談地球上兩點間的球面距離

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談地球上兩點間的球面距離

徐正梅

地球是人類的老故鄉, 它具備了「陽光、

空氣、水」三寶, 孕育了無數的生命。人類的文明在這塊大地上萌芽、滋長、開花 · · · 一代又一代永續不斷地傳承、創新。但是, 您是否明白: 地球的「長相」? 從台北飛往倫敦, 經過那些地區航線較短?

一. 地球是圓形球體?

古代一些有智慧的人, 累積了許多生活上的經驗:

• 太陽從地平線冒出來, 日正當中後又逐漸在海面上沈落。

• 船隻進港、先見桅燈、後見船身。

• 海、天為何連成一線?

• 月蝕時月球上的圓形陰影何處來?

他們必也想過: 大地由於「地大」廣無邊際, 難道不是平的, 而是彎曲的?

十六世紀初, 波蘭的科學家哥白尼 (N.

Copernicus 1473-1543) 提出了「地圓說」, 1492 年哥倫布 (Columbus) 航海西行發現了美洲新大陸, 1522 年麥哲倫 (Magellan)

的環球一周的壯舉更證實了地球是圓的。事實上, 地球在赤道附近的半徑約為6378公里, 在南、北兩極的半徑約為 6358 公里, 二者相差僅 20 公里, 大約佔 6378 公里的 0.313%, 這個「差距」微不足道。我們把地球縮小成半徑 10 公分的地球儀, 南、北兩極的半徑約為 9.968 公分。所以「地球儀」幾乎是圓形球體, 肉眼實難分辨它是微扁的球體。

二. 經度與緯度

把地球看成一個渾圓球體 (如果不太計較的話), 地球上每一個點的位置是用經度、

緯度來確定的。例如台北約位於「東經 121

^◦

, 北緯 25

^◦

」上。

球面上以通過球心的平面所截出的圓最大, 此種圓叫做大圓 (大圓的半徑等於球的半徑)。不通過球心的平面所截出的圓都叫小圓。如果球的半徑記作 R, 小圓的半徑記作 r, 球心與小圓圓心的距離記作 d (參照圖 1) 那麼 R 與 r 滿下列關係:

R

²

= r

²

+ d

²

. (d = OO

₁

)

16

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O

₁

r

R

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(a) 小圓

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(b) 大圓

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圖 1

地球的運動分公轉和自轉。所謂公轉就是地球循橢圓形的軌跡繞太陽運行, 繞行一周約需一年。地球除了公轉外, 它本身也以勻速自轉, 自轉的軸是一條貫穿南、北兩極的直線, 這條直徑叫做地軸。

以地軸為直徑的大圓叫做經線 (分東經線與西經線), 又稱子午線。所有的經線必通過南極和北極。除了南、北極外, 地球上每一個點都恰有一條經線通過, 這條經線是由南、北兩極與該點所決定的平面所截出的大圓。通過英國倫敦市郊格林威治天文台的

經線 (是一個半圓) 叫做 0

^◦

經線又叫本初子午線。其餘各經線的度數就是該經線所在的半平面與 0

^◦

經線的半平面所夾的二面角的角度 (如圖 2)。 0

^◦

經線以西的經線稱做西經線 (是一個半圓), 其度數取值的範圍是 0

^◦

∼ 180

^◦

, 0

^◦

經線以東的經線稱做東經線 (是一個半圓), 它的度數也是 0

^◦

∼ 180

^◦

。圖 2 的 P 點位在東經 120

^◦

的經線上。東經 180

^◦

和西經 180

^◦

是同一條經線 (半圓) 的度數, 東經 120

^◦

和西經 60

^◦

則是同一個大圓的東、西兩條經線。

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東經120

^◦

經線 0

^◦

經線

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...

O

N

S

東西

120

^◦

• P

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圖 2

與地軸垂直的圓叫做緯線 , 其中的大圓叫做赤道 , 又叫 0

^◦

緯線。赤道以北的緯線 (都是小圓) 叫做北緯線 , 赤道以南的緯線 (都是小圓) 叫做南緯線 (如圖 3), 地球上每一點都恰有一條緯線通過 (因為通過該點且垂直地軸的平面恰有一個), 緯線的度數就是經過緯線上任一點的「球半徑」與「赤道面」

所夾的角度, 它們的度數是 0

^◦

∼ 90

^◦

, 如圖 4, A點在北緯 40

^◦

的緯線上, 又在東經 120

^◦

的經線上, 所以我們稱 A點的位置是「東經 120

^◦

, 北緯40

^◦

」。

(3)

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南緯線

...

北緯線

赤道

S南極 N 北極

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圖 3

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0

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經線

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...

