1-1-2數與數線-數線上的幾何

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(1)1-2 數線上的幾何【目標】能熟悉數線上兩點的距離與分點公式，以及一次不等式的圖解法；並能應用距離的概念，解決含絕對值的一次式與一次不等式。【定義】 1. 距離：數線上，兩點 A(a), B(b) 的距離 AB | a  b | 。而點 P(x) 與原點 O(0) 的距離. PO | x  0 || x | 。註：事實上，只要 a  b 時，點 A(a) 與 B (b) 的距離 AB  a  b 恆成立。此時， a  b  0 ， OA  OB  AB ， AB  OA  OB  a  b ，故 AB  a  b  | a  b | 。. 又當 a  b 時， AB  0  | a  b | 。最後， a  b 時， AB  b  a  | a  b | 。【說明】數線上兩點 A(a) ， B (b) 的距離 AB  | a  b | ，這是解析幾何中，任意兩點的距離公式的最基本性質，也是平面上與空間中兩點距離公式的根源。應將代數與幾何的關係緊密的結合，才能發揮代數與幾何相輔相成之功效。. 18.

(2) 【定理】 1. 分點公式：給定數線上相異兩點 A(a), B(b)，若點 P 在 AB 上，且 AP : PB  m : n ，則點 P na  mb 的坐標為。 mn ab 註： AB 的中點坐標為。 2 註：一般情形，設數線上相異兩點 A(a), B(b) ，點 P( x) 在 AB 上，且 AP : PB  m : n ，則點 P 的坐標 x 為何呢？首先，考慮 a  b 的情形，. 如圖 AP : PB  m : n 。 ( x  a) : (b  x)  m : n ， n( x  a)  m(b  x) ， nx  na  mb  mx ， (m  n) x  na  mb ， x. na  mb 。 mn. 而當 b  a 時，上式中， a 與 b 互換， m 與 n 互換，同樣得 x . na  mb 。 mn. 2. 中點公式：在分點公式中，若分點 P 是 AB 的中點，即 AP : PB  1:1 ，則點 P 的坐標為. ab 。 2. 註：中點公式是分點公式的特例。【性質】 1. 試證：在數線上，若 A, B 都是有理點，則 AB 的中點是有理點。註：兩有理點之中無限多的有理點，可理解有理數稠密性的意義。此證明了兩有理點的中點必為有理點，但兩無理點的中點不必然是無理點。證明：設 A(a), B(b) ，則 a, b 都是有理數。 n q , b  ，其中 n, q 是整數， m, p 是非零整數， m p ab 1 n q np  mq  (  ) 則 AB 的中點坐標為， 2 2 m p 2mp. 令a . 其中分子 np  mq 是整數，而分母 2mp 是非零整數，故. ab 是有理數，即 AB 的中點是有理點。 2 19.

(3) 【問題】 1. 設在數線上兩點 A(3) ， B (9) ， (1)若點 C 在 AB 上，且 AC : BC  2:1 ，求 C 的坐標。 (2)若點 D 在數線上，且 AD : DB  3: 2 ，求 D 的坐標。解答： (1)點在 AB 上，依分點公式可得 C 的坐標為. 1 (3)  2  9 5。 2 1. (2)點 D 在數線上，且 AD : DB  3: 2 時， D 有兩個可能，如下圖：. ①當點 D 在 AB 上時(如上圖的 D1 )， 2  (3)  3  9 21  。 3 2 5 ②當點 D 不在 AB 上時，因為 AD  BD ，所以點 D 在點 B 的右邊(如上圖的 D2 )，令 D 的坐標為 x ，. 由分點公式得 D 的坐標為. 此時，點 B 介於 A 與 D 之間，且 AB : BD  1: 2 ﹐ 2  (3)  1 x ， 1 2 即 x  6  27 ，得 x  33 ，點 D 的坐標為 33 。 21 所以，滿足(2)的條件的點 D 的坐標為或 33 。 5. 由分點公式可得 9 . 20.

(4) 【說明】在數線上，一點代表一個實數，而連續的一段，就可以代表一段連續的實數，當 | x |  3 時， x 代表的點與原點的距離為 3，這樣的點有兩個，即 3 與 3 ，故 x  3 。當 | x |  3 時， x 代表的點與原點的距離小於或等於 3 ， x 所在的範圍如圖，故 3  x  3 。【定義】 1. 不等式的解：不等式的解可以標示在數線上，同時要滿足兩個不等式時，可以取二者在數線上重疊的部分。 2. 絕對值：若 a 是正實數，則 (1) | x | a 與  a  x  a 兩者意義相同。 (2) | x | a 與「 x  a 或 x  a 」兩者意義相同。註：處理絕對值時，注意是否有含等號。【問題】 1. 設實數 x 滿足下列條件，試分別求出 x 的範圍並標示在數線上。 (1) | 2 x  1|  5 。 (2) | 3x  4 |  2 。解答： 1 2. 1 2. 1 2. (1) 5  2 x  1  5 ， 6  2 x  4 ， ( )(6)  ( )(2 x)  ( )  4 ，得 2  x  3 ，圖形如下。. 1 2. （ | 2 x  1|  | 2 x  1|  2 | x  | ， 1 2. 5 2. 1 2. 5 2. 故原式與 | x  |  同義， x 表與點距離小於單位的點）。 (2) 3x  4  2 或 3x  4  2 ， 3 x  2 或 3x  6 ， x . 2 或 x  2 ，圖形如下。 3. 在上例中，實數 x 若要同時滿足 | 2 x  1|  5 及 | 3x  4 |  2 ，則由 | 2 x  1|  5 ，得 2  x  3 ，而由 | 3x  4 |  2 得 x . 2 或 x  2 。作圖如下，其中兩個別條件重 3. 2 3. 疊的部分為 2  x  或 2  x  3 ，此即實數 x 的範圍。. 21.

