 試證：在坐標平面上﹐點 P(^x₀, ^y₀)為圓 C：x² y² dx ey  f 0上的一點﹐則通過點 P 且切於此圓的切線方程式為 _{0 0} ( ⁰ ) ( ⁰ ) 0

2 2

x x y y

x x y y d  e  f

     ﹒

高師大附中 103 學年度第一學期高二數學科第二次段考自然組試題 答案卷

高二 班 座號： 姓名：

一、填充題 (共 72 分。全對才給分)

答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

得 分 6 12 18 24 29 34 39 44 49 52 55 58 61 64 66 68 70 72

1.

41.1

2.

142 16' 或 322 16'

3.

3.32

4.

6 或2或3 5.

( ,2 9 ) 7 14

6.

1 5

5 k 2

   7.

( ,8 15) 7 7

8.(1)

5

8.(2) 1 6

8.(3) 2

9.

( 33, 7 )

10.(1) ( 2, 2)

10.(2) ( 3,1)

11.(1) k0

或 4

k 3

11.(2) 14

11.(3) 5 2

12.(1) 4 x 或 5x12y 16 0

12.(2) 36

5

二、多重選擇題（共20 分。每題 5 分，答錯不倒扣；每題至少有一個正確選項，答錯一個選 項可得3 分，但若答錯二個或二個以上選項，則不得分；不答不給分）

1.

BDE

2.

BC

3.

BDE

4.

BCE

三、證明題(共 8 分)

1. 試證：在坐標平面上﹐點 P(x₀, y₀)為圓 C：x² y² dx ey  f 0上的一點﹐則通過點 P 且切於此圓的切線方程式為 _{0 0} ( ⁰ ) ( ⁰ ) 0

2 2

x x y y

x x y y d  e  f

     ﹒

證明：