勾股定理證明-G179
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC 的 AB 、 BC 為正方形的一邊，向外作正方形 ABDE 及正方形 BCFG 。
2. 在AB 延伸線上取一點 H ，使 BH 與 AC 等長，並以 BH 為正方形的一邊，向下作 正方形 BHIJ 。
3. 延伸 GB ，交AE 於 K 。並過 A 作 BK 的垂直線，垂足 L ，同樣地過 D 作 BK 的垂直 線，垂足 M 。
4. 在AB 線段上取一點N ，使得 BN 與 KE 等長。並過 N 作 BK 的垂直線，垂足 O 。 5. 再從BK 延伸線上取一點 P 使得 KP 與 NO 等長，連 PE 。
6. 最後延伸DB 交 CF 於 Q ，延伸 CB 交 IJ 於 R 。
A B
C
D E
F
G
H
J I K
L M
N
O
P
Q
【求證過程】
此證明屬拼圖式證明，我們先作以直角三角形三邊的三個正方形，再以適當的輔 助線將正方形切割，其中大正方形被切割為五塊。接著我們要透過全等圖形的證明，
確定可以用這五塊拼出兩個小的正方形，也就以面積的方式證明了畢氏定理的關係式。
1. 我們不難發現ABC,BAL,DBM,BRJ這四個三角形為全等三角形，以下我們給 出證明：
其中ABC,BAI是因為
ABBA (共用邊), 並且
90 ,
ACB BLA
以及
90 ,
CAB CBA ABL
所以
ABC BAI
(AAS 全等).
其中另一組ABC,DBM 是因為
ABBD(正方形的邊), 並且
90 ,
ACB DMB
以及
90
90 ( )
,
CBA CAB
ABL ABC BAL DBM
所以
ABC DBM
(AAS 全等).
還有一組ABC,BRJ是因為
, AC BJ 並且
90 ,
ACB BJR
以及
90 ,
CBA RBJ
BRJ
所以
ABC BRJ
(AAS 全等).
2. 也可以看出AKL,BQC為全等三角形，以下給出證明：
因為
( ),
ALBC ABC BAL 並且
90 ,
ALK BCQ
以及
90
90 ( )
,
LAK BAL
ABC ABC BAL QBC
所以
AKL BQC
(ASA 全等).
3. 而EKP,BNO亦為全等三角形，以下是它的證明：
因為
, KEBN
, KPNO 以及
90 , PKE LKA
KAL NBO
所以
EKP BNO
(SAS 全等).
4. 而梯形 DEPM 及梯形 BRIH 為全等的四邊形，以下是它的證明：
因為
( )
( ),
DM BJ DBM BRJ BH
正方形的邊 並且
( )
( ),
DE BD
BH DBM BRJ
正方形的邊 以及
90 ,
PMD BHI
還有
90
90 ( )
,
MDE MDB
RBJ BDM BRJ RBH
再加上
90 ,
EPM RIH
所以
DEPM BRIH
梯形 梯形 (SSAAA 全等).
5. 最後看出梯形 ALON ,梯形 BGFQ 亦為全等的四邊形，以下我們給出證明：
因為
( )
( ),
BG BC
AL BQC AKL
正方形的邊 並且
( )
( ),
AN AB NB
AE KE BNO EKP
AK
BQ AKL BQC
正方形的邊及
以及
90 ,
QFG NOL
還有
90 ,
FGB OLA
再加上
90 ,
QBG ABL
BAL
所以
ALON BGFQ
梯形 梯形 (SASAA 全等).
6. 綜合以上我們可以推導面積關係式：
,
ABDE AKL ALON BNO DEKM DBM BQC BGFQ EKP DEKM BRJ
BCQ BGFQ EKP DEKM BRJ BCFG BHIR BRJ
BCFG BHIJ
梯形 梯形
梯形 梯形 此即為畢氏定理關係式
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：此證明的作者姓名不詳，記載於 Loomis 的《勾股定理》中幾何篇中的編號 第179 號。
2. 心得：此證明亦屬於拼圖式的證明法，證明對應的拼片為全等的圖形，再透過面 積關系式即可以證明出畢氏定理。證明過程中的切割方式應用到延伸線對 頂角相等，只要取對應等長再作垂直就可以輕易得到一個對應全等的三角 形拼片。
3. 評量：
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4. 補充：
(1) 在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形 的面積公式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理關 係式。
(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
