我們教出的學生說

我們教出的學生說 ² _{.9 < 3}

王淑霞

問 題一: 0.9 < 1 嗎?

如果我們問國小五, 六年級的學生 : 0.999 · · ·(小數點後沒完沒了的 9) 跟 1 比大 小, 那一個大?

如果我們問國中生: 0.9 與 1 那一個大?

如果我們再去問高中生 (正在念或念過 了第一冊第二章數列與級數者): 0.9 與 1 那 一個大?

相信得到的答案大多是: 0.9 比 1 小!!

(有數據為證, 參考附錄 1)

但是如果再繼續問高中生: 無窮等比級 數: ₁₀⁹ + (₁₀⁹²) + (₁₀⁹³) + · · ·+ (₁₀⁹ⁿ) + · · · =

P

n=1 9

10ⁿ 的和是多少? 答案真是令人滿意:

9 10

1−10¹

= 1! 不妨再問一次: 0.9 與 1 那一 個大? 答案還是 1 比較大!! 那我們不妨把 1 與0.999 · · · 拿來減一減, 當然用大的減小的 嘍! 而且用直式減:

1.0000 · · ·

− 0.9999 · · · 0.0000 · · ·

發現相減後的數小數點後每一位都是 0, 總有 一位是 1 吧!不行! 都被後一位借 1 借走了!怎

麼寫都是 0!! 國小, 國中, 高中學生都迷惑了!

心頭也被震撼了一下, 好奇怪的事?!這真是個 好的開始, 得好好引導學生認清: 0.9 到底是 什麼東西?

先從數的符號認識起吧!例如:123 是什 麼? 是十進位數, 是 3 + 2 ×10 + 1 ×100 的 簡寫; 0.123 是 1 ×₁₀¹ + 2 ×₁₀¹²+ 3 ×₁₀¹³ 的 簡寫; 0.999是 ₁₀⁹ + ₁₀⁹² +₁₀⁹³ 的簡寫; 那麼 0.999 · · · 9

| {z }

n個

是 ⁹

10+₁₀⁹² + · · · +10⁹ⁿ 的簡寫;

發現以上諸數都是有限項和的簡寫, 有限項 的和就叫作有限級數, 而 0.9 = ₁₀⁹ + (₁₀⁹²) + (₁₀⁹³)+· · ·+(₁₀⁹ⁿ)+· · · =

^P

10ⁿ 是無限 項的和, 又叫無窮級數的和, 所以 0.9 是一個 無窮級數和的簡稱, 那麼無限項的和要怎麼 算? 只能一項項加嘛! 萬丈高樓平地起呀! 先 從第一項加起: 令 S₁ = ₁₀⁹ , S2 = ₁₀⁹ + ₁₀⁹², S₃ = ₁₀⁹ +₁₀⁹² +₁₀⁹³, . . ., 一項一項加, 加到 第 n 項, Sⁿ= ₁₀⁹ +₁₀⁹2+₁₀⁹3+ · · ·+₁₀⁹ⁿ, 此 為一個有限等比級數, 其和為 1 − (10¹)ⁿ, 而 n 越大的話, 第一項加到第n 項的有限 n 項 和就越來越接近無限項的和, 所以如果 n 越 大, 有限項和越來越靠近“某個數”的話, 那麼 這個“某個數”就應該等於無窮級數的和 0.9!!

17

18

²²

²

⁸⁷

⁶

故而觀察一下 Sn= 1 −(₁₀⁹ )ⁿ, 當 n 越大時, Sn越靠近的“某個數”是什麼? 答案是1!! 所 以 0.9 = 1。 這麼一來,1 的表法不是唯一了!

同樣的, 2.9 = 3.0, 2.54 = 2.539, 任何 一個有限小數都可改為無窮小數。 把以上的 思路過程一般化, 得到無窮級數和的定義:

欲求無窮級數的和, 先求前 n 項部分 和 Sn, 再看 n → ∞ 時, Sⁿ →“某 個數”, (→ 唸作趨近), 如果“某個數”存在 的話, 就規定此無窮級數的和等於“某個數”。

又“ n → ∞ 時, Sⁿ → a ”這個現象用 記號 lim_n→∞Sn = a 表示, 極限的符號 及概念也因此很自然被引進來了!! 所以符號 lim_n→∞Sn = a 只是表示當 n 趨近於 ∞ 時, 數列 Sⁿ 逼近 a 這一現象而已; 極限沒有 什麼好怕的!

又若學生反駁: 無窮級數的和 = lim_n→∞Sn, 那是定義中規定的, 實際上是不 是真的相等, 天知道! 那麼我們不妨再以莊子 的名言作印證, 以顯示定義中的規定合理, 有 理!

莊子有言: “一尺之繩, 日取其半, 萬世 不竭”, 故若把每天取的繩長累計下來由第一 天到第 n 天取的總和得: ¹₂+₂¹2+· · ·+₂¹ⁿ = Sn, 如果 n 越來越大的話, Sⁿ越來越逼近繩 子的總長 1, 另外從 Sn= ¹₂+₂¹²+· · ·+2¹ⁿ = 1 −(¹₂)ⁿ, 其中 (¹₂)ⁿ趨近於 0, 所以 1 −(¹₂)ⁿ 趨近於 1, 兩個途徑的結果相吻合!

以上述方式作為無窮級數和的教學以及 數列極限概念的引進, 不知道 (心裡盼望) 可 否讓學生對這兩種概念的吸收容易些, 恐懼 感也少一些? 也盼望再問一次: 0.9 跟1 誰 大? 答案也許會令人滿意開心呢!

