貳、現值(Present Value，簡稱為PV)

(1)

利息是指貨幣之代價，並按時間計算，故亦稱貨幣的時間價值。

計算利息之三要素

1.本金(p)：指原始借入（或投資）之金額。

2.期間(n)：使用本金之時間，如一年、三個月等。

3.利率(i)：每一單位時間所付利息與本金之比率。

二、計算利息之方法

單利:單利係每期僅就原始本金計息，其利息(I)之計算公式如下： I＝ PV × I

× n

複利:複利係每期計算利息時，如有前期未付之利息，則應加入本金一併計息，

即所謂「利上生利」。

【釋例】乙賢存入臺灣銀行100元，年利率5%，為期五年的例子為例，分別計算單利 (Simple Interest)

與複利 (Compound Interest) 的五年後本利合如下：

【解析】

單利 = 本金 + 五年的利息 = 100 + 100 X 5% X 5 = 125

複利 = 本金x(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%) = 127.63

【練習】設借款$20,000，年利率8%，兩年期滿本利一次償還，試分別按單利與複利計算兩年之利息。

【解析】

三、複利次數、利率與期數

我們均假設利息一年複利一次，這稱為每年複利 (Annual Compounding)。然而實務上，有些利

息是每半年計算一次，這種稱為半年複利 (Semiannual Compounding)。

複利次數每次利率期數每年一次 12%÷ 1＝12% 3× 1＝ 3 每半年一次 12%÷ 2＝ 6% 3× 2＝ 6 每季一次 12%÷ 4＝ 3% 3× 4＝12 每月一次 12%÷12＝ 1% 3×12＝36

【釋例】土地銀行公告的名目利率為12%，但每半年複利計息一次，則年初的10,000

(2)

年利率為名義利率，而依實際利息推算之利率為有效利率。

金融機構的存款或貸款的利率通常用年百分率 (Annual Percentage Rate，簡稱APR)，或名

目利率予以公告，但其計息方式可能半年計息、每季計息或甚至每月計息。

每年複利一次以上的情形，實際的年利率會大於名目利率，這種實際複利期間，

計算得到的年

利率稱為有效年利率 (Effective Annual Rate，簡稱EAR)，其公式為：

其中i為名目年利率，m為每年複利計息的次數。

【釋例】實際有效利率的計算:

年利率為 8%, 按季複利，則實際有效利率為多少?

【解析】

以 r = 0.08, m = 4計算

實際 i = (1 + 0.08/4)⁴– 1 = (1.02)⁴– 1 = 0.0824 或 8.24%/年五、複利之觀念

單一金額之本金，每期按複利計息，至最後一期終止之本利和即為複利終值。

複利終值之公式為： FV ＝ PV × (1＋i) ⁿ＝ PV × FVIF ^i,n

【練習】現在存款$50,000，年利率12%，每半年複利一次，試求八年期滿時之本利和。

【解析】

貳、現值(Present Value，簡稱為PV)

一、現值的定義

1. 與終值相反的概念是現值，例如你五年後研究所畢業的年薪為60萬元，則這五年後的60萬元，

現在值多少元？

2. 在計算現值時，我們需要利用複利的觀念，將終值折算成現在的價值，用以折算成現值的利率稱

為「折現率」(Discount Rate)，求解現值的方法稱為「折現」(Discounting)。

二、現值的公式

) ( )

1 1

/( 1 ) (

^{n i , n}

n

(3)

n

FV PVIF i

PV FV i FV 





三、現值的查表

PVIF^{i, n}表示不同的i值與不同的n值所求得的「現值利率因子」(Present Value Interest Factor

for i and n,簡稱PVIF^{i, n})，其數值列於附錄表。

【釋例】以你五年後研究所畢業的年薪60萬元為例，設若折現率為5%，則現值為：

【解析】PV = 60萬 X PVIF

5 %, 5

= 60萬 X 0.7835 = 47.01萬

【練習】大山公司希望於六年後可有$100,000供更新設備之用，若銀行存款利率為 9%，每年複利一

次，該公司現應存款若干？

【解析】

參、終值(Future Value，簡稱為FV)

一、終值的公式

1.通常，若未特別說明，我們都假設計息是以「複利」計算。一筆錢幾年後的未來值可以用下式求得：

FV

n

＝ PV (1+i)

n

FVⁿ：n期期末的未來值， n為期數; PV：現值或帳戶內的期初金額; i：利率 2.以乙賢存款為例：

二、終值的查表

1.複利終值包括四項因素：本金(PV)、利率(i)、期數(n)、及終值(FV)。我們可以透過查表的方式得

到終值。我們以利率與期數的「未來值利率因子」(Future Value Interest Factor For i and n，簡稱

FVIFi, n) 來代表 (1+i)n, 則不同的i與不同的n會得到不同的FVIF

i, n

的值。

2.因為FVIF

i, n

= (1+i)

ⁿ

，則可改寫為：FV

n

= PV(FVIF

^{i, n}

)