北緯40

^◦

線

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赤道

O 40

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N

S

120

^◦

A

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圖 4

三. 時差

地球以南、北極的連線為軸心, 自轉一周所需時間廿四小時, 面向太陽照射的半球為白天, 背向太陽的半球為黑夜。天文學家以東經線、西經線劃分時區, 地球的經線每小時轉動 15

^◦

, 由於

15

^◦

× 24 = 360

^◦

所以由 0

^◦

經線起, 每隔 15

^◦

的經線形成一

個時區。天文學家將某地的子午線 (經線) 正對著太陽時定義為該地的「格林威治時間中午 12時」。地球由西向東自轉, 所以經線每往東增加 15

^◦

, 該地的時間與格林威治時間的

「時差」就增加一小時。以台灣位於東經 121

^◦

為例, 因

121

^◦

÷ 15

^◦

≈ 8 小時 (約)

故台灣的時間與倫敦市外的格林威治, 有八小時的時差, 當格林威治中午十二時, 同一時間在台灣是晚上八點。

東經 180

^◦

與西經 180

^◦

是一條重疊的經線, 名叫國際換日線。這條想像中的經線, 從北極劃過白令海、太平洋、斐濟的 Tave- uni 島, 直達南極。從地球儀上審視, 此條換日線的左側 (含亞洲的那一側) 比它的右側 (含美洲的那一側) 提早了一天, 比如說, 當國際換日線正對太陽時, 其左側是一月二日的中午十二點, 右側就整整晚了一天, 正是一月一日的中午。

四. 球面上兩點間的最短路徑

從台北飛往倫敦那一條路徑最短? 用細線去量地球儀, 您將發現下列路徑比較短

台北 → 鄭州 → 包頭 → 阿爾泰山 → 烏拉山脈 → 列寧格勒 → 哥本哈根 → 倫敦。

因為它是通過台北、倫敦兩地的大圓路徑 (近似)。

球面上通過 A、B 兩點之許多路徑中, 顯然以共平面的路徑較近, 而共平面的路徑就是通過 A、B 兩點之各種不同半徑的圓弧, 這些圓弧又以

(4)

通過A、B 兩點之大圓的劣弧為最短。

我們應用三角函數的基礎知識來證明這一重要事實, 先給出兩個引理。

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...·...

·

...

O

₁

.

...

·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. A

B

. . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. . . .. . . . .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .. . .. . . . .. . .. .. . .. .. . .. . ... ...

.. ... ...

.. ...

. ...

. ... ..

. .. .. . .. .. . ...

...

... .

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .

圖 5

引理1. 設 0 < α <

^π ₂

, 則 sin α < α < tan α。

證明: 如圖 6, 單位圓與 x 軸正向交於 A(1, 0) 點。點 B 在第一象的單位圓上且

∠

AOB = α。點 C 是過 A 點的切線與直線 OB 的交點。

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..

... ..

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O. X

Y

A(1, 0) B

B

^′

C

...

.. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. ... .. . .. .. .. . .. .. .

.. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .

圖 6

由 △OAB面積 < 扇形OAB面積 <

^\

△OAC面積, 得到 1

2· 1 · sin α < 1

2 · 1

²

· α < 1

2 · 1 · tan α (半徑OA = 1)

∴

sin α < α < tan α。

註: 由圖 6 sin α = BB

^′

, α = AB(弧長),

^d

tan α = AC, 即BB

^′

<AB < AC

^d

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

.. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .

O X

Y

...

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . . . .. . .. .. .. ... . .. . .. .. .. . .. ..

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...

... ..

. ...

A B

C A

^′

D

B

^′

βα

. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. ..

.. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . ..

圖 7

引理2. 設 0 < α < β <

^π ₂

, 則

sin β

β

<

^{sin α} _α

。

證明一: 如圖 7, 設 A、B 是單位圓上的兩個點且

∠

XOA = α,

^∠

XOB = β, 直線 AB 與 x 軸交於 C點, 過 A 點的切線與 x 軸交於 D 點, A

^′

、B

^′

分別是 A、B 在 x 軸上的正射影, 則

sin β

sin α = BB

^′

AA

^′

= BC

AC = 1 + BA AC (1) 另一方面

BA <BA

^d

(弧長) = β − α,

AC > AD = tan α > α (2)

(5)

由 (1) (2) 得 sin β

sin α = 1 +BA

AC <1 + BA

^d

AD

<1 + β− α α = β

α 故

sin β sin α < β

α ( 或寫成 sin β

β < sin α α ) 證明二: 不等式

^{sin β} _β

<

^{sin α} _α

成立之充要條件為 β sin α − α sin β > 0。

當 0 < α < β <

^π ₂

時, 令 β = α+ δ (0 < δ <

^π ₂

), 則

βsin α − α sin β

= (α + δ) sin α − α sin(α + δ)

= (α + δ) sin α

−α(sin α cos δ + cos α sin δ)

