準線距離倒數和的平均值是定值
壹、源起
科學教育月刊(1 70 期)刊載了八十二年
度高中數學第三屆數學競賽決賽試題的一道
題目:
設 Aj ,A
2
九
A
83
依序為精圓主+去
=1
逆時針方向上的 83 個點,
以精圓之一焦點 F(4,0)為頂點作
LAjFA2
,
LA2FA3
,..····,
LA82FA83 ;
並使 LA]FA2=LA2FA3=...=LA82FA衍,令
25
dj=Aj 到準線x- 4 的距離(i=1 ,2, 3 ,...., 83) ,試
求之才之值
對於這個問題,國立台灣師範大學盟主
監教授已經給了一個解答,本文稍加推廣,
並且換一角度來看這個問題。
此題可以轉成先在精圖上任取一點丸,
並以焦點 F 為旋轉中心再依著角度竺取其
n
上的 n-1 個點 A
2
,A
3
,...丸,則求這 n 個點
到右準線距離的倒數和。
這個問題是和有多少,另外一個令人好
奇的問題是和的平均值是多少?
而這個平均值有其幾何上的意義嗎?
如何用一個具有代表性的值來說明?
柯明錦
國立新莊高級中學
貳、研究過程或方法
一、記號和定義
設丸,A
2
,A
3
,... .,A
n
為精圓(雙曲線、拋物
線)上,以焦點為旋轉中心依等角度守所取的
n個點
, A=(抖,只)而 α 為 A1F 的連線與 x 軸
正向的夾角,所以 AF 與 x 軸正向夾角 =α
吋峙, dj = 帆,
L)
,其中 L 為準線。
二、研究方法或步驟
(一)精圓
l 以標準式:五+手=
1
設其焦點 F抖,0) ,則 a2
=b2
+c2
,右準線的方
程式為 x-i=O
C
:‘一…
則 d(F,L)= 亡-
c =d j +
AjFxcos[ a
+(i-1)了]
而焦半徑
一一一-
c
c
a2
AjF=a 一-:- X ,= 一 x (一
a
~l a" \ c
Xj)
=
~
x d
2
3t
c=dt+fx的州吋一1)于]
3t
=手 x{1+i xm[α 吋 1)于]}
-
51 一
科學教育月刊 第 257 期 中華民國九十二年四月
.
-fTT 叫
五丟×bj× C吋+川子]}
云 x 主片×∞s[α + (i 一哼])
=丟 x {n+三玄∞中+(i 一 1)
2IT]}
U u i=1 "
nc
b
2
2
補充證明:三
c
州
+(i 一中 =0
令 s=主c吋+叫于]
(等號兩邊同乘 2 sin 至)
n
說
-n
、‘.,/
/a
﹒、
+
α
c3
O
C
S
×
iz-n
z-nn
nNM
釗
2
Uny--M
同口卅一一
方
-n
α
+
說
-n
n
cd
叫
+
說
-HM
+
F
「
n
n
o3
n寸
--M
,
2nIT - 2IT
=sin( 一+ +α)
-
sin(α 一一)=0
n
n
n
d"
A4 .
d
4
.
A
3•~
d
3 !
A
2
d
2 f
A.d-:;
I
.一":"':l主l-~一...x
F
An 汁:
-n i
O
準線L,
-
52 一
(二)雙曲線:以標準式:
x2
y2
一一一= 1 為例(右支)
a2
b2
由於雙曲線是開放圖形,雖然是無限延
伸,可是必定能夠選取第一個點(不平行貫
軸) ,所以我們也可在其右支選取 n 個點,並
求這 n 個點到右準線距離的倒數和,得出
...;...,
1
nc
'一=一。
行t
d
i b
2
(三)拋物線:以標準式
1=4c X 為例
由於拋物線是開放圓形,雖然是無限延
伸,可是必定能夠選取第一個點(不平行對稱
軸) ,所以我們在其上選取 n 個點,並求這 n
個點到準線距離的倒數和,得出寸土=立。
f7442c
A
1
A
2
A
3
-x
F
O
L
y
一上
L
I
F'
X
•
參、研究結果
(一)輔圓上任取等角度的 n 個點,則這 n 個
點到左佑)準線距離倒數和手
(二)雙曲線右支上任取等角度的 n 個點,則
這 n 個點到右準線距離倒數和手
(三)拋物線上任取等角度的 n 個點,則這 n
個點到準線距離倒數和=丘。
L.C
肆、討論
在這個研究裡,如果將對精圓、雙曲線、
拋物線求準線距離倒數和的結果求其平均
值,哪麼會得到一個美妙的結果:
(一)輔圓求準線距離倒數和的平均值手
(二糊線求準線距離倒數和的平均值=長
白拋物線求準線距離倒數和的平均值=土
L. C
ds
d4 d3
d2
心『→x
F
d
n
O
準線
準線距離倒數和的平均值是定值
上式的結果,若從幾何圖形來看,可發
現:
(一)精圓
準線距離倒數和的平均值
,于
C
frf 叫
C
1
1
一(一一一一一-b
2 ~
n
b
2 b
2 d(F
,
L)
C
(二)雙曲線
準線距離倒數和的平均值
.
-C
frf 吭一 C 一 1
1
一一〉一一一一一一
b
2
•
n
b
2 b
2 d(F
,
L)
C
(三)拋物線
準線距離倒數和的平均值
'一
1
7:r
d
i 1
1
=一一~一一一一一=一一=一一一-2c
n
2c
d(F
,
L)
伍、結論
對一般的圓錐曲線,以焦點F 旋轉中
心,設 di=
d(Ai ' L)
,其中 L 為準線
若 Ai 與 A
i
+
1
和F 的連線夾角都相等,則
.
-ff
dt
l
n
d(F
,
L)
亦即遣 n 個點到單線距離倒數和的平均值等
於焦點到單線距離的倒數。
陸、參考資料及其他
科學教育月刊(170 期)一國立台灣師範大學科
學教育中心。
-
53 一