(5) 2. 求不等式 | x  1|  | 2 x  4 | 的實數解。註：解不等式 | x  1|  | 2 x  4 | 時，可在數線上標出 x  1  0 與 2 x  4  0 的根，這兩根 1 與 2 將數線分割成三段，分段逐一利用絕對值的定義去掉絕對值符號後，才能解出各不等式在各小段(即各區間)內的解，就可得到原不等式之解。解答： (方法一) 由於 x  1  x  (1) ， 2 x  4  2( x  2) ，可將 x 以 1, 2 為界分成三段： (1) x  2 時， x  1 ，故 x  1  0 ， 2 x  4  0 ，原不等式化為 x  1  2 x  4 ，即 x  5 ，合併 x  2 ，得 x  5 。. (2) 1  x  2 時， x  1  0 ， 2 x  4  0 ，原不等式化為 x  1  2 x  4，3x  3，即 x  1，合併 1  x  2，得 1  x  1。. (3) x  1 時， x  2 ，故 x  1  0 ， 2 x  4  0 ，原不等式化為  x  1  2 x  4 ，即 x  5 ，合併 x  1 ，得 x  1 。. 由(1)得 x  5 ，由(2)得 1  x  1 ，由(3)得 x  1 ，聯合三者得 x  1 或 x  5 。. (方法二) 因為對於任意 x ， | x  1| 與 | 2 x  4 | 都是非負的數，當 | x  1|  | 2 x  4 | 時， | x  1|2  | 2 x  4 |2 恆成立；反之， | x  1|2  | 2 x  4 |2 時， | x  1|  | 2 x  4 | 亦成立；因此，可利平方法去掉絕對值解之。 | x  1|2  | 2 x  4 |2 ， 3x2 18x  15  0 ， 3( x  1)(x  5)  0 ，得 x  1 或 x  5 。. 22.

(6) 3. 設 x 是實數，且 y  | x  1|  | x  2 | ，求 y 的最小值。註：將數線分割成三個區間，利用討論法，去掉 | x  1| 與 | x  2 | 的絕對值符號後，將 y 寫成一次式 y  ax  b 的形式，然後在各區間內求出 y 的最小值；最後三個區間內得出一個 y 的最小值，才是此題所欲求的結果。解答： (方法一) 由於 x  1  x  (1) ，可將 x 以 1, 2 為界分成三段：. (1) x  2 時， x  1  0 ，且 x  2  0 ，故 y  ( x  1)  ( x  2)  2 x  1 ， x  2 時， y  3 最小。 (2) 1  x  2 時， x 1 0 ， x  2  0 ，故 y  ( x  1)  ( x  2)  3 為定值。 (3) x  1 時， x 1 0 ， x  2  0 ，故 y  ( x  1)  ( x  2)  2 x  1 ，由於 x  1 ，得 2 x  2 ， y  2 x  1  3 。綜合(1)，(2)，(3)可得 y 的最小值為 3 。 (方法二) y  | x  1|  | x  2 |  | x  (1) |  | x  2 |. 表數線上動點 x 到定點 1 與 x 到定點 2 的距離和，由圖形可知 1  x  2 時， y 有最小值 2  (1)  3 。. 23.

(7) 【說明】前面曾說過 | xy |  | x || y | ，即兩實數乘積的絕對值等於個別絕對值的乘積。那麼，兩實數和的絕對值是否必等於個別絕對值的和呢？由 | 2  (3) |  | 2 |  | 3 | 可見 | x  y |  | x |  | y | 不恆成立。事實上， | x  y |2  ( x  y ) 2  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 | xy |  y 2  | x |2 2 | x || y |  | y |2  (| x |  | y |) 2 。. 又 | x  y | 與 | x |  | y | 皆非負數，故得到： | x  y || x |  | y | 。【定理】 1. 三角不等式： | x  y || x |  | y | ，對任意實數 x, y 恆成立。註：由上可得 | x |  |  y || x  ( y) | ，即 | x |  | y || x  y | 亦恆成立。【問題】 1. 求 y  | x  1|  | x  2 | 的最小值。解答：可利用三角不等式： y  | x  1|  | x  2 |  | x  1|  |  x  2 |  | ( x  1)  ( x  2) |  | 3 |  3 ，. 又 x  1 時， y  3 ，故 y 的最小值為 3 。 2. 滿足 | x  y |  | x |  | y | 的實數 x, y 有何條件？解答： x, y 同號，或至少有一數為 0 時， | x  y |  | x |  | y | 。理由如下：若| x  y |  | x |  | y | ，則 | x  y |2  (| x |  | y |) 2 ，即 ( x  y ) 2  | x |2 2 | x | | y |  | y |2 ，亦即 x 2  2 xy  y 2  x 2  2 | xy |  y 2 ，故 xy  | xy | ，在 x, y 同號或 x, y 中至少有一數為 0 時成立。. 24.

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