個正數的算術平均與幾何平均的插值問題

n 個 正數的算術平均與幾何平均的插值問題

宋秉信

提要: 兩個正數的幾何平均與算術平均之間可以插入這兩個正數的對數平均的問題在文(1)、

(2)、(3) 中已作詳細的研究工作。 本文的目的在於以此為基礎進一步論述對於 n 個正數的 算 術平均與幾何平均的插值問題。

引理一: 設 f (x) 在 [a, b] 連續, 在 (a, b) 內存在兩階導數, 且 f^′′(x) > 0 , 則 f a+ b

2

!

≤

R

b

af(x)dx

b− a ≤ f(a) + f (b) 2 當 f (x) 為線性函數時等號成立。

證明: 令

F(t) =

^R

_a^tf(x)dx − (t − a)f(^a+t₂ ), G(t) =

^R

_a^tf(x)dx − (t − a)^{f(a)+f (t)}₂ 。

其中 t ∈ [a, b] 。

由拉格朗日中值定理, 得

F^′(t) = f (t)−f(a+t

2 ) − (t − a)1

2f^′(a+ t 2 )

= t− a

2 f^′(a+ t 2 + α1

t− a

2 ) − t− a

2 f^′(a+ t 2 )

= t− a

2 α₁t− a

2 f^′′(a+ t

2 + α1α₂t− a 2 )

= α1(t− a

2 )²f^′′(a+ t

2 + α1α₂t− a 2 )。

G^′(t) = −1 − β¹

2 (t − a)²f^′′(t + β2(β1− 1)(t − a))。

其中 α_i ∈ (0, 1) , βⁱ ∈ (0, 1) , i = 1, 2 。

1

當 f^′′(x) > 0 時, 有 F^′(t) > 0, G^′(t) > 0 , 易知 F (x) 為 [a, b] 內的單調遞增函數, 故 有

F(b) ≥ F (a)。 即

Z

b a

f(x)dx − (b − a)f(a+ b 2 ) ≥ 0。

同理可知, 由 G^′(t) < 0 知 G(t) 在 [a, b] 內為單調遞減函數, 故有 G(b) ≤ G(a)。 即

Z

t a

f(x)dx − (b − a)f(a) + f (b) 2 ≤ 0。

綜合上述兩式, 可得

f a+ b 2

!

≤

Z

b

a f(x)dx

b− a ≤ f(a) + f (b)

2 。

若設 f (x) = e^x , 則 f^′′(x) = e^x >0 , x ∈ (−∞, ∞) 。 那麼對於任何 a, b , 有 e^a+b2 ≤

R

b ae^xdx

b− a ≤ e^a+ e^b 2 。 即 e^a+b2 ≤ e^b− e^a

b− a ≤ e^a+ e^b 2 。 令 e^b = x , e^a = y , 則有

√xy ≤ x− y

ln x − ln y ≤ x+ y 2 。

記 L(x, y) =







x− y

ln x − ln y ( x 6= y 時)

x ( x = y 時)

, 我們稱 L(x, y) 為對數平均。 從而有

√xy ≤ L(x, y) ≤ x+ y

2 (1)

不等式 (1) 說明在兩個正數的幾何平均與算術平均之間可以插入其對數平均。 我們在此基 礎上進一步研究 n 個正數的對數平均對幾何平均與算術平均的插入問題。

引理二: 設 ai(i = 1, 2, 3, . . . n) 為 n 個互不相同的正數, 令

A=

             

1 1 · · · 1 a₁ a₂ · · · a_n a²₁ a²₂ · · · a²_n

· · · · aⁿ⁻¹₁ aⁿ⁻¹₂ · · · aⁿ⁻¹n

             

A_i =

             

1 · · · 1 1 · · · 1 a₁ · · · aⁱ⁻¹ a_i+1 · · · a_n a²₁ · · · a²i−1 a²_i+1 · · · a²_n

· · · · aⁿ⁻²₁ · · · aⁿ⁻²i−1 aⁿ⁻²_n+1 · · · aⁿ⁻²n





























則

1

n

Q

i=1(x + ai)

=

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹A_i

A(x + ai) (2)

證明: 設

1

Q

n

i=1(x + ai)

=

n

X

i=1

b_i

(x + ai) (3)

則

^P

ⁿ

i=1

b_i(x + a₁)(x + a₂) · · · (x + ai−1)(x + a_i+1) · · · (x + aⁿ) = 1 。 若令 a_i = −x , 則

b_i(a1− aⁱ)(a2− aⁱ) · · · (aⁱ⁻¹− aⁱ)(ai+1− aⁱ) · · · (aⁿ− aⁱ) = 1。

所以有

b_i = 1

[(a₁ − aⁱ)(a₂− aⁱ) · · · (ai−1− aⁱ)(a_i+1− aⁱ) · · · (aⁿ− aⁱ)]

= 1

(−1)ⁱ⁻¹

^Q

ⁿ

j=1 j6=i

(aj − aⁱ) = (−1)ⁱ⁻¹

n

Q

0≤k<j≤n 1<i6=k

(aj− a^k)

Q

n

1≤k<j≤n(aj− a^k)

。

因 A 與 A_i 均為範德蒙行列式, 所以有 A=

n

Y

1≤k<j≤n

(aj − a^k), Ai =

n

Y

1≤k<j≤n 1<k6=i

(aj − a^k)

從而有 b_i = (−1)^{n−1 A}Aⁱ , 將 bi 代入 (3) 即可得到引理的結論。

n 個互不相同的正數 a₁, a₂, . . . an 的對數平均定義為:

