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準線距離倒數和的平均值是定值

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Academic year: 2021

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全文

(1)

準線距離倒數和的平均值是定值

壹、源起

科學教育月刊(1 70 期)刊載了八十二年 度高中數學第三屆數學競賽決賽試題的一道 題目:

設 Aj ,A

2

A

83

依序為精圓主+去

=1

逆時針方向上的 83 個點, 以精圓之一焦點 F(4,0)為頂點作

LAjFA2

,

LA2FA3

,..····,

LA82FA83 ;

並使 LA]FA2=LA2FA3=...=LA82FA衍,令

25

dj=Aj 到準線x- 4 的距離(i=1 ,2, 3 ,...., 83) ,試

求之才之值

對於這個問題,國立台灣師範大學盟主 監教授已經給了一個解答,本文稍加推廣, 並且換一角度來看這個問題。 此題可以轉成先在精圖上任取一點丸,

並以焦點 F 為旋轉中心再依著角度竺取其

n

上的 n-1 個點 A

2

,A

3

,...丸,則求這 n 個點 到右準線距離的倒數和。 這個問題是和有多少,另外一個令人好 奇的問題是和的平均值是多少? 而這個平均值有其幾何上的意義嗎? 如何用一個具有代表性的值來說明?

柯明錦

國立新莊高級中學

貳、研究過程或方法

一、記號和定義

設丸,A

2

,A

3

,... .,A

n

為精圓(雙曲線、拋物

線)上,以焦點為旋轉中心依等角度守所取的

n個點 , A=(抖,只)而 α 為 A1F 的連線與 x 軸 正向的夾角,所以 AF 與 x 軸正向夾角 =α

吋峙, dj = 帆,

L)

,其中 L 為準線。

二、研究方法或步驟

(一)精圓

l 以標準式:五+手=

1

設其焦點 F抖,0) ,則 a2=b2+c2 ,右準線的方

程式為 x-i=O

C :‘一… 則 d(F,L)= 亡-

c =d j +

AjFxcos[ a

+(i-1)了] 而焦半徑 一一一-

c

c

a2

AjF=a 一-:- X ,= 一 x (一

a

~l

a" \ c

Xj)

=

~

x d

2

3t

c=dt+fx的州吋一1)于]

3t

=手 x{1+i xm[α 吋 1)于]}

-

51 一

(2)

科學教育月刊 第 257 期 中華民國九十二年四月

.

-fTT 叫

五丟×bj× C吋+川子]}

云 x 主片×∞s[α + (i 一哼])

=丟 x {n+三玄∞中+(i 一 1)

2IT]}

U u i=1 "

nc

b

2

2

補充證明:三

c

+(i 一中 =0

令 s=主c吋+叫于]

(等號兩邊同乘 2 sin 至)

n

-n

、‘.,/ /a ﹒、

+

α c3 O C

S

×

iz-n

z-nn

nNM

釗 2

Uny--M

同口卅一一 方 -n α +

-n

n

cd 叫 +

-HM

+

F 「 n

n

o3 n寸 --M ,

2nIT - 2IT

=sin( 一+ +α)

-

sin(α 一一)=0

n

n

n

d"

A4 .

d

4

.

A

3•~

d

3 !

A

2

d

2 f

A.d-:;

I .一":"':l主l-~一...x

F

An 汁:-n i

O

準線L,

-

52 一 (二)雙曲線:以標準式:

x2

y2

一一一= 1 為例(右支)

a2

b2

由於雙曲線是開放圖形,雖然是無限延 伸,可是必定能夠選取第一個點(不平行貫 軸) ,所以我們也可在其右支選取 n 個點,並 求這 n 個點到右準線距離的倒數和,得出

...;...,

1

nc

'一=一。

行t

d

i

b

2

(三)拋物線:以標準式

1=4c X 為例

由於拋物線是開放圓形,雖然是無限延 伸,可是必定能夠選取第一個點(不平行對稱 軸) ,所以我們在其上選取 n 個點,並求這 n

個點到準線距離的倒數和,得出寸土=立。

f7442c

A 1 A 2 A 3

-x

F O L y

一上

L

I

F'

X

(3)

參、研究結果

(一)輔圓上任取等角度的 n 個點,則這 n 個

點到左佑)準線距離倒數和手

(二)雙曲線右支上任取等角度的 n 個點,則

這 n 個點到右準線距離倒數和手

(三)拋物線上任取等角度的 n 個點,則這 n

個點到準線距離倒數和=丘。

L.C 肆、討論 在這個研究裡,如果將對精圓、雙曲線、 拋物線求準線距離倒數和的結果求其平均 值,哪麼會得到一個美妙的結果:

(一)輔圓求準線距離倒數和的平均值手

(二糊線求準線距離倒數和的平均值=長

白拋物線求準線距離倒數和的平均值=土

L. C

ds

d4 d3

d2

心『→x

F

d

n

O

準線

準線距離倒數和的平均值是定值 上式的結果,若從幾何圖形來看,可發 現: (一)精圓 準線距離倒數和的平均值 ,于 C

frf 叫

C

1

1

一(一一一一一-b

2

~

n

b

2

b

2

d(F

,

L)

C (二)雙曲線 準線距離倒數和的平均值

.

-C

frf 吭一 C 一 1

1

一一〉一一一一一一

b

2

n

b

2

b

2

d(F

,

L)

C (三)拋物線 準線距離倒數和的平均值 '一

1

7:r

d

i

1

1

=一一~一一一一一=一一=一一一-2c

n

2c

d(F

,

L)

伍、結論 對一般的圓錐曲線,以焦點F 旋轉中 心,設 di=

d(Ai ' L)

,其中 L 為準線 若 Ai 與 A

i

+

1

和F 的連線夾角都相等,則

.

-ff

dt

l

n

d(F

,

L)

亦即遣 n 個點到單線距離倒數和的平均值等 於焦點到單線距離的倒數。

陸、參考資料及其他

科學教育月刊(170 期)一國立台灣師範大學科 學教育中心。

-

53 一

參考文獻

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