問題二:

設 −⇀a = (−1, 2), −⇀b = (1, b), 滿足 條件:−⇀a 與 −⇀b 的夾角為 150^◦, 求 b。 (題 目來自於 76年師大科教中心版高中數學教科 書第二冊習題 4-4)

大多數學生的解法如下:

∵

|−a⇀||−⇀b |

∴

b²+ 1 = −√ 3 2 兩邊平方

(2b − 1)² 5(b²+ 1) = 3

4, 得解

b= 8 ± 5√ 3。

但正確答案為 8 − 5√ 3。

仔細審視上述解法過程, 曝露了學生學習上 的兩大問題, 而這也是我們在第一線工作者 要注意的:

(一) 好習慣的培養問題: 一般教科書上 的習題, 書後均附有答案, 學生算完後應馬上 對答案, 答案有問題, 應立即檢視錯誤的原因, 挑出是觀念理論的錯誤還是計算習慣不好導 致的錯誤, 不好在那裡, 找出來努力去修改, 例如, 兩邊平方的計算, 一般學生常犯的錯誤 是左邊平方算完, 右邊就照抄, 忘了平方, 找 到錯誤所在, 對症下藥, 不妨先在兩邊打上平 方的記號, (^√2b−1

5√

b²+1)² = (^−√₂³)², 再繼續往 下算, 那麼這種錯誤就可避免了; 這樣的面對 問題方式, 相信比把學生叫來體罰打手心了 事有意義多了! 而經由數學的教材, 不只是

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教數學, 還順便培養成長中的孩子時時自省, 做事細心, 為自己的錯誤負責, 即時改進的好 習性, 相信這樣培養下來的孩子, 將來不管在 什麼崗位做事, 一定是比較負責用心主動積 極的, 如果你是中油的主管, 一定比較放心 把工作交給這樣的人 (有感於最近中油工安 事件不斷)。 如果我們能在每一次數學考試過 後, 教導學生不要只重視卷面上的分數, 更要 重視分數背後的訊息, 是沒下功夫呢? 還是 下了功夫但效果不好, 那就更要找出原因, 不 然挫折感更重, 信心受到打擊。 除了知道正確 的解法, 還要翻開考卷背面的計算式找出自 己的錯誤, 這才發現有的學生連計算式都找 不到, 有的計算式書寫得龍飛鳳舞連自己也 看不懂, 原來是一開始, 計算的空間很多, 就 奢侈浪費, 龍飛鳳舞, 到後來不夠地方寫了, 就只好東寫一點西寫一點, 到最後找不到計 算式, 答案都會抄錯。 好好培養節儉整齊的習 慣, 不要因為計算過程不必給閱卷先生看就 書寫凌亂, 還是應書寫題號, 整齊條理, 最好 平常就養成這習慣, 於是紙張也不浪費, 有環 保概念!! 一一審視寫整齊的計算過程, 常常 會發現自己一些習慣性的錯誤, 例如 0 乘以 1 等於 1, 13乘以4等於42,. . ., 找到原因了, 心 裡很踏實, 不會有看到分數就淚眼汪汪, 考卷 揉一團往抽屜一丟就沒事了的反應! 作為數 學教師, 亦為人師, 給成長中的孩子影響多深 遠啊!!

(二): 解題過程中, 進行變換時, 要求邏 輯上等價充要的觀念非常薄弱;

2b − 1

√5√

b²+ 1 =−√ 3

2 (A)

⇒ (√2b − 1 5√

b²+ 1)²= (−√ 3

2 )² (B)

但 ⇐ 不成立,(B) 式只是 (A) 式的必 然結果,(A) 的解必是 (B) 的解, 但 (B) 的 解不一定滿足 (A), 故而把原式取代以兩邊 平方的式子, 可能有增根, 不一定是同義等價 充要的式子; 可以修改為:

2b − 1

√5√

b²+ 1 = −√ 3 2

⇔







2b − 1 < 0(由(A) 式得的先天條件) (^√₅^2b−1√_b2

+1)² = (^−√₂³)² 這樣就不會有增根的問題了!

我們得在教學過程中, 藉著各種可能的 題材, 融入並強調推演過程中講求邏輯上等 價充要的觀念, 有必要時, 加上“ ⇒ ”或“ ⇔

”的符號; 檢視教科書中的題材, 座標幾何, 圓 錐曲線, 拋物線, 橢圓, 雙曲線標準式的推演 過程中, 都是很好的引進並強調這個理念的 機會。

附錄: 1995 年大考中心預試試題:

1.若 2.9 表示無窮級數 2+₁₀⁹ +₁₀⁹²+· · · 之和, 則下列敘述那些是正確的?(多選) (A)2.9 < 3(B)2.9 = 3 (C)2.9 ≤ 3(D)2.9 的整數部分是2(E) 2.9 的整數部分是 3 (預試結果: 答對率:2%, 選 (A) 者佔 68%

(D) 者 74%) (答案為:B,C,E) 2.關於方程式 √^2x−1

5(1+x²) = ^−√₂³, 下列 敘述何者正確?(多選)

(A) 無實根 (B) 恰有一實根 (C) 恰有二實 根 (D) 其實根皆小於 8 (E) 有一實根大於 9 (預試結果: 答對率7%, 且高分答對率8%, 低 分答對率 8%) (答案為:B,D)

—本文作者任教於省立新竹女中—