數學傳播 數學傳播 33卷3期, pp. 72-73
在球面上鋪二十個球面正三角形
張海潮
我們想從球面幾何的角度來看正二十面體的存在。 在單位球面上取一個三個角都等於 2π/5 的正三角形 ABC (註一):
圖一 這個三角形的面積是 (註二):
2π/5 + 2π/5 + 2π/5 − π = π/5.
單位球的面積是 4π, 因此是 △ABC 面積的 20 倍, 現在取 20 個和 ABC 一模一樣的 正 (球面) 三角形, 我們要用這二十個 「球面磚」 鋪在單位球面上, 鋪法如下:
第一步, 從北極出發, 鋪上五個正三角形 (圖二)
圖二
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在球面上鋪二十個球面正三角形 73
由於三角形的角度是 2π/5, 所以剛好繞北極一圈。
第二步, 延續 1∼5 這五個三角形, 再鋪五個 (圖三)
圖三 圖四
6∼10 這五個三角形互不相鄰, 之間所缺, 剛好又可以鋪進 11∼15 五個三角形 (圖四) 這 15 個三角形鋪完之後, 已經蓋住了 3π 的面積, 剩下的面積由最後 5 個三角形 (16∼20) 負責, 分別接在 11∼15 這五個三角形上, 如圖四, 11、 6、 12 這三個三角形聚於一點 P 。
圖五
再鋪上 16, 17 兩個三角形 (圖五), 由於每一個相鄰的角度都是 2π/5, 所以剛好兜攏在 S點, 16∼20 五個三角形鋪好之後, 因為 20 個三角形的總面積是 4π, 因此恰好鋪滿單位球面。
換句話說, 16∼20 這五個三角形匯聚於點 S, 而點 S 正是南極 (註三)。 同樣的方法也可用來 說明正十二面體的存在。
註一、 單位球面上的正三角形被角度唯一決定, 請見張海潮 《數學傳播 28 卷 1 期, 球面三角形 的 AAA 定理》
註二、 球面三角形的面積公式請見曹亮吉 《阿草的葫蘆, 遠哲科學教育基金會, 第 173 頁》
註三、 另一個說法是, 如圖四, 假設南極是 S, 則由 P , Q, R, U, V 五點 (這五點在同一個緯 圓上) 分別向 S 作測地線, 就會得到最後五個角度均為 2π/5 的正三角形。
—本文作者為台大數學系退休教授—
