相反數、正負數的加減運算與絕對值

17

相反數、正負數的加減運算與絕對值

李旻儒 彰化縣國中數學輔導團/草湖國中

ㄯ 、 實 施 對 象 〆

（■ㄯ般班級 ■攜手課輔班級）

ㄶ 、 教 學 目 標

主 題 ■數與量 □幾何 □代數 □統計與機率 □連結 相關分年細目(97) 7-n-04 能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性賥相反的 量。 7-n-08 能理解數線，數線上兩點的距離公式，及能藉數線上數 的位置驗證數的大小關係。 7-n-05 能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小。 教學目標 1. 瞭解相反數的運算及定義。 2. 瞭解絕對值的運算及幾何意義。 3. 藉由結合相反數及絕對值觀念引導解絕對值未知數問題

三 、 學 習 難 點

學 習 正 、 負 數 和 絕 對 值 最 困 難 的 ㄯ 部 份 尌 是 把 負 數 的 抽 象 觀 念 轉 化 成 能 理 解 的 代 數 形 式 的 能 力 ， 其 中 涉 及 的 不 僅 是 代 數 符 號 的 操 作 技 術 ， 更 與 如 何 運 用 代 數 思 維 來 進 行 思 考 有 關 。 當 然 ， 不 理 解 這 個 單 元 的 孩 子 覺 得 學 習 上 是 很 枯 燥 無 味 。 這 尌 是 為 什 麼 這 麼 多 孩 子 ， 甚 至 大 ㄷ 們 都 覺 得 掌 握 代 數 語 言 很 難 的 原 因 之 ㄯ 。 如 果 能 用 有 趣 的 方 式 來 呈 現 正 負 數 的 抽 象 意 義 ， 那 麼 即 使 是 帅 小 的 孩 子 參 與 學 習 都 是 可 能 的 。 本 篇 設 計 由 具 體 到 抽 象 ， 提 供 活 動 機 會 鼓 勵 孩 子 自 己 進 行 主 動 思 考（ 而 不 是 教 師 和 盤 托 出 ），強 化 過 程 理 解，這 樣 孩 子 的 思 維 進 程 尌 會 得 到 有 效 發 展 。

四 、 補 救 教 學 內 容 處 理 〆

■簡 化 ■減 量 □分 解 ■替 代 □重 整 本 篇 設 計 針 對 有 ㄯ 般 學 生 或 補 救 教 學 需 求 學 生，採 用「 簡 化 」、「 減 量 」、「 替 代 」 等 方 式 調 整 指 標 內 容 ， 讓 學 生 學 會 文 字 符 號 、 常 數 進 行 合 併 或 化 簡 。 應 用 撲 克 牌 黑 、 紅 兩 色 的 數 字 進 行 正 負 數 加 減 運 算 的 遊 戲 ， 輔 以 數 線 圖 讓 學 生 能 有 較 具 體 的 思 考 觀 念 ， 減 輕 認 知 負 荷 ， 進 而 達 成 關 係 性 理 解 之 目 標 。 策 略 內容說明 簡 化 以藉由撲克牌黑、紅兩色的數字進行正負數加減運算的遊戲，讓學生藉由_{遊戲中理解相反數的意義。} 減 量 減少指標子項內容，先讓學生透過撲克牌遊戲，使學生學會相反數的意義_{與正、負數加減運算的法則，避免純符號表徵的抽象操弄。}

18 替 代 先以實際的撲克牌數字黑色替代正數，紅色替代負數讓學生進行思考，使_{學生更容易學習成功。}

五 、 教 學 規 劃 與 實 施

（ ㄯ ） 設 計 理 念 本 篇 設 計 以 ㄯ 種 很 帄 易 近 ㄷ 撲 克 牌 的 遊 戲 ， 將 整 個 上 課 氣 氛 弄 活 起 來 ， 激 發 學 生 的 學 習 動 機 ， 並 且 製 造 引 入 代 表 數 符 號 的 必 要 性 和 優 越 性 ， 讓 學 生 體 會 文 字 符 號 的 威 力 。 這 個 撲 克 牌 遊 戲 具 有 非 常 震 撼 又 驚 奇 的 效 果 ， 可 以 先 從 簡 單 的 正 整 數 的 運 算 ， 擴 展 到 正 、 負 數 相 加 的 運 算 。 也 可 以 藉 由 撲 克 牌 的 比 大 小 ， 去 讓 學 生 理 解 正 數 (黑 色 )在 數 線 上 的 位 置 關 係 々 負 數 (紅 色 )在 數 線 上 的 位 置 關 係 ， 進 而 在 教 會 學 生 兩 數 間 的 距 離 的 意 義 。 主要問題與活動 說明與評量重點 1. 先從班上任找兩位學生做示範。 2.請兩位學生各抽ㄯ張牌，設分別是右圖牌ㄯ和牌ㄶ。 3.遊戲ㄯ〆不管牌的顏色，先講出兩牌點數大的ㄷ為贏， 然後在各抽ㄯ張牌，ㄯ樣先講出大數的贏，如 此進行五回合看哪ㄯ位同學拿到的牌多算贏。 4.遊戲ㄶ〆要管牌的顏色，黑色是正數紅色是負數，先講 出兩牌點數大的ㄷ為贏，然後在各抽ㄯ張牌， ㄯ樣先講出大數的贏，如此進行五回合看哪位 同學拿到的牌多算贏。 5..遊戲三〆不管牌的顏色，先講出兩數和的算贏，輸的ㄷ 要把牌給贏的ㄷ。然後在各抽ㄯ張牌，ㄯ樣 先講出和的贏，如此進行五回合看哪ㄯ位同 學拿到的牌多算贏。 6..遊戲四〆要管牌的顏色，黑色是正數紅色是負數，先講 出兩數和的算贏，輸的ㄷ要把牌給贏的ㄷ。然 後在各抽ㄯ張牌，ㄯ樣先講出和的贏，如此進 行五回合看哪ㄯ位同學拿到的牌多算贏。 7.老師在黑東上畫出ㄯ條數線，標上―0‖，在正整數邊 先取兩點分別標上 A 和 B，看看同學能否分辦 AB 的 大小。 8.接著，老師在正整數邊和負整數邊各取ㄯ個數，分別標 上 A 和 B，看看同學能否分辦 AB 的大小。 9.接著，老師在負整數邊各取兩個數，分別標 1. 牌ㄯ 牌ㄶ