L(a1, a₂, . . . a_n) =









A (n − 1)

^P

ⁿ

i=1(−1)ⁱA_iln ai









1 n−1

(4)

引理三: 設 ai(i = 1, 2, . . . n) 為 n 個互不相等的正數, 則

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)

= 1 n− 1

h

L(a1, a₂, . . . a_n)⁽¹⁻ⁿ⁾

ⁱ

(5)

證明: 由引理二可知

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)

=

Z

∞ 0

X

(−1)ⁱ⁻¹A_i A(x + ai) dx

= 1 A

"

_n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹Ailn(x + ai)

#    

∞

0

= 1 Aln

n

Y

i=1

(x + ai) · (−1)ⁱ⁻¹· Aⁱ

    

∞

0

= −1 Aln

n

Y

i=1

a_i(−1)ⁱ⁻¹A_i

!

= 1 A

n

X

i=1

(−1)ⁱA_iln ai

= 1

n− 1[L(a1, a₂, . . . a_n)]⁻⁽ⁿ⁻¹⁾。

引理四: 設 xi , yi , (i = 1, 2, . . . n) 為任意的正數, 則

"

_n

Y

i=1

(xi+ yi)

#

_n¹

≥

n

Y

i=1

x_i

!

_n¹

+

n

Y

i=1

y_i

!

¹_n

。 當且僅當 x_i = kyi 時等式成立。

定理: n 個互不相同的正數的幾何平均與算術平均之間可以插入其對數平均。 其插值為

n

Y

i=1

a_i

!

_n¹

< L(a1, a₂, . . . a_n) < 1 n

n

X

i=1

a_i (6)

證明: 由引理三知(或(4))

L(a1, a₂, . . . an) =









A (n − 1)

^P

ⁿ

i=1(−1)ⁱA_iln ai









1 n−1

=









(n − 1)

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)









−_n¹

−1

又由引理四知,

"

_n

Y

i=1

(x + ai)

#

_n¹

> x+ (

n

Y

i=1

a_i)ⁿ¹。 因為 x 為正數, ai(i = 1, 2, . . . n) 為互不相等的正數, 所以有

n

Y

i=1

(x + ai) > [x + (

n

Y

i=1

a_i)ⁿ¹]ⁿ。 即 1

Q

n

i=1(x + ai)

< 1



x+ (

^Q

ⁿ

i=1

ai)¹ⁿ



n。

所以

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)

<

Z

∞ 0

dx



x+ (

^Q

ⁿ

i=1

a_i)ⁿ¹



n

由於

Z

∞ 0

dx



x+ (

^Q

ⁿ

i=1

a_i)ⁿ¹



n =











1 (n − 1)



x+ (

^Q

ⁿ

i=1

a_i)¹ⁿ



(n−1)









         

∞

0

= 1

(n − 1)(

^Q

ⁿ

i=1

a_i)ⁿ⁻¹ⁿ

。

即

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)

< 1 (n − 1)(

^Q

ⁿ

i=1

a_i)ⁿ⁻¹ⁿ

。

所以

n

Y

i=1

a_i

!

_n¹

<









(n − 1)

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)









−_n¹

−1

= L(a1, a₂, . . . a_n)。

所以

n

Y

i=1

a_i

!

¹_n

< L(a1, a₂, . . . a_n) (7)

又因

"

_n

Y

i=1

(x + ai)

#

_n¹

< 1 n

n

X

i=1

(x + ai) = x + 1 n

n

X

i=1

a_i。 所以

n

Y

i=1

(x + ai) <

"

x+ 1 n

n

X

i=1

a_i

#

n

。 即 1

n

Q

i=1(x + ai)

> 1



x+_n¹

^P

ⁿ

i=1

a_i



n。 對 x 從 0 至 ∞ 進行積分, 得

Z

∞ 0

dx

Q

n

i=1(x + ai)

>

Z

∞ 0

dx



x+_n¹

^P

ⁿ

i=1

a_i



n = − 1

(n − 1)



x+_n¹

^P

ⁿ

i=1

a_i



n−1

        

∞

0

= 1

(n − 1)(n¹ n

P

i=1

a_i)ⁿ⁻¹

。

即









(n − 1)

Z

∞ 0

dx

n

Q

i=1(x + ai)









−_n¹

−1

< 1 n

n

X

i=1

a_i (8)

由 (7) 和 (8), 即可得到 (6), 定理證畢。

顯然, 當 n = 2 時, A =

    

1 1 a₁ a₂

    

= a2− a1 , 所以 A1 = A2 = 1 。 則 L(a1, a₂) = a₂− a1

ln a2− ln a¹,

即為奧斯塔 (Ostle), 泰魏立杰 (Terwilliger) 和米卻列諾維奇 (Nlitrinovie) 分別於 1957年、

1970 年提出的不等式:

√a₁a₂ ≤ L(a¹, a₂) ≤ a₁+ a2

2 , 當 a₁ = a2 時取等號。 由此可見, 定理更為一般的形式。

參考文獻

1. 楊鎮杭: “凸函數的又一性質”, 數學通報 (84) 第二期, p.31。

2. 蘇化明: “關於兩個估計問題的討論”, 數學通報 (83) 第十二期, p.26。

3. 王興華: “求積公式與分析不等式 – 關於對數平均對冪平均的分隔”, 杭州大學學報 (82)。

—本文作者任教於湖南省湘潭教育學院—