>(α + δ) sin α − α(sin α + δ cos α) (

^∵

0 < sin δ < δ, 0 < cos δ < 1)

= δ(sin α − α cos α)

= (δ cos α)(tan α − α) > 0

∴

βsin α − α sin β > 0 即

^{sin β} β

<

^{sin α} _α

。證明三: 考慮函數

f(x) = sin x

x (0 < x < π 2) 之遞增、遞減。

f

^′

(x) =

^x cos x−1·sin x

x

² =

(cos x)(x−tan x) x

² <0 (因 0 < x < tan x), 故函數 f (x) =

^{sin x} _x

在開區間 (0,

^π ₂

) 內是嚴格遞減。當 0 < α <

β <

^π ₂

時, 恆有 f (α) > f (β) 即

^{sin β} _β

<

sin α

α

(或寫成

^{sin β} _{sin α}

<

^β _α

)。

現在我們在引理 1、引理2的基礎上來證明下面定理:

定理: 通過球面上兩點間的許多圓弧中, 以「大圓的劣弧」為最短。

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...·...

·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

... 大圓

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . . . ... . ...

小圓

... .

O

₁

...

·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. A

B

. . . . . . . . . .. . .. . . . .. . . . .. . . . .. . .. . .. .. . . . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. ... . .. ... .. .. ... ...

... ...

... ..

.. . .. .. .. . . ...

. ...

... ..

.. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

圖 8

證明: 如圖 8, 通過球面上 A、B 兩點之大圓 O 的劣弧長記作 S, 過 A、B 兩點之小圓 O

₁

的劣弧長記作 S

₁

, 並且令 R = OA = OB (球的半徑), r = O

1

A= O

1

B (小圓的半徑),

^∠

AOB = 2α,

^∠

AO

₁

B = 2β, 則由圖 9 得

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . ..

...

O

₁

S

₁

. ...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

. .. . .. . . . ...

B A

β

. .. .. .

... .

.. .. .

.

O

S

. .. ...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

R α B A

^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.

. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .

.. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. ..

圖 9

Rsin α = 1

2(AB) = r sin β 故

sin β sin α = R

r (1)

(6)

由 R > r 及 (1) 式知 sin α < sin β 即 0 < α < β <

^π ₂

(AB 為劣弧 ,

^d ^∠

AO

₁

B = 2α < π)。另一方面, 由引理 2 知

sin β sin α < β

α (2)

由 (1), (2) 得 R

r < β

α ⇒ R(2α) < r(2β) ⇒ S < S

1

。上面這個定理指出了:

地球上兩點間的最短路徑就是經過此兩點的大圓路徑 (劣弧)。

定義: 通過球面上兩點之大圓 (此大圓唯一存在), 在此兩點間的一段劣弧長叫做這兩點的球面距離。

五. 一些具體例子

給定地球上兩點之經、緯度, 我們想求此兩點的球面距離, 假設地球的半徑 R = 6400 公里。

例1: 設地球上 A、B 兩點之位置為 A 位於「東經 121

^◦

、北緯 25

^◦

」, B 位於「東經 121

^◦

、北緯 55

^◦

」, 估計 A、B 間的球面距離 (A、B 之球面距離記作 S(A, B))。

解: 因

^∠

AOB = 55

^◦

− 25

^◦

= 30

^◦

=

π

6

(弧度) (圖 10), 故 A、B 間的球面距離 S(A, B) = R ·

^π ₆ ⁺

3351 (公里)。

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...

O

N B

A

. ... .. ... . .. . ... .. .. .. ... . ... .. ...

... ...

... .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . . . .. . .. .. . .. .. ...

... ...

. .. . .. .. . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . .. . . . . . .. . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. .. . . .. . . . .. . . .. .. .. ..

圖 10

例2: 假設 A、B 都在北緯 45

^◦

圈上, 且 A 在西經 145

^◦

, B 在東經 125

^◦

, 求 S(A, B)。

解: 設地心為 O, 北緯 45

^◦

圈的圓心為 O

₁

, 我們祇要算出

^∠

AOB 之弧度, 那麼 S(A, B) = R · (

^∠

AOB 的弧度) (圖11)

△AO

¹

B 中有:

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

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O

N

O

₁

A

^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.^.

B

... . ...

. ... .. .. ... ...

