1-5 三角測量

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch1 三角

1-5 三角測量

甲、三角測量

課本頁次： 63

仰角 俯角

視線 視線 水平線

鉛垂線

甲、三角測量

課本頁次： 64

方位

P 點位於 O

東 北

P

南

西

O

60

( 東 60 北 )

甲、三角測量

課本頁次： 64

方位

Q 點位於 O

南 西 15

O

( 西 15 北 )

75 

Q

甲、三角測量

課本頁次： 64

方位

R 點位於 O

南

西

O

( 東 45 南 )

45  R

( 東南 ) 或

例 1

課本頁次： 64

解：

小華欲測量台北 101 大樓的高 測得樓頂的仰角為 30﹐度﹐

到達 B 點﹐測得樓頂的仰角為 45﹐ 求大樓高 度﹒

地面上 A 點

30 45

A B C

D

370

h h

tan 3 1

37 0 3

0

h

h

 3

3h 70 h

  

 ^{3 1}  ^{h 3 7 0}

  

370 h 3 1

   ^{ 185}





( 3 1.732) 

 505

再朝大樓方向前進 370 公尺

( 公尺 )

隨 1

課本頁次： 65

解：

的距離為 20 公尺 .

地面上 A 點測得佛頂的仰角為 60 面對著佛像後退到仰角為 30 的 B 點﹐﹐

( 公尺 )

佛 像

30 60

B A C

D

20

h

3

h

3 20 3

h

h



20 3 1

3

 h



^{  h 10 3}





 17.3

3 h h

  

測得 A 點和 B 點 問佛像高度為多少公尺？ 　

例 2

課本頁次： 65

解：

小華站在頂樓陽台上測量地面的一棵大樹 , 得樹底的俯角為 60

若小華眼睛至地面的距離為,

21

60

60

21

7 3

B

C A

tan(90

60

 BC  



21 3

  3  7 3 7 3 AC

大樹和小華家距離 公尺

tan 30

 BC 

例 2

課本頁次： 65

解：

小華站在頂樓陽台上測量地面的一棵大樹 , 得樹底的俯角為 60

若小華眼睛至地面的距離為 21 公尺 , 則, (2) 樹高約為多少公尺 ?

30

30

21

7 3 7 3

B

C A

D E

樹頂的俯角為 30,

ta 3 7 3 n 0

BE  

7 3 13 7

  

AD CE   21   7 1 4

14

樹高 公尺

7

14

隨 2

課本頁次： 65

解：

小君從公寓窗口觀測對面新蓋大廈的高度﹐

大廈屋頂的仰角為





8

則大廈應有多高？（以







D

B C

8

tan

8

AC 



8







8





  ^{∴ 大廈有}

⁸  ^{tan + n}

^ta



，

A

(1) 颱風中心與恆春的最近距離是多少公里？

例 3

課本頁次： 66

解：

颱風中心目前在恆春東南方 300 公里的海面上﹐

向著東 75 北的方向前進﹐暴風半徑 250 公里 . 如果颱風的行進方向不變 ,



 75 45

東 北

A

B

南

西

O

300

60

 



sin

6 0



OA 

3

 

2

250

OB

150 3



150 3

最近距離約為 260 公里

 260

恆春

(2) 恆春是否會進入暴風圈？

例 3

課本頁次： 66

解：

颱風中心目前在恆春東南方 300 公里的海面上﹐

向著東 75 北的方向前進﹐暴風半徑 250 公里 . 如果颱風的行進方向不變 ,

東 北

A

B

南

西

O

300

6 0



OA 

3

 

2

250

OB

150 3



150 3

250

恆春不會進入暴風圈

 260

恆春

 250

則車與摩天輪最近的距離是多少公里？

隨 3

課本頁次： 66

解：

在由南向北時速 90 公里的汽車上﹐看到北 45 東 的方位有一座摩天輪﹐車子繼續行駛 12 分鐘後﹐

摩天輪變成在北 60 東的方位﹐若汽車繼續前行﹐

A B D C

45

60

18

( ) x 公里

3 x

南

北 90 12

6 ( )

0 18

   公里 3 18

x  x  1 (1 )

3 x 18

  

18 3 x 3 1

    27 9 3 ( 公里 ) 時速 90 公里 ,行駛 12 分鐘

例 4

課本頁次： 67

解：

湖的兩端各有一座電塔 A 與 B, 需測出這兩座電塔的距離﹒

今在 C 點成立觀測站 , 測得

試求電塔 A 與 B 的距離 .