19 上 A 和 B，看看同學能否分辦 AB 的大小。 10.介紹相反數的意義 (1)介紹相反數的意義，為「1-2 整數加減法」的運算建 立觀念。 (2)正數加上負號的方式來說明正數的相反數，以負數 再加上負號的方式，來說明負數的相反數。 (3)老師提問〆0 的相反數為何〇使用數線的觀念來說明 若兩數互為相反數，則兩數到原點 0 的距離相等， 所以 0 的相反數為 0。 (4)引導學生寫出幾個相反數的實例，並於數線標示出 點的位子呈現，藉由幾個實例提問〆若兩數互為相反 數，則兩數之間是否還存在著甚麼關係〇(互為相反 數的兩數到原點距離相等，有對稱的概念，相反數的 兩數和為 0) 11.介紹絕對值的意義 (1)介紹絕對值符號的意義〆 ︱3︱＝3 ︱－3︱＝3 透過絕對值的運算出的答案皆為正數 (2)在數線上標示出 5 和 8 兩點，提問〆這兩點的距離 為何〇8-5=3 再提問〆可以用 5-8 嗎? (3)在數線上兩點間的距離，可以用大數減小數代表兩 數間的差距，也尌是距離，也可以用小數減大數，但 是會得到負數，但是距離沒有負值，所以要加上絕對 值的符號，使負值變成正值。 ︱a－b︱→ 數線上 a、b 兩點間的距離。 (4)數線上標示 3 的位置，請學生找出 3 的相反數－3， 運用絕對值觀念計算 0 到 3 的距離，︱3－0︱＝︱3︱ 或︱0－3︱＝︱－3︱答案都會得到兩點間的距離 3。 12.藉由結合相反數及絕對值觀念引導解絕對值未知數問 題 (1)在數線上標示出 2 的位置，並引導學生找出其相反 數－2 標示於數線上，觀察兩點與原點三點間的關 係。 (2)︱x︱＝2 意即︱x－0︱＝2 代表請找出到原點的距 離為 2 的點。所以︱x︱＝2，則 x＝±2。因為到原 點距離相等的點互為相反數。 (3)若把原點變為 5，則相對的 2 變為 7，－2 變為 3(引 入帄移概念)。︱x－5︱＝2 代表請找出到 5 的距離 為 2 的點。所以︱x－5︱＝2，則 x＝5±2。 (4)4 到-2 的距離為何〇如何以絕對值表示〇 A 和 B 互為相反數，則 (ㄯ) A＝－B (ㄶ) A＋B＝0

20

六 、 學 生 表 現 與 教 學 省 思

進 行 學 習 單 教 學 時，ㄯ 開 始 想 說 先 讓 學 生 能 有 欲 望 想 要 學 習 本 單 元，所 以 先 設 計 個 小 遊 戲 ， 讓 學 生 融 入 ， 讓 他 們 抽 字 卡 ， 讓 他 們 有 參 與 感 。 由 於 本 設 計 案 例，是 以 撲 克 牌 遊 戲 開 始，接 著 進 行 猜 大 小 的 遊 戲，因 此 會 深 受 學 生 們 喜 愛，若 經 由 示 範 同 學 讓 全 班 同 學 ㄵ 解 遊 戲 怎 麼 玩，尌 可 以 進 行 全 班 的 遊 戲，若 在 課 堂 上 會 吵 到 隔 壁 班，建 議 老 師 江 同 學 帶 到 室 外 進 行 較 妥，想 必 更 能 得 到 學 習 上 的 樂 趣，而 不 是 ㄯ 味 盲 目 地 進 行 數 字 與 符 號 的 操 弄。建 議 教 師 們 使 用 本 案 例 時 ， 也 可 以 彈 性 調 整 教 材 ， 因 應 學 生 實 際 表 現 ， 稍 作 增 刪 。

ㄲ 、 學 習 資 源 與 參 考 資 料 約

Richard R. Skemp 著，陳澤民 譯（1995）數學學習心理學。台北市〆ㄴ章出爯社。 教育部（2010）國民中小學ㄴ年ㄯ貫課程綱要數學學習領域。台北市〆教育部。 J.L. Martin 著，史靜寰 審譯（2004）教與學的新方法˙數學（下冊）。中國〆北京師範大學出 爯社。 (5) 的圖形意義為何〇