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圖 11

∠

AO

₁

B= 360

^◦

−(145

^◦

+125

^◦

) = 90

^◦

,

∠

O

₁

AB = 45

^◦

=

^∠

O

₁

BA O

₁

A= O

1

B = R sin 45

^◦

=

√2 2 R AB

²

= O

1

A

²

+ O

1

B

²

= R

²

∴

AB = R = OA = OB。

故 △AOB 是正三角形,

^∠

AOB=

^π ₃

,

∴

S(A, B) = R ·

^π ₃ ⁺

6702 (公里)

(7)

從例 1、例 2 中可以看出: 求 S(A, B) 之步驟。

(i) 先依題設條件, 算出弦長 AB。

(ii) 在 △AOB 中, OA = OB = R (球半徑), 再由餘弦定理可求出地心 O 對弦 AB 的張角

^∠

AOB。

(iii) S(A, B) = R · (

^∠

AOB 弧度 )。

例3: 設 A 位於「東經 125

^◦

, 北緯 60

^◦

」, B 位於「西經 145

^◦

, 南緯 30

^◦

」試求 S(A, B)

解: 如圖12, 設地心為 O, 北緯 60

^◦

圈, 南緯 30

^◦

圈的圓心分別為 O

1

、O

₂

, 作直線 AC 垂直於南緯30

^◦

之截面圓於 C 點, 則四面體 A − BO

²

C 的高是 AC = O

1

O

₂

。

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O

₁

O

₂

O

N

S

A

₁

B

C

.. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. ...

... ...

. ...

... . ...

. .... ... ...

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... . . ...

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圖 12

(i) AB

²

= AC

²

+ BC

²

AC

²

= (O

1

O+ OO

2

)

²

= O

₁

O

²

+ OO

₂ ²

+2O

1

O· OO

2

= (OA cos 30

^◦

)

²

+(OB sin 30

^◦

)

²

+2OA · OB · cos 30

^◦

sin 30

^◦

= R

²

+ R

²

sin 60

^◦

= (1 +

√3 2 )R

²

BC

²

= O

2

C

²

+ O

2

B

²

= O

1

A

²

+ O

2

B

²

= (OA sin 30

^◦

)

²

+(OB cos 30

^◦

)

²

= R

²

∴

AB

²

= ((1 +

√3

2 ) + 1)R

²

= (2 +

√3 2 )R

²

(ii) 設

^∠

AOB = α, 則

cos α = OA

²

+ OB

²

− AB

²

2 · OA · OB

=−√ 3 4

= −0.433012 (5)

故

^π

2

< α < π, 令 α =

^π ₂

+α

^′

(0 < α

^′

<

π

2

) 代入 (1) 得 sin α

^′

= 0.433012 . . . 查三角函數值表: α

^′ ⁺

25

^◦

30

^′

=

^51π ₃₆₀

(弧度)

^∴

α=

^π ₂

+

^51π ₃₆₀

=

^77π ₁₂₀

。

(iii) S(A, B) = R · α = 6400 ×

^77π 120 +

12901.5 (公里)。

六. 結語

地球上通過兩點的最短路徑, 天文學家稱之為測地線。多年來筆者任教的一些資優生都提問過: 「測地線是最短路徑」的證明問

(8)

題。當然, 用積分求弧長的方法對高中生而言少了一份「親切感」卻多了三分迷惑。筆者通常先用平面圖形 (參見圖 13) 做直觀的解說:

. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . ..

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...

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O 1

O 2

O 3

A B

C 1

C 2

C 3

... . ...

. ...

... . ...

... ...

. ...

.. ...

... ...

... . ...

.. ...

圖 13

以 O

_i

(i = 1, 2, 3) 為圓心, 在同一平面上作通過 A、B 兩點的劣弧, 易見, 隨半徑 O

1

A, O

2

A, O

₃

A 逐漸增長, 它所對應的劣弧長 C

1

, C

2

, C

3

亦愈來愈短, 並逐漸趨近線段 AB 的長。所以兩點間的各種劣弧中, 半徑愈大的, 其對應的弧長愈短。

而球面上所有通過 A、B 兩點的劣弧, 都可以繞弦 AB 旋轉到大圓所在的同一平面上 (此大圓由 A、B、球心三點所確定), 問題就變成圖 13 的情形了。這種說明對一般的高中生有一分「真實感」, 但對數學資優生總覺得不夠嚴謹, 乃用初等幾何及三角知識 (高中生可以理解的) 寫了這篇短文, 雅俗共賞, 也許對擔任資優班的數學教師有一些助益。本文的關鍵在於「引理2」, 因此筆者嘗試用三種方式去論證: (證一) 是較直觀的幾何法, (證二) 是用三角知識進行邏輯推理, (證三) 是從函數的高觀點證明 f (x) =

^{sin x} _x

在 (0,

^π ₂

) 是遞減 (用到微分, 高三學生可以理解)。

三月廿日 (星期六) 上午, 中央研究院數學研究所葉永南教授, 邀請了湖北武漢市武鋼三中的數學教師錢展望先生到建國高中演講, 參與座談的除了本校部分師生外, 尚有北一女、師大附中的數學同仁。會後葉教授私下懇請中學老師對「數學傳播」多賜稿。筆者先拋磚, 並寄望中學數學教師將您的數學心得, 研究成果透過「數學傳播」, 與大家分享。

—本文作者任教於台北市建國中學—