80 , 50 , 60 AC  公尺公尺BC  ACB  

2 802 502 2 80 50 cos60

AB

 4900 70 (



AB

隨 4

課本頁次： 67

解：

山丘的兩端各有城市 A 與 B, 需測量出這兩座城市的距離 ,

今在 C 點成立觀測站 , 測得

試求城市 A 與 B 的距離 .

30 , 50 , 120 AC  公里公里BC  ACB  

2 302 502 2 30 50 cos120

AB

 4900 70 (



AB

120

例 5

課本頁次： 67

解：

自塔的正東方 A 點測得塔頂仰角為 30; 而

在塔的東 30 南 B 點測得塔頂仰角為 45

A 與 B 相距﹒ 50 公尺﹐求塔 高﹒

30

 45

A

B

南

O

h

3h

h 50

3 AO  h BO  h

2 2 2

2 cos 30

A B  A O  B O   A O  BO  

2 2 2

3

( 3 ) 2

0 3

5  h  h   h  h  2

2 2

50 h

    h 50

30

( 公尺 ) ∴ 塔高為 50 公尺

隨 5

課本頁次： 68

解：

直升機發現：地面正西方俯角 60 的 A 處 有火警發生 ,

有消防車 .

求 A

、

A

O

300 100 3

120

60

30

30

B

300 3

300

3

100 3

300 3

OB  _60

2 2

100 3 1 3 2 1 3 cos120

AB       

100 39

2 2



100 3 1 3 2 1 3 1 ( 2)

       公尺

而在東 60 南方位﹐俯角 30 的 B 處 若直升機的飛行高度為 300 公尺 ,

例 6

課本頁次： 68

解：

地面上 A,B,C 三點﹐測得氣球的仰角都是 60

且 ﹒ 求氣球高

40 度﹒

BC  公尺﹐BAC  30

﹐

A

B C

60

h

AH B C

h h

H H

   

  R (



60

60

30 40 2sin

R BC

 A 40 2sin 30 40

 

 3 40

h

h

∴ 氣球高度為40 3 公尺

隨 6

課本頁次： 69

解：

地面上 A,B,C 三點﹐測得尖塔頂的仰角都是 75



且 AB  60 公尺﹐ACB  120﹒ 求尖塔高度﹒

﹐

A

B C

75

h

AH

h

H

h

B CH

   

   R (



75

75

60 2sin 120

R AB

 C 60

2sin120 20 3

 

 2 3 20 3

h

  

h

∴ 尖塔高度為 60 40 3 公尺

乙、三角函數值的求法

課本頁次： 70

( 一 ) 查表

角度 sin cos tan cot sec csc

1 .0175 .9998 .0175 57.29 1.000 57.30 89

2 .0349 .9994 .0349 28.64 1.001 28.65 88

44 .6947 .7193 .9657 1.036 1.390 1.440 46

45 .7071 .7071 1.000 1.000 1.414 1.414 45

cos sin cot tan csc sec 角度

最右一行為 45~90 之間的銳角度數 , 　由下而上遞增 最左一行為 0~45 之間的銳角度數 , 　由上而下遞增

乙、三角函數值的求法

課本頁次： 70

角度 sin cos tan cot sec csc

.6018 .7986 .7536 1.327 1.252 1.662 .6065

.7951

cos sin cot tan csc sec 角度

37 00' 

20'

52 00'  40'

37

cos 20'  0.7951  sin

52  40'

0 



1分秒=6

0 



( 一 ) 查表

隨堂

課本頁次： 71

利用三角函數值表求下列各值：

(1) sin1550'. (2) cos7410'.