【釋例】以上述乙賢將100元存入臺灣銀行，年利率為5%，為期五年的例子做說明。

【解析】由附錄表的第一行由左而右找到5%的那一列，然後再由第一列由上而下找到第5 期，便可

得到FVIF^5%,5=1.2763，因此，我們可得到五年後100元的價值為：

(4)

(5)

(Ordinary Annuity)；若支領發生於每期期初，我們 稱這種年金為「期

初年金」(Annuity Due)。除非有特別說明，，一般均指「普通年金」。

二、年金現值

(一)、普通年金現值

【釋例】你現在是大學二年級，從現在到大四畢業，你每年年底平均需繳交10萬元學費，為期三年 (假

設你順利畢業)，則你的父母今天要存入銀行多少金額，做為你未來三年的學費基金？已知銀

行支付的年利率為5%。

【解析】

1.時間線 2.公式 3.查表

【練習】民生公司於X4年1月1日購置機器一部，價款自當年12月31日起，每年償還

$100,000，

五年付清，年利率為10%，每年複利一次，試求：(1)若購買時一次付清所應支付之價款。

(2)分期付款方式下，各期間之利息費用。

【解析】

(二)、到期(期初)年金現值

到期年金現值之意義

到期年金現值係指每期期初支付一定金額，各金額按複利折算至第一期期初之現值總和。

到期年金現值之計算

PVA^d＝ PMT × PVIFA^n,I× (1＋i) ＝ PMT × (PVIFA^n-1,i＋1)

【釋例】假如上述的每年10萬元，為期三年學費，均在每年年初繳交，這種年金稱

(6)

已知PV、n、i求PMT

【練習】中強公司於X5年7月1日向銀行借入$75,000，年利率12%，約定自X6年6月30 日起，本

息分五年平均償還，求每年應償還之金額。

【解析】

已知P、R、i求n

【練習】支昌公司於X5年8月1日購入機器一部，向銀行借款$267,763，年利率為10%，

約定自即

日起每年8月1日償還$50,000，其中包括期初借款利息及本金之償還，試計算該公司需幾

年始能將借款償清？

【解析】

已知P、R、n求I

【練習】吉星公司於X5年2月1日向銀行借入$203,400，約定自X6年2月1日起分十期償還，每年

償還$36,000，試求該項借款之利率。

【解析】

(四)、遞延年金現值

1.意義:遞延數期後開始於每期收付一定金額，按複利折算至第一期期初之現值總和。

2.計算方式:(1).先求出數期後(m)之年金現值，再計算至目前之複利現值年金現值PVA = PMT × PVIFA^n-m,I× PVIF ^m,i

(2).以兩項年金現值差額計算遞延年金現值

(7)

先將X7年至X11年部分求出X7年之年金現值。

X7年8月1日年金現值

PVA＝$50,000 × PVIFA^4,8%＝$50,000 × 3.312127 ＝ $165,606

再以此金額求其X4年之複利現值，即為所求之遞延年金現值。

X4年8月1日複利現值

PVA ＝ $165,606 × PVIF^3,8%＝ $165,606 × 0.793832 ＝ $131,463 (2)方法二：

將前三年與後四年合併為一七年之年金，計算其普通年金現值(A)。

再計算一包括三期之年金現值(B)，由(A)中減除(B)，其餘額即為所求之遞延年金現值。

PVA＝$50,000 × PVIFA^7,8%－$50,000 × PVIFA^3,8%＝ $50,000 × (PVIFA^7,8%－PVIFA^3,8%)

＝$50,000 × (5.206370 － 2.577097) ＝$131,463 三、年金終值

(一)、普通年金終值

【釋例】你的父母在未來的每年年底將存入銀行10萬元做為你的創業基金，設若年利率為5%，則在

第三年年底，創業基金總共有多少錢？

【解析】

1.時間線 2. 公式

為了找出「年金終值」(Future Value of Annuity，簡稱FVA) 的公式，我們先用下面的時間

線表示：

3. 查表

不同的i與n的數值，可求得不同的FVIFA^{i, n}的值，這些數值列於附錄表。每年10萬元的創業

基金的提列，年利率5%，為期三年合計為：

(二)、期初年金終值

1. 如果上述創業基金的三筆10萬元存款是在每年年初存入銀行，這種年金稱為期初

(8)

(9)

未來五年內每年底須按年利率8%支付利息$80,000，及

五年後償還公司債面額$1,000,000。該公司債之理論發行價格等於上述未來支付款項按

市場利率10%折算之現值，其中

為年金現值(每年底之利息) ，而 為_______複利現值(公司債面額)。

(2)利息之年金現值

＝$80,000 × PVIFA^5,10%＝ $80,000 × 3.790787 ＝$ 303,263 面額之複利現值

＝$1,000,000 × PVIF^5,10%＝$1,000,000 × 0.620921 ＝ 620,921 公司債理論發行價格 $924,184

(3)投資人以$924,184之價格買進公司債，但到期日仍按面額收回$1,000,000，其差額即在彌補利

息之不足，故投資人名義上所收利息為8%，而實際所得則為10%。反之，發行公司之實際利息

負擔亦為10%。