三維球面 S 3
平 斯
學習幾何需要繪圖來體會空間的感覺, 剛開始時當然不會, 只是跟著老師裝模作樣 的比畫。 高中時王景雲教軌跡與作圖, 那種圓 規和三角板齊飛, 揮灑自如的情景且不提了。
數一時修王九逵的微積分, 他露了一手畫圓 的絕活: 先像抽煙似的夾根粉筆, 把大拇指 捺在黑板上做圓心, 叉開虎口做半徑, 只那麼 一擰就得了。 後來跟賴東昇學幾何, 要畫個球 面時, 只見他閒閒的撿顆粉筆頭, 緩緩的轉向 黑板, 淡淡的三兩筆, 連經緯坐標也都有了。
受到這些老師們的薰陶, 自己當然也練就了 一身空手入刃的功夫, 應付等閒曲線面還綽 綽有餘。 閒來用 PC468 畫個圓球, 還總覺得 不如手繪的巧, 更不如當年賴桑遠甚。 奈何現 在遭遇到的圖愈來愈複雜且抽象, 非借用工 具不可, 同時還得配上大量的想像力才行。 比 方說下圖是陳門弟子班卓夫 T. Banchoff 用 來代表的三維球面 (參考一), 那該怎麼說呢?
圖一
這要從基本的解析幾何開始, 聯考曾經 有過這樣的題目: 平面上通過兩定圓交點的 圓方程式是
x2+ y2+ 2ax + 2by + c x2+ y2+ 2αx + 2βy + γ = k 萬一出題委員擺了烏龍, 這兩圓其實不相交, 這個式子不會穿幫, 仍然可用, 還能畫出下圖
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2 數學傳播 十七卷二期 民82年6月
圖二
這個題目, 其實從球面來看比較清楚。 經過 立像投影 (Stereographic projection) 把 平面映到球面上, 引進坐標 ζ = 1+x2x2+y2, η= 1+x2y2+y2, ζ = 11+x−x22−y+y22 原式就改成
aξ+ bη + cζ + d αξ+ βη + γζ + δ = k
由於兩定圓的相關位置, 有不同的各種類型, 全都稱為許坦勒圓族 (Steiner Circles)。
(1) 兩圓相離, (2) 兩圓相交, (3) 兩圓相切, (4) 兩圓同心,
(5) 兩圓退化成相交兩直線。
圖三
個中 (1) 就是圖二映至球面的樣子, 隱約透 露了三維球面的一些玄機。 首先 S3 只是比 R3 多加了一個無窮遠點, 再經過亞歷山大緊 化 (Alexander Compactification) 而成。
問題在怎樣加, 加在那裡? 把圖二視成 R3 裡的水平 xy 面。 對中間的 y 軸旋轉, 兩旁 對稱的兩個眼, 轉出一個實心的環體。 剩下的 是一些環繞著這個環體周圍, 半徑愈來愈大 的圓周, 和他們的極限 — y 軸。 理論物理 學家潘若斯 R. Penrose 做旋子理論, 刻意 要看 S3 , 用的也是這個法子, 他還管這些圓 周叫克利佛平行圓 Clifford Parallel (參考
三維球面S3 3
二), 有圖為證
圖四
要記得 S3 必須在 R4 裡才看得到, 所以還 有一根 ω 軸, 把無窮遠點加上後, 在 xyω 坐 標上看圖二就是圖三 (1)。 因此把所有的圓周 攏在一齊, 就得了另一個實心的環體。
圖五
解構 S3 成兩環體, 看來是很容易的完成了。
只是把它們組合回去, 還須要一些功夫。 基本
的困難是怎樣把兩個環面黏合起來。 如果組 合的方式, 出了差錯, 會得到非常意外的結果, 不信請看下列操作的結果, 竟是 S2×S1 。
圖六
正確的過程, 應先把兩個環體切成圓柱, 扭 成麻花後, 再頭尾相黏形成圖一裡糾纏的兩 個環體, 最後順著環面的條紋黏起來。 這裡 扭成麻花的過程很重要, 上圖沒有扭所以形 成 S2 ×S1。 扭一次, 形成 S3。 扭兩次, 形 成 SO(3) 。 普遍來說, 結果是一個以圓周 為纖維, 建立在球面上的一個纖維叢, 不妨把 它想像成北方麵食大花捲, 通常寫成 S1 → E(n) → S2。這裡的 n 是扭的次數, 來自圓 周的基本群 π1(S1) =Z
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圖七
幾何和拓樸之間互動的條件常透過曲率 來表現, 然而曲率有許多面貌, 光就不同層次 的正號而言, 就有下列幾種:
(1) 曲率張量為正定, (2) 截曲率恆正, (3) 歐拉形式為正, (4) 特徵數為正。
其中 (1) ⇒ (2) 不言自明, 特別在四維時 (2)
⇒ (3) 成立, (3) ⇒ (4) 可由陳省身推廣
的高斯朋涅 (Gauss-Bonnet) 定理得之。 如 果由 (4) 能向上逆推, 就會有一個邏輯等價 的迴路, 那該多美啊! 究竟能推多遠呢? 畢 竟 (1) 太強了, 退而求其次, (2) 也許適合。
於是開始著手檢驗, 先用馬上能想到的例子, 第一個是球面 S4 , 果然符合, 再來複數投 影面 P2C 也符合。 三人成虎, 再有一個就 更加有信心了。 不料就是下一個例子卡住了:
S2×S2 的特徵數是 4, 但是它會有正截曲率 的度量嗎? 可能有。 且看 S3 是個三維流形, 有簡易的法正坐標叢 SO(4) = S3×SO(3)。
由上述 S3 和 SO(3) 的結構, 就有一個纖 維叢 S1 × S1 → SO(4) → S2 ×S2 而 SO(4) 上的嘉當基寧形式 (Cartan Killing form) 是個很自然的度量。 倉西正武 (Masa- take Karunishi) 宣稱成功的調整它到壓下 來在 S2 × S2 會有正截曲率。 1990 年尾, 他在清華大學發表這項結果, 只見他折騰了 三個小時, 沒有證完就幾乎癱在講台前, 草草 收場。 雪上加霜的是他的手稿又是限量發行, 如今匆匆兩年過去了, 看過的人, 誰也不敢鐵 齒說對還是錯。 整件事, 和原來的數學問題一 樣, 是一齁令人困惑的羅生門。
參考文獻
1. T. Banchoff etc., Advances in Applied Math. 7, 282-308 (1986).
2. R. Penrose, Spinors and Space-time II, Cambridge University Press.