角度 sin cos tan cot sec csc

.2728

cos sin cot tan csc sec 角度

15 00' 

50'

74 00'  10'

15

sin 50'  0.2728  cos

74  10'

隨堂

課本頁次： 71

利用三角函數值表求下列各值：

(3) tan1040'. (4) tan7920'.

角度 sin cos tan cot sec csc

.1851 .9827

1.883

cos sin cot tan csc sec 角度

10 00' 

40'

79 00'  20'

10

tan 40'  1.883

隨堂

課本頁次： 71

利用三角函數值表求下列各值：

(3) tan1040'. (4) tan7920'.

角度 sin cos tan cot sec csc

.1851 .9827 1.883

5.309

cos sin cot tan csc sec 角度

10 00' 

40'

79 00'  20'

10

tan 40'  1.883

79

tan

 20' _{ 5.309}

隨堂

課本頁次： 71

利用三角函數值表 , 求下列各銳角



(1) sin





角度 sin cos tan cot sec csc

.4120

1.709

cos sin cot tan csc sec 角度

24 00' 

20'

59 00'  40'

sin

  0.4120



  1.7090

 59 40' 

例 7

課本頁次： 72

解：

角度 sin cos tan cot sec csc

.5200 .5225

cos sin cot tan csc sec 角度

31 00' 

20' 30'

 25 2 k

10

5

  k

sin31 22'  0.5200  0.0005

0.5205

 sin 31 20' 

sin 31 30' 

0.5200



0.5225



5

k

0.5205

31

sin 22' 利用三角函數值表及內插法 , 求 (1)

例 7

課本頁次： 72

解：

角度 sin cos tan cot sec csc

.9596 .9588

cos sin cot tan csc sec 角度

16 00' 

20' 30'

  8 4 k

10

3.2

   k

cos16 24'  0.9596  0.00032

0.95928

 cos16 20' 

cos16 30' 

0.9596



0.9588



3.2

k



0.95928

16

cos 24' 利用三角函數值表及內插法 , 求 (2)

隨 7

課本頁次： 72

解：

角度 sin cos tan cot sec csc

.8339 .8323

cos sin cot tan csc sec 角度

33 00' 

30' 40'

  16 8 k

10

12.8

  k 

cos33 38'  0.8339  0.00128

0.83262

 cos33 30' 

cos33 40' 

0.8339



0.8323



12.8

k



0.83262

33

cos 38' 利用三角函數值表及內插法 , 求 (1)

隨 7

課本頁次： 72

解：

角度 sin cos tan cot sec csc

.7310 .7355

cos sin cot tan csc sec 角度

36 00' 

10' 20'

 45 2 k

10

9

  k

tan36 12'  0.7310  0.0009

0.7319

 tan 36 10' 

tan 36 20' 

0.7310



0.7355



9

k

0.7319

36

tan 12' 利用三角函數值表及內插法 , 求 (2)

乙、三角函數值的求法

課本頁次： 73

( 二 ) 使用電腦

在電腦 Google 的搜尋列中﹐輸入 sin63.87 度 即可得到 sin63.87 度的近似值

例 8

課本頁次： 74

解：

高 75 公尺的塔旁有一道坡度為 28

的好漢坡 , 從坡頂測得塔的視角為 14

.求好漢坡的長度 .( 四捨五入至整數 位 )

cos14 75 sin14

x 

  



62

104

x

x 

sin104

75 sin14

 

sin 90  14  cos14

75 1

tan14

 



75 4.0 11 30 1

  

(tan14  0.2493)

( 公尺 )

好漢坡長度約 301 公尺

隨 8

課本頁次： 74

解：

在 A 點處測得金字塔塔頂的仰角為 24,

向著金字塔前進 100 公尺到達 B 點後 , 再測得仰角

33, 則金字塔的高度約為多少公尺 ? ( 四捨五入至整數位 )

24 33

A B C

D

100

h

tan 33

h



tan 3

24 10

t n 0 3

h a h







 100 tan 24 tan 3 24 tan tan

3

h 33 

 





 



142

 

h

(tan 24  0.4452，tan 33  0.6494)

金字塔高度約 142 公尺

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